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Mécanique du solide
Annexe III : Torseur et moment

I. AL KORACHI
Ecole des Hautes Etudes d’Ingénierie Oujda

Torseur
Théorème 1 :
Tout champ de vecteur qui vérifie la relation suivante :
est un champ de vecteur équiprojectif.

La projection des moments en deux points différents sur la droite qui relie ces deux points
reste la même.
Théorème 2 :
Tout champ de vecteur équiprojectif est un torseur de résultante

: Sont les éléments de réduction du torseur
Au point
le torseur
s’écrit :

Exemple
Moment d’un vecteur par rapport à un point
Le Moment d’un vecteur

Le Moment au point

lié par rapport au point O est égal :

d’un vecteur

est égal :

1

et de moment

Mécanique du solide
Annexe III : Torseur et moment

I. AL KORACHI
Ecole des Hautes Etudes d’Ingénierie Oujda

Le champ des moments est équiprojectif, donc il est représenté mathématiquement par un
torseur :

Opération sur les torseurs
Soit un torseur de résultante

et de moment

Egalité de deux torseurs
Soit deux torseurs

:

:

Sont égaux (équivalent) c à d
Somme de deux torseurs
La somme de deux torseurs

Comoment de deux torseurs
Le comoment de deux torseurs

si :

est un torseur

défini par :

est un scalaire défini par :

Le comoment de dépend pas du point de calcul.

Multiplication par un scalaire
La multiplication d’un torseur

par un scalaire
2

est un torseur

définit par :

Mécanique du solide
Annexe III : Torseur et moment

Torseur nul
Un torseur

I. AL KORACHI
Ecole des Hautes Etudes d’Ingénierie Oujda

est nul si :

Invariant scalaire d’un torseur
L’invariant scalaire d’un torseur est le produit scalaire des ces éléments de réduction :
est indépendant du point P.
Démonstration, le moment au point

:

Invariant vectoriel du Torseur :

Vecteur Projection de
Axe central d’un torseur
Soit un torseur donné de résultante non nulle. L’ensemble des points P de l’espace, tel que le
moment du torseur en ces points est parallèle à la résultante, forment une droite (Δ) appelée
axe central (Δ).
L’axe central d’un torseur est une droite parallèle à la droite-support de la résultante du
torseur
Soient et deux points de l’axe central, nous pouvons écrire :

L’axe central est la droite formée par les points dont le module du moment
du
torseur est minimum.
Soit P un point appartenant à l’axe central et soit A un point quelconque de l’espace
n’appartenant pas à l’axe central. Nous pouvons écrire par la formule de transport :

3

Mécanique du solide
Annexe III : Torseur et moment

I. AL KORACHI
Ecole des Hautes Etudes d’Ingénierie Oujda

Quel que soit P appartenant à l’axe central le moment en ce point est minimum.
Le moment aux points P de l’axe central s’appel le moment central, il est le même sur touts
les points de l’axe central.
Détermination de l’axe central, Equation vectorielle de l’axe central

est aussi un point de l’axe central, c’est la projection orthogonale de O sur
Par conséquent, l’axe central du torseur est la droite qui passe par

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et parallèle à

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Annexe III : Torseur et moment

I. AL KORACHI
Ecole des Hautes Etudes d’Ingénierie Oujda

Torseur glisseur : torseur de résultante non nulle et d’invariant scalaire nul

Axe central :
Ce qui implique que :

L’axe central passe le point P de moment nul et parallèle à . Touts les points de l’axe central
ont un moment nul. (Torseur cinématique : rotation autour d’un axe fixe)
Détermination de du point P de l’axe central.

Torseur couple : Torseur de résultante nulle et de moment non nul en un point.

L’axe central est indéfini :
(Torseur cinématique : Translation sans rotation)
Torseur quelconque : Torseur de résultante non nulle et d’invariant scalaire non nul

On peut toujours écrire :

Ce torseur se décompose en deux torseurs, un couple et un glisseur :

(Torseur cinématique : Translation suivant et rotation autour de )
Détermination de du point P de l’axe central.

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