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1

´ Saad Dahlab Blida
Universite
Premi`ere Ann´ee LMD TCST
2016/2017


erie d’Exercices no : 3

Module: Maths I

Limites et Continuit´e
Exercice (1): 1. D´eterminer le domaine de d´efinition des fonctions suivantes:
r
f1 (x) =

p
2 + 3x
; f2 (x) = exp( 1 − sin(x)) ; f3 (x) = ln | ln |x||,
5 − 2x

 √x2 si x ∈ ]−∞; −1[
f4 (x) =
1 − x2 , si x ∈ [−1, 1]

x, si x ∈ [1; 2[

2. Etudier l’existence de la limite en x = 1, des fonctions suivantes:


x−1
f1 (x) =
|x−1|

1

;

f2 (x) =

e x−1 − 1
1

.

e x−1 + 1

Exercice √
(2): Soit 0 < a ≤ √
b. Calculer les limites suivantes:
eax − ebx
3− 5+x
x+1−1
sin(5x)
sin(πx)

; 2. lim √
;
3.
lim
1. lim
; 4. lim
; 5. lim
;
3
x→0
x→0
x→4 1 −
x→0 sin(2x)
x→1 sin(3πx)
x
5−x
x+1−1
1



cos( π x)
π
1
6. limx7→1 x − 2 + x2 + 3 x−1 ; 7. limx7→1 1−√2 x ; 8. limx7→1 (1−x)
2 ln sin( 2 x) ,


9. limx7→−∞ x + x2 − x + 4 ; 10.limx7→0 cos(x)−1
ln(1+x2 ) .
(Indication 1 :

ex − 1
sin(x)
= 1, lim
= 1, sin(x) = sin(π − x) = sin(3π − x).)
x→0
x→0
x
x
lim

- E(x) d´esigne la fonction partie enti`ere de x.
lim

x→0

(Indication 2 :

x b
E( ) ;
a x

1
lim xE( ).
x

x→+∞

∀x ∈ R, x − 1 < E(x) ≤ x < E(x) + 1. )

Exercice (3): Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuite en x = 0.



x2
x
−x
x+
si x 6= 0 , f (x) = sin x sin 1 , f (x) = xE( 1 ), f (x) = 1 ln( e + e ).
f1 (x) =
2
3
4
x
 1
x
x
x
2
si x = 0
- Soit maintenant les fonctions d´efinies par:

1 − cos(2x)



si x ∈ ]−∞; 0[


1 + 4x2 − 1



2
x
g(x) =
,
x
α(1 − ) , si x ∈ ]0, 1]


2



sin(πx)

 β
, si x ∈ ]1; +∞[
(1 − x)
1.
2.
3.
4.


 √x2 si x ∈ ]−∞; −1[
h(x) =
1 − x2 , si x ∈ [−1, 1]

x, si x ∈ [1; 2[

D´eterminer Dg le domaine de d´efinition de g(x).
Trouver la valeur de α pour que g soit prolongeable par continuit´e en x0 = 0.
Montrer que h(x) est continue sur son domaine de d´efinition.
Tracer la courbe de h(x).

2

Exercice (4):
Soit f l’application suivante:
f : R∗+ → R
x 7→ f (x) = x3 ln(x).
1

1. Calculer l’image de α = e− 3 .
2. Etudier la continuit´e de f sur R∗+ .
3. Dresser le tableau de variation de f , puis en d´eduire:
a. f (]0, 1]) et f −1 (] − 1, f (α)[).
b. f n’est pas surjective.
4. Montrer que f r´ealise une bijection de [α, +∞[ vers un intervalle I `a d´eterminer.
5. Prouver que l’´equation f (x) − 1 = 0, admet une unique solution sur l’intervalle ] 32 , 32 [.
Exercice (5):
Soit f la fonction d´efinie par:

ex
.
x3
1. Trouver Df et Dfc , les domaines de d´efinition et de continuit´e de f respectivement.
2. Dresser le tableau de variations de f .
x
(Indication : on a ∀n ∈ N, limx7→+∞ xen = +∞.)
3. Montrer qu’il existe un unique α sur ]6, 7[, solution de l’´equation: f (x) − e = 0.
−1
({0, e}).
4. Sans utiliser la calculatrice, calculer f ({−1, 1, 21 , −1
2 }), f ([1, α]), f
5. f est-elle injective? surjective? Justifier.
6. V´erifier que f r´ealise une bijection de ]α, +∞[ vers un intervalle J `a d´eterminer.
7. Montrer que f admet un minimum local sur ]0, +∞[.
19
8. Sachant que :f ( 10
) < 1, en d´eduire, sans calculer, que ln(8) > 2.
f (x) =

Exercices suppl´
ementaires
Exercice (6):
Calculer les limites suivantes en justifiants vos calculs:


x2 + 2 | x |
x2 + 2 | x |
ln(3x + 1)
x2 − 4
; 2. lim
; 3. lim+
; 4. lim x( 1 + x2 − x) ; 5. lim 2
x→+∞
x→0
x→2 x − 3x + 2
x
2x
x→0
√ x→−∞
√ x
1 + x − 1 + x2
xm − 1
sin x − sin 2x
tan x − sin x
cos2 x − 1
6. lim
; 7. lim n
; 8. lim
; 10. lim
;
; 9. lim
x→0
x→1 x − 1
x→0
x→0
x→0
x
x2
tan x
sin3 ( x2 )



x
1 + sin x − 1 + − sin x
x − sin (2x)
1
n
11. lim
;
12.
lim
13.lim
;
14.
lim
x
sin
x→0
x→0
2
x→0 2 + sin( 1 )
x→0
x
x
+
sin
(3x)
x
x

2 sin (x) − 3
o`
u n ∈ N; 15. limx→π/3
..
2 cos (x) − 1

3
1
2 si x ≥ 0

eponses: l1 =
; l2 = −∞ ; l3 =
;l4 =
; l5 = 4 ; l6 = 12 ; l8 = ∞ l9 = 0 ;l10 = 4
−2 si x ≺ 0
2
2

− 3
l11 = 0 ;l12 = 1 ;l13 = −1
4 ;l14 = 3 .
1. lim


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