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4°Maths et 4°Sc exp

Limites et continuité

Prof : Hadj Salem Habib

A-I°/ Continuité et limites en un réel :

Théorème 1 :
 Toute fonction polynôme est continue en tout réel de
.
 Toute fonction rationnelle est continue en tout réel de son domaine de définition .
 La fonction cos et la fonction sin sont continues en tout réels de .
Théorème 2:
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I et a  I :
 Si f est continue en a alors  f, f , et f n  n  *  sont continues en a .




1
1
et n  n  *  sont continues en a .
f
f
Si f et g sont continues en a alors f  g et f * g sont continues en a .
f
Si f et g sont continues en a et g  a   0 alors
sont continues en a .
g

Si f est continue en a et f  a   0 alors

 Si f est positive sur I et continue en a alors
f est continue en a .
Exercice :
x2  4x  3
Soit f : x 
calculer lim f  x 
x 3
x2  9
 f  x  si x 3,3

La fonction g définie sur  3 par : g  x    1
. s’appelle un prolongement par
si x  3

3
continuité de f en 3.
Exercice :
x 2  1  cos x
, montrer que f est prolongeable par
x
continuité en 0 et déterminer son prolongement .

Soit f la fonction définie sur

* par f  x  

Théorème 3 :
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I sauf en a  I .
Si f admet une limite finie  quand x  a alors la fonction g définie sur I par g  x  



f  x  si x  a

 si x  a

Est continue en a et s’appelle un prolongement par continuité de f en a.
Théorème4 :
Une fonction f définie sur un intervalle ouvert I est continue en a  I ssi
Exercice :
 1 x2 si

Soit f : x   21 x
x  2 x 1
 x 1
continue en 1.

Prof : Hadj Salem Habib

x 1
si x 1

et f 1  0

lim f  x   lim f  x   f  a  .

x a 

x a

. Calculer lim f  x  et lim f  x  ,en déduire si f est
x 1

Limites et continuité

x 1

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