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Fascicule de corrigés IrCi %2825 05 2014%29 .pdf



Nom original: Fascicule de corrigés IrCi %2825-05-2014%29.pdf
Titre: Exercices de Physique gnrale : Universit libre de Bruxelles : BA1
Auteur: Thomas Bury, Bertrand de Prelle de la Nieppe, Marc Haelterman, Laurent Olislager, Mat Swaelens, Jonathan Verlant-Chenet

Ce document au format PDF 1.5 a été généré par LaTeX with hyperref package / LaTeX + dvips + gs, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 25/10/2016 à 15:41, depuis l'adresse IP 164.15.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 600 fois.
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Année 2013-2014
Version du 25 mai 2014

Université libre de Bruxelles
École polytechnique de Bruxelles
Service OPÉRA

Corrigés des exercices
du cours de
Physique générale
(PHYS-H-100)

Thomas B URY
Bertrand DE P RELLE DE LA N IEPPE
Marc H AELTERMAN
Laurent O LISLAGER
Maïté S WAELENS
Jonathan V ERLANT-C HENET

Titulaire du cours :
Marc H AELTERMAN

Copyright 2009-2014. Droits de reproduction réservés aux auteurs.
Toute correction ou suggestion peut être envoyée à l’adresse e-mail maite.swaelens@ulb.ac.be.

Table des matières
1

Thermodynamique
Exercice. 1. . . . . . .
Exercice. 2. . . . . . .
Exercice. 3. . . . . . .
Exercice. 4. . . . . . .
Exercice. 5. . . . . . .
Exercice. 6. . . . . . .
Exercice. 7. . . . . . .
Exercice. 8. . . . . . .
Exercice. 9. . . . . . .
Exercice. 10
. . . . . . .
Exercice. 11
. . . . . . .
Exercice. 12
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Exercice. 13
. . . . . . .
Exercice. 14
. . . . . . .
Exercice. 15
. . . . . . .
Exercice. 16
. . . . . . .
Exercice. 17
. . . . . . .
Exercice. 18
. . . . . . .
Exercice. 19
. . . . . . .
Exercice. 20
. . . . . . .
Exercice. 21
. . . . . . .
Exercice. 22
. . . . . . .
Exercice. 23
. . . . . . .
Exercice. 24
. . . . . . .
Exercice. 25
. . . . . . .
Exercice. 26
. . . . . . .
Exercice. 27
. . . . . . .
Exercice. 28
. . . . . . .
Exercice. 29
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Exercice. 30
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Exercice. 31
. . . . . . .
Exercice. 32
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Exercice. 33
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Exercice. 34
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Exercice. 35
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Exercice. 36
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Exercice. 37
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Exercice. 38
. . . . . . .
Exercice. 39
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Exercice. 40
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34
35
39
44
45
46
47
48
48

TABLE DES MATIÈRES
Exercice. 41
. .
Exercice. 42
. .
Exercice. 43
. .
Exercice. 44
. .
Exercice. 45
. .
Exercice. 46
. .
Exercice. 47
. .
Exercice. 48
. .
Exercice. 49
. .
Exercice. 50
. .
Exercice. 51
. .
Exercice. 52
. .
Exercice. 53
. .
Exercice. 54
. .
Exercice. 55
. .
Exercice. 56
. .
Exercice. 57
. .
Exercice. 58
. .
Exercice. 59
. .
Exercice. 60
. .
Exercice. 61
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2

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58
59
59
60
60
62
62
62
63

Électrostatique
Exercice. 1. . . . .
Exercice. 2. . . . .
Exercice. 3. . . . .
Exercice. 4. . . . .
Exercice. 5. . . . .
Exercice. 6. . . . .
Exercice. 7. . . . .
Exercice. 8. . . . .
Exercice. 9. . . . .
Exercice. 10
. . . . .
Exercice. 11
. . . . .
Exercice. 12
. . . . .
Exercice. 13
. . . . .
Exercice. 14
. . . . .
Exercice. 15
. . . . .
Exercice. 16
. . . . .
Exercice. 17
. . . . .
Exercice. 18
. . . . .
Exercice. 19
. . . . .
Exercice. 20
. . . . .
Exercice. 21
. . . . .
Exercice. 22
. . . . .
Exercice. 23
. . . . .
Exercice. 24
. . . . .
Exercice. 25
. . . . .
Exercice. 26
. . . . .
Exercice. 27
. . . . .
Exercice. 28
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Exercice. 29
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71
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81
82
83
83
84
88
89
90

4

TABLE DES MATIÈRES
Exercice. 30
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Exercice. 31
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Exercice. 32
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Exercice. 33
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Exercice. 34
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Exercice. 35
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Exercice. 36
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Exercice. 37
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Exercice. 38
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Exercice. 39
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Exercice. 40
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Exercice. 41
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Exercice. 42
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Exercice. 43
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Exercice. 44
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Exercice. 45
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Exercice. 46
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Exercice. 47
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Exercice. 48
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Exercice. 49
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Exercice. 50
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Exercice. 51
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Exercice. 52
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Exercice. 53
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Exercice. 54
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Exercice. 55
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Exercice. 56
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Exercice. 57
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Exercice. 58
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Exercice. 59
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Exercice. 60
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Exercice. 61
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Exercice. 62
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Exercice. 63
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Exercice. 64
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Exercice. 65
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Exercice. 66
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Exercice. 67
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Exercice. 68
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Exercice. 69
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Exercice. 70
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Exercice. 71
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Exercice. 72
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Exercice. 73
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Exercice. 74
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Exercice. 75
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Exercice. 76
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Exercice. 77
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126
126
126
126

TABLE DES MATIÈRES
3

Magnétostatique
Exercice. 1. . . . . .
Exercice. 2. . . . . .
Exercice. 3. . . . . .
Exercice. 4. . . . . .
Exercice. 5. . . . . .
Exercice. 6. . . . . .
Exercice. 7. . . . . .
Exercice. 8. . . . . .
Exercice. 9. . . . . .
Exercice. 10
. . . . . .
Exercice. 11
. . . . . .
Exercice. 12
. . . . . .
Exercice. 13
. . . . . .
Exercice. 14
. . . . . .
Exercice. 15
. . . . . .
Exercice. 16
. . . . . .
Exercice. 17
. . . . . .
Exercice. 18
. . . . . .
Exercice. 19
. . . . . .
Exercice. 20
. . . . . .
Exercice. 21
. . . . . .
Exercice. 22
. . . . . .
Exercice. 23
. . . . . .
Exercice. 24
. . . . . .
Exercice. 25
. . . . . .
Exercice. 26
. . . . . .
Exercice. 27
. . . . . .
Exercice. 28
. . . . . .
Exercice. 29
. . . . . .
Exercice. 30
. . . . . .
Exercice. 31
. . . . . .
Exercice. 32
. . . . . .
Exercice. 33
. . . . . .
Exercice. 34
. . . . . .
Exercice. 35
. . . . . .
Exercice. 36
. . . . . .
Exercice. 37
. . . . . .
Exercice. 38
. . . . . .
Exercice. 39
. . . . . .
Exercice. 40
. . . . . .
Exercice. 41
. . . . . .
Exercice. 42
. . . . . .
Exercice. 43
. . . . . .
Exercice. 44
. . . . . .
Exercice. 45
. . . . . .
Exercice. 46
. . . . . .
Exercice. 47
. . . . . .
Exercice. 48
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TABLE DES MATIÈRES
4

5

Electromagnétisme
Exercice. 1. . . . . . .
Exercice. 2. . . . . . .
Exercice. 3. . . . . . .
Exercice. 4. . . . . . .
Exercice. 5. . . . . . .
Exercice. 6. . . . . . .
Exercice. 7. . . . . . .
Exercice. 8. . . . . . .
Exercice. 9. . . . . . .
Exercice. 10
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Exercice. 11
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Exercice. 12
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Exercice. 13
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Exercice. 14
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Exercice. 15
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Exercice. 16
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Exercice. 17
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Exercice. 18
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Exercice. 19
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Exercice. 20
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Exercice. 21
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Exercice. 22
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Exercice. 23
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Exercice. 24
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Exercice. 25
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Exercice. 26
. . . . . . .
Exercice. 27
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Exercice. 28
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Exercice. 29
. . . . . . .
Exercice. 30
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Exercice. 31
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Exercice. 32
. . . . . . .
Exercice. 33
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Exercice. 34
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Exercice. 35
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Oscillations et ondes
Exercice. 1. . . . . . . .
Exercice. 2. . . . . . . .
Exercice. 3. . . . . . . .
Exercice. 4. . . . . . . .
Exercice. 5. . . . . . . .
Exercice. 6. . . . . . . .
Exercice. 7. . . . . . . .
Exercice. 8. . . . . . . .
Exercice. 9. . . . . . . .
Exercice. 10
. . . . . . . .
Exercice. 11
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Exercice. 12
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Exercice. 13
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Exercice. 14
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185
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192
193
195
200
203
205
210
210
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212
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213
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231
233
234
237
238
239
240

TABLE DES MATIÈRES
Exercice. 15
. .
Exercice. 16
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Exercice. 17
. .
Exercice. 18
. .
Exercice. 19
. .
Exercice. 20
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Exercice. 21
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Exercice. 22
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Exercice. 23
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Exercice. 24
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Exercice. 25
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Exercice. 26
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Exercice. 27
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Exercice. 28
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Exercice. 29
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Exercice. 30
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Exercice. 31
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Exercice. 32
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Exercice. 33
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Exercice. 34
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Exercice. 35
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Exercice. 36
. .
Exercice. 37
. .
Exercice. 38
. .
Exercice. 39
. .
Exercice. 40
. .
Exercice. 41
. .
Exercice. 42
. .
Exercice. 43
. .
Exercice. 44
. .
Exercice. 45
. .
Exercice. 46
. .
Exercice. 47
. .
Exercice. 48
. .
Exercice. 49
. .
Exercice. 50
. .
Exercice. 51
. .
Exercice. 52
. .
Exercice. 53
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Exercice. 54
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Exercice. 55
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Exercice. 56
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6

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268
268
271
271
274
275
276
277
278
279
279
280
281

Physique moderne
Exercice. 1. . . . . . .
Exercice. 2. . . . . . .
Exercice. 3. . . . . . .
Exercice. 4. . . . . . .
Exercice. 5. . . . . . .
Exercice. 6. . . . . . .
Exercice. 7. . . . . . .
Exercice. 8. . . . . . .

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290
291

8

TABLE DES MATIÈRES
Exercice. 9. .
Exercice. 10
. .
Exercice. 11
. .
Exercice. 12
. .
Exercice. 13
. .
Exercice. 14
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Exercice. 15
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Exercice. 16
. .
Exercice. 17
. .
Exercice. 18
. .
Exercice. 19
. .
Exercice. 20
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Exercice. 21
. .
Exercice. 22
. .
Exercice. 23
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Exercice. 24
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Exercice. 25
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Exercice. 26
. .
Exercice. 27
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Exercice. 28
. .
Exercice. 29
. .
Exercice. 30
. .
Exercice. 31
. .
Exercice. 32
. .
Exercice. 33
. .
Exercice. 34
. .
Exercice. 35
. .
Exercice. 36
. .
Exercice. 37
. .
Exercice. 38
. .
Exercice. 39
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Exercice. 40
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Exercice. 41
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292
294
295
296
298
299
300
301
303
306
308
309
310
311
311
311
312
313
315
317
318
319
322
327
327
328
328
329
329
330
330
331

TABLE DES MATIÈRES

TABLE DES MATIÈRES

10

Chapitre 1

Thermodynamique
Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

11

Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 4

Exercice 4

12

Exercice 4

Chapitre 1 - Thermodynamique

13

Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 5

Exercice 5

14

Exercice 6

Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 6

15

Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 7

Exercice 7
La chambre à piston cylindrique schématisée ci-contre contient initialement un volume Vi = 10 l d’hélium (He) à la pression Pi = 1 atm et à la
température Ti = 20°C.
atm
a) Quel est le volume Vf du gaz juste après avoir déposé brusquement
(c’est-à-dire, de façon telle que l’on peut négliger les échanges de chaleur avec l’extérieur) une masse M d’une tonne sur le piston dont la
surface S est de 0,1 m2 ?
re,
e

Formule(s) de base utilisée(s) et synthèse du développement :

• ‚Äúon néglige les échanges de chaleur avec l’extérieur" → transformation adiabatique
1/γ
→ Pi Viγ = Pf Vfγ → Vf = Vi PPif
, avec γ = 1 + n2d et nd (He) = 3
• pression supplémentaire = force /surface



Pf = Pi +

Mg
S

Résultats analytique et numérique :

Vf = Vi

Pi
Mg
Pi + S

1/γ

≈ 6, 7 L

b) Quelle est la variation d’énergie interne, ∆U = U f − Ui , que provoque
cette compression subite ?
Formule(s) de base utilisée(s) et synthèse du développement :

• ∆U =

nd
2 Nk B

• gaz parfait :
• adiabatique :


T f − Ti =

nd
2 Nk B Ti



NkB Ti = Pi Vi
γ −1

Ti Vi

= T f Vfγ−1



Tf
Ti

−1


−1

γ −1
Vi
nd
∆U = 2 Pi Vi
γ −1 − 1

∆U =




nd
2 Pi Vi



Tf
Ti

Vf

Résultats analytique et numérique :
∆U =

nd
2 Pi Vi





γ −1

Vi

γ −1

Vf

−1

≈ 471 J

c) Après la compression rapide, on attend que la thermalisation complète
du gaz s’effectue avec l’atmosphère environnante, qui est à la température de départ Ti = 20°C. Quel est le volume final Vf 2 à l’équilibre
thermique ?
Formule(s) de base utilisée(s) et synthèse du développement :

• thermalisation complète
• masse M inchangée





T f2 = Ti



Pf2 = Pf = Pi +
16

Mg
S

Pf2 Vf2 = Pi Vi

M

Exercice 8

Chapitre 1 - Thermodynamique

Résultats analytique et numérique :

Vf2 = Vi

Pi
Mg
Pi + S



≈ 5, 1 L < Vf

Exercice 8
Dans le dispositif schématisé ci-contre, un gaz (de l’azote) est
chauffé jusqu’à ce que la hauteur h de la colonne de liquide (du
mercure) dans le tube en U soit passée de hi = 0 à h f = 76 cm.
a

a) Sachant que la pression atmosphérique environnante Pa est
e
de 1 atm et que la section S du tube en U est de 1 cm2 , calculez le travail W effectué par le gaz lors de cet échauffement
(coup de pouce : notez qu’un accroissement de hauteur ∆h
correspond à un accroissement de volume ∆V = S∆h/2).

Formule(s) de base utilisée(s) et synthèse du développement :

• W=
• →

R

P dV


R hf
h2f
1
1
W = 0 ( Pa + ρgh) 2 Sdh = 2 S Pa h f + ρg 2

où ρgh f = 1 atm = Pa car h f = 76 cm



W=

1
2

S Pa h f 1 +

Résultats analytique et numérique :
W=

3
4

S Pa h f ≈ 5, 8 J

b) Sachant que, avant échauffement, le volume de gaz Vi est
de 150 cm3 et que sa température Ti est de 20°C, calculez la
température T f atteinte par le gaz.

Formule(s) de base utilisée(s) et synthèse du développement :

• PV = nRT



P f Vf
Tf

=

Pi Vi
Ti



• Vf = Vi + 21 Sh f , Pf = 2Pa , Pi = Pa

T f = Ti



P f Vf
Pi Vi

T f = Ti

2Pa (Vi + 21 Sh f )
Pa Vi

Résultats analytique et numérique :

T f = Ti 2 +

Sh f
Vi



≈ 735 K ≈ 462°C

c) Calculez la chaleur Q fournie au gaz lors de l’échauffement.
17

1
2



Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 9

Formule(s) de base utilisée(s) et synthèse du développement :

• Q = W + ∆U
• W=

3
4

S Pa h f

[sous-question (a)]

• ∆U = n2d NkB ∆T = n2d PTi Vi i T f − Ti =
avec nd (azote) = 7

,

Pi = Pa

et



Tf
nd
2 Pi Vi Ti − 1
Tf
Sh f
Ti = 2 + Vi


[sous-question (b)]

Résultats analytique et numérique :
Q=

3
4

S Pa h f +

Exercice 9

nd
2 Pa


Vi + Sh f ≈ 86 J

Physique générale

Séance d'exercices de thermodynamique

(exercice réservé aux Ingénieurs Civils)

Le schéma ci-contre représente
une chambre
à piston contenant de l’eau
(novembre
2008)
à la température T de 20°C. Le piston est de poids négligeable, il est supposé libre de se mouvoir sans frottement et a une surface S de 100 cm2 . La
ci-contre
représente unePchambre
piston
l’eau
à la
température
1. Le schéma
pression
atmosphérique
/‘Acontenant
la surfacedede
l’eau
flotte
une sea est de 1àbar.
T de 20°C.
Le piston
de poids négligeable,
il est
supposé
libreest
delibre
se mouvoir
sans
ringue
dontest
l’extrémité
est fermée et
dont
le piston
de se mouvoir
. La pression
atmosphérique
est2 de
frottement
et afrottement.
une surfaceLa
S de
100 cm2contient
sans
seringue
un volume
initial VPi ade
cm13 Bar.
d’airA(àla
surface de
l’eau flottethermique
une seringue
dont
l’extrémité
est fermée
et dont
le piston
libre de
l’équilibre
avec
l’eau)
et à vide,
lorsque
le piston
est est
poussé
à
3 d’air (à
3
de
2
cm
se mouvoir
sans
frottement.
La
seringue
contient
un
volume
initial
V
fond, elle présente un volume Vs de 1,05 cm . Sa masse
i totale m est de 3 g
l’équilibre(ythermique
compris avec
l’air).l’eau) et à vide, lorsque le piston est poussé à fond, elle présente

F

un volume Vs de 1,05 cm3. Sa masse totale m est de 3 g (y compris l’air).

a) Sachant que l’eau a une masse volumique ρ de 1 g/cm3 , calculez la
3, calculez la force F à exercer sur le piston de la
(a) Sachant que
l’eau
une masse
U de
force
F àa exercer
survolumique
le piston de
la1g/cm
grande
chambre à piston pour que
grande chambre
à
piston
pour
que
la
seringue
coule.
On
supposera
une
transformation
isotherme de l’air.
la seringue coule. On supposera une transformation
isotherme
de l’air.
(b) Calculez la profondeur maximale d’eau hmax, que l’on peut se permettre pour que la plongée de la seringue
soit réversible, c’est-à-dire, pour que la seringue remonte lorsque la force sur le piston est annulée.

F ≈ 25 N

(c) Si la hauteur d’eau vaut le double de hmax, de quelle hauteur 'z faut-il relever le piston pour pouvoir
récupérer la seringue à la surface de l’eau, sachant que à la pression atmosphérique le volume d’air Vai de la
b) Calculez la profondeur maximale d’eau hmax que l’on peut se perchambre à piston est initialement de 1 litre (on supposera toujours les transformations isothermes et on
mettre pour que la plongée de la seringue soit réversible, c’est-à-dire,
négligera les effets liés à la tension de vapeur de l’eau).

pour que la seringue remonte lorsque la force sur le piston est annulée.
hmax ≈ 25 cm

c) Si la hauteur d’eau vaut le double de hmax , de quelle hauteur ∆z fautil relever le piston pour pouvoir récupèrer la seringue à la surface de
l’eau, sachant qu’à la pression atmosphérique le volume d’air Vai de
la chambre à piston est initialement de 1 l (on supposera toujours les
transformations isothermes et on négligera les effets liés à la tension
de vapeur de l’eau).
∆z ≈ 2, 5 mm
18

h

Exercice 10

Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

19

Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 13

Exercice 13

Exercice 14

20

Exercice 15

Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 15

Exercice 16
a)

21

Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 16

b)

22

Exercice 16

Chapitre 1 - Thermodynamique

23

Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 17

Exercice 17

Exercice 18
D

Dans le dispositif de mesure de la conductivité thermique de Fouinte
rier représenté ci-contre, l’enceinte chaude a une température une
réce
gulée à Tc = 100°C et l’eau froide circulante a une températureS
e2
d’entrée T f de 20°C. La plaque du matériau étudié a une surface
2
que
S de 100 cm , une épaisseur L de 1 cm et une conductivité thermique k T de 2 W/(m · K). Calculez le débit d’eau froide minimum
Dmin qu’il faut établir pour que la variation de température de
l’eau froide ∆T f soit inférieure à 0, 1°C.

Tc

Tf

Tf! Tf
S

L

Relation(s) de base utilisée(s) et développement
La différence de température entre les eaux des deux côtés de la plaque est non-nulle et vaut
Tc − T f . Par le deuxième principe de thermodynamique, un transfert de chaleur doit donc se
produire du corps le plus chaud vers le corps le plus froid. Un débit de chaleur H va donc circuler entre l’eau chaude et l’eau froide par l’intermédiaire de la plaque, c’est donc un phénomène
de conduction thermique (pas de travail fourni car pas de déplacement de la frontière du système thermodynamique). Pour ce phénomène, on peut utiliser la loi de Fourier (uniquement
valable dans le cas d’un transfert de chaleur par conduction) qui donne le débit de chaleur :
S
H = k T ( Tc − T f )
L

(1.1)

Cette relation met en évidence la cause du transfert de chaleur : c’est parce qu’il existe une différence entre les températures des deux corps Tc et T f qu’un transfert de chaleur a lieu entre l’eau
chaude et l’eau froide. Il n’y aurait aucun débit de chaleur (H = 0) si les deux corps étaient à la
24

Exercice 18

Chapitre 1 - Thermodynamique

même température Tc = T f .
Notons m? la petite masse d’une partie de l’eau froide et ∆t le temps pendant lequel cette petite
masse reçoit de l’énergie de la source chaude. Ainsi, durant la durée ∆t, la masse m? va recevoir une quantité de chaleur que l’on note Q. En utilisant la relation Q = c m ∆T, on obtient :
Q = c m? ∆T. Puisque Q est la chaleur transmise à la masse d’eau froide m? , il est évident que
les autres termes dans cette définition concernent aussi l’eau froide : c est donc la capacité calorifique massique de l’eau (4186 J/K · kg) et ∆T est la variation de température de l’eau froide entre
l’instant où elle rentre dans le conduit et l’instant où elle en sort (dans l’énoncé, cette donnée est
notée ∆T f ). Ainsi, on obtient la chaleur transférée à une masse m? d’eau froide : Q = c m? ∆T f .
Le débit de chaleur H est par définition la quantité de chaleur transférée par unité de temps :
H=

Q
m?
=c
∆T f
∆t
∆t

(1.2)

Dans cette relation apparaît D = m∆t? qui est le débit massique, c’est-à-dire une quantité de masse
(d’eau froide) par unité de temps. Attention à ne pas confondre avec le débit de chaleur H qui
n’est pas un transfert de matière mais un transfert d’énergie. On a donc :
H = c D ∆T f

(1.3)

Cette relation exprime la conséquence du débit de chaleur H, c’est-à-dire une augmentation de
la température de l’eau froide d’une valeur ∆T f . En effet, plus le débit de chaleur H est élevé,
et plus la température de l’eau froide augmentera. Les débits de chaleur H dans les équations
(1.1) et (1.3) sont les mêmes puisque la chaleur émise par conduction de l’eau chaude à l’eau
froide est entièrement transmise à l’eau froide. Faites attention cependant à ne pas perdre de
vue que ces deux équations ne se rapportent pas au même phénomène physique. La relation
(1.1) donne la valeur du débit de chaleur causé par la différence de température entre deux
objets situés de part et d’autre d’une paroi de conductivité thermique k T , tandis que la relation
(1.3) est une définition générale qui donne la valeur du débit de chaleur reçu par l’eau froide et
a pour conséquence l’augmentation de sa température. Comme les deux débits (1.1) et (1.3) sont
identiques, on peut écrire :
S
k T ( Tc − T f ) = c D ∆T f
(1.4)
L
Cette relation exprime donc le fait que le débit de chaleur causé par la différence de température
Tc − T f est égal au débit de chaleur provoquant le réchauffement de l’eau froide d’une valeur
∆T f . La seule inconnue est D, que l’on isole :
D = kT

S
( Tc − T f )
c L ∆T f

(1.5)

Ceci donne l’expression du débit massique D en fonction des différents paramètres du problème.
On demande de trouver le débit massique minimum Dmin tel que l’augmentation de température de l’eau froide ∆T f ne dépasse pas une valeur maximale ∆T f ,max = 0, 1◦ C. Ainsi, si on
remplace ∆T f par ∆T f ,max dans l’équation (1.5), on obtient la valeur maximale du dénominateur,
c’est-à-dire la valeur minimale de la fraction, soit la valeur minimale du débit massique Dmin .
Résultat analytique
Dmin = k T

S
( Tc − T f )
c L ∆T f ,max

Résultat numérique
Dmin ≈ 0, 38 kg/s
25

Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 19

Exercice 19
Le schéma ci-contre montre une enceinte contenant de l’air à
la pression atmosphérique environnante P = 1 bar. L’air y est
chauffé à l’aide d’une résistance électrique R de 48,4 Ω alimentée
par une source de tension continue V de 220 V. La paroi de l’enceinte a une épaisseur L de 2 cm, une surface totale S de 0,85 m2 et
une conductivité thermique k T de 0,56 W/(m · K). Sachant que la
puissance de chauffe P de la résistance est donnée par la formule
de l’effet Joule P = V 2 /R et que la température ambiante TB est
de 20°C, calculez la température TH à l’intérieur de l’enceinte (on
considérera le régime stationnaire, c’est-à-dire, un débit de chaleur constant au travers de la
paroi de l’enceinte).
TH ≈ 62◦ C

Exercice 20
ompe
Le schéma ci-contre montre un système de pompage de l’eau
Calculez
d’un lac. La pompe permet d’élever l’eau à une hauteur h de 15 m
au-dessus du niveau du lac. Calculez la puissance de pompagede 2,5
Pm nécessaire à l’obtention d’un débit massique D de 2,5 kg/s.

D
h
Pm ?

Formule(s) de base utilisée(s) et développement
D
La puissance est par définition une quantité d’énergie par unité
de temps. Il n’y a que deux types d’énergies qui peuvent être
transférées d’un corps à un autre : un travail W et une quantité de
chaleur Q. Dans le cas de cet exercice, transférer de la chaleur à
l’eau n’aurait aucun effet utile. Il faut en réalité exercer une force
sur l’eau de manière à la faire monter à une certaine hauteur. On applique donc une force le long
d’un certain déplacement, ce qui correspond à fournir un travail à l’eau. Ainsi, la pompe fournit
un travail à l’eau et sa puissance est donc définie comme la quantité de travail qu’elle fournit à
l’eau par unité de temps.
Notons m? la petite masse d’une partie de l’eau de mer et ∆t le temps que cette masse met à
passer du niveau de la mer au sommet de la pompe. Par définition, la puissance de la pompe
est :
W
Pm =
(1.6)
∆t

Il reste maintenant à savoir la quantité de travail (c’est-à-dire, la quantité d’énergie) qu’il est
nécessaire de fournir à la masse m? d’eau pour qu’elle monte d’une hauteur h. Pour cela, comparons les énergies de la masse m? à l’instant initial (au niveau de la mer) et à l’instant final (au
sommet de la pompe).
• Du fait du changement de hauteur de l’eau, il existe un écart d’énergie potentielle entre
les situations finale et initiale. L’énergie potentielle d’une petite masse m? peut être définie
nulle à l’endroit que l’on veut (cf. Cours de CFS). Considérons qu’elle est nulle au niveau
de la mer, on a donc E p,i = 0. Comme la force de pesanteur terrestre est la seule force que
subit la masse m? , l’énergie potentielle finale vaut E p, f = m? g h. L’écart d’énergie potentielle
entre les situations finale et initiale est donc :
∆E p = E p, f − E p,i = m? g h − 0 = m? g h
26

(1.7)

Exercice 21

Chapitre 1 - Thermodynamique

• L’écart d’énergie cinétique ∆Ec = Ec, f − Ec,i entre les situations finale et initiale peut quant
à lui être considéré comme négligeable : aucune donnée dans l’énoncé ne nous permet de
conclure à un gain ou une perte d’énergie cinétique. Si l’eau circule dans un tube de section
constante, on aura Ec, f ≈ Ec,i et on peut poser ∆Ec = Ec, f − Ec,i = 0.
En conclusion, le travail (donc l’énergie) à fournir à la masse d’eau m? pour qu’elle s’élève d’une
hauteur h est égale à la différence d’énergie potentielle entre sa position finale et sa position
initiale. On note :
W = ∆E p = m? g h
(1.8)
La puissance que la pompe doit fournir pour un régime stationnaire est l’énergie dépensée par
unité de temps pour élever la masse d’eau m? sur une hauteur h :
Pm =

∆E p
m?
=
gh
∆t
∆t

(1.9)

Dans cette relation apparaît D = m∆t? qui est par définition le débit massique, c’est-à-dire une
quantité de masse (d’eau de mer) par unité de temps. On trouve donc finalement :
Pm = D g h

(1.10)

Remarque : On aurait pu aussi partir de la définition du travail infinitésimal δW = ~F · d~r. Le
module de la force exercée sur le petit élément d’eau est le poids de la colonne d’eau au-dessus
de lui : mcol g = ρ S h g donc δW = Fz dz = ρ S dz g h. Avec la définition (1.6) on obtient la
puissance cherchée δW
δt = ρ S v g h, où v est la célérité du fluide et ρ S v est le débit massique D
(quantité de matière traversant la surface S par unité de temps).
Résolution succincte :

• Pm =

Energie
temps

=

W
∆t

dans ce cas (pas de chaleur à transmettre)

• Travail à fournir pour élever une petite masse d’eau m? d’une hauteur h :
W = ∆E p = E p, f − E p,i = m? g h − 0 = m? g h
(remarque : la différence d’énergie cinétique ∆Ec est supposée négligeable)
• Débit massique D =

m?
∆t

→ Pm =

m?
∆t

gh = Dgh

Résultats analytique et numérique :
Pm = D g h ≈ 368 W

Exercice 21
Soit un volume V d’un mètre cube d’oxygène (O2 ) à la température T de 0°C et à la pression
atmosphérique P de 1 atm.
a) Calculez la masse m de ce volume d’oxygène.
Notons m la masse cherchée de manière à ne pas confondre avec M qui est la masse molaire. Il s’agit d’un gaz de dioxygène O2 qui peut être assimilé à un gaz parfait (de manière
générale, on considérera les gaz comme parfaits si rien n’est précisé à ce sujet). Comme c’est
un gaz parfait, il suit la loi suivante :
PV = nRT

(1.11)

On en déduit le nombre de moles présentes dans le volume de gaz donné :
n=
27

PV
RT

(1.12)

Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 22

On sait que la masse totale d’un corps m est la masse d’une mole M multipliée par le nombre
de moles n qui se trouvent dans le gaz :
m=nM=

PV
M
RT

(1.13)

avec la masse molaire M qui vaut 32 g/mol dans le cas du dioxygène.
b) Calculez l’énergie de rotation moyenne ER d’une molécule d’oxygène de ce volume.
L’énergie moyenne de rotation d’une molécule de dioxygène est :
ER =

nd,rotation
kB T
2

(1.14)

avec nd,rotation = 2 (deux degrés de liberté en rotation correspondant aux deux axes de
rotation de la molécule). On trouve donc :
ER = k B T

(1.15)

Résultats analytique et numérique
m=

PV
M = 1, 43 kg
RT

ER = k B T = 3, 77 · 10−21 J

Exercice 22
Une bouilloire électrique de capacité 1 L est réalisée à l’aide d’une résistance R soumise à une
tension électrique V de 220 V. Sachant que la puissance de chauffe est donnée par la formule de
l’effet Joule P = V 2 /R, calculez la résistance R à adopter pour faire bouillir de l’eau en un temps
∆t d’une minute à partir de la température ambiante Ti de 20°C.
Formule(s) de base utilisée(s) et développement
La puissance est par définition une quantité d’énergie par unité de temps. Il n’y a que deux types
d’énergies qui peuvent être transférées d’un corps à un autre : un travail W et une quantité de
chaleur Q. Dans le cas de cet exercice, une quantité de chaleur sera transférée à l’eau mais aucun
travail ne sera fourni. En effet, pour exercer un travail sur l’eau, il aurait fallu exercer une force
sur l’eau de manière à provoquer son déplacement, ce qui n’est pas le cas ici. Ainsi, la résistance
de la bouilloire fournit de la chaleur à l’eau et sa puissance est donc définie comme la quantité
de chaleur qu’elle fournit à l’eau par unité de temps.
Notons m la masse d’eau à chauffer et ∆t le temps (60 s) que cette masse met à passer de la
température Ti à la température T f . Notons également Q la quantité de chaleur à fournir à la
masse m pour qu’elle fasse ce changement de température. En régime stationnaire, l’énergie
fournie par le résistance est sa puissance (constante) multipliée par le temps de fonctionnement :
Eelec = Pelec ∆t =

V2
∆t
R

(1.16)

Il reste maintenant à savoir la quantité de chaleur (c’est-à-dire, la quantité d’énergie) qu’il est
nécessaire de fournir à la masse m d’eau pour qu’elle effectue une variation de température
T f − Ti . Pour cela, utilisons la définition de la chaleur Q = cV m ∆T et appliquons-la à notre cas :
Q = cV m ( T f − Ti )
28

(1.17)

Exercice 23

Chapitre 1 - Thermodynamique

L’énergie électrique est en réalité entièrement convertie en énergie thermique, si bien que la
totalité de l’énergie électrique fournie par la résistance est reçue par l’eau de manière à la faire
chauffer (c’est-à-dire augmenter sa température). Ainsi, Eelec = Q et on a le bilan énergétique :
V2
∆t = cV m ( T f − Ti )
R
On isole ensuite R :
R=

V 2 ∆t
cV m ( T f − Ti )

(1.18)

(1.19)

Dans le membre de droite, chaque grandeur est connue. La quantité d’eau à chauffer n’est pas
précisée dans l’énoncé mais correspond à 1 L, c’est-à-dire m = 1 kg. Puisque l’on veut une ébullition de l’eau, la température finale est : T f = 100◦ C.
Résultat analytique

R=

V 2 ∆t
cV m ( T f − Ti )

Résultat numérique
R ≈ 8, 7 Ω

Exercice 23
Pour connaître la capacité calorifique du fer, on dispose un bloc de fer de masse mFe = 100 g
chauffé à la température TFe de 100°C dans un calorimètre (enceinte isolée thermiquement du
monde extérieur) contenant un litre d’eau à la température initiale Ti de 20°C. Après thermalisation de l’ensemble, la mesure au thermomètre de précision indique la température T f = 20, 84°C.
Calculez la capacité calorifique massique du fer cFe (on négligera la capacité calorifique du calorimètre).
c Fe = 444 J/(K · kg)

Exercice 24
Le schéma ci-contre montre une chambre à piston dont le piston est libre
de se mouvoir verticalement sans frottement. Le piston a une surface S de
13 cm2 et une masse totale m de 3 kg. La chambre contient n = 0, 016 moles
de gaz diatomique. On considérera que l’accélération de la gravitation terrestre g vaut 10 m/s2 .
a) Sachant que la pression atmosphérique ambiante Pa est de 1 bar et que
la hauteur h du piston est de 25 cm, calculez la température T du gaz.
Formule(s) de base utilisée(s) et développement
pV = nRT , où p = p a + mg/S
29

Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 25

Résultats analytique et numérique :

( p a + mg/s) Sh
= 301 K
nR
b) Calculez l’énergie thermique U du gaz contenu dans la chambre à piston.
n
7
U = d nRT = nRT = 140 J
2
2
c) Calculez la quantité de chaleur Q à extraire de l’enceinte pour diminuer de moitié la hauteur h du piston.
T=

Formule(s) de base utilisée(s) et développement

• Q = ∆U + W
• processus isobare, donc
• ∆U =

W = p · ∆V = ( p a + mg/S) · (−

nd
nR∆T , T f = T/2
2

Résultats analytique et numérique :
7
T
hS
Q = − nR − ( p a + mg/S)
= −90 J
2
2
2

Exercice 25
Les schémas ci-contre montrent une chambre à piston parfaitement étanche contenant initialement un volume Vi d’un
litre d’air en équilibre avec l’atmosphère environnante qui
est à la température Ti de 20°C et à la pression Pi de 105 Pa
(le piston est libre de se mouvoir sans frottement et son poids
est négligeable). On tire ensuite le piston vers le bas avec une
certaine force F. Le piston a une surface S de 0,02 m2 et le cylindre a une hauteur totale h de 10 cm.
a) En considérant que la chambre à piston n’est pas isolée
thermiquement de l’atmosphère environnante (et que
le temps de descente du piston est plus long que le
temps caractéristique des échanges de chaleur avec l’extérieur), calculez la force minimale F qu’il faut exercer
pour extraire totalement le piston du cylindre.
F = 1000 N
b) En considérant cette fois que la chambre à piston est isolée thermiquement, calculez le volume de gaz Vf obtenu
lorsque la masse M calculée ci-dessus est suspendue au
piston.
Vf = 1, 71 L
30

hS
)
2

Exercice 26

Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 26

n
Le schéma ci-contre montre une chambre à piston contenant inità
tialement un volume Vi de 1 l d’air en équilibre avec l’atmosphère
l’air

environnant qui est à la température Ti de 20°C et à la pression Pi
de 1 bar. /‘A un instant donné l’air est chauffé et en se dilatante il
repousse le piston qui est retenu (sans frottement) par un ressort
initialement au repos. Le piston a une surface S de 100 cm2 et le
ce
ressort a une constante de rappel κ de 2 · 104 N/m.

0

x

f = - x1x

S

Q

a) Calculez le travail W exercé par le gaz pour déplacer le piston d’une distance x de 10 cm.
Formule(s) de base utilisée(s) et développement
W=

Z Vf
Vi

p dV =

Z x
0

κx 0
( pa +
) (S dx 0 )
S

Résultats analytique et numérique :
κx2
= 200 J
2
b) Calculez la quantité de chaleur Q qu’il faut pour déplacer le
piston d’une distance x de 10 cm.
W = p a Sx +

Formule(s) de base utilisée(s) et développement

• Q = ∆U + W
• ∆U =

p f Vf
nd
nR( T f − Ti ) , où T f =
2
RT

• comme p f = p a +

κx
et que Vf = Vi + Sx , on obtient :
S

Résultats analytique et numérique :
Q=

κVi
κx2
7
x ( Pa S + κx +
) + ( p a Sx +
) = 1, 95 kJ
2
S
2

Exercice 27

31

M

Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 28

Exercice 28

32

Exercice 29

Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 29

Exercice 30
Exercice non corrigé.

33

Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 31

Exercice 31

Exercice 32

34

Exercice 33

Chapitre 1 - Thermodynamique
de
tiale
de

Exercice 33

Le schéma ci-contre montre une chambre à piston contenant deux moles
(n = 2) de gaz parfait diatomique soumises à un échauffement à partir de
la température initiale Ti = 20°C. Le piston est libre de se mouvoir sans le
frottement, il a un poids total Fp de 500 N et une surface S de 0,02 m2 .

h
S

Fp

Q

a) Sachant que la pression atmosphérique environnante Pa est de 1 bar, calculez la température
T f que le gaz doit atteindre pour que, sous l’effet de l’échauffement, le piston monte de la
hauteur ∆h = 10 cm.
Formule(s) de base utilisée(s) et développement
Il est recommandé de toujours définir le système avant de commencer l’exercice, surtout
quand il y a plusieurs possibilités. Cet exercice est relativement simple car il n’y a que 4
systèmes possibles : le gaz (en vert), le piston (en jaune), la bougie (en rouge) et le système
total (en bleu). L’énoncé mentionne différentes grandeurs qui sont propres au gaz, nous
M
considérerons donc le système gaz (en vert). Il s’agit d’un système fermé (n et N constants)
et non isolé (échange de chaleur possible) avec un nombre de degré de libertés égal nd = 7.

Ce système va subir une transformation à cause d’effets extérieurs et va passer d’un état
thermodynamique stable froid (en vert ci-dessous) à un état thermodynamique stable chaud
(en rouge). Ce passage ne se fera pas instantanément et on a pour habitude de le décomposer en transformations infinitésimales. Chaque transformation infinitésimale se produit
à cause d’un transfert de chaleur infinitésimale dQ et d’une expulsion de travail dW, ce qui
provoque l’augmentation de la température d’une quantité infinitésimale dT. Pour passer
de l’état initial à l’état final, le système va donc traverser un ensemble d’états thermodynamiques intermédiaires stables représentés dans le schéma ci-dessous.

35

Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 33

Isobare

Pi

Ti  293,15 K

Tf

Vi

Vf  Vi  Sh

n  2 mol
Ui 

nd
nR Ti
2

n  2 mol

W
dW

dW

Uf

dW
Gaz

Gaz

Pi Vi  nR Ti

dQ

dQ

dQ

Pf Vf  nR Tf

Q

Il est important de toujours organiser sa réponse de cette manière afin de structurer les informations fournies dans l’énoncé et mettre en évidence les informations dont on ne dispose
pas. À chaque état thermodynamique stable, il est autorisé d’utiliser la loi des gaz parfait. À
chaque état thermodynamique stable, on doit avoir un équilibre mécanique et donc la force
(ou pression) exercée par le gaz sur le monde extérieur doit être égale à la force (ou pression)
exercée par le monde extérieur sur le gaz. Il y a deux corps qui exercent une force sur le gaz :
la masse posée sur le piston (force FP , pression FSP ) et la colonne d’air se trouvant au-dessus
du piston (pression atmosphérique Pa ). Le gaz est donc toujours à pression P = Pa + FSP
afin d’être à l’équilibre avec le monde extérieur, et la transformation qu’il subira sera donc
isobare. L’ensemble des grandeurs thermodynamiques et la loi des gaz parfait sont rappelés
sur le schéma ci-dessus. À l’état initial, la seule inconnue est Vi et il est aisé de le trouver à
i
l’aide de la loi des gaz parfaits appliquée à l’état initial : Vi = nRT
Pi . À l’état final, la seule
inconnue est la température que l’on peut déterminer à l’aide de la loi des gaz parfaits apP f Vf
. En remplaçant les différentes grandeurs en fonction de ce
pliquée à l’état final : T f = nR
qui est donné dans l’énoncé, on trouve finalement :
F

P f Vf
Pf
Pf Vi
Pf
Pa + Sp
Tf =
=
(Vi + S∆h) =
+
S∆h = Ti +
S∆h
nR
nR
nR
nR
nR
Résultats analytique et numérique :
F

T f = Ti +

Pa + Sp
S∆h = 308 K
nR

36

Exercice 33

Chapitre 1 - Thermodynamique

b) Calculez la quantité de chaleur Q qui est nécessaire pour atteindre la température T f .
La chaleur Q est la somme de toutes les chaleurs infinitésimales dQ fournies au cours de
la transformation. Il y a deux possibilités pour calculer cette quantité de chaleur : en utilisant la définition (uniquement définie dans le cours pour des transformations isobares ou
isochores) ou en utilisant le premier principe (requiert de connaitre la variation d’énergie
interne ∆U et le travail W fourni au monde extérieur). La première solution est celle qui
requiert le moins de calculs et elle est bien applicable ici puisque l’on a une transformation
isobare. On utilise donc la définition de la chaleur reçue en fonction du nombre de moles n
et de la chaleur molaire à pression constante CP :
n

d
Q = nCP ∆T = n(CV + R)∆T = nR
+ 1 ( T f − Ti )
2
Vu que T f est la réponse d’une sous-question précédente, on peut considérer cette grandeur
comme "acquise" et on ne doit pas la remplacer par son expression complète T f = Ti +
Fp

Pa + S
nR

S∆h. On obtient Q = 1, 13 kJ.

c) Calculez l’entropie ∆S générée dans le gaz par l’échauffement considéré ci-dessus.
La situation est représentée ci-dessous où seules la grandeur thermodynamique d’entropie
est considérée. On part d’un état froid et l’apport de chaleur va augmenter l’agitation thermique des particules se trouvant dans le gaz, ce qui aura pour effet d’augmenter le désordre
du système gaz. À l’état final, l’entropie S f doit donc être supérieure à l’entropie initiale Si .
On doit donc obtenir une différence d’entropie ∆Sgaz positive.

S f  Si

Si

dQ

dQ

dQ

Q

La variation d’entropie du système gaz est donnée par
∆Sgaz =

Z f
dQ
i

T

+ ∆i S

Le deuxième terme correspond à des phénomènes irréversibles internes au système gaz et
est forcément nul car il n’y a nulle part à l’intérieur du gaz un phénomène irréversible qui
37

Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 33

se produit. La variation d’entropie du gaz est donc uniquement due à l’apport de chaleur :
∆Sgaz =

Z f
dQ
i

T

où dQ est l’apport de chaleur à chaque transformation infinitésimale, responsable d’une
augmentation dT de température. On peut appliquer la définition de la chaleur reçue à une
transformation isobare infinitésimale et écrire que dQ = nCP dT. On trouve donc :

Z f
Z Tf
Z Tf
Tf
dQ
nCP dT
dT
∆Sgaz =
=
= nCP
= nCP ln
T
T
T
Ti
i
Ti
Ti

n
T
Tf
f
= nR d + 1 ln
= n (CV + R) ln
Ti
2
Ti
Cette variation est bien positive puisque T f > Ti et le logarithme donne donc une valeur
positive. On trouve ∆Sgaz = 3, 74 J/K.

On aurait également pu poser la question suivante : "Calculez la variation d’entropie ∆Stot
du système complet comprenant le gaz, le piston et la bougie". À ce moment là, le système
considéré est le système entouré en bleu ci-dessous. Ce système est fermé et isolé, donc
si son entropie augmente, ce ne sera pas à cause d’un transfert de chaleur. Appliquons la
définition de la variation d’entropie :
∆Stot =

Z f
dQ
i

T

+ ∆i S

Le premier terme est nul et la variation d’entropie du système complet sera donc due uniquement à des phénomènes internes irréversibles. Il se passe en effet un phénomène irréversible interne au système complet : le sous-système "gaz" reçoit une quantité de chaleur
Q de la part du sous-système "bougie" et cet échauffement est irréversible. Il est improbable
que, spontanément, les particules du gaz perdent leur énergie cinétique, se réordonnent et
reviennent à leur état initial en rendant la chaleur Q à la bougie. L’apport d’entropie de ce
phénomène irréversible a déjà été déterminé précédemment : il s’agit de la valeur ∆Sgaz . On
trouve donc :
∆Stot = ∆i S = ∆Sgaz
Le second principe stipule que l’entropie d’un système isolé ne peut qu’augmenter ou rester
constante au cours du temps, c’est-à-dire ∆i S ≥ 0. Le résultat ci-dessus est donc bien en
accord avec le second principe puisque ∆Sgaz > 0.

38

Exercice 34

Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 34
Le schéma ci-contre montre deux enceintes de gaz mises en
N2
He
contact thermique. Une des enceintes est munie d’un piston
libre de se mouvoir sans frottement et contient de l’hélium (He).
L’autre enceinte est de volume fixe et contient une mole d’azote
(N2 ). Lors de la mise en contact des enceintes, l’hélium qui était à la température T1i de 200°C occupait un volume Vi d’un litre et l’azote était à la température T2i de −20°C. On suppose que les
échanges de chaleur ne se font qu’entre les deux gaz et que la pression de l’atmosphère ambiante
est de 1 bar.
a) Calculez la température T1 f atteinte par l’hélium après la thermalisation du système.
Deux systèmes sont à considérer ici et il est d’autant plus important de les identifier correctement et d’organiser les grandeurs thermodynamiques dans 4 colonnes comme c’est fait
ci-dessous.

Q W

• Le système 1 est l’hélium qui fournit une quantité de chaleur Q2 et échange un travail
W2 avec le monde extérieur. Le signe de ce travail n’est pas connu de l’énoncé et il est
donc impossible de dire pour l’instant s’il s’agit d’un travail reçu ou fourni. Il s’agit
d’un système fermé (n et N constants) et non isolé, avec nd1 = 3 degrés de liberté. La
pression du gaz doit constamment compenser la pression exercée par le monde extérieur (= l’air uniquement) sur le gaz afin d’avoir un équilibre thermodynamique : il faut
donc que P1 = Pa à tout moment. Le gaz restera donc à pression constante : sa transformation sera isobare. L’état initial est quasi entièrement connu puisqu’il n’y a qu’une
inconnue : le nombre de moles n1 . Cette valeur peut donc facilement se déterminer à
1i V1i
l’aide de la loi des gaz parfaits : n1 = PRT
. L’état final comporte trop d’inconnues pour
1i
être déterminé, puisque l’on a 2 inconnues (T f , V1 f ) pour 1 équation (la loi des gaz
parfaits).
• Le système 2 est le diazote qui reçoit une quantité de chaleur Q1 et n’échange aucun
travail avec le monde extérieur. Il s’agit d’un système fermé (n et N constants) et non
isolé, avec nd2 = 7 degrés de liberté. Le gaz n’est pas libre de s’étendre ou se contracter
et il restera donc à volume constant : sa transformation sera isochore. Ni l’état thermodynamique initial, ni l’état thermodynamique final sont entièrement connus car on a
respectivement 2 et 3 inconnues pour 1 équation (la loi des gaz parfaits). On sait cependant que la température finale T f 2 sera la même que la température finale de l’hélium
T f 1 . On les notera T f .
39

Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 34

Isobare

P1i  Pa

P1i  Pa

T1i  473,15 K

Tf

2

V1i  10 3 m3
n1

V1f

Q2

n
U1i  d nR T1i
2

n1
U1f

dQ 2

dQ 2

dQ 2
He

He

P1i V1i  n1 R T1i

dW2

dW2

dW2

P1 f V1f  n1 R Tf

W2

Fermé n,N cst 
Non isolé

1

nd1  3

Isochore

P2i

P2f

T2i  253,15 K

Tf

V2i

V2i

n2  1 mol

n2  1 mol

n
U2i  d nR T2i
2

U2f

N2

N2

P2i V2i  n2 R T2i

dQ 1

dQ 1

dQ 1

P2f V2f  n2 R Tf

Q1

Fermé n,N cst 
Non isolé
nd2  7

1

2

Il n’est donc pas possible de déterminer l’état final (et donc la température finale) de l’hélium en se basant uniquement sur la loi des gaz parfaits. Ces deux systèmes sont cependant
liés par le fait que la chaleur sortant du système 1 est égale à la chaleur entrante dans le
système 2 (principe de conservation de l’énergie). Comme une chaleur sortante est considé40

Exercice 34

Chapitre 1 - Thermodynamique

rée comme négative, cette propriété se traduit par la relation − Q2 = Q1 . La définition de
la chaleur transmise sera cependant différente selon que l’on parle de l’hélium (isobare) ou
du diazote (isochore). On trouve finalement :
h
i
n

n
− n2 R d2 ( T f − T2i ) = n1 R d1 + 1 ( T f − T1i )
2
2
En isolant T f , on trouve :
n2 n2d2 T2i + n1
Tf =
n2 n2d2 + n1
avec n1 =

P1i V1i
RT1i .

nd1
2
nd1
2


+ 1 T1i

+1

On trouve T f = 257 K.

b) Calculez le volume Vf qu’occupe l’hélium après la thermalisation du système.
On a trouvé la température finale T f des deux gaz. Mettons à jour les tableaux établis à la
sous-question précédente :

2

P2i
T2i  253,15 K
V2i
n2  1 mol
n
U2i  d nR T2i
2

P2i V2i  n2 R T2i

P1i  Pa

P2f

T1i  473,15 K

Tf  257 K

V1i  10 3 m3

V2i

P1i V1i
R T1i
n
U1i  d nR T1i
2
n1 

n2  1 mol
U2f

P2f V2f  n2 R Tf

P1i V1i  n1 R T1i

1

P1i  Pa
Tf  257 K
V1 f
n1
U1 f

P1f V1f  n1 R Tf

On remarque qu’il n’y a plus qu’une seule inconnue à l’état final de l’hélium : V1 f . On peut
RT

la déterminer en isolant dans la loi des gaz parfaits : V1 f = n1 P1 ff avec n1 =
donc :
P1i V1i RT f
V
V1 f =
= 1i T f
RT1i P1 f
T1i

P1i V1i
RT1i .

On trouve

Comme T1 f > T f , l’expression ci-dessus montre que V1i > V1 f . Le gaz va donc se compresser en demandant du travail au monde extérieur. En effet, W = Pa (V1 f − V1i ) < 0 est bien
un travail reçu par le système. On trouve V1 f = 0, 543 L.
c) Calculez l’entropie ∆S générée par la thermalisation du système.
Le système à considérer ici est le système total comprenant les deux gaz et le piston. Il s’agit
d’un système fermé et isolé. Appliquons la définition de la variation d’entropie pour ce
système :
Z f
dQ
+ ∆i S
∆Stot =
T
i
Le premier terme est forcément nul puisque le système est isolé. La variation d’entropie du
système complet sera donc uniquement due à des transformation internes irréversibles. Il y
a effectivement deux transformations irréversibles apparaissant dans des sous-systèmes :
41

Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 34

• Une chaleur est transmise au sous-système 2 (diazote) et elle ne peut être restituée
spontanément. L’entropie de ce sous-système va donc augmenter d’une valeur ∆S2 =
R f dQ
+ ∆i S avec ∆i S = 0 puisqu’il n’existe aucune transformation irréversible interne
i T
au diazote. On trouve

Z Tf
Tf
n2 CV2 dT2
nd2
∆S2 =
= n2 R
ln
T2
2
T2i
T2i
• Une chaleur est fournie par le sous-système 1 (hélium) et elle ne peut être restituée
spontanément. L’entropie de ce sous-système va donc augmenter d’une valeur ∆S1 =
R f dQ
+ ∆i S avec ∆i S = 0 puisqu’il n’existe aucune transformation irréversible interne
i T
à l’hélium. On trouve
Z Tf
T
n1 CP1 dT1
P1i V1i nd1
f
∆S1 =
=
+ 1 ln
T1
T1i
2
T1i
T1i

S2f  S2i

S2i

dQ 1

dQ 1

dQ 1

Q1

Fermé n,N cst 
Non isolé

2

1

nd2  7

Fermé n,N cst 

1

Non isolé
nd1  3

2

Q2
S1i

dQ 2

dQ 2

42

dQ 2

S1f  S1i

Exercice 34

Chapitre 1 - Thermodynamique

La variation d’entropie du système complet étant donnée par la variation d’entropie liée aux
transformations irréversibles internes, elle est égale à la somme des variations d’entropies
des sous-systèmes 1 et 2 :
∆Stot = ∆i S = ∆S1 + ∆S2
et donc :
∆Stot =


T
Tf
P1i V1i nd1
n
f
+ 1 ln
+ n2 R d2 ln
= 0, 125 J/K
T1i
2
T1i
2
T2i

Il s’agit bien d’une valeur positive, ce qui est en accord avec le second principe. Les variations d’entropie sont récapitulées dans le schéma ci-dessous. On remarque que la variation
d’entropie du diazote est (en valeur absolue) plus élevée que celle de l’hélium, alors que la
quantité de chaleur transmise Q est identique (en valeur absolue) pour les deux systèmes.
La différence s’explique par le fait que les températures des gaz ne sont pas les mêmes : le
diazote part d’un état froid (plus enclin à une grosse variation d’entropie) alors que l’hélium part d’un état chaud (moins enclin à une grosse variation d’entropie). On rejoint bien
ici ce qu’on disait précédemment : il est plus difficile de faire varier l’entropie d’un système
chaud.

Q W

+ 0,439 J/K

- 0,314 J/K

43

+ 0,125 J/K

Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 35

Exercice 35

44

Exercice 36

Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 36

45

Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 37

Exercice 37
a)

46

Exercice 38

Chapitre 1 - Thermodynamique

b)

Exercice 38
Exercice non corrigé.

47

Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 39

Exercice 39

Exercice 40
Un moteur muni d’une chambre à piston contenant de l’hélium fonctionne sur base d’un cycle
thermodynamique constitué des 4 transformations suivantes entre les états thermodynamiques
a, b, c et d : a − b compression isotherme, b − c détente isobare, c − d détente adiabatique et d − a
transfert de chaleur isochore. Les états a, b et c sont respectivement caractérisés par les grandeurs
suivantes : Ta = 100°C, Va = 3 l, Vb = 300 cm3 et Vc = 500 cm3 (il ne faut pas re-démontrer les
expressions mathématiques des chaleurs et travaux des 4 transformations).
a) Calculez la pression Pa qu’il faut imposer à l’état a pour obtenir un travail W de 318 J sur un
cycle du moteur.
Pa = 106 Pa
b) Représentez graphiquement de façon qualitative le cycle dans un plan P, V et calculez-en le
rendement r.
r = 4, 4 %

48

Exercice 41

Chapitre 1 - Thermodynamique

Exercice 41

P

Le cycle thermodynamique représenté dans le diagramme P, V ci-contre concerne un moteur idéal à gaz
parfait monoatomique. Les données sont : Pa = 1 atm,
Pb = 100 atm, Va = 10 ml, Vc = 1 l.

Pb

a) Sachant que la température Ta au point a du cycle
est de 20°C, calculez la chaleur Q ab associée à la
transformation a − b.

Pa

b

c

a

d

Formule(s) de base utilisée(s) et développement

Va

Vc
T

• Q ab = nCV ( Tb − Ta )
• comme le système est fermé et que le volume
est constant, ( pb − p a )V = nR( Tb − Ta )
• on a donc Q ab = nCV ·

( p b − p a )V
n
( p − p a )Va
= n· dR· b
nR
2
nR

Résultats analytique et numérique :
3
· ( pb − p a )Va = 150 J
2
b) Calculez la chaleur Qbc associée à la transformation
b − c.
Q ab =

Formule(s) de base utilisée(s) et développement

• Qbc = nC p ( Tc − Tb )
• comme pc = pb , on a : pb (Vc − Vb ) = nR( Tc − Tb )
• on a alors Qbc = nC p ·

pb (Vc − Vb )
n
p (Vc − Va )
= n · ( d + 1) R · b
nR
2
nR

Résultats analytique et numérique :
5
· p (Vc − Va ) = 25, 1 kJ
2 b
c) Calculez le travail W et le rendement r du moteur.
Qbc =

W

=

I
cycle

p dV

= aire délimitée par le cycle
= ( pb − p a ) · (Vc − Va ) = 9, 93 kJ
r = W/Q H = W/( Q ab + Qbc ) = 39 %

49

a

V


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