cours isométries .pdf


Nom original: cours isométries .pdfTitre: Microsoft Word - cours isométrie 4M.docxAuteur: FIBS

Ce document au format PDF 1.5 a été généré par Microsoft Word - cours isométrie 4M.docx / doPDF Ver 7.1 Build 343 (Windows XP Professional Edition (SP 3) - Version: 5.1.2600 (x86)), et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 13/11/2016 à 13:38, depuis l'adresse IP 41.225.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 1053 fois.
Taille du document: 244 Ko (4 pages).
Confidentialité: fichier public


Aperçu du document


Isométries du plan

Hadj Salem Habib

Lycée pilote Médenine

Propriétés d’une isométrie
• Une isométrie du plan est une application de P qui conserve la distance.
• Toute isométrie est bijective.
• Toute isométrique conserve l’alignement, le parallélisme, l’orthogonalité et le contact.
• Toute isométrie qui fixe 2 points distincts A et B fixera tout points M de la droite (AB).
• Toute isométrie conserve le barycentre de 2points par conséquent le milieu de 2pts.
• L’image d’un carré par une isométrie est un carré.
• L’image d’un repère orthonormé par une isométrie est un repère orthonormé.
• Toute isométrie est bien définie par 3 points non alignés et leurs images.
• Par conséquent : Deux isométries qui coïncident sur 3 points non alignes soit égales
Inv (f) = M  P tq f(M) = M
 P( plan )  f  idp

 ( dte)  f  S

f isométrie du plan P alors Inv ( f )  
 I  f  R ( I ,  );  2k ( k   )

 
   f  t u ;u  o ou
bien
 f sy m étrie glissa nt e .

• Déplacement est une isométrie qui conserve les meures des angles orientes.
• Antidéplacement est une isométrie qui transforme les mesures des angles orientes en leurs opposées.

• f déplacement  f  tu ou f  R ( I , ) .

• f antidéplacement  f  S ou f symétrie glissante d’axe D et de vecteur u .

 
(C.a.d f  SD otu  t u oSD avec u vecteur directeur de D (u  0) )

•Si f antidéplacement alors pour tout pt M du plan on a M * f ( M )  l’axe D.
 f  S si Inv ( f )  

•Si f antidéplacement alors 
 f  SD ot u  t u oSD symétrie glissante si Inv ( f )  
• La composée de deux déplacement est un déplacement
La composée de deux antidéplacement est un déplacement
La composée d’un déplacement et d’un antidéplacement est un antidéplacement
Tout antidéplacement de P est bien défini par 2 points distincts et leurs images
Par conséquent : deux déplacements qui coïncident sur 2points distincts sont égaux.
Tout déplacement de P est bien défini par 2 points distincts et leurs images .
Par conséquent : deux déplacement qui coïncident sur 2points distincts sont égaux .
A  B
A  B
Si AC  BD  0 Alors il existe un seul déplacement f 
et un seul antidéplacement g : 
C  D
C  D
Remarque : Si  AB   (CD ) alors med CD   med  AB
S oS '  t u • avec    ' ;


u   et t 1   '  



2

u



f antidéplacement f  t u oS avec u  o





1er cas : dir(  )  u alors f est une sy métrie gliss ante d'axe  et de vecteur u




2éme cas : u   alors f  t u oS  S 'oS oS  S ' avec    ' et t 1  (  )   ' car u  






 



2

u



3éme cas : u   et dir()  u Soit u  v  w avec dir(  )= v et w  

Hadj Salem Habib

Page 1

Lycée pilote Médenine

Isométries du plan

Hadj Salem Habib

Lycée pilote Médenine

 AB  A ' B '  0

ABC et A’B’C’ deux triangle isométrique tel que  AC  A ' C '  0;
BC  B ' C '  0

A  A '

f isométrie telle qu e B  B ' Ayan t M , commen t on con stru it le p oin t M'= f ( M ) .
C  C '

 M 'A '  MA ; M 'B '  MB et M 'C '  M C
Indication : 
alors M' c  A',M A   c  B',MB   c  C',M C 

 ave c O et O ' deux p oin ts d u p la n
So oSo '  t 2 oo
'

t u si  +  '= 2k 

R ( I ,  )oR ( J,  ')  R(I, +  ') si I= J et  +  '  2k 
av ec k  
R(W, +  ') si I  J et  +  '  2k 


1
R 1 ( I , )  R( I ,  ) t 1u  t  u h1 ( I ,k )  h( I , )
k

    '  I 
' 

S oS '  R ( I ,  )  R ( I , 2(u , u )) avec   '  
 (u , u )   
2

S oS  i dp  t 0  R( I , 2 k )  h( I , 1) ave
c k   et I un point quelconque du plan

si    ' en I alors S oS '  R( I ,( 2k  1) )  SI  h( I , 1) 
avec

k 

h( I , k ) est une isometrie ssi
 k= 1 ou k= -1
Pour trois isométries f , g et h on a : fog  h  f  hog 1  g  f 1oh .
A  C

A  C

Astuce : f dép 
; g anti 
avec AB= CD  o
B  D
B  D
C
.a.d
 on a déplacement et antidéplacement qui coincident sur deux points

 l 'un est égal à S(CD) rond l'autre

do
nc 

 f(M) et g(M) sont sy métrique par rapport à (CD) pour tout point M d e P
S( CA )
g
 A 
 C 
C
A  C
Preuve : 
Cad
 S( CD ) o g:
S( CA )
g
 D 
D
B  C
 B 

*

or


A  C
f
B  C

on aura S( CD ) o g et f deux déplacements qui coî ncident sur 2 points par conséquant f= S( CD ) o g
de mê me g et S( CD ) o f deux antidéplacements qui coî ncid ent sur 2 points par conséquant g= S( CD ) o f

*

1

f
g
f ( M ) 
M 
 g(M) Cad (gof -1 )( f ( M ))  g( M ) or gof -1  S( CD )

Ainsi S(CD) ( f ( M ))  g( M ) cela signifie que f(M) et g(M) sont symétrique par rapport à (CD)

Hadj Salem Habib

Page 2

Lycée pilote Médenine

Isométries du plan

Hadj Salem Habib

Lycée pilote Médenine

Ensemble des points M :
Etant donnés deux points distincts A et B et un réel 
L’ensemble des points M tels que MA  MB est : la médiatrice de segment  AB .
L’ensemble des points M tels que MA  r  IR* est : le cercle de centre A et de rayon r..
 
L’ensemble des points M tels que ( 
MA , MB )     est :

si   0   , la droite (AB) privée des points A et B

si   0   , le cercle  passant par A et B et tangante en A à la droite AT




telle que ( AT ,AB)     ,privé des points A et B.
 
L’ensemble des points M tels que ( 
MA , MB)   2 est :

 

si   0  2  , la droite (AB) privée du segment  AB

si     2  , le segment  AB privée des points A et B.

si   0  2  et si     2  , un arc de cercle  d 'extrémités A et B privée des points A et B

1

situé dans le demi-plan de frontiére (AB) et ne contenant pas la demi-droite At  définie par:
 


( AT ,AB)    2  où  1 cercle passant par A et B et tangante en A à la droite AT




telle que ( AT ,AB)    2 
A  A
f isométrie telle que 
avec AB  0 Alors f= idp ou f= S(AB)
B  B
A  B
f isométrie telle que 
avec AB  0 Alors f= SI avec I= A*B ou f= Smed  AB
B  A


A  A

f isométrie telle que 
av ec AB= AC  0 Alors f= R(A,( AB
, AC )) ou f= m ed  BC 
B  C

A  C
f déplacement de P : 
avec AB = CD  0 et A  C ; B  D Alors :
B  D

 


 si ( A
B, CD )  0  2  alors f  t 
 t BD
AC

 

 si ( AB, CD )    2  alors f  SI avec I= A*C= B*D

 

 si ( AB, CD )    2  avec   k  (k   ) alors f  R ( I ,  )



 I  med  AC   med BD  ( si ces 2 méd iatrices se co u p en t )

on va déterminer I : 
 I  ( AB)  (CD ) ( si med  AC   med BD  )
A  C
f antidéplacement de P : 
avec AB = CD  0 et A  C ; B  D Alors :
B  D
A  C
A  C
si med  AC = med BD =  a
lors S 
comme f anti 
donc f= S
B  D
B  D

si med  AC  = med BD 

alor
s

f n'est u ne symetrie axiale

Écriture complexe des translations : La translation t u de vecteur u associe, à tout point M d’affixe z le point
M  d’affixe z   z  z u , où z u désigne l’affixe de u .

Écriture complexe des rotations : La rotation r ; de centre  et d’angle , est la transformation qui, à tout
point M d’affixe z le point M  d’affixe z   e i ( z  z  )  z  .
Hadj Salem Habib

Page 3

Lycée pilote Médenine

Isométries du plan

Hadj Salem Habib

Lycée pilote Médenine

Composée de deux rotations
Soient f et g deux rotations d’écritures complexes respectives z   e i z  b1 et z   e i z  b2 , la transformation
gof associe, à tout point M d’affixe z le point M  d’affixe z   e i (e i z  b1 )  b2  e i (   ) z  e i b1  b2 .
C’est une transformation dont l’expression complexe est bien de la forme z   Az  B avec A  1 .





Si     0 2  , A  1 et gof est une translation.
Si     0 2  , A  1 et gof est une rotation d’angle    .
Composée d’une rotation et d’une translation
Soit f une rotation d’écriture complexe z   e i z  b1 et g une translation d’écriture complexe z   z  b2 .
La transformation gof associe, à tout point M d’affixe z le point M  d’affixe
z   (e i z  b1 )  b2  e i z  b1  b2  .
gof est donc une rotation d’angle  .
Composée d’une translation et d’une rotation
Soit f une translation d’écriture complexe z   z  b1 et g une rotation d’écriture complexe z   e i z  b2
La transformation gof associe, à tout point M d’affixe z le point M  d’affixe
z   e i ( z  b1 )  b2  e i z  e i b1  b2 .
gof est donc une rotation d’angle  .
Ecriture complexe des symétries axiales
La symétrie axiale s  dont l’axe  passe par le point  et admet le vecteur v comme vecteur directeur
associe, à tout point M d’affixe z le point M  d’affixe z   e i 2 z  z   z  où  désigne une mesure de







 



l’angle e1 ; v .
Représentation complexe des symétries glissées
La symétrie glissée s  ; u  t u os  dont l’axe  passe par le point  et admet le vecteur v comme vecteur





directeur associe, à tout point M d’affixe z le point M  d’affixe z   e i 2 z  z   z   z u où  désigne une

 

mesure de l’angle e1 ; v .
Translation

Translation
Translation

Rotation
Rotation

Rotation

Rotation

Symétrie axiale

Symétrie axiale
ou glissée
Symétrie axiale
ou glissée

Rotation ou
translation
Symétrie axiale
ou glissée
Symétrie axiale
ou glissée

Symétrie glissée

Symétrie axiale
Symétrie axiale
ou glissée
Symétrie axiale
ou glissée
Rotation ou
translation
Rotation ou
translation

Symétrie glissée
Symétrie axiale
ou glissée
Symétrie axiale
ou glissée
Rotation ou
translation
Rotation ou
translation

Définition
Soit  un point du plan et k un réel non nul. L’homothétie de centre  et de rapport k, notée h ; k est la
transformation qui, à tout point M du plan, associe le point M  tel que M   k M
Écriture complexe des homothéties
L’homothétie h ; k de centre  et de rapport k est la transformation qui, à tout point M d’affixe z le point M 
d’affixe z   k ( z  z  )  z  .
La transformation d’écriture complexe z   az  b , où a est un réel non nul et b un complexe est :
 l’identité si a  1 et b  0 ;
 une translation si a  1 et b  0 ;
 une homothétie de rapport a si a  1 .

Hadj Salem Habib

Page 4

Lycée pilote Médenine


Aperçu du document cours isométries .pdf - page 1/4

Aperçu du document cours isométries .pdf - page 2/4

Aperçu du document cours isométries .pdf - page 3/4

Aperçu du document cours isométries .pdf - page 4/4




Télécharger le fichier (PDF)


cours isométries .pdf (PDF, 244 Ko)

Télécharger
Formats alternatifs: ZIP



Documents similaires


cours isometries
isometrie cours
resume isometrie
resume isometrie
resume1 complexe bac maths
depl antidep