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4°Maths et 4°Sc exp

Limites et continuité

Prof : Hadj Salem Habib

A-I°/ Continuité et limites en un réel :

Théorème 1 :
 Toute fonction polynôme est continue en tout réel de
.
 Toute fonction rationnelle est continue en tout réel de son domaine de définition .
 La fonction cos et la fonction sin sont continues en tout réels de .
Théorème 2:
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I et a  I :
 Si f est continue en a alors  f, f , et f n  n  *  sont continues en a .




1
1
et n  n  *  sont continues en a .
f
f
Si f et g sont continues en a alors f  g et f * g sont continues en a .
f
Si f et g sont continues en a et g  a   0 alors
sont continues en a .
g

Si f est continue en a et f  a   0 alors

 Si f est positive sur I et continue en a alors
f est continue en a .
Exercice :
x2  4x  3
Soit f : x 
calculer lim f  x 
x 3
x2  9
 f  x  si x 3,3

La fonction g définie sur  3 par : g  x    1
. s’appelle un prolongement par
si x  3

3
continuité de f en 3.
Exercice :
x 2  1  cos x
, montrer que f est prolongeable par
x
continuité en 0 et déterminer son prolongement .

Soit f la fonction définie sur

* par f  x  

Théorème 3 :
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I sauf en a  I .
Si f admet une limite finie  quand x  a alors la fonction g définie sur I par g  x  



f  x  si x  a

 si x  a

Est continue en a et s’appelle un prolongement par continuité de f en a.
Théorème4 :
Une fonction f définie sur un intervalle ouvert I est continue en a  I ssi
Exercice :
 1 x2 si

Soit f : x   21 x
x  2 x 1
 x 1
continue en 1.

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x 1
si x 1

et f 1  0

lim f  x   lim f  x   f  a  .

x a 

x a

. Calculer lim f  x  et lim f  x  ,en déduire si f est
x 1

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x 1

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II° / Continuité sur un intervalle :

Théorème1 :
 Une fonction est continue sur un intervalle ouvert I si elle est continue en tout réel de I .
 Une fonction est continue sur un intervalle  a, b si elle est continue sur a, b ,à droite en a et
à gauche en b .
De façon analogue , on définit la continuité de f sur les intervalles  a, b , a, b ,  a,  et , a  .
Exercice :
1cos x

 f  x  x2 si x0, ,
.Montrer que f est continue sur  0,   .
Soit f la fonction définie sur  0,   par 
1
f  0
2



III°/Opérations sur les limites :
Lim f
L
L

Lim g Limf +g
L’
L+L’







L’




Lim f
L












Lim g Lim f *g
L’
L*L’

L’ 0

L’ 0









Lim f
L




L
L
L 0

Lim g
L’  0
L’ 0
L’ 0



0

Remarque :

0 
,
,  * 0 ou
0 
indéterminées ,on ne peut pas conclure directement .
Exercice :
Activité page 8.

Si on obtient des résultat de la formes

    

Lim f/g
L/L’




0
0

Règles des
signes

ce sont des formes

B°/Branches infinies :
Rappel :

La fonction f
lim f  x   
ou

lim f  x   

x a

x a

lim f  x   

ou

lim f  x   L

ou

x a

x 

lim  f  x    ax  b    0

x 

lim f  x   

x a

lim f  x   L

x 

ou

lim  f  x    ax  b    0

x 

Etude des branches infinies :
Si on a lim f  x    alors on calcule lim
x 

*** Si lim
x 

Interprétation graphique
La droite D : x  a est
asymptote à  f

x 

La droite D : y  L est
asymptote à  f
La droite D : y  ax  b est
asymptote à  f

f  x
.
x

f  x
 0 alors  f admet une branche infinie parabolique de direction  xx ' .
x

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*** Si lim

f  x
  alors  f admet une branche infinie parabolique de direction  yy '
x

*** Si lim

f  x
 a
x

x 

x 

*

alors on calcule lim  f  x   ax  alors :
x 

* Si lim  f  x   ax   b la droite D : y  ax  b est asymptote à  f .
x 

* Si lim  f  x   ax    alors  f admet une branche infinie
x 

parabolique de direction y  ax .

Exercice :
1) Soit la fonction définie sur

par f  x   x 2  x  1 .

Etudier la nature des branches infinies de  f au voisinage de  et  .
2) Soit la fonction définie sur  1,  par f  x   2 x  x  1 .
a) Etudier les variation de f.
b) Etudier la nature des branches infinies de  f au voisinage de  et tracer  f .

C°/Continuité et limite des fonctions composées :

Définition :
Soit U une fonction définie sur un ensemble I et V une fonction définie sur un ensemble J tel que
U I   J .

La fonction V U définie sur I par V U  x   V U  x  est appelé fonction composée de U et V .
Exemples :
 x2
** La fonction f : x  cos
est la composer de deux fonctions définies sur
par
1  x2
 x2
U :x
et V : x  cos x .
1  x2
sin 2 x  sin x
** La fonction f : x 
est la composer de deux fonctions U : x  sin x définie sur
1  sin x
x2  x
:
V
x

et la fonction
définie sur \ 1 .
1 x
Théorème1 :
Soit U une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant a et V une fonction définie sur J ,
contenant U  a  .


Si U est continue en a et V est continue en U  a  , alors la fonction V U est continue en a .

 Si U est continue sur un ensemble I et V est continue sur
Exercice :
Etudier la continuité de f sur I :
 x2 
2
I

.
f : x  cos 
f : x  sin x  x  1

 x 3

alors V U est continue sur I .

I  3,  .

D°/Limite d’une fonction composée :

Théorème :
Soit U et V deux fonctions . soient a , b et c des réels ou  ou 
Si lim U  x   b et lim V  x   c alors lim V U  x    c .
x a

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x b

x a

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Exercice :
Calculer les limites suivantes :
1  cos  x 2 
 
,
lim tan  
lim
2
x 0
x 1
x
 2x 

1

lim x 1  cos  .
x 
x


,

 sin x 1

Etudier la continuité de f en a : f : x   f 1x11



si x0,  \1

et

a  1.

E°/ Limites et ordres :

Théorème de comparaison :
Soit a un réel fini ou infini , l et l’ deux réels.
alors
* Si lim f  x    et f  x   g  x 
x a

et

f  x  g  x

f  x   l  g  x  et

lim g  x   0

* Si lim f  x   
x a

* Si

xa

* Si lim f  x   l = lim g  x 
xa

xa

et

x a

lim g  x    .

alors

x a

lim f  x   l .
xa

f  x   h  x   g  x  alors lim h  x   l .

* Si lim g  x   l ' , lim f  x   l et
x a

alors

lim g  x    .

xa

xa

f  x   g  x  alors l  l ' .

Exercice :
Montrer que pour tout réel positif x on a : 

1  cos x 1
 cos x


en déduire lim
.
x 
x
x
x
x

F°/ Image d’un intervalle par une fonction continue :

Théorème :(rappel)
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle .
Théorème :
L’image d’un intervalle fermé bornée  a, b par une fonction continue est un intervalle fermé

bornée  m, M  où m est le minimum de f sur  a, b et M est le maximum de f sur  a, b .
Exemple :
Soit f : x  x2 déterminer f  1,1 .
Remarques :
L’intervalle I f est strict croissante sur I alors f  I  

 a, b
 a, b
a, b
, a

a, 
, 

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f est strict décroissante sur alors f  I  

 f  a  , f  b  

 f  a  , lim f  x  


xb
 lim f  x  , lim f  x  
 xa

x b
 lim f  x  , f  a 
 x

 lim f  x  , lim f  x  
x 
 xa

 lim f  x  , lim f  x  
x 
 x


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 f  b  , f  a  

 lim f  x  , f  a 
 xb

 lim f  x  , lim f  x  
 xb

xa
 f  a  , lim f  x  
x 


 lim f  x  , lim f  x  
x a 
 x

 lim f  x  , lim f  x  
x 
 x


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G°/ Théorème des valeurs intermédiaires :

Théorème :
Si f est une fonction continue sur  a, b alors pour tout réel k compris entre f  a  et f  b  il
existe au moins un réel c  a, b tel que f  c   k c.à.d l’équation
moins une solution c  a, b

f  x   k possède au

En particulier Si f est continue sur  a, b et f  a   f b 0 alors ils existe au mois un réel

c  a, b tel que f  c   0 c.à.d l’équation f  x   0 possède au moins une solution .
Remarques :
Si en plus f est strictement monotone alors cette solution est unique .

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