Nombre d'or .pdf



Nom original: Nombre d'or.pdfAuteur: Paul PAOLI

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Propriété :
1

√1 + √1 + √1 + ⋯ = 1 +
1+

1
1
1+1+⋯

=

1 + √5
2

Preuve :
Définissons les deux suites suivantes :
(𝑢𝑛 )𝑛∈ℕ ,

∀𝑛 ∈ ℕ∗ , 𝑢𝑛+1 = √1 + 𝑢𝑛 𝑒𝑡 𝑢0 = 1

Et
(𝑣𝑛 )𝑛∈ℕ ,

∀𝑛 ∈ ℕ∗ , 𝑣𝑛+1 = 1 +

1
𝑒𝑡 𝑣0 = 1
𝑣𝑛

Approche visuelle :
On voit bien que :

𝑢𝑛+1 = √1 + 𝑢𝑛 = √1 + √1 + 𝑢𝑛−1 = √1 + √1 + √1 + 𝑢𝑛−2 = ⋯

𝑣𝑛+1 = 1 +

1
1
1
=1+
=1+
=⋯
1
1
𝑣𝑛
1+𝑣
1+
1
𝑛−1
1+𝑣
𝑛−2

Détermination des limites de ces suites :


(𝑢𝑛 )𝑛∈ℕ
 Montrons que (𝑢𝑛 ) est croissante :

Procédons par récurrence sur 𝑛. Montrons la propriété 𝒫(n) ∶ "un+1 ≥ un " pour tout entier naturel 𝑛

1

Initialisation : Pour 𝑛 = 0, on a
𝑢0 = 1
⇒ 𝑢1 ≥ 𝑢0
{
𝑢1 = √2
Donc la propriété est vérifiée au rang 0
Hérédité : Soit 𝑛 un entier naturel quelconque fixé. Supposons que 𝒫(n) est vraie et montrons que
cela implique que 𝒫(n + 1) est vraie aussi.
Partons de l’hypothèse de récurrence à savoir :
𝑢𝑛+1 ≥ 𝑢𝑛
⇒ 𝑢𝑛+1 + 1 ≥ 𝑢𝑛 + 1
⇒ √𝑢𝑛+1 + 1 ≥ √𝑢𝑛 + 1
La dernière ligne pour être parfaitement rigoureuse, on doit s’assurer que 𝑢𝑛 + 1 est un nombre positif
(pour prendre la racine carrée) ce qui se vérifie facilement par la définition de (𝑢𝑛 ) : pour tout entier
naturel 𝑢𝑛 s’exprime comme une racine carrée donc un nombre positif. On peut également faire une
récurrence.
⇒ 𝑢𝑛+2 ≥ 𝑢𝑛+1
Donc l’hérédité est bien montrée. On a bien : 𝒫(n) ⇒ 𝒫(n + 1).
Conclusion : La suite (𝑢𝑛 ) est croissante.
 Montrons que (𝑢𝑛 ) est majorée par 2.
Procédons par récurrence sur 𝑛. Montrons la propriété 𝒬(n) ∶ "2 ≥ un " pour tout entier naturel 𝑛
Initialisation : Pour 𝑛 = 0, on a
𝑢0 = 1 ⇒ 2 ≥ 𝑢0
Donc la propriété est vérifiée au rang 0
Hérédité : Soit 𝑛 un entier naturel quelconque fixé. Supposons que 𝒬(n) est vraie et montrons que cela
implique que 𝒬(n + 1) est vraie aussi.
Partons de l’hypothèse de récurrence à savoir :

2

2 ≥ 𝑢𝑛
⇒ 3 ≥ 𝑢𝑛 + 1
⇒ 2 > √3 ≥ √𝑢𝑛 + 1
On peut éventuellement montrer que :
2

2

2 > √3 en comparant leur carré : 22 − √3 = 4 − 3 = 1 > 0 donc 22 > √3 donc en prenant la
racine carrée : 2 > √3
⇒ 2 ≥ 𝑢𝑛+1
Donc l’hérédité est bien montrée. On a bien : 𝒬(n) ⇒ 𝒬(n + 1).
Conclusion : La suite (𝑢𝑛 ) est majorée par 2.
 Détermination de lim𝑛→+∞ 𝑢𝑛
(𝑢𝑛 ) est croissante et majorée par 2 donc elle converge. Notons 𝐿 sa limite qui est inférieure ou égale
à 2 alors :
lim 𝑢𝑛 = lim 𝑢𝑛+1 = 𝐿

𝑛→+∞

𝑛→+∞

D’où :
lim √1 + 𝑢𝑛 = 𝐿

𝑛→+∞

⇒ lim √1 + 𝑢𝑛 = 𝐿
𝑛→+∞

⇒ √1 + 𝐿 = 𝐿
Donc 𝐿 vérifie l’équation suivante :
𝐿2 − 𝐿 − 1 = 0
Les solutions à cette équation sont :
1 + √5
2
1 − √5
𝐿2 =
<0
2
{
𝐿1 =

On choisit la solution positive car (𝑢𝑛 ) est positive donc :
lim 𝑢𝑛 =

𝑛→+∞

1 + √5
2

3

-

-

-



(𝑣𝑛 )𝑛∈ℕ


-

-

Détermination de deux sous-suites de (𝑣𝑛 ):
(𝑤𝑛 ) ∶ 𝑤𝑛 = 𝑣2𝑛 , 𝑤0 = 𝑣0 = 1
(𝜔𝑛 ) ∶ 𝜔𝑛 = 𝑣2𝑛+1 , 𝜔0 = 𝑣1 = 1 + 1 = 2

On va montrer que ces deux sous-suites convergent vers la même valeur et que donc (𝑣𝑛 ) converge
vers cette valeur.
 Etude de fonction
Etudions la fonction 𝜇 suivante :
∀𝑥 ∈ [1,2], 𝜇(𝑥) = 1 +

1
𝑥

Sa dérivée est :
𝜇′ (𝑥) = −

1
𝑥2

Donc 𝜇 est strictement décroissante sur [1,2].
1

𝜇 est minorée par 𝜇(2) = 1 + 2 et𝜇 est majorée par 𝜇(1) = 2
 Convergence de (𝑤𝑛 )
On a :
∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑤𝑛+1 = 𝑣2𝑛+2 = 1 +

1
𝑣2𝑛+1

=1+

1
1
1+𝑣

2𝑛

=1+

1
𝑣2𝑛
𝑤𝑛
=1+
=1+
𝑣2𝑛 + 1
𝑣2𝑛 + 1
𝑤𝑛 + 1
𝑣2𝑛

On admettra pour la suite que (𝑤𝑛 ) prend bien ses valeurs dans [1,2] (c’est « visuellement » évident
mais on peut le démontrer rigoureusement par récurrence).

4

 Montrons que (𝑤𝑛 ) est croissante :
Procédons par récurrence sur 𝑛. Montrons la propriété 𝒟(n) ∶ "wn+1 ≥ wn " pour tout entier naturel
𝑛
Initialisation : Pour 𝑛 = 0, on a
𝑤1 = 1 +

1
⇒ 𝑤1 ≥ 𝑤0
2

Donc la propriété est vérifiée au rang 0
Hérédité : Soit 𝑛 un entier naturel quelconque fixé. Supposons que 𝒟(n) est vraie et montrons que
cela implique que 𝒟(n + 1) est vraie aussi.
Partons de l’hypothèse de récurrence à savoir :
𝑤𝑛+1 > 𝑤𝑛
⇒ 𝜇(𝑤𝑛+1 ) < 𝜇(𝑤𝑛 )
⇒ 𝜇(𝜇(𝑤𝑛+1 )) > 𝜇(𝜇(𝑤𝑛 ))
⇒ 𝑤𝑛+2 > 𝑤𝑛+1

Donc l’hérédité est bien montrée. On a bien : 𝒟(n) ⇒ 𝒟(n + 1).
Conclusion : La suite (𝑤𝑛 ) est strictement croissante.

 Montrons que (𝑤𝑛 ) est majorée par 2
Procédons par récurrence sur 𝑛. Montrons la propriété 𝒯(n) ∶ "wn ≤ 2" pour tout entier naturel 𝑛
Initialisation : Pour 𝑛 = 0, on a
𝑤0 = 1 ⇒ 2 ≥ 𝑤0
Donc la propriété est vérifiée au rang 0

5

Hérédité : Soit 𝑛 un entier naturel quelconque fixé. Supposons que 𝒯(n) est vraie et montrons que cela
implique que 𝒯(n + 1) est vraie aussi.
Partons de l’hypothèse de récurrence à savoir :
2 ≥ 𝑤𝑛
⇒ 𝜇(2) < 𝜇(𝑤𝑛 )
⇒ 𝜇(𝜇(2)) > 𝜇(𝜇(𝑤𝑛 ))
3
⇒ 𝜇 ( ) > 𝑤𝑛+1
2
⇒2>1+

2
> 𝑤𝑛+1
3

Donc l’hérédité est bien montrée. On a bien : 𝒯(n) ⇒ 𝒯(n + 1).
Conclusion : La suite (𝑤𝑛 ) est majorée par 2.
 Limite de (𝑤𝑛 )
(𝑤𝑛 ) est strictement croissante et est majorée par 2 donc elle converge. On note 𝐿 sa limite qui est
inférieure à 2, on a alors :
lim 𝑤𝑛 = 𝐿

𝑛→+∞

Et
lim 𝑤𝑛+1 = lim (1 +

𝑛→+∞

𝑛→+∞

𝑤𝑛
𝐿
)=1+
𝑤𝑛 + 1
𝐿+1

Or,
lim 𝑤𝑛+1 = lim 𝑤𝑛 = 𝐿

𝑛→+∞

𝑛→+∞

D’où :
1+

𝐿
=𝐿
𝐿+1

6

⇔ 𝐿 + 1 + 𝐿 − 𝐿(𝐿 + 1) = 0
⇔ −𝐿2 + 𝐿 + 1 = 0
⇔ 𝐿2 − 𝐿 − 1 = 0
On a déjà résolu cette équation plus haut, on sait que les solutions sont :
1−√5
2

et

1+√5
2

. 𝐿 est évidemment positif (car la suite (𝑤𝑛 ) est positive et que donc elle converge vers

une limite positive). Donc :
𝐿=

1 + √5
2

 Convergence de (𝜔𝑛 )
On a :
∀𝑛 ∈ ℕ, 𝜔𝑛+1 = 𝑣2𝑛+1 = 1 +
=1+

𝜔𝑛
𝜔𝑛 + 1

1
1
1
𝑣2𝑛−1
=1+
=1+
=1+
1
𝑣
+
1
𝑣2𝑛
𝑣2𝑛−1 + 1
2𝑛−1
1+
𝑣2𝑛−1
𝑣2𝑛−1

On admettra également pour la suite que (𝜔𝑛 ) prend bien ses valeurs dans [1,2] (c’est
« visuellement » évident mais on peut le démontrer rigoureusement par récurrence).
 Montrons que (𝜔𝑛 ) est décroissante :
Procédons par récurrence sur 𝑛. Montrons la propriété ℒ(n) ∶ "ωn+1 ≤ ωn " pour tout entier naturel 𝑛
Initialisation : Pour 𝑛 = 1, on a
𝜔2 = 1 +

1
⇒ 𝜔2 ≤ 𝜔1
2

Donc la propriété est vérifiée au rang 1
Hérédité : Soit 𝑛 un entier naturel quelconque fixé. Supposons que ℒ(n) est vraie et montrons que cela
implique que ℒ(n + 1) est vraie aussi.
Partons de l’hypothèse de récurrence à savoir :

7

𝜔𝑛+1 ≤ 𝜔𝑛
⇒ 𝜇(𝜔𝑛+1 ) ≥ 𝜇(𝜔𝑛 )
⇒ 𝜇(𝜇(𝜔𝑛+1 )) ≤ 𝜇(𝜇(𝜔𝑛 ))
⇒ 𝜔𝑛+2 > 𝜔𝑛+1

Donc l’hérédité est bien montrée. On a bien : ℒ(n) ⇒ ℒ(n + 1).
Conclusion : La suite (𝜔𝑛 ) est strictement croissante.
 Montrons que (𝜔𝑛 ) est minorée par 1
Procédons par récurrence sur 𝑛. Montrons la propriété ℋ(n) ∶ "ωn ≥ 2" pour tout entier naturel 𝑛
Initialisation : Pour 𝑛 = 1, on a
𝜔1 = 1 ⇒ 1 ≤ 𝜔1
Donc la propriété est vérifiée au rang 1
Hérédité : Soit 𝑛 un entier naturel quelconque fixé. Supposons que ℋ(n) est vraie et montrons que
cela implique que ℋ(n + 1) est vraie aussi.
Partons de l’hypothèse de récurrence à savoir :
1 ≤ 𝜔𝑛
⇒ 𝜇(1) ≥ 𝜇(𝜔𝑛 )
⇒ 𝜇(𝜇(1)) ≤ 𝜇(𝜇(𝜔𝑛 ))
⇒ 𝜇(2) ≤ 𝜔𝑛+1
⇒1< 1+

1
≤ 𝜔𝑛+1
2

Donc l’hérédité est bien montrée. On a bien : ℋ(n) ⇒ ℋ(n + 1).
Conclusion : La suite (𝜔𝑛 ) est minorée par 1.

8

 Limite de (𝜔𝑛 )
(𝑤𝑛 ) est décroissante et est minorée par 1 donc elle converge. On note 𝐿′ sa limite qui est
supérieure à 1, on a alors :
lim 𝜔𝑛 = 𝐿′

𝑛→+∞

Et
lim 𝜔𝑛+1 = lim (1 +

𝑛→+∞

𝑛→+∞

𝜔𝑛
𝐿′
)=1+
𝜔𝑛 + 1
𝐿′ + 1

Or,
lim 𝜔𝑛+1 = lim 𝜔𝑛 = 𝐿′

𝑛→+∞

𝑛→+∞

D’où :
1+

𝐿′
= 𝐿′
𝐿′ + 1

⇔ 𝐿′ + 1 + 𝐿′ − 𝐿′(𝐿′ + 1) = 0
⇔ −𝐿′2 + 𝐿′ + 1 = 0
⇔ 𝐿′2 − 𝐿′ − 1 = 0
On a déjà résolu cette équation plus haut, on sait que les solutions sont :
1−√5
2

et

1+√5
2

. 𝐿 est évidemment positif (car la suite (𝜔𝑛 ) est positive et que donc elle converge vers

une limite positive). Donc :
𝐿′ =

1 + √5
2

 Convergence de (𝑣𝑛 )
On a prouvé que la suite des termes pairs de (𝑣𝑛 ) à savoir (𝑤𝑛 ) et la suite des termes impairs de (𝑣𝑛 )
à savoir (𝜔𝑛 ) avaient la même limite à savoir : 𝐿 = 𝐿′ =

1+√5
.
2

9

Donc (𝑣𝑛 ) converge vers cette limite. Et on a donc :
lim 𝑣𝑛 =

𝑛→+∞

1 + √5
2

Conclusion générale :
lim 𝑣𝑛 = lim 𝑢𝑛 =

𝑛→+∞

𝑛→+∞

1 + √5
2

Ce qu’on peut réécrire ainsi :
1

√1 + √1 + √1 + ⋯ = 1 +

1

1+
1+

1
1+⋯

=

1 + √5
2



10

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