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Université Abdelhamid Ben Badis-Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et de l’Informatique
Département de Mathématiques
1ere Année Master MCO
Matière : Outils d’Analyse Fonctionnelle I
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices N 2
(31 Octobre 2016)

Opérateurs Linéaires Bornés
Exercise 1 Soit T un opérateur linéaire d’un espace normé X dans un espace
normé Y .
Montrer que Im T est un sous espace de Y .
Montrer que le noyau (ou espace nul) ker T est un sous espace de X.
Si T est borné, est-il vrais que Im T et/ou ker T est fermé?
Exercise 2 Dans l’espace de Banach lp ; 1
(xn ) convergente vers un élément x, où

p

1; nous considérons la suite

xn = (xn1 ; xn2 ; : : :) et xn = (x1 ; x2 ; : : :) :
Montrer que si xn ! x dans lp ; alors xnk ! xk pour tout k 2 N:
Si xnk ! xk pour tout k 2 N, est-il vrais que xn ! x dans lp ?
Exercise 3 Soit T une application linéaire de Rm dans Rn , les deux munis
d’une 2-norme. Soit (aij ) la matrice n m corréspondante à T.
Montrer que T est un opérateur linéaire avec
XX
2
kT k
a2ij :
i

j

Exercise 4 Soit T un opérateur linéaire d’un espace normé X dans un espace
normé Y et supposons X de dimension …nie.
Montrer que T doit être borné.
Exercise 5 Soit T un opérateur linéaire d’un espace vectoriel de dimension
…nie dans lui même.
Montrer que T est injectif si, et seulement si, T est surjectif.
Exercise 6 Soit T une application linéaire de C 1 (R) dans lui même dé…nie
par T f = f 0 :
Montrer que T est surjectif.
T est-il injectif ?

1


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