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Analyse infinitésimale

Analyse infinitésimale

1

1) Les limites
Le calcul infinitésimal se propose d’étudier les infinitésimaux c’est-à-dire des infiniment petits…
Le calcul infinitésimal est le calcul « primitif » qui a donné ce qu’on nomme aujourd’hui le calcul
différentiel et intégral, et l’analyse. Ce type de calcul a été initié par Newton, Leibniz (17 ème), puis
Euler, Lagrange, Laplace (18ème), depuis cette introduction liée à des problèmes de physique, cette
partie des mathématiques a gagné en autonomie et est désormais une base de l’analyse dite
infinitésimale.

Louis Augustin Cauchy, mathématicien français du 19ème à l’origine de la notion de limite
Ce calcul fut introduit pour préciser des grandeurs physiques :
Par exemple, voici la formule –et la définition- de la vitesse :
𝑣=

𝑑
𝑡

C’est la distance parcourue par rapport au temps qu’il faut pour la parcourir. La distance
parcourue peut s’exprimer comme une différence : l’abscisse du point d’arrivé – l’abscisse du point
de départ (en supposant que le mouvement ne se fait que sur une seule droite, donc qu’il est
rectiligne) :
𝑑 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = ∆𝑥
Le Δ montre que nous sous entendons une différence d’une même quantité, ainsi : ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1
On peut faire la même chose pour la durée :
𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1 = ∆𝑡

Finalement, on trouve :

Analyse infinitésimale

2

𝑣=

∆𝑥
∆𝑡

Cette vitesse-là, est une moyenne entre deux instants 𝑡1 et 𝑡2 .
Cependant, les physiciens du 17ème voulaient pouvoir calculer la vitesse à chaque instant pour avoir
une donnée plus précise.
Or, calculer la vitesse à un instant précis revient à prendre l’intervalle de temps ∆𝑡 égal à zéro, ce
qui est formellement impossible car le quotient :

∆𝑥
0

n’est pas défini.

Il a fallu attendre le baron Louis Augustin de Cauchy au 19ème pour résoudre formellement le
problème. Cauchy a détaillé ce qu’on appelle aujourd’hui, une « limite ».

1.1 Notion de limite
La notion de limite a des liens très étroits avec la notion d’infini.
Voyons directement de quoi il s’agit avec un exemple :
1 2
lim (1 + )
𝑥→+∞
𝑥
1 2

Ici il s’agit de la limite de l’expression (1 + 𝑥) lorsque « 𝑥 tend vers l’infini ». Dans l’expression, 𝑥
est au dénominateur donc quand 𝑥 grandit comme on sait que la fonction inverse est décroissante
sur ℝ∗+ = ]0; +∞[ on en déduit :
Soient 𝑥1 , 𝑥2 ∈ ℝ∗+ , 𝑥2 > 𝑥1 alors :

1
𝑥2

1

<𝑥 .
1

Donc, si 𝑥 est « aussi grand qu’on veut » on peut dire que :
∀𝑦 ∈ ℝ+ , 𝑥 > 𝑦 ⇒

1 1
<
𝑥 𝑦

1

1

Ainsi, on en conclut que 𝑥 est plus petit que tout réel positif. La limite de 𝑥 lorsque 𝑥 → +∞ est
donc 0.
La limite se calcule donc aisément :
1 2
lim (1 + ) = (1 + 0)2 = 1
𝑥→+∞
𝑥
La notion de limite permet « d’apprivoiser l’insondable » en calculant des limites vers l’infini ou
vers 0 sans jamais vraiment atteindre 0 et sans jamais vraiment atteindre l’infini.
Bien sûr, la notion de limite est utile pour calculer des limites vers des valeurs interdites ou vers
l’infini mais on peut aussi calculer des limites vers des valeurs fixes.
Par exemple :
Analyse infinitésimale

3

lim (1 − 2𝑥²) = 1 − 2(1)2 = −1

𝑥→1

Même si ces limites se calculent « exactement » par les méthodes habituelles, en remplaçant
simplement la valeur de 𝑥 par la valeur vers laquelle il tend.
Revenons à notre vitesse :
𝑣=

∆𝑥
∆𝑡

Pour avoir la vitesse instantanée, il suffit donc d’imposer que l’intervalle de temps ∆𝑡 tende vers 0
sans toutefois l’atteindre, on écrit alors :
𝑣𝑖𝑛𝑠𝑡 = lim

∆𝑡→0

∆𝑥
∆𝑡

Voici donc la formule de la vitesse instantanée.

1.2 Limite à gauche et à droite
Il existe aussi une subtilité dans la notion de limite :
On peut prendre la limite à droite et à gauche du nombre réel.
C’est une notion assez intuitive en réalité, par exemple pour calculer la limite en 0, on peut prendre
« par la gauche » ou « par la droite ». Prendre par la gauche signifie seulement qu’on approche zéro
par des valeurs qui lui sont inférieures :
1
{−2; −1; − ; −0,01; −0,0001; −0,0000001}
2
On se rapproche de zéro mais par des valeurs qui lui sont inférieures, on dit qu’on prend la limite
en 0 vers la gauche et on note :
lim 𝑓(𝑥)

𝑥→0
𝑥<0

En toute généralité on écrit :
𝑎 ∈ ℝ, 𝑥→𝑎
lim 𝑓(𝑥)
𝑥<𝑎

Parfois on trouve les notations ainsi :
lim 𝑓(𝑥)

𝑥→𝑎 −

De la même manière la limite « vers la droite » consiste à dire qu’on approche zéro mais par des
valeurs qui lui sont supérieures :
1
{2; 1; ; 0,1; 0,0001; 0,0000001}
2

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4

De la même manière, on notera la limite vers la droite ainsi :
𝑎 ∈ ℝ, 𝑥→𝑎
lim 𝑓(𝑥)
𝑥<𝑎

De la même manière, on trouve aussi cette notation :
lim 𝑓(𝑥)

𝑥→𝑎 +

La notion de « droite » et de « gauche » prend son origine dans le fait que l’axe des abscisses a un
sens : de la gauche vers la droite on va du plus petit au plus grand :

A titre d’exemple d’entrainement je t’invite à calculer les quelques limites suivantes :
1
lim (𝑥² + )
𝑥→2
𝑥
1
𝑥→+∞ 𝑥
lim

lim 𝑥² − 𝑥

𝑥→−∞

𝑥
𝑥→+∞ 𝑥 + 1
lim

1.3 Les indéterminations aux limites
Si tu as eu du mal pour les deux derniers c’est tout à fait normal, en effet, on trouve :
lim 𝑥² − 𝑥 = ∞ − ∞

𝑥→+∞

Et
𝑥

=
𝑥→+∞ 𝑥 + 1

lim

Ces deux limites ne valent ni 1 ni 0, en effet, lorsqu’on a affaire à des infinis, les règles de calcul
changent. Ainsi, les deux forment ci-dessus sont dites indéterminées, c’est-à-dire, qu’à première
vue, on ne peut pas dire à quoi correspondent ces limites.
Outre ces deux exemples, il existe 5 autres formes d’indéterminations, les 7 au total sont résumées
ici :

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5

Les opérations « correctes » avec l’infini sont les suivantes :

lim (𝑥 + 𝑥²) = ∞ + ∞ = ∞

𝑥
lim ( −1 ) = ∞ × ∞ = ∞
𝑥→+∞ 𝑥

𝑥

∀𝑘 ∈ ℝ− lim ( ) = = −∞
𝑥→+∞ 𝑘
𝑘

∀𝑘 ∈ ℝ+ , lim (𝑘𝑥) = 𝑘 × ∞ = ∞

𝑥

∀𝑘 ∈ ℝ+ , lim ( ) = = ∞
𝑥→+∞ 𝑘
𝑘

∀𝑘 ∈ ℝ− , lim (𝑘𝑥) = 𝑘 × ∞ = −∞

𝑥→+∞

−𝑥
lim ( −1 ) = −∞ × ∞ = −∞
𝑥

𝑥→+∞

𝑥→+∞

lim (𝑘 + 𝑥) = 𝑘 + ∞ = ∞

𝑥→+∞

lim (−𝑥 − 𝑥²) = −∞ − ∞ = −∞

𝑥→+∞

𝑥→+∞

−𝑥
lim ( −1 ) = −∞ × ∞ = ∞
−𝑥

𝑥→+∞

𝑘
𝑘
lim ( ) = = 0
𝑥→+∞ 𝑥


En outre, ces règles sont parfaitement logiques :
-Quand on ajoute l’infini à l’infini bah on obtient l’infini.
-Quand on divise l’infini par un nombre, on obtient toujours l’infini (on divise l’infini en des parts
elles-mêmes infinies donc)
-Quand on multiplie l’infini par un nombre, on obtient un nombre encore plus grand, donc l’infini.
-Quand on divise un nombre par l’infini alors on a une infinité de parts infiniment petites donc ça
tend vers 0.
Ensuite il n’y a plus qu’à appliquer les règles de signes bien connues :
∀𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 × (−𝑎) = −𝑎2
𝑎 × 𝑎 = 𝑎²
(−𝑎) × (−𝑎) = 𝑎²
Ainsi, seules les règles de simplification sont interdites avec l’infini car, on le comprend bien,
l’infini n’est jamais fini donc il ne correspond jamais à une valeur exacte qu’on peut simplifier mais
plutôt à une valeur toujours plus grande ou « indéfiniment » grande.

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1.4 Lever les indéterminations, règle de l’hospital
Pour faire disparaître les indéterminations, on appelle ça « lever les indéterminations » il est
souvent très utile de simplifier.
Prenons la fonction suivante :
𝑥² − 9
𝑓(𝑥)
=
{
𝑥−3
𝑓: ℝ_{3} → ℝ
Calculons cette limite :
lim 𝑓(𝑥) =

𝑥→3

9−9 0
=
3−3 0

C’est donc bien une forme indéterminée, néanmoins on peut donner une valeur bien déterminée à
cette limite en effectuant une simplification :
lim (

𝑥→3

𝑥² − 9
(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
) = lim (𝑥 + 3) = 3 + 3 = 6
) = lim (
𝑥→3
𝑥→3
𝑥−3
(𝑥 − 3)

Il existe diverses méthodes pour lever les indéterminations aux limites. Une telle simplification est
souvent utilisée dans le calcul des dérivées.
Règle de l’Hospital :
La règle de l’Hospital s’énonce ainsi :

𝑔(𝑥)
𝑔′(𝑥)
= lim
𝑥→𝑎 ℎ(𝑥)
𝑥→𝑎 ℎ′(𝑥)
lim

On comprend bien son utilité pour contourner les indéterminations aux limites. En effet, cette
règle transforme carrément la limite !

Appliquons la règle de l’Hospital à notre limite précédente à titre d’exemple :
lim (

𝑥→3

𝑥² − 9
2𝑥
) = lim ( ) = 2 × 3 = 6
𝑥→3 1
𝑥−3

On retombe sur notre limite de tout à l’heure.

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2) Le taux d’accroissement
Soit 𝑓 une fonction réelle (c’est-à-dire qu’elle a pour ensemble de départ et d’arrivée, un intervalle
de l’ensemble des réels, on écrit aussi plus mathématiquement ainsi : 𝑓: ℝ → ℝ) pour calculer
comment cette fonction varie on devrait effectuer une différence : ∆𝑓 . Cependant cette différence
n’a pas tellement de sens si on ne sait pas comment 𝑥 lui-même varie. En effet, le couple de valeurs
1

∆𝑓 = 2 et que ∆𝑥 = 10 000 n’aura pas le même sens que le second couple : ∆𝑓 = 500, ∆𝑥 = 2 .
Dans un cas cela voudra dire que la fonction varie très peu, c’est-à-dire que la fonction est très peu
« sensible » à 𝑥 (en effet quand 𝑥 varie beaucoup : ∆𝑥 = 10 000, 𝑓(𝑥) ne varie que très peu :
∆𝑓(𝑥) = 2 tandis que dans le deuxième cas cela voudrait dire que la fonction f est très sensible à 𝑥
1

(en effet, pour une petite variation de ∆𝑥 = 2, la fonction varie beaucoup : ∆𝑓 = 500).
La seule donnée de la variation de la fonction ∆𝑓 ne nous renseigne donc pas beaucoup sur la
∆𝑓

fonction… En revanche, le rapport ∆𝑥 nous renseigne sur la sensibilité de 𝑓 à 𝑥. Comment varie
𝑓(𝑥) quand 𝑥 varie dans telle proportion ?

3) Les dérivées
3.1 Notion de dérivée
Comme tout à l’heure, ce qui nous intéresse maintenant, ce n’est pas d’avoir une « moyenne » du
taux d’accroissement entre deux valeurs de 𝑥 mais un taux d’accroissement en chaque point. Il
faut donc réduire la variation ∆𝑥 de 𝑥 le plus possible, et cela se traduit « exactement » par une
limite.
Le taux de variation « infinitésimal » en chaque réel est donc :
lim

∆𝑥→0

∆𝑓(𝑥)
∆𝑥

Puisque ce taux de variation infinitésimal est effectué en tout point, nous effectuons en fait une
transformation en chaque réel, il s’agit là d’une fonction.
Tout comme on peut transformer des fonctions en d’autres :
Par exemple :
∀𝑥, 𝑔(𝑥) = √ℎ(𝑥)
Ici, on transforme le résultat de 𝑓(𝑥),en chaque réel de son domaine de définition, en un autre
résultat qui est : lim∆𝑥→0

∆𝑓(𝑥)
∆𝑥

. Nous venons de transformer 𝑓 en une autre fonction, que nous

appellerons « fonction dérivée » de 𝑓 et que nous noterons : ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 , 𝑓 ′ (𝑥) = lim∆𝑥→0

∆𝑓(𝑥)
∆𝑥

. Nous

parlons aussi d’opération différentielle et nous disons que la transformation d’une fonction en sa
dérivée, la « dérivation » est un opérateur différentiel.
Analyse infinitésimale

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De plus, pour des raisons historiques, nous notons aussi la dérivée d’une fonction de cette manière :
𝑓 ′ (𝑥) =

𝑑𝑓
𝑑𝑥

Ecrit de cette manière, on voit mieux apparaître la notion d’opérateur différentiel, en effet, on
peut écrire ainsi :
𝑑𝑓
𝑑
(𝑓)
=
𝑑𝑥 𝑑𝑥
Ainsi le :
𝑑
𝑑𝑥
Peut être vu comme un opérateur différentiel agissant sur une fonction 𝑓.
Bien sûr, rien ne nous empêche de « dériver » la nouvelle fonction puisqu’il s’agit bien d’une
fonction…
On peut écrire :
𝑓(𝑥) → 𝑓′(𝑥) → 𝑓′′(𝑥)
Ou encore :
𝑓(𝑥) →

𝑑𝑓
𝑑 𝑑𝑓

( )
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Il faut bien comprendre que la dérivée d’une fonction est elle-même une fonction qui peut être
dérivée encore une fois…
Pour la dernière écriture de la « dérivée d’une dérivée » :
𝑑 𝑑𝑓
𝑑²𝑓
( )=
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥²
Cette écriture fait clairement apparaître ce qu’on appelle la dérivée « seconde » de 𝑓, c’est-à-dire
comme on la dit, la dérivée de la dérivée de 𝑓.
Quand nous continuons à dériver ces fonctions, on obtient alors successivement des dérivées
d’ordre 3, 4, 5 etc. ce qui s’écrit ainsi :
𝑓 → 𝑓 ′ → 𝑓 ′′ → 𝑓 ′′′ → ⋯ → 𝑓 𝑛
𝑑𝑓 𝑑²𝑓 𝑑3 𝑓
𝑑𝑛 𝑓
𝑓→


→⋯→ 𝑛
𝑑𝑥 𝑑𝑥² 𝑑𝑥 3
𝑑𝑥
Enfin, il est utile de préciser la signification exacte de la notation :
𝑑𝑓
𝑑𝑥

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Regardons l’expression de la dérivée :
∆𝑓(𝑥)
∆𝑥→0 ∆𝑥
lim

On voit bien qu’il s’agit de deux rapports infinitésimaux. En effet ∆𝑥 est très petit puisqu’il tend
vers zéro, il est « infinitésimalement petit » mais ∆𝑓(𝑥) est petit aussi puisque ∆𝑥 est lui-même
petit, ∆𝑓(𝑥) sera lui aussi « infinitésimalement petit ».
Ainsi, au lieu de noter cette différence « infinitésimalement petite » ∆𝑓 ou ∆𝑥 on préfère l’écriture :
𝑑𝑓
𝑑𝑥
Le « d » signifiant alors que nous sous-entendons une différence « infinitésimale » d’une même
quantité.
Cependant il convient bien de remarquer une chose :
En effet, une différence « infinitésimale » pourrait s’écrire ainsi :
𝑎 ∈ ℝ, lim [(𝑎 + ℎ) − 𝑎]
ℎ→0

Puisque comme je viens de le dire, « dans l’esprit » le 𝑑𝑓 correspond à une différence infinitésimale,
on serait tenté d’écrire que :
𝑑𝑓 = lim 𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ→0

Et donc logiquement on pourrait conclure :
lim ∆𝑓(𝑥) 𝑑𝑓
∆𝑓(𝑥) ∆𝑓(𝑥)→0
=
=
∆𝑥→0 ∆𝑥
lim ∆𝑥
𝑑𝑥
lim

∆𝑥→0

Mais en fait il n’en n’est rien car la limite d’un quotient n’est pas égal au quotient des limites :
lim ∆𝑓(𝑥)
∆𝑓(𝑥) ∆𝑓(𝑥)→0
lim

∆𝑥→0 ∆𝑥
lim ∆𝑥
∆𝑥→0

𝑑𝑓

Il s’agit donc bien de faire le distinguo à présent et de considérer que l’écriture 𝑑𝑥 n’est juste qu’une
écriture pour désigner la dérivée de la fonction 𝑓 et non pas le rapport de deux limites ou de deux
quantités « infinitésimales » ou « infiniment petites ». Nous verrons un peu plus loin une raison
plus profonde à cette écriture.

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3.2 Calcul de dérivées
Ton prof t’as surement démontré comment on calculait la fonction dérivée mais pour la peine je
vais te mettre un exemple simple :
Soit 𝑓, la fonction définie ainsi :
𝑓: ℝ → ℝ
∀𝑥 ∈ ℝ, {
𝑓(𝑥) = 𝑥²
Alors sa fonction dérivée est définie ainsi :
𝑓′: ℝ → ℝ
∀𝑥 ∈ ℝ, {
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0

Donc :
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ→0


𝑓′(𝑥) = lim

⇔ 𝑓′(𝑥) = lim (
ℎ→0

⇔ 𝑓′(𝑥) = lim (
ℎ→0

(𝑥 + ℎ)2 − 𝑥²
)


𝑥² + 2ℎ𝑥 + ℎ² − 𝑥²
)


⇔ 𝑓′(𝑥) = lim (
ℎ→0

2ℎ𝑥 ℎ2
+ )



⇔ 𝑓 ′ (𝑥) = lim (2𝑥 + ℎ) = 2𝑥 + 0 = 2𝑥
ℎ→0

Il suffit donc de simplifier l’expression du taux d’accroissement.
Si on le fait pour les diverses fonctions connues, on obtient le tableau des dérivées usuelles :

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3.3 Dérivée et variations
Comme tu le sais sans doute déjà, étudier le signe de la dérivée d’une fonction nous permet
de nous renseigner sur ses variations, si la dérivée est positive, la fonction est croissante, si
la dérivée est nulle et change de signe alors la fonction admet un extremum en ce réel,
tandis que si la dérivée est négative alors la fonction est décroissante. Je pense que je ne
t’apprends rien.
Voyons maintenant un théorème fort intuitif lié à tout ça :
Théorème de Rolle :
Le théorème de Rolle s’énonce simplement et de manière intuitive :
Il dit que si f est continue et dérivable (voir plus loin pour la définition) sur un intervalle
[𝑎, 𝑏] et telle que 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) alors il existe un réel 𝑐 ∈ ]𝑎, 𝑏[ tel que 𝑓 ′ (𝑐) = 0
Regardons sur un exemple graphique:

Ici on voit bien qu’en plusieurs réels, la fonction vérifie 𝑓(𝑥) = 0 (ce qui correspond à
chaque point d’intersection entre la fonction et l’axe des abscisses) et entre chacun de ces
points d’intersections, la fonction admet un extremum (les « creux » et les « bosses ») et
cet extremum correspond à une dérivée nulle.
En effet pour revenir à son « point de départ » la fonction doit bien être obligée de
« changer de direction » ainsi, on voit apparaître une bosse ou un creux traduisant cette
dérivée nulle.
Mathématiquement on écrit ça ainsi :

𝑎, 𝑏 ∈ 𝐷𝑓 , 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) ⇒ ∃𝑐 ∈ ]𝑎, 𝑏[, 𝑓 ′ (𝑐) = 0

Cela se lit tout naturellement ainsi : « Si 𝑎 et 𝑏 sont deux réels du domaine de définition de 𝑓 et
que 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) alors (implication) il existe un réel 𝑐 dans]𝑎, 𝑏[ tel que 𝑓 ′ (𝑐) = 0

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4) Notion de dérivabilité et de continuité
4.1 Dérivabilité
C’est bien joli tout ça, mais il faut faire attention ! Une fonction n’est pas partout et tout le temps
dérivable, on parle alors de « dérivabilité »…
Une fonction est dérivable en un réel de son domaine de définition, si et seulement si elle admet
une dérivée finie en ce point, c’est-à-dire si la limite lorsque h tend vers 0 de la définition n’entraine
pas une divergence (l’infini).

4.2 Continuité
Un préalable indispensable à ce qu’une fonction soit dérivable en un point, c’est qu’elle soit
« continue » en ce point.
La continuité est une notion très simple qui consiste à dire que :
Si 𝑓 est continue en 𝑎 alors :
lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

𝑥→𝑎

La continuité consiste juste à dire alors : 𝑓 est continue en 𝑎 si lorsque j’approche 𝑎 avec des
valeurs de 𝑥 de plus en plus précises (𝑥 tend vers 𝑎) alors j’approche en effet de la valeur de 𝑓(𝑎).
Ceci peut paraître anodin mais c’est d’une importance capitale.
Je vais quand même donner un exemple de fonction qui n’est pas continue en un point :
Soit 𝑓 la fonction définie par :
∀𝑥 ∈ ℝ∗ , 𝑓(𝑥) = 𝑥, 𝑒𝑡 𝑓(0) =

1
2

On voit bien que 𝑓 n’est pas continue en 0.
En effet, sur ℝ∗− = ]−∞, 0[ 𝑓(𝑥) = 𝑥 donc la limite quand 𝑥 tend vers 0 est :
lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑥 = 0

𝑥→0

𝑥→0

1

Or, 𝑓(0) = 2
Donc :
𝑓(0) ≠ lim 𝑓(𝑥)
𝑥→0

Pour mieux comprendre, on pourrait faire une représentation graphique de 𝑓. On aurait en effet,
sur le graphique, une droite d’équation 𝑦 = 𝑥 sur les deux parties de ℝ et en 0 nous aurions un

Analyse infinitésimale

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point un peu « solitaire » qui n’est pas dans la continuité de la fonction, on aurait un point qui ne
1

touche pas les autres, un peu isolé : 𝑓(0) = 2 .
On résume parfois la continuité d’une fonction, au fait de pouvoir tracer sa représentation
graphique « sans lever le crayon » , ici dans mon exemple, le point étant « isolé », on est obligé de
lever le crayon pour tracer ce point « dissident » et continuer la droite 𝑦 = 𝑥.
Enfin, un préalable indispensable à la continuité est que l’ensemble de définition de la fonction soit
animé de la puissance du continu, c’est-à-dire, comme on l’a vu, qu’il soit en bijection avec
l’ensemble des nombres réels, ℝ.
Ainsi, des fonctions dont l’ensemble de définition est ℕ par exemple, ne sont ni continue ni
dérivable. Par exemple les « suites » sont des fonctions dont l’ensemble de définition est ℕ,
l’ensemble des entiers naturels, en effet :
Soit (𝑢𝑛 ) une suite alors :
𝑢𝑛 = {𝑢0 , 𝑢1 , … , 𝑢𝑛 }
On a bien 𝑛 ∈ ℕ.
La suite (𝑢𝑛 ) se définie donc ainsi :
𝑢𝑛 = {

ℕ→ℝ
𝑛 → 𝑢𝑛

Les suites ne sont ni continues, ni dérivables et cela se voit aisément sur le graphique, en effet on
obtient un « nuage de points » et non pas une droite ou courbe continue qu’on pourrait tracer
« sans lever le crayon ».
De plus, il faut bien noter qu’une fonction dérivable est forcément continue mais qu’une fonction
continue n’est pas forcément dérivable. La fonction de « Weierstrass » est un exemple de fonction
« continue partout mais dérivable nulle part ».

4.3 Continuité à gauche et à droite
Tout comme pour les limites, on parle de continuité à gauche et à droite. Pour qu’une fonction soit
continue en un réel, il faut qu’elle soit rigoureusement continue à gauche et à droite de ce réel.
Il s’agit en fait d’une notion intuitive. Comme pour tout à l’heure, il faut vérifier que :
lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

𝑥→𝑎
𝑥>𝑎

De même pour la continuité à gauche :
lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

𝑥→𝑎
𝑥<𝑎

On dit donc qu’une fonction est continue en 𝑎 si et seulement si :

Analyse infinitésimale

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lim 𝑓(𝑥) = 𝑥→𝑎
lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

𝑥→𝑎
𝑥>𝑎

𝑥<𝑎

Pour être plus concis dans tout ça, nous employons souvent la notion de « classe ». On dit qu’une
fonction 𝑓 est de classe 𝐶 𝑘 sur un intervalle 𝐼 quand elle est 𝑘 fois dérivable sur cet intervalle.
On parle aussi de classe 𝐶 ∞ lorsqu’elle est indéfiniment dérivable sur cet intervalle 𝐼.
Par exemple, toute fonction polynôme est de classe 𝐶 ∞ , en effet (exemple avec un polynôme de
degré 1 ou « monôme ») :
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑑𝑓
=𝑎
𝑑𝑥
𝑑²𝑓
=0
𝑑𝑥
𝑑3 𝑓
=0
𝑑𝑥 3

𝑑𝑛 𝑓
=0
𝑑𝑥 𝑛
Théorème des valeurs intermédiaires :
Le théorème des valeurs intermédiaires énonce que si une fonction 𝑓 est continue sur un intervalle
[𝑎, 𝑏] alors pour un réel 𝑢 compris entre 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏) il existe un réel 𝑐 compris entre 𝑎 et 𝑏 tel
que
𝑓(𝑐) = 𝑢
Formellement, on écrit ainsi :
∀𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑡) ⇒ 𝑢 ∈ [𝑎, 𝑏], ∃𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑐) = 𝑢
𝑥→𝑡

Ça se lit comme du Français : « Pour tout 𝑡 appartenant à [𝑎, 𝑏], 𝑓 est continue (donc 𝑓 est
continue sur [𝑎, 𝑏] ) implique (la flèche) que pour un 𝑢 appartenant à [𝑎, 𝑏] il existe un 𝑐
appartenant à [𝑎, 𝑏] tel que 𝑓(𝑐) = 𝑢.
Ce théorème est particulièrement intuitif. Prenons le graphe d’une fonction continue :

Analyse infinitésimale

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Ce que le théorème nous dit c’est que si 𝑓 est continue sur [𝑎, 𝑏] alors elle parcourt forcément les
réels intermédiaires entre 𝑎 et 𝑏, donc en particulier le réel 𝑐 qui est compris entre 𝑎 et 𝑏 et dont
l’image est comprise entre les deux images 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏) des bornes de cet intervalle.
Comme son nom l’indique ce théorème assure qu’entre deux réels il existe toutes les valeurs
intermédiaires, elles-mêmes comprises entre les deux images de ces réels, seulement si la fonction
est continue !

5) Approximation affine
5.1 Notion d’approximation affine
L’approximation affine d’une fonction en un réel 𝑎 est l’approximation de cette fonction par une
fonction affine.
Cette approximation affine s’écrit :
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝜀(𝑥)
Le terme 𝜀(𝑥) est alors une fonction nommée « reste » qui vérifie :
lim 𝜀(𝑥) = 0

𝑥→𝑎

Ainsi, en 𝑎, on retrouve l’expression de la tangente à la courbe, qui est l’approximation affine au
voisinage de ce réel :
𝑦𝑎 = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)
Dans le voisinage de 𝑎, on peut écrire :
𝑓(𝑥) ≅ 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)
C’est ce que l’on nomme approximation affine en 𝑎.
Par exemple, nous voulons approximer √2.

Analyse infinitésimale

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Soit 𝑓 la fonction racine carrée :
∀𝑥 ∈ ℝ+ , 𝑓(𝑥) = √𝑥
Il s’agit de trouver une valeur approchée de 𝑓(2), on pratique alors l’approximation affine :
3
3
3
𝑓(2) ≅ 𝑓 ( ) + 𝑓′ ( ) (2 − )
2
2
2
On a utilisé la formule suivante :
𝑓(𝑥) ≅ 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)
En prenant pour 𝑎 une valeur proche de 2 :
𝑎=

3
= 1,5
2

D’où :
3
1 1
√2 ≅ √ +
2
32
2√ 2
3
1
√2 ≅ √ +
2
3
4√ 2
Ce qui nous donne :
1,428869 …
La vraie valeur de √2 étant :
1,414221 ….
On prenant 𝑎 encore plus proche de 2, l’approximation aurait été encore meilleure.

5.2 Interprétation graphique
La tangente à la courbe est liée à cette notion d’approximation affine. En effet, la tangente et la
courbe ont un point commun, le point tangent. Les points de la courbe au voisinage du point
tangent sont « presque » sur la droite tangente. Ainsi plus on s’approche du point tangent plus
l’approximation affine est précise. La fonction « reste » de la formule du dessus mesure donc le
taux d’écart entre la courbe et l’approximation de la droite, c’est pourquoi le reste vérifie :
lim 𝜀(𝑥) = 0

𝑥→𝑎

Analyse infinitésimale

17

En effet, l’approximation est de plus en plus « parfaite » quand on considère le voisinage du point
qu’on veut approximer. Donc le « reste » est de plus en plus négligeable quand on s’approche de la
valeur à approximer.
Si on considère une valeur proche de la valeur 𝑎 qu’on veut approximer, on peut considérer que le
reste est négligeable, donc on écrira :
𝑓(𝑥) ≅ 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)
La formule de tout à l’heure…
On parle d’approximation affine, car on approxime la courbe au voisinage d’un point par une
fonction affine (la droite tangente « épouse » la forme de la courbe localement au niveau du point
tangent), une droite.

Il existe d’autres formes d’approximation avec des polynômes d’ordres supérieurs. Par exemple on
peut approximer « localement » une fonction avec un polynôme du second degré, un polynôme du
3ème degré, etc. Quand on fait une telle approximation, on dit qu’on fait le développement limité à
l’ordre 𝑛 en 𝑎 de la fonction en question. Ainsi, l’approximation affine n’est qu’un développement
limité à l’ordre 1 (on approxime localement la courbe avec un polynôme de degré 1, avec une droite
donc appelée couramment « tangente »).
Ici, on a l’approximation par une parabole, un développement limité d’ordre 2 :

Analyse infinitésimale

18

6) Notion de différentielle
Au sens des fonctions donc, si 𝑓 est une fonction de 𝑥 alors une variation infinitésimale 𝑑𝑥 de 𝑥
correspond à une variation infinitésimale 𝑑𝑓 de 𝑓(𝑥) selon la relation :
𝑑𝑓 = 𝑓 ′ (𝑥) 𝑑𝑥
C’est pour ça qu’on note souvent la dérivée ainsi :
𝑓 ′ (𝑥) =

𝑑𝑓
𝑑𝑥

Dite « notation de Leibniz », pour rappeler cette relation différentielle.
La différentielle est donc le prolongement de la dérivée et montre comment varie une fonction par
rapport à une variable dont elle dépend.
Par exemple, prenons un carré tel que :

La surface du carré de côté 𝑥 vaut :
𝑥 > 0, 𝑆(𝑥) = 𝑥²

Analyse infinitésimale

19

Si on augmente le côté 𝑥 d’une valeur Δ𝑥 alors sa surface augmentera de :
𝑆(𝑥 + Δ𝑥) = (𝑥 + Δ𝑥)2 = 𝑥² + 2𝑥Δ𝑥 + Δ𝑥²
La variation Δ𝑆 de l’aire du carré pour une variation Δ𝑥 de la longueur du côté est donc :
Δ𝑆 = 𝑆(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑆(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 2 + 2𝑥Δ𝑥 + Δ𝑥²
Δ𝑆 = 2𝑥Δ𝑥 + Δ𝑥²
Si cette variation devient infinitésimale, c’est-à-dire si
Δ𝑥 → 0
Alors le ∆𝑥² tendra évidemment vers 0, plus rapidement que le premier terme 2𝑥∆𝑥 .
Ce qu’on nomme donc différentielle de f est l’objet suivant :
𝑑𝑓 = 2𝑥 𝑑𝑥
Où le 𝑑𝑥 montre que la variation est infiniment petite ou « infinitésimale ».
On reconnait ici, l’expression de la dérivée :
𝑓(𝑥) = 𝑥² → 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥
On retrouve donc bien :
𝑑𝑓 = 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥

7) Les primitives
La dérivation est une opération univoque, c’est-à-dire qu’à une fonction précise la dérivation fait
correspondre une seule et unique fonction dérivée.
La primitivation est justement le fait contraire de la dérivation, au lieu de donner « un grade » à la
fonction en la dérivant, on la « rétrograde » en la primitivant.
Par exemple, pour trouver la primitive de la fonction :
∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥²
On peut se dire que la fonction suivante :
1
∀𝑥 ∈ ℝ, 𝐹(𝑥) = 𝑥 3
3
Donne bien, une fois dérivée la fonction de départ, en effet :
⇒ 𝐹 ′ (𝑥) =

1
× (3𝑥 2 ) = 𝑥² = 𝑓(𝑥)
3

Ainsi, tu l’auras compris, la primitive d’une fonction, est une fonction qui dérivée redonne la
fonction de départ.

Analyse infinitésimale

20

Mais il n’existe pas qu’une seule primitive pour une fonction donnée, il en existe une infinité !
En effet la fonction suivante :
1
∀𝑥 ∈ ℝ, 𝐹1 (𝑥) = 𝑥 3 + 2
3
Est aussi une primitive de 𝑓, en effet, la dérivée d’une constante est nulle. Au contraire, la
primitivation (donc la recherche d’une primitive d’une fonction) n’est pas une opération
univoque : à une fonction on peut faire correspondre une infinité de primitives différentes qui
diffèrent d’une constante. Cette constante se nomme « constante d’intégration ».
On peut démontrer que deux primitives 𝐹1 et 𝐹2 d’une fonction 𝑓 diffèrent d’une constante, en
effet supposons que leur différence (donc ce par quoi elle diffère) soit une fonction de 𝑥 :
𝐹1 (𝑥) − 𝐹2 (𝑥) = 𝜎(𝑥)
Donc, en dérivant les deux membres de l’équation :
⇔ 𝐹1′ (𝑥) − 𝐹2′ (𝑥) = 𝜎′(𝑥)
⇔ 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥) = 𝜎 ′ (𝑥) = 0
⇔ 𝜎(𝑥) = 𝐶
Où 𝐶 ∈ ℝ est une constante. En effet, quand on dérive une constante, on obtient 0.
On note généralement une primitive d’une fonction 𝑓 ainsi : 𝐹.
Il n’y a pas de formule pour calculer chaque primitive de chaque fonction et on doit fonctionner
par « tâtonnement » et voire à chaque fois si la primitive une fois dérivée redonne bien la fonction.
De ce tâtonnement est sorti –comme pour les dérivées- le tableau des primitives usuelles :

Analyse infinitésimale

21

Dans ce tableau le C correspond à une constante arbitraire (n’importe quelle constante).

8) Les intégrales
8.1 Notion d’intégrale
L’idée première de l’intégrale est de calculer l’aire sous la courbe d’une fonction :

Quand l’aire n’a pas de forme bien connue (rectangulaire, triangulaire, etc.) on a pas de formule
pour calculer cette aire. En effet, on a pas de formule pour chaque forme différente !
Pour calculer l’aire sous un domaine (par exemple un intervalle [𝑎, 𝑏] quelconque) il faut bien sûr
que la fonction soit continue sur ce domaine sinon l’idée même de courbe et donc d’aire sous la
courbe n’a aucun sens !
Par exemple l’aire hachurée ci-dessus semble assez difficile à calculer, il ne s’agit pas d’un
rectangle, d’un cercle, ou d’une forme dont on connait l’aire.
Pour estimer une telle aire on peut néanmoins l’approximer par des rectangles de cette manière :

Analyse infinitésimale

22

Il existe deux manières bien précises de former ces rectangles :
-Une manière qui approxime l’aire par excès
-Une manière qui approxime l’aire par défaut

On a alors :

Quand on fait la somme de ces rectangles dont l’aire est inférieure à l’aire estimée on dit qu’on fait
la somme minorante et inversement : on dit qu’on fait la somme majorante, quand l’aire des
rectangles est (légèrement) supérieure à l’aire sous la courbe.
Cependant, on devine aisément que cette approximation va tendre vers l’aire exacte si le nombre
de rectangles augmente :

Analyse infinitésimale

23

Plus le nombre de rectangles est important, plus l’approximation est exacte.
Et en faisant tendre le nombre de rectangles vers l’infini on obtient l’aire exacte qui se trouve entre la courbe
et l’axe des abscisses. On note alors ainsi :
Si 𝐴𝑚 est la somme minorante, 𝐴𝑀 la somme majorante et 𝐴 l’aire exacte sous la courbe. Alors l’aire exacte
sous la courbe s’écrit :
lim 𝐴𝑚 = lim 𝐴𝑀 = 𝐴

𝑛→∞

𝑛→∞

Le nombre 𝑛 est le nombre de rectangles. Donc si le nombre de rectangles tend vers l’infini, alors la somme
minorante et la somme majorante tendent vers une limite commune, l’aire sous la courbe de la fonction sur
un intervalle quelconque.
Cette aire sous la courbe est dite « intégrale de 𝑓 entre 𝑎 et 𝑏 » et se note ainsi :
𝑏

𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎

Calculer l’intégrale revient donc à rechercher cette limite des sommes majorantes et minorantes. Ces sommes
sont appelées sommes de Riemann et l’intégrale de la fonction, intégrale de Riemann.
Bien sûr, l’intégrale existe si cette limite-là existe bien. Si elle existe nous disons que la fonction est Riemannintégrale sur l’intervalle [𝑎, 𝑏] correspondant.

Bernhard Riemann, mathématicien du 19ème siècle connu entre autre pour sa définition de l’intégrale dite de
« Riemann » pour sa définition de la géométrie dite « Riemannienne » et pour son analyse de la fonction zéta dite
de « Riemann ».

Analyse infinitésimale

24

Les nombres 𝑎 et 𝑏 sont dites les bornes de l’intégrales :
-

a est la borne inférieure
b est la borne supérieure

De plus la variable 𝑥 est dite « muette » dans l’intégrale :
𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎

En effet, seul ici importe la fonction, puisque l’intégrale est l’aire sous la courbe, la variable ne désigne rien
de particulier si ce n’est son rôle de variable, ainsi on peut écrire de manière tout à fait arbitraire :
𝑏

𝑏

𝑏

𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑦) 𝑑𝑦 = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝛼) 𝑑𝛼 = ⋯
𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

Sans que ça ne change rien à la signification et à la valeur de l’intégrale.

8.2 Propriétés des intégrales
Ensuite il y a des propriétés assez évidentes :
Linéarité :
L’intégrale est donc additive de cette manière:
𝑏

𝑏

𝑏

∫(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎

𝑎

𝑎

Et homogène :
𝑏

𝑏

∀𝜆 ∈ ℝ, ∫ 𝜆𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝜆 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎

𝑎

Relation de Chasles :
𝑏

𝑐

𝑐

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎

𝑏

𝑎

Analyse infinitésimale

25

Comme tu le vois, l’aire ente 𝑎 et 𝑐 est égale à l’aire entre 𝑎 et un réel 𝑏 intermédiaire entre 𝑎 et 𝑐 et l’aire
entre 𝑏 et 𝑐.
Et aussi la propriété évidente :
𝑎

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 0
𝑎

Il y a aussi des propriétés liées à la construction de l’intégrale. L’intégrale est un nombre réel, donc l’aire
qu’elle désigne n’est pas toujours positive. En effet, en donnant un sens (droite-gauche, haut-bas) on peut
définir un repère et donc une aire algébrique qui peut prendre des valeurs positives ou négatives. Ainsi,
quand la courbe est située au-dessus de l’axe des abscisses, l’intégrale est positive, tandis que si elle est située
en-dessous, l’intégrale sera négative :

Ici, l’intégrale entre 𝑎 et 𝑏 est positive, entre 𝑏 et 𝑐, négative et entre 𝑐 et 𝑑, positive.
Pour calculer l’aire « sous la courbe » pour une telle fonction on procède ainsi :
𝑑

𝑏

𝑐

𝑑

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎

𝑎

𝑏

𝑐

On a décomposé la fonction en différentes parties correspondants à ses emplacements par rapport à l’axe des
abscisses, grâce à la relation de chasles.

Analyse infinitésimale

26

9) Lien entre intégrale et primitive
9.1 Théorème fondamental de l’analyse
Il existe un lien très étroit entre intégrale et primitive. Ce lien est définit très précisément dans ce
qu’on appelle le « théorème fondamental de l’analyse », il s’énonce en deux point :
Théorème fondamental de l’analyse :
 Soit 𝜑 la fonction définie par :
𝑥

𝜑(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝑎

Alors 𝜑 est la primitive de 𝑓 qui s’annule en 𝑎.
Démonstration :
Supposons que 𝑓 soit positive, alors sa représentation graphique sera au-dessus de l’axe des
abscisses tel que :

Et comme 𝑎 est la borne inférieure, alors l’intégrale n’a un sens que si 𝑥 ≥ 𝑎
Ceci bien posé, revenons à la définition de la dérivée :
Pour démontrer que 𝜑 est une primitive de f il suffit simplement de démontrer que :
𝜑(𝑥 + ℎ) − 𝜑(𝑥)
= 𝑓(𝑥)
ℎ→0

Ce qui se visualise ainsi sur le graphique :
∀𝑥 ∈ 𝐷𝜑 , lim

On a donc :

Analyse infinitésimale

27

𝑥+ℎ

𝑥

𝜑(𝑥 + ℎ) − 𝜑(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 − ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝑎

Cette différence correspond à :

𝑎
𝑥+ℎ

𝜑(𝑥 + ℎ) − 𝜑(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝑥

Il s’agit de l’aire de la bande de largeur ℎ approximée par défaut en 𝑥 par un rectangle « qui est en
dessous de la courbe » et en 𝑥 + ℎ en excès par un second rectangle qui est « au-dessus de la
courbe ».
Si 𝑚 est le minimum de 𝑓 sur l’intervalle [𝑥, 𝑥 + ℎ] et 𝑀 le maximum de 𝑓 sur ce même intervalle.
Alors l’aire du premier rectangle (celui qui est en dessous de la courbe) vaut :
𝑚ℎ
(la largeur h et la hauteur qui est le minimum m).
Tandis que le rectangle précédent + le petit rectangle au dessus vaut pour aire :
𝑀ℎ
Pour les mêmes raisons que le précédent.
Ainsi, on a approximer l’aire par défaut et par excès avec ces deux rectangles on peut écrire que :
𝑥+ℎ

𝑚ℎ ≤ ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 ≤ 𝑀ℎ
𝑥

⇔ 𝑚ℎ ≤ 𝜑(𝑥 + ℎ) − 𝜑(𝑥) ≤ 𝑀ℎ
Puisque h est positif on peut écrire donc :
𝜑(𝑥 + ℎ) − 𝜑(𝑥)
⇔𝑚≤
≤𝑀

Lorsque ℎ tend vers 0 alors 𝑚 et 𝑀 tendent vers une limite commune qui n’est autre que 𝑓(𝑥).
En effet, plus h est petit, plus le minimum et le maximum vont être proches, quand on tend vers
0, le minimum et le maximum correspondent à un unique point sur la courbe dont l’ordonnée est
𝑓(𝑥).
Ainsi, on vient de prouver que :

𝜑(𝑥 + ℎ) − 𝜑(𝑥)
= 𝑓(𝑥)
ℎ→0

Donc que 𝜑 est bien une primitive de 𝑓.
∀𝑥 ∈ 𝐷𝜑 , lim

De plus :

𝑎

𝜑(𝑎) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 0
𝑎

Cette primitive s’annule donc bien en 𝑎

On peut démontrer exactement de la même manière ce théorème pour le cas où 𝜑 est négative.


Soit 𝐹 une primitive de 𝑓 alors :
𝑏

∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐷𝑓 , 𝑎 ≤ 𝑏, ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑎

Comme on l’a dit, deux primitives diffèrent d’une constante dite « d’intégration », ainsi :
Si 𝐹1 et 𝐹2 sont deux primitives de 𝑓 alors :

Analyse infinitésimale

28

𝐹1 (𝑥) − 𝐹2 (𝑥) = 𝐶
Où C désigne une constante.
Alors prenons, une primitive 𝜑 de 𝑓 et une seconde primitive 𝐹 de 𝑓 alors :
𝜑(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶
Donc :
𝑥

∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐹(𝑥) + 𝐶
𝑎

Or :

𝑎

∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐹(𝑎) + 𝐶 = 0
𝑎

D’où :

𝐶 = −𝐹(𝑎)
On a donc :

𝑥

∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 = 𝐹(𝑥) − 𝐹(𝑎)
Et en particulier :

𝑎
𝑏

∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑎

Ce que nous révèle le théorème fondamental de l’analyse est que donc, pour calculer une intégrale il
suffit de savoir retrouver une primitive de la fonction à intégrer.
Par exemple, essayons d’évaluer :
𝜋
2

∫ cos 𝑥 𝑑𝑥
0

Une primitive de cos 𝑥 est sin 𝑥 + 𝐶, donc le théorème fondamental de l’analyse, nous dit
directement que :
𝜋
2

𝜋
∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin + 𝐶 − sin 0 − 𝐶
2
0

Les deux constantes s’annulent et on trouve :
𝜋
2

𝜋
∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin − sin 0 = 1
2
0

Pour t’exercer, tu peux essayer de faire les suivantes de la même manière :
𝜋

∫ cos 𝑥 + cos ²𝑥 𝑑𝑥
−1

Analyse infinitésimale

29

2

1
∫ 𝑑𝑥
𝑥
1
𝜋


−𝜋

sin 𝑥
𝑑𝑥
cos 𝑥

9.2 Intégrale indéfinie et primitive
On note aussi parfois la primitive d’une fonction sous la forme d’une intégrale de cette manière :
𝐹(𝑥) + 𝐶 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
On appelle cela une intégrale indéfinie. Une intégrale indéfinie représente n’importe quelle
primitive de la fonction. Donc elle représente une primitive qu’on dit « à une constante
(d’intégration) près ».
Il faut bien faire le distinguo entre intégrale définie et intégrale indéfinie. Une intégrale définie est
un nombre réel qui mesure l’aire sous la courbe de la fonction, une intégrale définie a des bornes et
est définie sur un intervalle.
L’intégrale indéfinie n’est qu’une notation (en reprenant le symbole de l’intégrale) pour désigner
une fonction, la primitive de la fonction.
L’une est un nombre, l’autre une fonction donc !
L’intégrale indéfinie a donc la propriété de définition suivante :
𝑑
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
Entre autre la dérivée, de l’intégrale indéfinie d’une fonction redonne cette fonction.

Analyse infinitésimale

30

10)

Calcul intégral

On nomme « calcul intégral » le fait de pouvoir calculer les intégrales. En effet, comme le montre le
théorème fondamental de l’analyse, pour calculer l’intégrale d’une fonction, il faut pouvoir
connaître sa primitive. Néanmoins, pour certaines fonctions la recherche des primitives est
vraiment ardue, par exemple la fonction suivante :
𝑓(𝑥) =

cos 𝑥
√1 − 𝑥²

Est une fonction dont la primitive est très compliqué à trouver, en effet, il s’agit non pas d’une
fonction élémentaire mais de l’embriquement de plusieurs fonctions.

10.1 Intégration par parties
Une première méthode pour simplifier une intégrale se nomme « l’intégration par parties », elle
peut se résumer avec cette formule :
𝑏

𝑏

∫ 𝑢(𝑥)𝑣

′ (𝑥)

𝑑𝑥 =

[𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)]𝑏𝑎

− ∫ 𝑢′ (𝑥)𝑣(𝑥) 𝑑𝑥

𝑎

𝑎

On a la notation suivante :
[𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)]𝑏𝑎 = [𝑢(𝑏)𝑣(𝑏)] − [𝑢(𝑎)𝑣(𝑎)]
Cette propriété se démontre assez facilement :
Démonstration :
Soit u et v deux fonctions, alors :
(𝑢𝑣)′ = 𝑢′ 𝑣 + 𝑣𝑢′
𝑢′ 𝑣 = (𝑢𝑣)′ − 𝑣𝑢′
𝑏

𝑏

𝑏

∫ 𝑢′ 𝑣 𝑑𝑥 = ∫(𝑢𝑣)′ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑣𝑢′ 𝑑𝑥
𝑎

𝑎

𝑎

En utilisant le théorème fondamental de l’analyse on a :
𝑏

∫(𝑢𝑣)′ 𝑑𝑥 = 𝑢(𝑏)𝑣(𝑏) − 𝑢(𝑎)𝑣(𝑎)
𝑎

Voilà, on a démontré la formule d’intégration par parties.

Analyse infinitésimale

31

Tu peux te demander à quoi sert cette formule dans le calcul d’intégrale… En effet, on remplace
une intégrale bah… par une autre intégrale.
Et bien en fait justement, le fait de remplacer une intégrale par une autre intégrale permet souvent
de simplifier la fonction dont on veut trouver la primitive. Quand on réalise une telle opération on
dit qu’on fait une « intégration par parties ». Puis comme tu le vois, on obtient une autre intégrale
qu’on peut elle-même intégrer par partie, on effectue alors une « seconde intégration par parties »
et ainsi de suite, généralement jusqu’à trouver une fonction dont on connaisse la primitive.
Par exemple, essayons de calculer l’intégrale suivante :
2𝜋

𝐴 = ∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
−4

Si on dérive 𝑥 l’expression va être plus simple puisque le degré va être diminué, donc on pose :
𝑢(𝑥) = 𝑥
et
𝑣′(𝑥) = cos 𝑥
On a alors :
𝑢′ (𝑥) = 1
Et
𝑣(𝑥) = sin 𝑥
La formule d’intégration par parties donne alors :
2𝜋

𝜋
𝜋
𝐴 = 2𝜋 sin(2𝜋) + sin (− ) − ∫ sin 𝑥
4
4
𝜋
−4

On connait bien la primitive de la fonction sinus, donc on a :
𝐴 = 2𝜋 sin(2𝜋) +

𝜋
𝜋
−𝜋
sin (− ) − [−cos(2𝜋) + cos ( )]
4
4
4

Voilà, on a réussi à calculer l’intégrale.

Analyse infinitésimale

32

10.2 Intégration par changement de variable
De la même manière, il existe une formule dite « de changement de variable » qui permet de
transformer une intégrale en la rendant plus simple, voici la formule en question :
Φ(𝑏)

𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(Φ(𝑥))Φ′ (𝑥) 𝑑𝑥
Φ(𝑎)

𝑎

Elle se démontre de la même manière que celle de l’intégration par parties en partant cette fois-ci
de la dérivée d’une fonction composée.
Pour son utilisation précise, je te renvois à une vidéo vraiment super pour comprendre :

https://www.youtube.com/watch?v=7O3FBsIVnZY

11)

Différentielle et intégrale au sens de Leibniz

11.1 Introduction
Ce qu’on vient de voir là, est la définition de la dérivée, de la différentielle et de l’intégrale
au sens de l’analyse, au sens de Riemanne et Cauchy. Néanmoins, à l’origine, le calcul
infinitésimal a été développé par Newton et Leibniz pour pouvoir calculer des aires et des
longueurs.

Newton et Leibniz n’étaient pas vraiment mathématiciens, ils étaient plus physiciens.
Ainsi quand ils « voyaient » sur un graphique ou sur un dessein que telle approximation
marchait, ça leur suffisait. Ainsi pendant longtemps le calcul infinitésimal a été utilisé « à
la louche » et pas trop de manière rigoureuse. Newton, Leibniz, Euler et d’autres,
utilisaient le calcul infinitésimal sans connaître la notion de limite qui fut introduite deux
siècles plus tard par Louis Augustin de Cauchy.

Analyse infinitésimale

33

Leibniz, philosophe, physicien et juriste allemand

La différentielle au sens de Leibniz est une quantité infinitésimale, cette quantité est
souvent notée ainsi :
𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑙, 𝑑𝑡
Donc avec un « 𝑑 » devant comme la différentielle qu’on a vu tout à l’heure. Cependant,
ici, il ne s’agit pas d’une variation infinitésimale comme tout à l’heure mais seulement
d’une quantité infinitésimale.
Ainsi, par exemple 𝑑𝑙 peut désigner un « élément de longueur » (sous-entendu infiniment
petit donc). Voilà pour la différentielle au sens de Leibniz.
L’intégrale au sens de Leibniz est une somme continue de terme infiniment petit (donc une
somme de « différentielles »). En effet, à l’origine le ∫ symbole de l’intégrale est un S
« allongé » symbolisant la Somme. Voilà donc pour l’intégrale au sens de Leibniz.
Ces deux conceptions différentes de précédemment marche parfaitement bien dans les
calculs, elles donnent les bons résultats, c’est pourquoi elles sont encore largement
utilisées.
Mais est-ce que tout ce qu’on a vu avant n’a rien à voir ? Non. Depuis récemment (les
années 70), les mathématiciens ont réussi à prouver que les deux versions (l’analyse
infinitésimale et le calcul infinitésimal au sens de Leibniz) étaient rigoureusement
équivalente. La deuxième, celle de Leibniz est néanmoins beaucoup plus « intuitive » que
la première comme on va le voir, puisque comme je l’ai dit elle est largement basé sur le
« visuel ».
L’analyse au sens Leibniz a trouvé un cadre rigoureux (les mathématiciens du 20ème l’ont
théorisé rigoureusement) dans ce qu’on appelle aujourd’hui l’analyse non-standard,
version qui se base sur ces nombres « infiniment petit » (sans utiliser la notion de limite)
qui sont appelés par les mathématiciens, des nombres « hyperréels ».

Analyse infinitésimale

34

Ainsi tous les résultats de la première version sont valables encore ici. En particulier la
relation différentielle :
𝑑𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥
Et encore valable.
Voyons de quoi il s’agit.
11.2 Le calcul infinitésimal
Une application très concrète (démonstration de l’aire d’un cône de révolution) et très facile à saisir
avec les notions au sens de Leibniz est disponible ici :
https://www.youtube.com/watch?v=I1zfpl5estM

Analyse infinitésimale

35


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