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Titre: Cours Math
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4°Maths et 4°Sc exp
Limites et continuité
Prof : Hadj Salem Habib
A-I°/ Continuité et limites en un réel :
Théorème 1 :
Toute fonction polynôme est continue en tout réel de
.
Toute fonction rationnelle est continue en tout réel de son domaine de définition .
La fonction cos et la fonction sin sont continues en tout réels de .
Théorème 2:
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I et a I :
Si f est continue en a alors f, f , et f n n * sont continues en a .
1
1
et n n * sont continues en a .
f
f
Si f et g sont continues en a alors f g et f * g sont continues en a .
f
Si f et g sont continues en a et g a 0 alors
sont continues en a .
g
Si f est continue en a et f a 0 alors
Si f est positive sur I et continue en a alors
f est continue en a .
Exercice :
x2 4x 3
Soit f : x
calculer lim f x
x 3
x2 9
f x si x 3,3
La fonction g définie sur 3 par : g x 1
. s’appelle un prolongement par
si x 3
3
continuité de f en 3.
Exercice :
x 2 1 cos x
, montrer que f est prolongeable par
x
continuité en 0 et déterminer son prolongement .
Soit f la fonction définie sur
* par f x
Théorème 3 :
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I sauf en a I .
Si f admet une limite finie quand x a alors la fonction g définie sur I par g x
f x si x a
si x a
Est continue en a et s’appelle un prolongement par continuité de f en a.
Théorème4 :
Une fonction f définie sur un intervalle ouvert I est continue en a I ssi
Exercice :
1 x2 si
Soit f : x 21 x
x 2 x 1
x 1
continue en 1.
Prof : Hadj Salem Habib
x 1
si x 1
et f 1 0
lim f x lim f x f a .
x a
x a
. Calculer lim f x et lim f x ,en déduire si f est
x 1
Limites et continuité
x 1
Lycée pilote Médenine
4°Maths et 4°Sc exp
Limites et continuité
Prof : Hadj Salem Habib
II° / Continuité sur un intervalle :
Théorème1 :
Une fonction est continue sur un intervalle ouvert I si elle est continue en tout réel de I .
Une fonction est continue sur un intervalle a, b si elle est continue sur a, b ,à droite en a et
à gauche en b .
De façon analogue , on définit la continuité de f sur les intervalles a, b , a, b , a, et , a .
Exercice :
1cos x
f x x2 si x0, ,
.Montrer que f est continue sur 0, .
Soit f la fonction définie sur 0, par
1
f 0
2
III°/Opérations sur les limites :
Lim f
L
L
Lim g Limf +g
L’
L+L’
L’
Lim f
L
Lim g Lim f *g
L’
L*L’
L’ 0
L’ 0
Lim f
L
L
L
L 0
Lim g
L’ 0
L’ 0
L’ 0
0
Remarque :
0
,
, * 0 ou
0
indéterminées ,on ne peut pas conclure directement .
Exercice :
Activité page 8.
Si on obtient des résultat de la formes
Lim f/g
L/L’
0
0
Règles des
signes
ce sont des formes
B°/Branches infinies :
Rappel :
La fonction f
lim f x
ou
lim f x
x a
x a
lim f x
ou
lim f x L
ou
x a
x
lim f x ax b 0
x
lim f x
x a
lim f x L
x
ou
lim f x ax b 0
x
Etude des branches infinies :
Si on a lim f x alors on calcule lim
x
*** Si lim
x
Interprétation graphique
La droite D : x a est
asymptote à f
x
La droite D : y L est
asymptote à f
La droite D : y ax b est
asymptote à f
f x
.
x
f x
0 alors f admet une branche infinie parabolique de direction xx ' .
x
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Limites et continuité
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*** Si lim
f x
alors f admet une branche infinie parabolique de direction yy '
x
*** Si lim
f x
a
x
x
x
*
alors on calcule lim f x ax alors :
x
* Si lim f x ax b la droite D : y ax b est asymptote à f .
x
* Si lim f x ax alors f admet une branche infinie
x
parabolique de direction y ax .
Exercice :
1) Soit la fonction définie sur
par f x x 2 x 1 .
Etudier la nature des branches infinies de f au voisinage de et .
2) Soit la fonction définie sur 1, par f x 2 x x 1 .
a) Etudier les variation de f.
b) Etudier la nature des branches infinies de f au voisinage de et tracer f .
C°/Continuité et limite des fonctions composées :
Définition :
Soit U une fonction définie sur un ensemble I et V une fonction définie sur un ensemble J tel que
U I J .
La fonction V U définie sur I par V U x V U x est appelé fonction composée de U et V .
Exemples :
x2
** La fonction f : x cos
est la composer de deux fonctions définies sur
par
1 x2
x2
U :x
et V : x cos x .
1 x2
sin 2 x sin x
** La fonction f : x
est la composer de deux fonctions U : x sin x définie sur
1 sin x
x2 x
:
V
x
et la fonction
définie sur \ 1 .
1 x
Théorème1 :
Soit U une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant a et V une fonction définie sur J ,
contenant U a .
Si U est continue en a et V est continue en U a , alors la fonction V U est continue en a .
Si U est continue sur un ensemble I et V est continue sur
Exercice :
Etudier la continuité de f sur I :
x2
2
I
.
f : x cos
f : x sin x x 1
x 3
alors V U est continue sur I .
I 3, .
D°/Limite d’une fonction composée :
Théorème :
Soit U et V deux fonctions . soient a , b et c des réels ou ou
Si lim U x b et lim V x c alors lim V U x c .
x a
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x b
x a
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Limites et continuité
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Exercice :
Calculer les limites suivantes :
1 cos x 2
,
lim tan
lim
2
x 0
x 1
x
2x
1
lim x 1 cos .
x
x
,
sin x 1
Etudier la continuité de f en a : f : x f 1x11
si x0, \1
et
a 1.
E°/ Limites et ordres :
Théorème de comparaison :
Soit a un réel fini ou infini , l et l’ deux réels.
alors
* Si lim f x et f x g x
x a
et
f x g x
f x l g x et
lim g x 0
* Si lim f x
x a
* Si
xa
* Si lim f x l = lim g x
xa
xa
et
x a
lim g x .
alors
x a
lim f x l .
xa
f x h x g x alors lim h x l .
* Si lim g x l ' , lim f x l et
x a
alors
lim g x .
xa
xa
f x g x alors l l ' .
Exercice :
Montrer que pour tout réel positif x on a :
1 cos x 1
cos x
en déduire lim
.
x
x
x
x
x
F°/ Image d’un intervalle par une fonction continue :
Théorème :(rappel)
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle .
Théorème :
L’image d’un intervalle fermé bornée a, b par une fonction continue est un intervalle fermé
bornée m, M où m est le minimum de f sur a, b et M est le maximum de f sur a, b .
Exemple :
Soit f : x x2 déterminer f 1,1 .
Remarques :
L’intervalle I f est strict croissante sur I alors f I
a, b
a, b
a, b
, a
a,
,
Prof : Hadj Salem Habib
f est strict décroissante sur alors f I
f a , f b
f a , lim f x
xb
lim f x , lim f x
xa
x b
lim f x , f a
x
lim f x , lim f x
x
xa
lim f x , lim f x
x
x
Limites et continuité
f b , f a
lim f x , f a
xb
lim f x , lim f x
xb
xa
f a , lim f x
x
lim f x , lim f x
x a
x
lim f x , lim f x
x
x
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Prof : Hadj Salem Habib
Limites et continuité
4°Maths et 4°Sc exp
G°/ Théorème des valeurs intermédiaires :
Théorème :
Si f est une fonction continue sur a, b alors pour tout réel k compris entre f a et f b il
existe au moins un réel c a, b tel que f c k c.à.d l’équation
moins une solution c a, b
f x k possède au
En particulier Si f est continue sur a, b et f a f b 0 alors ils existe au mois un réel
c a, b tel que f c 0 c.à.d l’équation f x 0 possède au moins une solution .
Remarques :
Si en plus f est strictement monotone alors cette solution est unique .
Prof : Hadj Salem Habib
Limites et continuité
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