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Université Abdelmalek Essaâdi
Faculté des sciences – Tétouan
Département de Physique

Module Physique 5

Thermodynamique
Filière SMAI

Otman EL HAJJAJI
Année universitaire 2016-2017

Table des matières

Introduction ..............................................................................................................................................................5
Chapitre I. Outils mathématiques pour la thermodynamique .................................................................................6
I . 1. Les fonctions .....................................................................................................................................................6
I-1.1 Fonctions à une variable ..............................................................................................................................7
I-1.2 Fonctions à deux variables ...........................................................................................................................7
I-1.3 Fonctions à trois variables ...........................................................................................................................7
I-2. Dérivées partielles ..............................................................................................................................................8
I-2.1 : Dérivée de premier ordre d’une fonction à une variable ..........................................................................8
I-2.2 : Dérivée de second ordre d’une fonction à une variable ............................................................................8
I-2.3 : Dérivée d’ordre n d’une fonction à une variable .......................................................................................9
I-2.4 : Dérivées partielles d’une fonction à deux variables ..................................................................................9
I-2.5 : Dérivées partielles d’ordre supérieur...................................................................................................... 10
I-2.6 : Dérivées partielles mixtes ....................................................................................................................... 10
I-2.7 : Dérivation composée .............................................................................................................................. 11
I-3 Différentielle totale première de f ................................................................................................................... 12
I-3.1 : Différentielle d’une fonction à une variable f(x) ..................................................................................... 12
I-3.2 : Différentielle d’une fonction à deux variables f(x, y) .............................................................................. 12
I-4 Forme différentielle f et différentielle totale exacte df de f ......................................................................... 13
I-5 Intégrale d’une Forme différentielle totale exacte ......................................................................................... 16
I-6 Fonctions implicites et explicites ..................................................................................................................... 17
I-7 Variance et système divariant ......................................................................................................................... 18
Chapitre II. Définitions et Concepts de base de la thermodynamique................................................................ 21

II-1 Etats de la matière .......................................................................................................................................... 21
II-1.1 Pression ........................................................................................................................................................ 22
II-1.2 Température................................................................................................................................................. 23
II-2 Système thermodynamique ............................................................................................................................ 24
II-3 Etat d’un système thermodynamique ............................................................................................................ 25
II-4 Principe zéro thermodynamique .................................................................................................................... 26
II-5 Transformation d’un système ......................................................................................................................... 27
II-5.1 Transformation réversible ........................................................................................................................ 27
II-5.2 Transformation irréversible ..................................................................................................................... 27
II-5.3 Transformation quasi-statique ............................................................................................................... 27
II-5.4 Transformations à variables fixées ........................................................................................................... 28
II-6.1 Notion de travail........................................................................................................................................... 28
II-6.2 Notion de la chaleur .................................................................................................................................... 30
II-7 Coefficients thermoélastiques....................................................................................................................... 35
Chapitre III. Premier principe de la thermodynamique ........................................................................................ 39
III-1 Enoncé du premier principe ........................................................................................................................... 40
III-2 Enthalpie......................................................................................................................................................... 42
III-3.1 Transformation élémentaire ................................................................................................................... 43
III-2 Détentes ......................................................................................................................................................... 48
III-2.1 Détente de Joule- Guy Lussac.................................................................................................................. 48
III-2.1 Détente de Joule- Thomson ................................................................................................................... 49
Chapitre IV. Deuxième principe de la thermodynamique ..................................................................................... 51
IV-1 Enoncé du second principe de la thermodynamique .................................................................................... 52
IV-2 Entropie .......................................................................................................................................................... 52
IV-3 Applications .................................................................................................................................................. 54
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IV-3-1 Gaz quelconque ..................................................................................................................................... 54
IV-3-2 Gaz Parfait ............................................................................................................................................... 55
V-4 Inégalité de Clausius.................................................................................................................................... 56
IV-5 Identités thermodynamiques......................................................................................................................... 57
IV-6 Les fonctions d’état F et G ............................................................................................................................. 60
IV-6.1 Energie libre de Helmhotz (F) ................................................................................................................. 60
IV-6.2 Enthalpie libre de Gibbs (G) .................................................................................................................... 60
Chapitre V. Introduction aux cycles thermodynamiques ...................................................................................... 61
et machines thermiques ........................................................................................................................................ 61
V-1 Transformations réversibles ........................................................................................................................... 62
V-1.1 Transformation de la chaleur Q en travail W ........................................................................................... 62
V-1.2 Transformation du travail W en chaleur Q (W > 0 et Q < 0)............................................................... 64
V-2 Cycles de Carnot .............................................................................................................................................. 65
V-2.1 Moteur ditherme réversible .................................................................................................................... 65
V-2.2 Récepteur ditherme réversible ............................................................................................................ 67

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Introduction
La thermodynamique (Thermo: chaud/Dynamique: mouvement) est la science qui
correspond à l’étude de la dynamique des systèmes thermomécaniques. C’est à dire l’étude
de l’évolution d’un système en fonction des échanges mécaniques et thermiques avec le
milieu extérieur au système.
Elle nous permet aussi de déterminer si un processus physique ou chimique pourrait
avoir lieu (fonction d’Entropie).
La thermodynamique une branche récente de la science moderne. Le fondement des
bases de la thermodynamique classique a été donné en 1824 par le physicien et ingénieur
Français Nicolas Carnot (1796- 1832).
En 1850, le physicien allemand Rudolf Clausius (1822- 1888), compléta le deuxième
principe de la Thermodynamique et inventa le concept d’entropie S en 1865.
On distingue :
- La thermodynamique microscopique qui s’intéresse à l’étude de l’état microscopique
des systèmes (comportement des atomes, des molécules, des électrons…).
- La thermodynamique macroscopique qui s’intéresse à l’étude d’un système composé
d’un grand nombre d’objets microscopiques, des particules (atomes, molécules, électrons…..).
L’ordre de grandeur de ce grand nombre d’objets microscopiques contenu dans un système
thermodynamique est le nombre d’Avogadro NA = 6.0225 1023 mol−1. Elle utilise des
paramètres mesurables (p,T,V) pour décrire les propriétés macroscopique du système à
l’équilibre.
Typiquement on a seulement besoin de quelques paramètres pour décrire le système
de manière satisfaisante. Ces paramètres sont appelés les variables d’état, connues à
l’équilibre.
La thermodynamique classique est basée sur deux principes:
1e principe: La conservation de l’énergie en définissant une grandeur appelée énergie interne U.

2e principe : Le sens d’évolution d’un système en définissant une grandeur appelé entropie S.
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Chapitre I. Outils mathématiques pour la thermodynamique

Pour décrire un système physique quelconque (mécanique; thermodynamique;
électrique….), il faut décrire son état et la façon dont il change si l’on change les conditions
auxquelles il est soumis.
On peut décrire plusieurs grandeurs qui caractérisent le système dans chaque état.
Dans la thermodynamique, on définit pour un gaz, la température T, la pression P, le volume V
et aussi les énergies cinétiques des molécules du gaz. L’étude du système revient à l’étude de
la variation de chacune de ces grandeurs si l’on fixe les autres.
Généralement, la connaissance de deux de ces variables suffit pour déterminer
les autres.

I . 1. Les fonctions
Nous allons considérer des fonctions réelles à variables réelles.
Soit D une partie de l’espace vectoriel réel Rn de dimension n. Le système de
coordonnées indépendantes (x1, x2…….. xn) appelées variables appartient à D.
Des variables sont dites indépendantes si on ne peut pas exprimer l’une de ces
variables en fonction des autres.

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Lors d’une expérimentation on fixe un paramètre (indépendant) et on mesure les
autres variables (dépendantes).

I-1.1 Fonctions à une variable
Une fonction f à une variable x appartenant à D est définie par x → f(x). Elle permet
d’associer à chaque valeur de la variable x une et une seule valeur de f(x).

I-1.2 Fonctions à deux variables
Une fonction f à deux variables (x,y) est une application de la partie D de R2 dans R tel que
(x,y) → f(x,y). (x, y) ∈ D  R2 → f(x, y) ∈ R
Exemples:
f (x, y) = x2 + y2, Puissance P = UI,
Surface d’un rectangle S (x, y)= xy,
Energie cinétique d’un point matériel EC = 1/2 MV2 = Ec (M,V),
Volume d’un cylindre V (r, h) = r2h.
I-1.3 Fonctions à trois variables
Une fonction f à trois variables (x,y,z) est une application de la partie D de R 3 dans R tel
que (x,y,z) → f(x,y,z). (x, y,z) ∈ D  R3 → f(x, y,z) ∈ R
Exemples :
f (x, y, z) = x2y + 3xz + 5z
W(R,i,t) = Ri2t est l’énergie dissipée par effet joule dans une résistance R parcourue par un
courant i.
Remarque : Dans le cas où les variables ne sont pas indépendantes c’est-à-dire, il existe une
ou plusieurs relations entre elles, le nombre de variables de la fonction se réduit.
Exemple : f (x, y, z) = x2 + 3y + xz que devient cette fonction si y=3x et z=2x.
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En remplaçant les variables y et z, f(x, y, z) devient f(x)= x2 + 3.3x + x.2x = 3x2 + 9x.

Le graphe d’une fonction à une seule
variable prend la forme d’une courbe dans le plan
muni du repère orthonormé (oxy), alors que dans
le cas d’une fonction à deux variables le graphe
prend la forme d’une surface dans l’espace muni
du repère orthonormé (oxyz). En effet au couple
(xy) on associe z=f(x,y) et l’ensemble des points
M(x,y,z) est la surface représentative de f.

z
z’

M (x,y,z)
O
y

O’

y’

I-2. Dérivées partielles

I-2.1 : Dérivée de premier ordre d’une fonction à une variable
Soient x et x0 deux points appartenant au domaine D de R2. On dit que f est dérivable
au voisinage d’un point x0D si et seulement si:
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Exemples :
f(x) = x2, f ’(x) = 2 x ; pour x0 = 1 f ’(x0) = f ’(1) = 2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

I-2.2 : Dérivée de second ordre d’une fonction à une variable
Si f est dérivable et continue, elle admet aussi des dérivées secondes notées :

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………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Exemple 1 :

(1)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(2)

Exemple 2 :
Soit f(x) = x3 + a , a est une constante, la dérivée de f est f ’(x) = 3 x2 et la dérivée
seconde f ”(x) = 6 x.
Exemple 3:
f(x)= ln x2 + b où b = cte ;

f’(x)= 2/x ;

f ”(x)= -2/x2

I-2.3 : Dérivée d’ordre n d’une fonction à une variable
Si f est infiniment dérivable, alors on dit que f est de classe C ∞. Dans ce cas f admet
toutes les dérivées supérieures.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(3)

I-2.4 : Dérivées partielles d’une fonction à deux variables

Dans le cas où la fonction est à plusieurs variables (≥2), on définit la dérivée partielle
par rapport à une des variables. Les autres variables sont prises comme des constantes.
Soit f(x, y) une fonction à deux variables réelles.
-

La dérivée partielle de f par rapport à x en gardant y = cte est donnée par :

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

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(4)

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-

La dérivée partielle de f par rapport à y en gardant x = cte est donnée par :

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Exemple 4 :

(5)

f(x, y) = 2x3 + 3xy + y2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

I-2.5 : Dérivées partielles d’ordre supérieur
On définit les dérivées partielles d’ordre supérieurs par :
Par rapport à x

Par rapport à y

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(6)

(7)

Exemple précédent: f(x, y) = 2x3 + 3xy + y2

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

I-2.6 : Dérivées partielles mixtes
On appelle dérivées partielles croisées ou mixtes les expressions :
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(8)

Théorème de Schwarz
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Le résultat d’une dérivation ne dépend à l’ordre n ne dépend pas de l'ordre dans lequel se
fait la dérivation par rapport aux n variables considérées. Dans le cas de deux variables et
pour tout f  C∞ on a:

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(9)

Exemple: f(x, y) = 2x3 + 3xy + y2
Vérifier le théorème de Schwarz pour la fonction f ?
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Exemple: f (x,y,z) = yex2+ xz admet trois dérivées partielles premières et six dérivées
partielles secondes ;
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Le théorème de schwarz pour la fonction à n variables s’écrit :

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

I-2.7 : Dérivation composée
Soit g(x) une fonction à une variable composée tel que : g(x)=f(u(x)). La dérivée de g est
donnée par:

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(9)

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Dans le cas où la fonction composée g est à deux variables (x,y) et f à trois variables (u,v,w)
qui dépendent elle mêmes de (x,y), alors g(x,y) = f(u(x,y),v(x,y),w(x,y)); la dérivée par rapport à
x est donnée par:

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(10)

I-3 Différentielle totale première de f
I-3.1 : Différentielle d’une fonction à une variable f(x)
Soit f(x) une fonction à une variable:
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Pour tout x tel que dx

0 on a:

Si x varie de x à x + dx (avec dx

df  f (x  dx)  f (x) 
quand x varie de dx.

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

0) alors f varie de f à f + df

df
dx différentielle de f , c’est la variation élémentaire de f
dx

Exemple 1: soit f une fonction dérivable: f(x) = x2; Trouvez f ’(x) et df
f´(x) = 2 x, et df = 2xdx
I-3.2 : Différentielle d’une fonction à deux variables f(x, y)
Soit f(x,y) une fonction à deux variables (x, y) de classe C
Définition: on appelle différentielle d’une fonction f(x,y) dérivable dans une partie D de R 2 la
forme linéaire suivante:
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

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(11)
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df est la dérivée totale (exacte) de f par rapport à x et y.

Exemple 1: f(x, y) = xy+y2+cosxy

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Exemple 2: PV = nRT
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Exemple 3: PV = nRT
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

I-4 Forme différentielle f et différentielle totale exacte df de f
Une forme différentielle est dite exacte, si il existe une application f appartenant à C∞dont
la différentielle totale dans le cas de trois variables est :
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Avec

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

La dérivé de ces fonctions donne :
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

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……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

D’après le théorème de Schwarz on a:

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Donc pour qu’une différentielle soit totale exacte Il faut avoir :
(12)
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Exemple : Soit f = yz dx + xz dy + xy dz. Montrer que f est une différentielle exacte.
Calculons les dérivées des différents termes :
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Donc f est égale df (différentielle exacte) et on peut alors écrire:

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

D’où

(13)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

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Détermination de f:
Si une fonction f existe, alors :

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

En intégrant f par rapport à x on trouve :
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

g(y,z) est une constante par rapport à x. Reportons cette expression de f dans
c’est-à-dire
g(y,z)=h(z) . f s’écrit alors :

donc g ne dépend que de z

f ( x, y, z)  xyz  h( z)

En faisant la même chose pour z

c’est-à-dire

d’où h(z)=cte. Donc il existe plusieurs fonctions f qui vérifient :


f ( x, y, z)  xyz  cte

Vérification: La différentielle de f :
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Exemple 2 :

La différentielle

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

est telle exacte ?

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Donc f est une forme différentielle non exacte.
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I-5 Intégrale d’une Forme différentielle totale exacte
Si f est une forme différentielle totale exacte alors: f = df, et l’intégrale de df ne dépend
pas du chemin suivi entre A et B. f est une fonction d’état.

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Exemple de fonctions d’états: Energie Interne(U) on note U, Enthalpie(H) on note H,
Entropie (S) 0n note S…………
Intégrale d’une forme différentielle
Soit f une forme différentielle f, si l’intégrale

 f

dépend du chemin suivi entre A et B alors

I1  I 2  I 3 .
Exemple: La Chaleur (Q), notée Q et le travail (W) noté W, sont des différentielles non
exactes.

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

L’intégrale d’une forme différentielle (f ou df) le long d’un chemin fermé (cycle: Etat
initial = état final) est :

I   f  0 si f est une forme différentielle non exacte.

I   f  0

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si f est une forme différentielle totale exacte.
Dans le cas de la thermodynamique, les deux différentielles non exactes considérées le
plus souvent sont celles du travail W et de la chaleur Q. En effet, d’un point de vue
physique, ces grandeurs ne sont pas des différentielles exactes car on ne peut pas dire qu’un
système thermodynamique possède, dans un état donné, du travail ou de la chaleur. On peut
seulement parler de travail ou de la chaleur que le système a reçu (ou donné) au cours d’une
transformation. Leur valeur dépend donc strictement de la transformation faite, et ne peut en
aucun cas être déterminée seulement par les deux états de départ et d’arrivée. Travail et
chaleur sont donc toujours des variations : c’est aussi pourquoi, d’habitude, on n’utilise pas
les symboles W et Q pour décrire leur contribution à l’énergie d’un système, mais on écrit
directement W et Q. D’où l’importance de comprendre que le travail et la chaleur échangés
au cours d’une transformation vont dépendre toujours de la transformation choisie, même si
les point de départ et d’arrivée sont les mêmes.
Contrairement à W et Q, les fonctions énergie interne U et entropie S sont des fonctions
d’états. On pourra donc écrire la valeur de chacune de ces fonctions dans un état particulier.

I-6 Fonctions implicites et explicites
Une fonction explicite est une fonction pour laquelle on peut exprimer une de ses variables
en fonction des autres.
Exemple 1:
Exemple 2 :

f(x, y) = y2 – x = 0  y2 = x ;

f ( x, y , z )  x -

Rz -a Rzx
e
0
y-b

(a et b réelles)

f(x,y,z) est une fonction implicite car il est difficile d’expliciter x = f(y,z) ou y = f(x,z).
En thermodynamique, les variables sont liées par des relations appelées des fonctions
d’état. Ces dernières sont de formes f(x,y,z)=0. Si on donne des valeurs pour y et z, la valeur
de x est déterminée par f(x, y, z) = 0. Donc x est une fonction de y et z que l’on peut écrire
x=g(y, z). De même pour y (y = h(x, z)) et pour z (z =u(x,y)).
Exemple1: l’équation d’état d’un gaz parfait
PV - NRT = 0

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

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Dans d’autres cas, la relation f(x, y, z) = 0 est très compliquée et il est difficile
d’expliciter une variable en fonction des autres:
Exemple :

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

On peut expliciter facilement T en fonction de p et V mais pas p en fonction de V et T ni
V en fonction de p et T.
On dit que T = T(p, V) et p = p(V, T) est définie explicitement et que V=V(p,T) est définie
implicitement par l’équation f(x, y, z) = 0.
Soit f (x, y) = 0 une fonction implicite  on ne peut pas expliciter x=f(y) ni y = f(x) mais
on peut avoir des renseignements sur x = x(y) et sur y= y(x) en calculant les dérivées.

f  x, y   0  df  0 

f
f
dx  dy
x
y

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(14)

I-7 Variance et système divariant
Définition: La variance n d’un système est le nombre minimal de variables intensives que
l'on doit connaître pour déterminer les autres variables intensives du système.
Une variable est dite intensive lorsqu’elle ne dépend pas de la quantité de matière. Par
exemple en thermodynamique on cite la masse volumique, la pression, la température, la
densité d’énergie.
Si la variance est égale à deux, on dit que le système est divariant c’est à dire un
système à deux variables indépendantes.
Exemple 1 :

pV  nRT, p 

nRT
 p  V, T 
V

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Exemple 2: Soit f(x, y, z) = 0 l’équation d’état d’un système divariant, chaque variable est une
fonction des deux autres variables x = x (y, z) ou y = y (x, z) ou z = (x, y).
f(x, y, z) = 0
Supposons que z = cte

dz = 0 (fixation d’une variable en thermodynamique)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

De même x = cte

dx = 0

De même y = cte

dy = 0

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

On calcule le produit et on obtient l’identité de Reech :

Remarques :
-

On constate que l'on ne doit pas faire de « simplification » par dx, dy, df.

-

Le signe "moins" apparaît à chaque fois que l'on fait le produit d'un nombre impair de
dérivées.

On peut retrouver la même identité par une deuxième méthode:
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……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(2) dans (1)

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

L’identité de Reech s’écrit pour un gaz comme suit :

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

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Chapitre II. Définitions et Concepts de base de la
thermodynamique

La thermodynamique est la science qui étudie et décrit le comportement de la matière ou
des systèmes en fonction de la température de la pression et de l’énergie (travail, chaleur ……)

II-1 Etats de la matière
La matière est constituée d’atomes (noyau et électrons), un ensemble d’atomes forme une
molécule. La matière se présente selon trois états : solide, liquide et gazeux. Pour chacun de
ces états, la matière dépend de deux paramètres : la pression et la température.
- L’état solide : les atomes constituant le solide forment un réseau, ils sont
proches les uns des autres et pratiquement immobile. L’état solide est un état
condensé et ordonné de la matière.
- L’état liquide : Un liquide ne possède pas de forme propre : il prend la forme du
récipient qui le contient ; donc il est facilement déformable mais difficilement
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compressible (La compressibilité d'un fluide mesure la variation de volume d'une
certaine quantité de ce fluide lorsqu'il est soumis à une pression extérieure). L’état
liquide est un état condensé et désordonné.
- L’état gazeux : c’est l’état de la matière le moins dense. Il ne possède ni forme
propre, ni volume propre. Les molécules ou les atomes d’un gaz se déplacent
continuellement à grande vitesse dans toutes les directions. Il tend à occuper tout le
volume disponible. C’est un état non condensé et non ordonné.
Les liquides et les gaz sont des fluides.
En fonction des conditions de pression et de température, tout corps pur peut exister
sous chacun des trois états. Un changement de température ou de pression fait passer la
matière d’un état à un autre.
Exemple :
A la pression atmosphérique, l'eau est solide en dessous de 0°C, liquide entre 0°C et
100°C et vapeur au-dessus de 100°C.
A 0°C l'eau passe de l'état solide à l'état liquide et à 100°C l'eau passe de l'état liquide à
l'état gazeux.
II-1.1 Pression
La pression est une force uniforme qui
s'applique sur une surface S: P = F / S.
Soit un élément de surface ds centré sur un
point M de surface limitant un volume (V)
pris dans un fluide. Le reste du fluide
exerce une force df sur la surface ds .
df   Pext ds   Pext nds
n est le vecteur normale à la surface, il est toujours orienté de l’intérieur vers

l’extérieur ( n  1 ).
La pression extérieure est toujours connue. Si le système de volume (V) est en équilibre
avec le milieu extérieur alors on a :

Pext  Pint



df  Pext nds

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Page 22

- Unités de la pression

F  N ; S  m 2 ; P 

En Système International (SI):

N
 Pa  Pascal
m2

Pascal (SI)

bar

atmosphère

torr

Pa

bar

atm

Torr

1 Pa

≡ 1 N/m2

10−5

9,8692×10−6

7,5006×10−3

1 bar

105

≡ 106 dyn/cm2

0,98692

750,06

1 atm

1,01325 ×105

1,01325

≡ p0

≡ 760

1 Torr

133,3224

1,333224×10−3 1,315789×10−3

≈ 1 mm Hg

Tableau 1 : Unités de la pression
II-1.2 Température
La température est connue dans la vie courante plus que la pression, elle est reliée
aux sensations de froid et de chaud, provenant du transfert thermique entre le corps
humain et son environnement. Elle est mesurée à l’aide d’un thermomètre.
-

Unités de la température
L’unité de mesure de la température dans le système international (SI) est le
Kelvin (K). D’autres échelles de mesures sont utilisées dans la vie courante
essentiellement le degré Celsius (0C) et le Fahrenheit (0F).
Des relations permettent de passer d’une échelle à une autre.
Kelvin

degré celsius

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Kelvin

degré fahrenheit:

Page 23

L’unité 0C est reliée au degré fahrenheit par :
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Exemple :
Kelvin(K)

Celsius(C)

Fahrenheit (F)

0

−273,15

−459,67

Température de fusion de l'eau
(à la pression standard)

273,15

0

32

Température moyenne du corps humain

309,95

36,8

98,24

Température de vaporisation de l'eau
(à la pression standard)

373,125

99,975

212

Zéro absolu

Tableau 2 : Températures usuelles en différentes échelles

II-2 Système thermodynamique
Un Système thermodynamique est une portion d’espace limitée par une surface
fermée, appelée frontière. Elle peut être fixe ou mobile. Tout ce qui est en dehors de la
frontière constitue le milieu extérieur. On distingue plusieurs types de systèmes :
a. Système fermé
C’est un système qui échange seulement l’énergie ave le milieu extérieur et non la
matière. Il est dit ouvert s’il échange de la matière en plus de l’énergie.
b. Système isolé
- Isolé Mécaniquement : c’est un système rigide indéformable (V=cte), où le travail
du milieu extérieur W est nul.
- Isolé Thermiquement : c’est un système qui n’échange pas la chaleur (Q=0) avec le
milieu extérieur.
Un système est dit isolé, s’il n’échange ni la matière ni l’énergie avec l’extérieur (exemple :
Thermos). En réalité, seul l’univers peut être considéré comme système isolé.
c. Système en équilibre

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Page 24

Un système défini par ses variables macroscopiques (m, P, V, T, …..) est dit en équilibre si
ces variables sont constantes.
Dans ce cours nous allons nous intéresser seulement aux systèmes fermés.

II-3 Etat d’un système thermodynamique
L’état d’un système thermodynamique est décrit par des variables macroscopiques
observables, appelées variables d’états.
Les variables d’état se divisent en deux
catégories :
- Variables intensives : Elles peuvent se définir en tout point du système
(exemple : pression, température, …). Elles ne dépendent pas de la quantité de matière.
- Variables extensives : Elles sont définies pour le système entier et dépendent de
l’échelle du système (exemple : masse, volume, énergie …..). Elles sont proportionnelles à
la quantité de la matière du système.
Exemple (variables intensives):
Système

mil. extérieure

Système

Etat initial

mil. extérieure
Etat final

Toute grandeur extensive X caractérisant le système est susceptible d’évoluer. Sa
variation est donnée par X= Xfinal – Xinitial.
Un système est en équilibre thermodynamique si ses variables d’état extensives ou
intensives ne varient pas au cours du temps et qu’il n’y a aucun échange (d’énergie ou de
matière) avec l’extérieur. On distingue :
-Equilibre mécanique : La pression est uniforme et stationnaire.
- Equilibre thermique : La température est uniforme dans chaque partie du système
- Equilibre chimique : Dans le cas chimique, il existe un troisième équilibre appelé
équilibre chimique qui se traduit par une composition homogène des espèces (exemple :
gouttes d’encre dans de l’eau).

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Page 25

On dit que le système est en équilibre thermodynamique quand les trois équilibres,
équilibre thermique et mécanique et chimique, sont atteints.
Tout système thermodynamique tend vers un état
qui cesse d’évoluer
macroscopiquement. En générale, un système atteint L'équilibre mécanique plus rapidement
que l'équilibre thermique.

II-4 Principe zéro thermodynamique
Considérons un système fermé constitué de deux sous-systèmes ou un système fermé
séparé du milieu extérieur. Le cloison de séparation est appelé paroi.
-

Une paroi est dite adiabatique lorsqu'elle interdit l'échange de chaleur entre les
deux milieux (Q=0).

-

Une paroi est dite diathermane (diathermique) lorsqu'elle permet l'échange de
chaleur entre les deux milieux (Q0).

Enoncé du principe zéro : Deux systèmes thermodynamiques en équilibre avec un
troisième sont en équilibre entre eux.
Soient trois corps A, B et C isolés du milieu extérieur. Les corps A et B sont séparés du
corps C par une paroi diathermique (Q ≠ 0). La paroi entre A et B est adiabatique (Q = 0).

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Page 26

Une fois l'équilibre thermodynamique atteint, la température des trois corps est la
même.

II-5 Transformation d’un système
Une transformation thermodynamique est le passage du système d’un état d’équilibre
initial vers un état d’équilibre final.

II-5.1 Transformation réversible
Soit une transformation qui se fait par une succession d’états d’équilibre infiniment
voisins. Cette transformation est dite réversible si le système et le milieu extérieur ont la
possibilité de repasser par tous les états antérieurs en inversant le sens de la transformation.
Les transformations réversibles sont idéales, elles n’existent pas dans la nature, elles
constituent cependant des cas limites de transformations réelles.
Dans une transformation réversible, le système étant toujours en équilibre avec
l’extérieur et les variables d’état sont définies à tout instant de la transformation.

II-5.2 Transformation irréversible
Les transformations qui ne satisfont pas les conditions de la transformation réversible
sont dites irréversibles.
Toutes les transformations réelles sont irréversibles à causes des phénomènes de
frottement mécanique, de dissipation d’énergie etc….

II-5.3 Transformation quasi-statique
Une transformation quasi-statique est une transformation suffisamment lente pour
que le système passe par une suite continue d’états d’équilibres internes. Les paramètres
intensifs du système (P, T . . .) sont définis à chaque instant et sont quasiment les mêmes en
tout point du système pour une phase homogène. Dans une transformation quasi-statique le
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Page 27

système est, à chaque instant, en état d’équilibre interne. Toute transformation élémentaire
est nécessairement une transformation quasi-statique.

II-5.4 Transformations à variables fixées
- Transformation isotherme : elle est quasi-statique et se fait à température constante
- Transformation isobare : elle est quasi-statique et se fait à pression constante.
- Transformation isochore : elle est quasi-statique et se fait à volume constant.
- Transformation adiabatique : c’est une transformation ne faisant intervenir aucun transfert
thermique entre le système et l’extérieur. L’adiabaticité est obtenue si la transformation est
suffisamment rapide pour qu’il n’y ait pas le temps d’avoir un transfert thermique entre le
système et l’extérieur.

II- 6 Travail et chaleur
Les échanges énergétiques entre le système et le milieu extérieur au cours d’une
transformation dépendent fondamentalement de la transformation réalisée. Elles peuvent
avoir deux formes d’échanges différentes : le travail (W) et la chaleur (Q).
Par convention toute énergie reçue par le système est comptée positivement.

II-6.1 Notion de travail
Soit un cylindre rempli d’un gaz et muni d’un piston. Si on applique une pression
extérieure Pext sur le piston, il se déplace de dz.

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Page 28

Figure 1 : Action de la force de pression sur un piston
Le travail élémentaire W fournit par le système est donné par :
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

dV est la variation algébrique du volume.
-

Dans le cas d’une détente dV > 0 donc W < 0 ;

-

Dans le cas d’une compression dV < 0 donc W > 0 .

Le travail W échangé par le système lors d’une transformation d’un état 1 vers un état 2
est donné par :
V2

W12   W    Pext (T ,V )dV

(15)

V1

 Pour une transformation isochore (V=cte ; dV=0) d’où W = 0 ;
 Pour une transformation isobare (P=cte) d’où W=- Pext(Vf – Vi) = -PV ;
Dans le diagramme de Clapeyron (V,P), le travail reçu par un système au cours d’un cycle
est égal en valeur absolue à l’aire du cycle.
Exemple :

1 Thermodynamique SMAI / S1 / 2016-2017 FST
2
Cours de

Page 29

Figure 2 : Signe du travail
 Le gaz passe de l’état A à l’état B suivant le chemin AC1B réversible
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

car le volume augmente.

Il revient de l’état B à l’état A suivant le chemin C2 réversible.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

-

Le travail total reçu par le gaz au cours du cycle ABA dans le cas 1 est :

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

-

car le volume diminue.

car A2 est supérieure à A1.

De la même façon, le travail total reçu par le gaz au cours du cycle ABA dans le cas 2

est :

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

car A1 est supérieure à A2.

Conclusion :
- Le travail est positif si le cycle est décrit dans le sens trigonométrique (cycle
générateur), négatif si le cycle est décrit dans le sens des aiguilles d’une montre (cycle
moteur).
-



Le travail reçu par un gaz au cours d’un cycle fermé est W  0 donc

W n’est pas une différentielle totale exacte

(



B

A

W dépend du chemin suivi).

II-6.2 Notion de la chaleur
a- Capacités thermiques
Le transfert thermique est un transfert d’énergie entre le système et le milieu extérieur
à travers la frontière qui les séparent. Ce transfert mène à un équilibre où la température
du système et du milieu extérieur deviennent les mêmes
(T sys = Tmil.ext).
La chaleur et la température sont deux notions complètement différentes. Pour bien
comprendre la notion de la chaleur et sa relation avec la température on a fait les quatre
expériences suivantes :

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Page 30

Soit un entonnoir rempli de glace fondante (0°C) pilée. On réalise quatre expériences
différentes. On introduit dans l’entonnoir un corps solide à différentes températures initiales
T1 (100°C et 50°C selon l'expérience menée) qui se refroidit à la température T2= 0°C
(température de la glace). Dans la troisième expérience on change la masse du corps introduit
tout en gardant sa température initiale à 100 0C. La quatrième expérience consiste à changer
la nature du corps en gardant la même masse et la même température de l’expérience 1.

1 kg de
cuivre à

2 kg de
cuivre à

1 kg de
cuivre à

0

0

0

T1 = 100 C

T1 = 100 C

T1 = 50 C

1

120 g d’eau

1 kg de
soufre à

2

60 g d’eau

0

T1 = 100 C

3

240 g d’eau

4

220 g d’eau

La première chose qu’on peut remarquer est que la quantité d’eau récupérer est
proportionnelle à la chaleur cédée par le corps chaud. Elle dépend de la température, de la
masse ainsi que de la nature du corps chaud. Chaque corps est caractérisé par une constante
(appelée capacité thermique) qui lui est propre qui peut varier avec la température.
A partir de ces expériences, on peut déduire l’expression de la quantité de chaleur
échangée, lorsque la température d’un corps passe de la valeur initiale T i à la valeur finale Tf
par : Q  mc Tf − Ti 

- m est la masse du corps
- c est la capacité thermique massique (ou chaleur massique). Elle est définie par la quantité
de chaleur nécessaire pour élever d'un kelvin la température de l'unité de masse d'une
substance (unité en SI : J.Kg-1.K-1). Le produit mc est appelé capacité thermique du corps
considéré (unité : J.K-1) .
c varie faiblement avec la température, et pour des variations faibles de la température
(∆T

0) la capacité massique ‘c’est presque constante c(T) = cte. On définit aussi :

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Page 31

La capacité thermique molaire par: cm = mc/n = Mc. Elle est exprimée en J.K-1.mole-1.
M est la masse molaire du corps, avec m = nM. La chaleur est alors : Q = ncm (Tf – Ti).

Tableau 3 : Capacités thermiques de quelques métaux

Pour élever la température d’un corps (solide ou fluide) de T a T + dT, il faut lui fournir une
quantité de chaleur:

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Si c(T) ne dépend pas de T, alors:

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(16)

‘C’ est la capacité thermique = mc.
On montre que

 Q  0 ce qui implique que la chaleur n’est pas une fonction d’état.

b- Chaleur sensible
La chaleur sensible est la quantité de chaleur échangée, entre plusieurs corps formant
un système isolé, avec changement de température et sans transition de phase physique.
c- Chaleur latente
La chaleur latente est la chaleur qu'il faut communiquer à un système pour qu’il
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Page 32

change d’état sans changement de température. Elle est notée L (J /kg). Elle dépend de la
pression et de la température du changement d’état.
Les changements d'états s'accompagnent de transfert d'énergie entre deux corps.
Ainsi pour passer d'un état ordonné vers un état désordonné (fusion, vaporisation,
sublimation), il faut fournir de l'énergie au système.
Alors que pour passer d'un état désordonné à un état ordonné (liquéfaction,
solidification, condensation) il faut restituer de l'énergie à l'extérieur.

Figure 3 : Changements d’état d’un système

La quantité de chaleur échangée lors d’un changement d’état est toujours
proportionnelle à la masse ayant subi la transformation de phase, ainsi on a : Q = Lm, où L est
la chaleur latente du corps pour un changement d’état donné et m la masse du corps ayant
changé d’état de phase.
- La chaleur latente de fusion (glace vers liquide) de l’eau à 0 0C et sous une pression
d’une atmosphère est Lf= 333.126 kJ.kg− 1. Donc pour qu’il y ait fusion de la glace, il faut
qu’elle reçoive de la chaleur d’où le signe positif.
- La chaleur latente de la solidification (liquide vers glace) a la même valeur numérique
mais avec un signe négatif.
- La chaleur latente de vaporisation à 1000C sous 1 atm est Lv = 2255.715 kJ.kg−1.
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Page 33

*La chaleur et la capacité calorifique sont définies aussi en ‘’ calories : cal’’ avec 1cal  4.1855 J
Exemple:
On possède une masse M= 1kg de glace dans une enceinte calorifugée fermée par un
couvercle coulissant. Cette glace est à -10°C. Calculer la chaleur totale Qtot à fournir pour
changer cette glace en de l'eau à 20°C.
On donne :
- La chaleur latente (massique) de fusion (passage glace au liquide) est Lfusion=333
-1
kJ.kg .
- la capacité calorifique massique de l'eau (sous pression constante) C Cpglace = Cpeau
= 4,18 kJ.kg-1.K-1. Pour simplifier, ces valeurs sont supposées constantes tout au long de ces
transformations.
Réponse :
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

en jeu est égale à la chaleur
d- Expressions de la chaleur
Considérons un échantillon de fluide dont les propriétés macroscopiques sont bien
définies par les variables d’état P,V,T liées par une équation d’état (P,V,T) = 0 (pour un gaz
parfait, f (P,V,T) = PV = n R T). Ainsi, seules deux des trois variables P,V,T sont indépendantes.
Au cours d’une transformation infinitésimale réversible, la quantité de
échangée entre le système et le milieu extérieur est donnée par :
Variables (T,V):

Variables (T,P):

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

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chaleur

(18)

(19)

Page 34

Qrev = CP (T) dT + h dP
Variables (P,V):

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(20)

 CV: est la capacité thermique à volume constant : c’est la quantité de chaleur par unité
de température échangée lors d’une transformation isochore (V= Cte).
 CP: est la capacité thermique à pression constante, elle correspond à la chaleur
échangée par unité de température dans une transformation isobare (P=Cte).
 , , l, et h sont les coefficients calorimétriques.
-

Déterminations des coefficients calorimétriques

f(P,V,T) = 0

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

En utilisant l’équation (19) on trouve

On déduit :

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

En utilisant l’équation (20) on trouve
d

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

P +  dV
On déduit :

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(17)

D’où
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

II-7 Coefficients thermoélastiques
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Page 35

Pour chaque gaz on peut définir les coefficients thermoélastiques comme suit:
-

Coefficient de dilatation isobare P
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

-

Coefficient de compressibilité isochore V
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

-

(18)

(19)

Coefficient de compressibilité isotherme T

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(20)

Les coefficients thermoélastiques sont reliés par : P = V P T (voir TD).

 Application pour un gaz parfait
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

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Page 36

Dans le cas d’une adiabatique réversible :

D’où

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

en divisant par p.V.cV, l’équation devient :

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

L’intégration de l’équation donne

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

Sur le diagramme de Clapeyron (V,P), PV=cte est une hyperbole équilatère.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Dans le diagramme (T,V) ;

Dans le diagramme (T,P) ;

ou encore

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

 Travail au cours d’une transformation isotherme (T=cte)
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Page 37

Soit une transformation réversible Pext = P

W  -Pext dV  -PdV  -nRT

Or P1V1  P2V2

dV
V

car T= cte donc :

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

( 27 )

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Les coefficients thermoélastiques: p , V, T et s sont mesurables, et à partir de ces
coefficients on peut déterminer l’équation d’état.
Exemple: Trouver l’équation d’état du système si

 T  

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

1
1
et T 
T
P

Conclusion :
- Le gaz parfait est une représentation idéal d’un fluide à l’état gazeux. Les molécules
sont supposées éloignées les unes des autres que l’on peut négliger les interactions
électrostatiques. Son équation d’état s’écrit : PV = nRT.
-

Pour un gaz parfait, Cp et CV sont indépendante de la température.

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Page 38

-

L’indice adiabatique (constante d’adiabacité)  > 1 et ne dépend pas de la
température.

Chapitre III. Premier principe de la thermodynamique

L’énergie totale ET d’un système thermodynamique fermé de masse m est une grandeur
d’état extensive qui dépend de la position, du mouvement et de la nature du système. Elle est
donnée par :
ET = + Ece + Epe + Eci + Epi
(28)
Avec :
-

Ece 

1
mv 2 : Energie cinétique macroscopique, elle correspond à l’énergie due aux
2

déplacements macroscopiques d’ensemble de la masse m du système à la vitesse v.
E pe : Energie potentielle macroscopique, elles existe lorsque le système est soumis à
l’action des forces extérieures macroscopiques (pesanteur, forces électrique, magnétique ou
électrostatique . . . ).
Généralement, le système est soumis aux seules forces de gravitation et donc : Epe = mgh
où h est l’altitude du corps de masse m, comptée à partir du sol sur la verticale ascendante.
Si on limite les forces extérieures au seul champ de gravité, on écrit :
ET  U 

-

1
mv 2  mgh
2

U est une grandeur extensive appelée énergie interne du système (J). Elle est égale à la

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Page 39

somme de toutes les énergies microscopiques au sein du système ( U  Eci  E pi ). Elle est liée
à l’agitation moléculaire ou atomique interne. L’énergie interne d’un corps immobile qui
reçoit une quantité de chaleur (Q > 0) augmente.
Pour un système isolé (pas d’échange de matière ni d’énergie) : ET = 0, alors que pour un
système fermé (pas d’échange de matière mais avec un échange d’énergie): ET  0.

III-1 Enoncé du premier principe
La variation de l’énergie totale d’un système fermé notée ET est égale aux transferts
(gains ou pertes) d’énergie de l’extérieur, notés Eext. Le bilan d’énergie s’écrit alors :
ET = Eext avec Eext = W + Q.
(qui ne se manifestent pas sous forme de chaleur, ce qui
exclut la dissipation) et Q représente les énergies thermiques échangées.
Le transfert d’énergie entre un système fermé et le milieu extérieur est donné par:


Eext = ET = ΔU + ΔEp + ΔEc = W + Q



ET est la somme des différentes variations d'énergie du système.



ΔU est la variation de l'énergie interne du système; c'est-à-dire son énergie propre
correspondant aux énergies cinétiques et potentielles microscopiques, des particules
qui le constituent.



ΔEc est la variation de l'énergie cinétique à l'échelle macroscopique (mouvement du
système dans un référentiel donné).



ΔEp est la variation de l'énergie potentielle à l'échelle macroscopique, du système en
interaction avec des champs gravitationnels ou électro-magnétiques.



W est la partie de l'énergie qui correspond au travail échangé avec le milieu extérieur.
Le travail n'est pas une fonction d'état mais un mode de transfert ordonné d'énergie
entre le milieu extérieur et le système.



Q est la quantité d'énergie transférée sous la forme de chaleur entre le système et le
milieu extérieur.

Le premier principe de la thermodynamique établit l’équivalence entre toutes les formes
d’énergie échangées avec un système donné.
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Page 40

Enoncé du premier principe : A tout système est associée une fonction d’état U appelée
énergie interne. Au cours d’une transformation quelconque (système en équilibre ou non,
transformation réversible ou irréversible), la variation de U est égale à l’énergie reçue par le
système. ΔU = W + Q.
Car dans le cas des transformations thermodynamiques où les systèmes sont au repos à
l’échelle macroscopique, les énergies cinétique EC et potentielle EP restent constantes et seule
l'énergie interne U du système varie. Le premier principe s'écrit alors :

Ce qui se traduit par :

………………………………………

E  U  W  Q

………………………………………………………………………………………………………………………

(29)

Ce principe, appelé aussi principe de conservation de l'énergie, postule que l’énergie ne
peut ni se créer ni se perdre, elle ne fait que se transformer d’une forme à une autre.
Pour une transformation infinitésimale on a :

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

On écrit δ W et δ Q car ce ne sont pas de différentielle totale exacte.
Du fait que U est une fonction d’état, il résulte immédiatement que dU est une
différentielle totale exacte.
- Si le système est isolé c’est-à-dire ; il n’échange ni matière ni énergie avec le milieu
extérieur, ΔU=0 : l'énergie interne reste constante.
- Si la transformation est cyclique, le système revient à son état initial et comme
l'énergie interne est une fonction d'état, ΔU=W+Q=0 : l'énergie interne reste constante et
W=−Q . On peut transformer W en Q et réciproquement.
-

Si le volume V est constant (transformation isochore) et si le travail mis en jeu n'est dû

qu'aux forces de pression, alors le travail est nul. D'où : ΔU=QV
-

Pour une transformation adiabatique pour laquelle Q  0 , alors dW = dU et δ W est

une différentielle totale.
- De même pour un système n’échangeant pas de travail dQ = dU est une différentielle
totale. dU=dQ=cVdT.

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Page 41

En conclusion, l’énergie interne est une fonction d’état, sa variation au cours d’une
transformation quelconque est donc indépendante de la nature de la transformation et ne
dépend que de l'état initial et de l’état final du système.

Considérons trois transformations (1), (2) et (3) qui font passer le système de I à F et une
quatrième (r) qui permet de revenir de F à I.
L’ensemble des transformations (I1FrI)
constitue un cycle, donc U1r=0 :
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

De même L’ensemble des transformations
( I2FrI) constitue un cycle, donc U2r=0 :
De même L’ensemble des transformations (I3FrI) consti
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

De même L’ensemble des transformations (I3FrI) constitue un cycle, donc U31r=0:
W3

Donc
Q2 = …….. = W + Q = Cte

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(30) W1 + Q1 = W2 +

(30)

Cela montre que lors de la transformation ouverte I
F la somme W + Q de tous les
transferts énergétiques est indépendante de la façon dont le système a passé de I à F .

III-2 Enthalpie
On définit la fonction enthalpie H par la relation : H = U + pV. Puisque U, p et V sont
des fonctions d’état H est aussi une fonction d’état et une grandeur extensive. Elle est
exprimée en Joule.
Comme dans le cas de l’énergie interne U, l’enthalpie est une fonction d’état et sa
variation au cours d’une transformation quelconque est indépendante de la nature de la
transformation et ne dépend que de l'état initial et de l’état final du système.
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D’après le premier principe, pour une transformation
dU = Q+ W. En différentiant l’expression de l’enthalpie on trouve :

infinitésimale:

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

puisque W = - pdV. Donc pour une transformation isobare (P = cte):
dH = Q = Cp dT d’où

H = Qp.

(31)

L’enthalpie correspond aux échanges de chaleur qui ont lieu au sein du système lors
d’une transformation isobare.
Remarque:
- Pour les transformations isochores (V = cte), on utilise l’énergie interne U = f(V, T), et
la quantité de chaleur reçue par le système est égale à la variation de l’énergie interne.

-

Pour les transformations isobares (P = cte), on utilise l’enthalpie H = f(P, T), et la
quantité de chaleur reçue par le système est égale à la variation d’enthalpie .

III-3 Applications du premier principe
III-3.1 Transformation élémentaire

Soit un système qui évolue de l’état initial vers l’état final au cours du temps.
Le travail W et la chaleur Q ne sont
pas des fonctions d’états, ils
dépendent des états : initial,
intermédiaire et
final. Par
conséquent W et Q dépendent de
la nature de la transformation.
Soit Un système qui passe d’un
état initial I vers un état final F une
fois par une transformation
réversible (1) et une deuxième fois
par
une
transformation
irréversible (2).

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Puisque le travail et la chaleur dépend de la nature de la transformation on a alors :
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Par contre leur somme (énergie interne) W + Q = U = U(F) – U(I) ne dépend pas des
états intermédiaires c'est-à-dire ne dépend pas de la nature de la transformation mais
seulement de l’état initial et de l’état final.
Donc
Urev  Uirr
En conclusion, pour calculer dU d’une transformation quelconque d’un même état
initial vers un même état final, il suffit d’imaginer une transformation réversible entre les
deux états. Pour une transformation élémentaire on écrit :
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

A l’équilibre mécanique et à chaque instant P = Pe où P est la pression du fluide soumis aux
seules forces pressantes d’où :
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

a) Transformation isochore
Le système est contenu dans une enceinte indéformable (V = cte) (on dit que le système
est indilatable ou incompressible). Le volume est donc constant pendant toute la
transformation de l’état initial à l’état final. VI = VF = cte
dV = 0
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Au cours d’une transformation isochore, le transfert thermique Q V algébriquement
reçu par le système est mesuré par la variation de son énergie interne.
Exemple : Dans le cas d’un système gazeux divariant idéal (P, V, T); Couple (T, V):

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

b) Transformation monobare
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Une transformation monobare est l'évolution d'un système d’un état initial à un état final.
Cette évolution s'effectue à une pression extérieure constante Pe. La pression dans l'état final
P2 est égale à la pression dans l'état initial P1 et à la pression du milieu extérieur Pe , alors que
La pression du système peut varier au cours de la transformation.
(P1 = Pe = cte et P2=Pe = cte)
Etats intermédiaires
Pcte

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(33)

Si la transformation monobare est réversible c’est donc une isobare et P=cte pour
toute transformation de l’état initial à l’état final (car les états intermédiaires sont des états
d’équilibre et P = Pe = cte).
Donc au cours d’une transformation monobare ou isobare, on mesure la chaleur reçue
par le système par la variation de l’enthalpie du système. QP  H  H2  H1
Capacités thermiques d’un système monophasé
L’équation d’état f (p, V, T) = 0, d’un système divariant gazeux idéal monophasé
soumis aux seules forces de pression, conduit aux couples indépendants (T,V), (T,p), (V,p)
pour suivre la transformation du système.
Choix du couple (T, V):

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Ce sont des variables adaptées à l’énergie interne du système U = U (T, V) pour une
transformation élémentaire réversible, (Pe = P) on écrit :
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

U est une fonction d’état donc
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

c) Transformation isochore (V = cte)
On mesure la chaleur par la variation de l’énergie interne
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Dans le cas d’un gaz parfait :

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

L’énergie interne U ne dépend que de T: dU = CV dT quel que soit la nature de la
transformation réversible ou non d’où la 1ère loi de Joule:
L’énergie interne d’un gaz parfait ne dépend que de T: U = U(T).
Choix du couple (T, P):
Ce sont des variables adaptées à l’enthalpie H du système H = H (T, p) pour une
transformation élémentaire réversible, (pe = p) on écrit :
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

H est une fonction d’état donc :

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

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b) Transformation isobare (P = cte)
On mesure la chaleur par l’enthalpie du système:
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Dans le cas d’un gaz parfait :

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

H ne dépend que de T: dH = Cp dT quelque soit la transformation réversible ou non
d’où la 2ème loi de Joule: Dans le cas d’un gaz parfait, H ne dépend que de T. H = H(T)
Applications aux gaz parfaits idéals :Cp = cte, CV = cte
Définition : Un gaz parfait est un gaz qui suit les deux lois de Joule : dU = CV dT et
dH = CP dT.
Supposons que le système subit une transformation de l’état initial A à l’état final B.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

quelque soit la transformation
réversible ou Irréversible

Théorème :
Dans le cas d’un gaz parfait idéal:

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Relation de Mayer
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Deuxième loi de Joule:
(1) = (2)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

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………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(34)

Pour un gaz parfait, la relation de Mayer est toujours vérifiée.

III-2 Détentes
III-2.1 Détente de Joule- Guy Lussac

Soient deux récipients C1 et C2 dont les
parois
sont
adiabatiques
et
indéformables. La communication
entre les deux récipients se fait à l’aide
d’un robinet R.
Figure 4 : Détente de Joule-Lussac état initial
État initial : Le robinet R est fermé. Le récipient C1 de volume V1 contient un gaz sous
une pression P1 et une température T1 alors que le récipient C2 est vide.
On ouvre le robinet R, le gaz se répand dans le récipient C2 de façon spontanée,
adiabatique et irréversible.
Etat final : Le gaz atteint un nouveau état
d’équilibre avec les variables suivantes (PF,
TF et VF=V1+V2).
-

- Le gaz est passé de façon spontané vers
C2, donc aucun travail n’est échangé avec
le milieu extérieur
(Pext = 0) W = 0.
-

Figure 5 : Détente de Joule-Lussac état final

La détente est adiabatique donc Q = 0.
Donc U = W + Q = 0 et la détente de joule est isoénergétique U1 = U2.

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dU = CvdT +(l-p)dV = 0, pour un gaz parfait l=p, ce qui conduit à dT =0 et T=0.
Par conséquent pour une détente de Joule la température ne varie pas, alors qu’elle
varie dans le cas d’un gaz réel.
On appelle détente de Joule, Gay-Lussac une détente adiabatique, irréversible et
isoénergétique dans le vide. Une telle transformation se fait, en effet, à énergie interne
constante. Dans le cas où le gaz est un gaz parfait, la détente se fait à température constante.

III-2.1 Détente de Joule- Thomson

La détente de Joule-Thomson est une détente lente réalisée en faisant passer un flux
de gaz au travers d'une paroi poreuse (muni de trous très étroits). La pression régnant à
gauche et à droite de la paroi étant différente.

Figure 6 : Détente de Joule-Thomson

Un gaz à pression constante P1 occupe un volume V1 dans un compartiment C1 à
parois adiabatiques. On pousse le piston (P1>P2) de telle façon à ce que le gaz passe à travers
la paroi poreuse et repousse le piston (2) . Le piston (1) atteint la paroi poreuse. Cette détente
irréversible du gaz se fait sans échange de chaleur mais avec un échange de travail.
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Le travail des forces de pression en amont et en aval du gaz est :
W = W 1 + W2

W1 est le travail de poussée ; W2 est le travail de détente.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

dH = CPdT +(h+V)dV = 0, pour un gaz parfait h=-V, donc dT =0 et T=0. Par conséquent
Lorsqu'un gaz subit une détente de Joule et Thomson sans variation de température on dit
qu'il suit la deuxième loi de Joule. C'est le cas des gaz parfaits. Pour les gaz réels en revanche,
la détente de Joule-Thomson est généralement accompagnée d'une variation de température.

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