Série dérivabilité Bac Math .pdf


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Mr :Khammour.K

Série n°5 : Dérivabilité

4èmeMath et Sc-exp

Novembre 2016

Exercice n°1 :
1  1  x2
si x  0
Soit f la fonction définie sur [-1,1] par :{
x
f (0)  0
f ( x) 

1) Montrer que f est continue sur [-1,1].
2) Montrer que f est dérivable en 0 et donner l’équation de la tangente T à  C f  au point 0.
3) Etudier la dérivabilité de f à droite en -1 et à gauche en 1.Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
4) Dresser le tableau de variation de f .
5) Soit g la fonction définie sur [-1,1] par : g ( x) 

2x
.Déterminer gof ( x) pour tout x de [-1,1].
1  x2

  
6) Pour tout x    ,  , on pose h( x)  g  tan x  .
 4 4
a) Simplifier h(x).





n
n
b) Déterminer h '( x), h ''( x) et h  ( x) pour tout n  IN*h  la dérivé n éme de h .

Exercice n°2 :
Soit f la fonction définie par f ( x)  x  x .
1) Déterminer le domaine de dérivabilité de f .
2) Calculer s’il existe f '(1) .


 
 
3) Soit g la fonction définie sur 0,  par : g( x)  f  tan x  .Montrer que g est dérivable en
et calculer g '   .
4
 2
4
Exercice n°3 :
Soit f la fonction définie par : f ( x)  x  x  x2 .
1) Déterminer le domaine de continuité de f .
2) a) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 et à gauche en 1.Interpréter géométriquement les résultats obtenus.
b) Déterminer le domaine de dérivabilité de f .
c) Calculer f '( x) pour tout x 0,1 .



 
3) Soit g la fonction définie sur 0,  par : g( x)  f  cos x  .Etudier la dérivabilité de g en
et .
2
3
 2
Exercice n°4 :
A) Soit f la fonction définie sur 1,  par : f ( x)  x2  2 x  2 .
1) a) Etudier la dérivabilité de f à droite en 1.
b) Déterminer le domaine de dérivabilité de f .
2) a) Etudier les variations de f .





b) Tracer la courbe  C f  de f dans un repère orthonormé O, i, j .

 
B) Soit g la fonction définie sur 0,  par : g( x)  f 1  tan x  .
 2
1
 
1) Vérifier que g ( x) 
pour tout x  0,  .
cos x
 2





2) Etudier les variations de g et tracer sa courbe sa courbe dans un autre repère orthonormé O, i, j .
Exercice n°5 :
2x
.
1  x2
1) a) Etudier la dérivabilité de g en 0.Interpréter géométriquement le résultat.
b) Etudier les variations de g.

A) On considère la fonction g définie sur [0,1[ par : g ( x) 





2) Tracer la courbe  Cg  dans un repère orthonormé O, i, j .
x
  
3) Vérifier que pour tout x  0,  g  tan   tan x .
2
 2 
 
B) On considère la fonction f définie sur 0,  par : f ( x)  2 tan x  1 .
 2

1) a) Etudier la dérivabilité de f en 0.
b) Etudier les variations de f .
 
2) a) Montrer que pour tout x   0,  f '( x)  1 (On pourra distinguer les cas ou tan x  1 et tan x  1.)
 2
b) On pose h( x)  f ( x)  x . Etudier les variations de h.
 
  
c) Montrer que l’équation h(x) = 0 admet dans  0,  une seule solution  .Vérifier que    ,  .
 2
6 4
d) En déduire le signe de h(x).
Exercice n°6 :

A) Soit f la fonction définie sur 1,  par : f ( x)  1  3 x2  1 .
1) a) Etudier la dérivabilité de f en 1.Interpréter graphiquement le résultat.
b) Déterminer le domaine de dérivabilité de f .
2) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
3) a) Montrer que f ( x)  0 admet une unique solution  sur 1,  .
1
3
c) Déduire le signe de f ( x) .

b) Vérifier que

 2 1  .

x2 1  3
.
x
1) Etudier la dérivabilité de f en 1.Interpréter géométriquement le résultat.

B) Soit g la fonction définie sur 1,  par : g ( x ) 

2) Montrer que pour tout x  1,  g '( x) 

f ( x)
x

2

x2 1

.

10
.
3
4) Dresser le tableau de variation de g.

3) Vérifier que g ( ) 

5) Tracer la courbe  C f  .
Exercice n°7 :

Soit f la fonction définie sur IR+ par : f ( x) 

2  x  1
.
x2  2 x  2

1) a) Dresser le tableau de variation de f .
b) Etudier le sens de variation de la fonction  définie par :  ( x)  f ( x)  x .En déduire que l’équation f ( x)  x
4 
admet une unique solution  et que    ,1
5 
2
1
1   x  1  3 
2) a) Montrer que pour tout x de IR+ , on a f '( x)     2
.
4
4  x  2 x  2 

b) En déduire que pour tout x de IR+ , on a f '( x) 

1
.
4

c) Montrer que pour tout x de IR+ , on a f ( x)  f ( ) 

1
x  .
4

Exercice n°8 :
On considère la fonction f définie sur IR par : f ( x) 





3x
1  x2

 2 . On désigne par  C f  sa courbe représentative

dans le plan P muni d’un repère orthonormé O, i, j .
1) a) Montrer que f est dérivable sur IR et calculer f '( x) pour tout x  IR.
b) Dresser le tableau de variation de f .
c) Etudier la position relative de  C f  par rapport à sa tangente T au point A(0,2).
d) Construire  C f  et T.
3
2) a) Montrer que pour tout x   2,   , on a 0  f '( x) 
.
3

b) Montrer que l’équation f ( x)  x admet dans  2,   une solution unique  et que   4,5 .
3) Soit la suite Un nIN définie par : U0=2 et Un1  f  Un  .
a) Montrer que pour tout n  IN U n  2 .
b) Montrer que pour tout n  IN U n 1   

3
Un   .
3

c) En déduire que la suite Un nIN est convergente et préciser sa limite .
Exercice n°9 :

1) Montrer que l’équation : x3  x  1  0 admet une unique solution  sur 1, 2 .

2) Montrer que pour tout x 0,  on a : x 3  x  1  0  x 
3) Soit f la fonction définie sur 0,  par : f ( x ) 

x 1
.
x

x 1
.
x

a) Etudier les variations de f .
b) Tracer la courbe  C f  et la droite  : y  x dans le repère orthonormé .
c) Déduire graphiquement que  est l’unique solution de l’équation x3  x  1  0 dans 0,  .
4) a) Montrer que pour tout x  1, on a f '( x) 

1
.
2

b) En déduire que pour tout x  1, on a f ( x)  f ( ) 

1
x  .
2

5) Soit Un nIN définie par : U0>0 et Un1  f  Un  .
a) Montrer que n  IN* ; U n  1
b) Montrer que pour tout n  IN* U n 1   

1
Un   .
2
n

c) Montrer que pour tout n  IN

*

1
U n      U1  
2

d) En déduire que Un nIN est convergente vers une limite que l’on déterminera.
Exercice n°10 :
Soit f la fonction définie sur IR par : f ( x) 

x2  1
.
x2  x  1

1) Dresser le tableau de variation de f .
2 
2) Montrer que l’équation f ( x)  x admet dans IR une solution unique  et que    ,1 .
3 

3) Soit Un nIN définie par : U0=1 et Un1  f  Un  .
5
2 
4) a) Montrer que pour tout x   ,1 f '( x)  .
9
3 
2
b) Montrer que n  IN ;  U n  1 .
3
5
c) Montrer que pour tout n  IN U n1    U n   .
9
n

5
d) Montrer que pour tout n  IN Un      1  
9

e) En déduire que Un nIN est convergente vers une limite que l’on déterminera.


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