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Suites réelles

Hadj Salem Habib

Lycée pilote Médenine

Définition :
Toute application définie sur une partie I non vide de IN est appelée suite réelle .
I- Suites particulières :
Nature

Suite arithmétique

Suite géométrique

Définition

Pour tout n  I , un+1 – un = r où r est une
constante appelée raison de la suite .

un+1 = q un où q est une constante appelée
raison de la suite .

Terme général

un = u0+ nr
un = up + ( n – p )r

un = u0qn
un = up qn-p.

Propriétés

a , b et c sont trois termes consécutifs ssi
2b = a + c .

a , b et c sont trois termes consécutifs ssi
b² = a c .

Somme de
termes
consécutifs

Nombre de terme 
 1ier terme  dernier terme 


2



 1  qnbre det erme 
Si q  1 , 1ier terme  

1 q



Limite d’une suite géométrique : on pose q la raison de la suite
si -1 < q < 1 , lim un = 0
n + 

;

+ si le premier terme  0
si q = 1 la suite est constante ; si q  1 , lim un = 
n + 
 - si le premier terme < 0

si q  -1 pas de limite .
II- Propriétés possibles d’une suite :
sens de variation : la suite u est : * Croissante si pour tout n  I ; un+1  un .
 décroissante si pour tout n  I ; un+1  un .
 constante si pour tout n  I ; un+1 = un .
suite majorée , minorée , bornée .
la suite u est : * majorée, si on peut trouver un réel M , tel que pour tout n  I ; un  M .
 minorée , si on peut trouver un réel m tel que , pour tout n  I , un  m .
 bornée , si elle est à la fois majorée et minorée .
III- Limites I =

n

 IN , n  n 0

;

n0  IN . u est une suite définie sur I .

a- Définition : la suite u est convergente si lim un = a ; où a  IR. Si la limite a existe est unique .
n

*Toute suite u non convergente est dite divergente .
*Toute suite u convergente est bornée – la réciproque n’est pas vrais –
*Toute suite u croissante majorée est convergente .
*Toute suite u décroissante minorée est convergente .
*Toute suite u croissante est minorée par son premier terme .
*Toute suite u décroissante est majorée par son premier terme .
*Toute suite u croissante non majorée tend vers + .
*Toute suite u décroissante non minorée tend vers - .

Hadj Salem Habib

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Lycée pilote Médenine

IV-

Lycée pilote Médenine

Suites réelles

Hadj Salem Habib

Théorèmes de comparaisons

Si pour tout n  I ; un  0 et un tend vers a alors a  0.
Si pour tout n  I ; un  0 et un tend vers a alors a  0 .
Si u et v sont deux suites convergents et pour tout n  I ; un  vn alors lim un  lim vn .
Si u converge vers 0 tel que pour tout n  I , v n  u n alors v converge vers 0 .
Si u , v et w trois suites définies sur I , u et v converge vers la limite a et pour tout n  I , un  wn  vn
alors w converge et sa limite est égale a .
Si pour tout n  I ; un  vn et lim un = + alors lim vn = +  .
n + 

n + 

Si pour tout n  I ; un  vn et lim un = - alors lim vn = -  .
n 

n + 

V- Image d’une suite par une fonction continue
* Si f est une fonction continue en a ( a  IR ) et si la suite u converge vers a , alors la (f ( un ) ) ,converge
vers f ( a ) .
* Soit f une fonction continue sur D : *si pour tout n  I ; un  D
* lim un = a et f ( un ) = un+1
alors f ( a ) = a .
n + 

VI- Représentation graphique d’une suite .
u :3.7
0

u :2.55
1

u :1.758
2

u :1.211
3

u :0.835
4

a:0.69

y

Soit f une fonction et u la suite définie par
son premier terme u0 et la relation f ( un ) = un+1 .

4

 
Dans un repère orthonormé ( O , i , j ) du plan .
Soit C la représentation graphique de f dans ce
repère et D la droite d’équation y = x .

2
A

B
UU U U
43 2 1
o

-5

Soit M0 le point de C d’abscisse u0 , son
ordonnée est f ( u0 ) = u1 . Soit P0 le point
de D d’ordonnée u1 , son abscisse est u1 .
Soit M1 le point de C d’abscisse u1 , son ordonnée
est f ( u1 ) = u2 Et ainsi de suite .

U
0
5

-2
u :-0.5
0

u :2
1

u :0.75
2

u :1.091
3

u :0.971
4

y

U

VII-

M

0

o

U

2

U

4

U

3

U

1

Suites adjacentes

Définition et théorème : Deux suites ( un ) et ( vn ) définies sur I , sont adjacentes lorsqu’elles vérifient les
conditions suivantes : * pour tout n  I , vn  un .
* la suite ( vn ) est croissante et la suite ( un ) est décroissante .
* la suite ( vn – un ) converge vers 0 .
Dans ce cas les suites ( un ) et ( vn ) convergent vers la même limite

Hadj Salem Habib

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