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Relations binaires et Applications .pdf


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1

´ Saad Dahlab Blida
Universite
Premi`ere Ann´ee LMD TCST
2016/2017


erie d’Exercices no : 2

Module: Maths I

Relations binaires et Applications
Note: Sauf mention du contraire ces exercices sont `
a traiter en TD.
Exercice (1):
Soit < une relation binaire d´efinie sur R par:
∀x, y : x<y ⇔ x3 − y 3 = x − y
1. Montrer que < est une relation d’´equivalence.
2. D´eterminer les r´eels qui sont en relation avec 0, puis en d´eduire la classe de 0.
3. Donner cl(a) la classe d’´equivalence d’un r´eel a, puis discuter le nombre d’´el´ement de cl(a).
Exercice (2):
Sur I =]1, +∞[, on consid`ere la relation binaire not´ee < et d´efinie par:
∀x, y ∈ I : x<y ⇔
1.
2.
3.
4.

y
x

.
1 + x2
1 + y2

V´erifier que ∀x, y ∈ I : x − y + xy 2 − yx2 = 0 ⇒ x = y.
Montrer que < est une relation d’ordre.
x
Si x, y ∈ I et x ≥ y, d´eterminer le signe de la quantit´e: 1+x
2 −
En d´eduire que < est une relation d’ordre total.

y
.
1+y 2

Exercice (3):
Sur R2 , on consid`ere la relation binaire not´ee < et d´efinie par:
∀(a, b), (c, d) ∈ R2 : (a, b)<(c, d) ⇔ a − 5d = c − 5b.
1. V´erifier que < est une relation d’´equivalence.
2. D´eterminer Cl(0, 0) et Cl(1, 1) les classes d’´equivalences des couples (0, 0) et (1, 1).
Exercice (4):
On d´efinit dans Z la relation binaire <, suivante:
a<b ⇔ a2 − b2 est un multiple de 3.
1. Montrer que < est une relation d’´equivalence.
2. Montrer que l’ensemble des classes d’´equivalence de < est ´egal a
` {0, 1}.
Exercice (5):
Sur R2 , on consid`ere la relation binaire not´ee < et d´efinie par:
∀(a, b), (c, d) ∈ R2 : (a, b)<(c, d) ⇔ (a = c et b ≤ d).
1. En justifiant, les propositions suivantes sont-elles vraies?
(1, 2)<(1, 3), (−2, 3)<(0, 1), (0, 1)<(−2, 3).
2. V´erifier que < est une relation d’ordre.
3. L’ordre est-il total?
Exercice (6):
Soient f et g deux applications d´efinies par:
f : R →] − 1, 1[
x 7→ f (x) =

x
.
1+|x|

;

g :] − 1, 1[→ R+ √
x 7→ g(x) = 1 − x.

2

1. D´efinir et d´eterminer les applications f 0g et g0f .
2. Montrer que f est bijective puis donner sa r´eciproque.
Exercice (7):
Soit f la fonction d´efinie sur R par:
f (x) =

x
.
1 + x2

I)
1. D´eterminer f (A1 ), f −1 (B) pour A1 = {0, 31 , 3}, B = {−1, 12 }.
2. L’application f est-elle injective? surjective? justifier.
3. Montrer que f est injective sur I =]1, +∞[.(indic:x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )).
II) Maintenant, on consid`ere sur I la relation binaire < d´efinie par:
∀x, y ∈ I : x<y ⇔ f (x) ≤ f (y).
4. Montrer que < est une relation d’ordre total.
Exercice (8):
Soit f la fonction d´efinie sur R par:
f (x) =

ex
.
1 + e2x

I)
1. D´eterminer f (A), f −1 (B1 ), f −1 (B2 ) pour A = {− ln(4), 0, ln(4)}, B1 =] − 1, 0[, B2 = { 21 }.
2. L’application f est-elle injective? surjective? justifier.
II)
Maintenant, on consid`ere sur R la relation binaire < d´efinie par:
∀x, y ∈ R : x<y ⇔ f (x) = f (y).
3. Montrer que < est une relation d’´equivalence sur R.
4. Donner les ´el´ements des classes d’´equivalences cl(0) et cl(ln(a)) pour a > 0.
Exercice (9):
Sur R, on consid`ere la relation binaire not´ee < et d´efinie par:
∀x, y ∈ R : x<y ⇔ E(x) = E(y).
o`
u E(x) repr´esente la partie enti`ere du r´eel x.
1. V´erifier que < est une relation d’´equivalence.
2. < est-elle une relation d’ordre? Justifier.
3. Trouver Cl(0) et Cl(−1) les classes d’´equivalences respectives de 0 et −1.
4. D´eterminer Cl( a1 ), lorsque a > 1.
Exercice (10):(Suppl´
ementaire)
Sur E = N∗ × N∗ , on consid`ere la relation binaire not´ee < et d´efinie par:


 ∃k ∈ N tel que ac = k
et
∀(a, b), (c, d) ∈ E : (a, b)<(c, d) ⇔

∃m ∈ N∗ tel que db = m
1. Montrer que < est une relation d’ordre.
2. V´erifier que l’ordre n’est pas total.
3. L’ordre est-il total sur la partie F = {(2, 2), (12, 4), (1, 2), (6, 2)} de E ?

.


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