Dérivabilité 4M .pdf


Nom original: Dérivabilité-4M.pdfTitre: D:\mathmouf(résumés de cours 4MAuteur: ZOUHAIER

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Dérivabilité

Hadj Salem Habib

Lycée pilote Médenine

Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert de centre un réel x 0 .
fx
f x0
f est dérivable en x 0
lim
IR
x x0
x x0
fx
f x0
Dans le cas où f est dérivable en x 0 le réel lim
est
x x0
x x0
dit nombre dérivé de f en x 0 et est noté f x 0 .
f est dérivable à droite en x 0
Dans ce cas le réel

fx
x

lim
x x0

fx
x

lim
x x0

f x0
x0

f x0
x0

IR

est dit nombre dérivé à droite

de f en x 0 et est noté f d x 0 .
f est dérivable à gauche en x 0
fx
x

Dans ce cas le réel lim
x x0

fx
x

lim

x x0

f x0
x0

f x0
x0

IR

est dit nombre dérivé à gauche

de f en x 0 et est noté f g x 0 .
Quand f est dérivable en x 0 le réel f x 0
h f x 0 est une
approximation affine de f x 0 h pour tout h assez proche de x 0 .
Tableau des fonctions dérivées des fonctions usuelles
fonctions usuelles

Sa dérivées

fx

c

avec c un constante réelle f x

0

fx

xn

avec n

fx

x

n xn 1
1
2 x

fx

cos x

fx

cos ax

fx

sin x

fx

sin ax

fx

tg x

fx

tg ax

IN

f x
f x

b avec a, b

IR

2

b

f x

sin x

f x

a sin ax

f x

cos x

f x

a cos ax b
1
1 tg 2 x
cos 2 x
a 1 tg 2 ax b

f x
IR 2

b avec a, b

Théo rème

b

f x

(Opération sur les fonctions dérivables)

f et g sont deux fonctions définies sur un intervalle I.
Si f et g sont dérivables sur I alors les fonctions f
sont dérivables sur I et x

I;

Si f est dérivable sur I et n
dérivable sur I et x

Hadj Salem Habib

I;

fx

g et f

g

fx

gx

f x

g x

fx

gx

f xgx

g xfx

IN \ 1 alors la fonction f n est
n

Bac Maths

nf x

(1)

fx

n 1

.

Bac Sc exp

Lycée pilote Médenine

Dérivabilité

Hadj Salem Habib

Si f est dérivable sur I et f x
dérivable sur I et x

0, x

1
fx

I;

Si f et g sont dérivables sur I et g x
f
g est dérivable sur I et x

I;

Lycée pilote Médenine

I alors la fonction 1 est
f
f x
.
2
fx
0, x

I alors la fonction

f xgx g xfx
gx 2

fx
gx

Définition
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
La dérivée f de f est appelée la dérivée première de f.
Si la fonction f est dérivable sur I, sa fonction dérivée est appelée
dérivée seconde de f et notée f 2 ou f .
Par itération, si la fonction f n 1 n 2 est dérivable sur I, sa fonction
dérivée est appelée dérivée n ème de f et est noté f n .
La dérivée n ème de f est aussi appelée dérivée d’ordre n de f.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, g une fonction définie sur un

Théo rème

intervalle J qui contient f I . Soit a un élément de I.
Si f est dérivable en a et g est dérivable en f a alors g f est dérivable
f a
g fa .
en a et g f a
Si f est dérivable sur I et g est dérivable sur f I alors g f est dérivable

sur I et x

I;

Théo rème

g f

x

f x g fx

gfx

(de Rolle)

Soit a et b deux réels tels que a b.
Soit f une fonction continue sur a, b , dérivable sur a, b et telle que
fa
f b . Alors il existe un réel c de a, b tel que f c
0.

Théo rème

(des accroissements finis)

Soit a et b deux réels tels que a b.
Soit f une fonction définie sur a, b
Si f est continue sur a, b et dérivable sur a, b alors il existe un réel
c de a, b tel que f b
fa
f c b a .
Hadj Salem Habib

Bac Maths

(2)

Bac Sc exp

Lycée pilote Médenine

Dérivabilité

Hadj Salem Habib

Lycée pilote Médenine

Théo rème
Soit f une fonction définie sur un intervalle a, b de IR avec a

b.

f est continue sur a, b
Si

f est dérivable sur a, b
il existe deux réels m et M tels que m f x

Alors

m b

a

fb

fa

Mb

M pour tout x de ]a,b[

a .

Théo rème
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR.
f est dérivable sur I

Si

il existe un réel M tel que |f x |

M pour tout x de I

Alors pour tous réels a et b de I on a |f b

Théo rème

fa |

Mb

a

sens de variation d’une fonction)

a et b sont deux réels tels que a

b.

Soit f une fonction continue sur a, b et dérivable sur a, b .
Si f x
0, x a, b alors f est strictement sur a, b .
Si f x
0, x a, b alors f est strictement sur a, b .
0, x a, b alors f est sur a, b .
Si f x
Si f x
0, x a, b alors f est sur a, b .

Théo rème
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I
Si

f x

0, x

I

f ne s’annule pas sur un intervalle de I

alors f est strictement

croissante sur I.
Autrement dit:
Si

f x
f

0, x

alors f est strictement

I

sur I.

0 ou f s’annule en uniquement des points isolés de I

De même
Si

f x
f

0, x

I

0 ou f s’annule en uniquement des points isolés de I

alors f est strictement décroissante sur I.

Théo rème

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I . On a:

( f est constante sur I )

x

Il existe une constante réelle c tel que f x
Hadj Salem Habib

Bac Maths

(3)

I; f x
c;

Bac Sc exp

x

0
I
Lycée pilote Médenine

Hadj Salem Habib

Dérivabilité

Lycée pilote Médenine

Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I. On dit que :
f admet un maximum local en a, s’il existe un intervalle ouvert J contenant
a et inclus dans I tel que pour tout x de J, f x
fa .
f admet un miniimum local en a, s’il existe un intervalle ouvert J contenant
a et inclus dans I tel que pour tout x de J, f x
fa .
Lorsque f admet un minimum local ou un maximum local en a on dit que f
admet un extremum local en a.

Théo rème
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et a un réel de I.
Si f admet un extremum local en a alors f a
0.
Si f x s’annule en a en changeant de signe alors f admet un extremum
local en a.

Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et dérivable en un réel
a de I et C f sa courbe dans un repère orthogonal O, i , j .
On dit que le point A a, f a
sa tangente en ce point.

est un point d’inflexion de C f si C f traverse

Théo rème
Soit f une fonction deux fois dérivable sur a h, a h , (h 0 et C f sa
représentation graphique dans un repère orthonormé.
Si la fonction dérivée seconde f de f s’annule en a en changeant de signe
alors le point I a, f a est un point d’inflexion de la courbe C f .
Hadj Salem Habib

Bac Maths

(4)

Bac Sc exp

Lycée pilote Médenine


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