206 Compacts .pdf


Nom original: 206 Compacts.pdfAuteur: Emeline Poinsignon

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Leçon 206 : Parties compactes de ℝ𝑛 , fonctions continues sur une telle partie. Exemples et applications.
Prérequis : ℝ𝑛 est un evn, continuité uniforme,
I. Parties compactes de ℝ𝒏
1. Définition
Dans cette partie, on munit ℝ𝑛 de la norme ∥ . ∥∞
Th : Les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
- Borel-Lebesgue : De tout recouvrement de 𝐴 par des
ouverts relatifs (On dit qu'une partie 𝑈 de 𝐴 est un
ouvert relatif de 𝐴 s'il existe un ouvert V de 𝐸 tel que
𝑈 = 𝐴 ∩ 𝑉.) on peut extraire un sous-recouvrement
fini.
- Bolzano-Weierstrass : De toute suite de A on peut en
extraire une suite convergente dans A, càd toute suite
possède au moins une valeur d’adhérence.
Déf : On dit que A est une partie compacte si A vérifie
une des propriétés précédentes.
Ex : -

Tout segment [𝑎; 𝑏] de ℝ est un compact.
]0; 1[ n’est pas compact car du recouvrement
∞ 1
⋃+
𝑛=2] 𝑛 ; 1[ on ne peut pas extraire de
recouvrement fini.

2. Propriétés
Prop : Si 𝐴 est compacte, alors 𝐴 est fermée bornée.
En dimension finie, on a l’équivalence.
Ex : - Les boules fermées de ℝ𝑛 sont compactes.
- 𝒪𝑛 (ℝ) est une partie compacte de ℳ𝑛 (ℝ)
(fermé car image réciproque de 𝐼𝑛 par
𝜑 ∶ ℳ𝑛 (ℝ) → ℳ𝑛 (ℝ), 𝐴 ↦ 𝑡 𝐴. 𝐴 et borné car
∀1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛, |𝑎𝑖,𝑗 | ≤ 1).
Prop : Un produit de compacts est compact.
Ex : à trouver
Prop : Une union finie de compacts est un compact.
Une intersection (inifinie) de compacts est compact.

Rem : Ces propriétés sont vraies en dimension
quelconque.
1

1

+∞ [
Ex : - ⋃𝑛=2
; 1 − 𝑛] =]0; 1[
𝑛
à trouver

Th de Weierstrass : Toute application continue sur
[0; 1] est limite uniforme d’une suite de fonctions
polynômiales.
Th de d’Alembert-Gauss : Tout polynôme non
constant de ℂ[𝑋] admet au moins une racine dans ℂ.

Appli : Th : Toute suite admettant une unqiue valeur
d’adhérence converge vers celle-ci.
II. Compacité et fonctions continues
1. Fonctions continues
Th : L’image d’un compact par une application
continue est un compact.
Th des bornes : Toute fonction continue d’un
compact non vide dans ℝ atteint ses bornes.
Cor : Si 𝑓: [𝑎; 𝑏] → ℝ est continue alors ∃(𝑐, 𝑑) ∈ ℝ2
tels que 𝑓([𝑎; 𝑏]) = [𝑐; 𝑑] et si 𝑓 est injective, alors 𝑓
réalise un homémorphisme de [𝑎; 𝑏] dans [𝑐; 𝑑] .
Important ?
Ex : à trouver
2. Applications du th des bornes
Th : Dans ℝ𝑛 toutes les normes sont équivalentes.
Exo : on peut montrer que ∥ . ∥∞ ≤∥ . ∥2 ≤∥ . ∥1 ≤ 2 ∥ . ∥∞
Remarque : les définitions données précédemment
sont donc indépendantes de la norme choisie !
Th de Rolle : Soit 𝑓 : [a ;b] → ℝ, continue et dérivable
sur ]𝑎; 𝑏[ avec 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) . Alors ∃ 𝑐 ∈ ]𝑎; 𝑏[ tq
𝑓 ′ (𝑐) = 0.
Th de Heine : Toute fonction continue sur un compact
est uniformément continue.

Trouver des exemples/applications un peu plus
développées pour illsutrer tous les th de la dernière
partie.


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