fic00017.pdf


Aperçu du fichier PDF fic00017.pdf - page 10/12

Page 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12



Aperçu texte


Le terme qui domine est eα1 x (car α1 > α2 > · · · ). Factorisons par eα1 x :


eα1 x λ1 + λ2 e(α2 −α1 )x + · · · + λn e(αn −α1 )x = 0.
Mais eα1 x 6= 0 donc :
λ1 + λ2 e(α2 −α1 )x + · · · + λn e(αn −α1 )x = 0.
Lorsque x → +∞ alors e(αi −α1 )x → 0 (pour tout i > 2, car αi − α1 < 0). Donc pour i > 2, λi e(αi −α1 )x → 0 et en
passant à la limite dans l’égalité ci-dessus on trouve :
λ1 = 0.
Le premier coefficients est donc nul. On repart de la combinaison linéaire qui est maintenant λ2 f2 +· · ·+λn fn =
0 et en appliquant le raisonnement ci-dessus on prouve par récurrence λ1 = λ2 = · · · = λn = 0. Donc la famille
( fα )α∈R est une famille libre.
Correction de l’exercice 10 N
1. Si les deux droites vectorielles sont distinctes alors elles engendrent un plan vectoriel et donc pas R3
tout entier. Si elles sont confondues c’est pire : elles n’engendrent qu’une droite. Dans tout les cas elles
n’engendrent pas R3 et ne sont donc pas supplémentaires.
2. Si P et P0 sont deux plans vectoriels alors P ∩ P0 est une droite vectorielle si P 6= P0 ou le plan P tout
entier si P = P0 . Attention, tous les plans vectoriels ont une équation du type ax + by + cz = 0 et doivent
passer par l’origine, il n’existe donc pas deux plans parallèles par exemple. Donc l’intersection P ∩ P0
n’est jamais réduite au vecteur nul. Ainsi P et P0 ne sont pas supplémentaires.
3. Soit D une droite et P un plan, u un vecteur directeur de D. Si le vecteur u appartient au plan P alors
D ⊂ P et les espaces ne sont pas supplémentaires (ils n’engendrent pas tout R3 ). Si u ∈
/ P alors d’une
3
part D ∩ P est juste le vecteur nul d’autre part D et P engendrent tout R ; D et P sont supplémentaires.
Détaillons un exemple : si P est le plan d’équation z = 0 alors il est engendré par les deux vecteurs
v = (1, 0, 0) et w = (0, 1, 0). Soit D une droite de vecteur directeur u = (a, b, c).
Alors u ∈
/ P ⇐⇒ u ∈
/ Vect{v, w} ⇐⇒ c 6= 0. Dans ce cas on bien que d’une part que D = Vect{u}
intersecté avec P est réduit au vecteur nul. Ainsi D∩P = {(0, 0, 0)}. Et d’autre part tout vecteur (x, y, z) ∈
R3 appartient à D+P = Vect{u, v, w}. Il suffit de remarquer que (x, y, z)− cz (a, b, c) = (x− zac , y− zbc , 0) =
(x − zac )(1, 0, 0) + (y − zbc )(0, 1, 0). Et ainsi (a, b, c) = cz u + (x − zac )v + (y − zbc )w. Donc D + P = R3 .
Bilan on a bien D ⊕ P = R3 : D et P sont en somme directe.
Correction de l’exercice 11 N
1. Non. Tout d’abord par définition Vect{v1 , v2 } + Vect{v3 } = Vect{v1 , v2 , v3 }, Nous allons trouver un
vecteur de R4 qui n’est pas dans Vect{v1 , v2 } + Vect{v3 }. Il faut tâtonner un peu pour le choix, par
exemple faisons le calcul avec u = (0, 0, 0, 1).
u ∈ Vect{v1 , v2 , v3 } si et seulement si il existe des réels α, β , γ tels que u = αv1 + β v2 + γv3 . Si l’on
écrit les vecteurs verticalement, on cherche donc α, β , γ tels que :
 
 
 
 
0
1
0
0
0
0
0
1
  = α  +β  +γ  
0
1
0
0
1
0
0
1
Ce qui est équivalent à trouver α, β , γ vérifiant le système linéaire :




0
=
α
·
1
+
β
·
0
+
γ
·
0
0=α






0 = α · 0 + β · 0 + γ · 1
0 = γ
qui équivaut à


0 = α ·0+β ·1+γ ·0
0=β






1 = α · 1 + β · 0 + γ · 0
1 = α
10