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Développement - 204 ; 206

Théorème : En dimension finie toutes les normes sont équivalentes.

Démonstration.

Soit 𝐸 un espace vectoriel de dimension finie. On munit 𝐸 d’une base (𝑒! , … , 𝑒! ) et de la
norme ∥ . ∥∞ . On va montrer que toute norme 𝑁 sur 𝐸 est équivalente à ∥ . ∥∞ .
Comme 𝐸 est de dimension finie il est isomorphe à ℝ! . On se limite donc à ce cas pour la
démonstration.

Lemme : Toute norme 𝑁 de ℝ! est une application continue de (ℝ! , ∥ . ∥∞ ) sur ℝ, . |)
Démonstration du lemme : Soit 𝑥 ∈ ℝ! , alors 𝑥 = !!!! 𝑥! 𝑒! . On a donc
!

𝑁 𝑥 =𝑁

𝑥! 𝑒!
!!!

Par l’inégalité triangulaire et l’homogénéité de la norme 𝑁 on a :
!

𝑁 𝑥 ≤

!

𝑥! 𝑁 𝑒! ≤ ∥ 𝑥 ∥∞
!!!

𝑁(𝑒𝑖)
!!!

!
!!! 𝑁

Les 𝑒! étant non nuls, on pose 𝑀 =
𝑒! > 0.
On a alors : 𝑁 𝑥 ≤ 𝑀 ∥ 𝑥 ∥∞ .
Donc :
∃ 𝑀 > 0 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅! ! , 𝑁 𝑥 − 𝑦 ≤ 𝑀 ∥ 𝑥 − 𝑦 ∥∞
Et d’après l’intégalité triangulaire inversée :
𝑁 𝑥 −𝑁 𝑦 ≤𝑁 𝑥−𝑦
Finalement :
∃ 𝑀 > 0 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅! ! , 𝑁 𝑥 − 𝑁 𝑦 ≤ 𝑀 ∥ 𝑥 − 𝑦 ∥∞
Donc 𝑁 est lipschitzienne et donc continue de (ℝ! , ∥ . ∥∞ ) sur ℝ, . |).



Montrons que 𝑁 est équivalente à ∥ . ∥∞ . Considérons la sphère unité 𝑆 pour ∥ . ∥∞ :
!

𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ! | ∥ . 𝑥 ∥∞ = 1 = 𝑥 ∈ ℝ!

sup 𝑥! = 1} ⊂

!!!!!

[−1; 1]
!!!

[−1; 1] est un compact de ℝ, donc 𝑃 = !!!![−1; 1] est un compact de ℝ! , comme
produit cartésien fini de compacts.
- 𝑆 est fermée car elle est l’image réciproque par l’application continue ∥ . ∥∞ du
fermé {1}. Donc 𝑆 est un compact car c’est un fermé du compact 𝑃.
𝑁 est une application continue sur ℝ! , donc elle est continue sur le compact 𝑆 : elle
atteint donc ses bornes sur 𝑆 :
∃ 𝑚, 𝑀 ∈ ℝ! ! 𝑡𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒 ∀𝑥 ∈ 𝑆, 𝑚 ≤ 𝑁 𝑥 ≤ 𝑀
Et :
∃ 𝑥! ∈ 𝑆 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑚 = 𝑁 𝑥!
Or puisque 𝑥! ∈ 𝑆 , 𝑥! ≠ 0 et par définition d’une norme : 𝑁 𝑥! ≠ 0 ⇒ 𝑚 ≠ 0. Donc :
∃ 𝑚, 𝑀 ∈ ℝ∗! ! 𝑡𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒 ∀𝑥 ∈ 𝑆, 𝑚 ≤ 𝑁 𝑥 ≤ 𝑀
-

On peut alors étendre ce résultat à ℝ! \{0} :
Si 𝑥 = 0, toute les normes sont nulles.

!

Soit 𝑥 ∈ ℝ! \{0}. On pose 𝑥 ! = ∥!∥ ∈ 𝑆 : on a donc 𝑚 ≤ 𝑁 𝑥 ! ≤ 𝑀, soit :

𝑥
𝑚≤𝑁
≤𝑀
∥ 𝑥 ∥∞
Et par homogénéité de la norme :
1
𝑚≤
𝑁 𝑥 ≤𝑀
∥ 𝑥 ∥∞
𝑚 ∥ 𝑥 ∥∞ ≤ 𝑁 𝑥 ≤ 𝑀 ∥ 𝑥 ∥∞
Cette inégalité est toujours vraie si 𝑥 ≠ 0, donc 𝑁 et ∥ . ∥∞ sont équivalentes sur ℝ! .




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