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JERA2006 .pdf



Nom original: JERA2006.pdf
Titre: Etude d'écoulement d'eau en conduite forcée à section variable
Auteur: Christian Bourdarias et Stéphane Gerbi

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Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion

Etude d’écoulement d’eau en conduite forcée
à section variable
Christian Bourdarias et Stéphane Gerbi
LAMA - Université de Savoie

JERA 2006, 17 Novembre 2006

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion

Sommaire
1

Motivations

2

Dérivation du modèle en charge
Equations d’Euler compressibles
Une dérivation possible

3

Schéma Volumes Finis décentré
Approximation Volumes Finis décentré
Schéma Volume Fini explicite décentré

4

Simulation numérique : coup de bélier
Validation du modèle
Conduite déformable
Conduite à section variable

5

Conclusion et perspectives

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion

Sommaire
1

Motivations

2

Dérivation du modèle en charge
Equations d’Euler compressibles
Une dérivation possible

3

Schéma Volumes Finis décentré
Approximation Volumes Finis décentré
Schéma Volume Fini explicite décentré

4

Simulation numérique : coup de bélier
Validation du modèle
Conduite déformable
Conduite à section variable

5

Conclusion et perspectives

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion

Motivations

Dimensionnement des installations hydrauliques où peuvent
co-exister deux types d’écoulement : à surface libre, en charge
conduites d’amenée, en aval des barrages
conduites reliant deux lacs ou deux rivières ou ...
égouts, évacuation des eaux de pluie (orages ...)
Tous les phénomènes associés peuvent être très violents

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion

Motivations

Dimensionnement des installations hydrauliques où peuvent
co-exister deux types d’écoulement : à surface libre, en charge
conduites d’amenée, en aval des barrages
conduites reliant deux lacs ou deux rivières ou ...
égouts, évacuation des eaux de pluie (orages ...)
Tous les phénomènes associés peuvent être très violents

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion

Quelques conduites

une conduite forcée

un égout de Paris

l’Orange-Fish Tunnel

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion

Qu’est ce qu’un écoulement mixte ?

Zones à surface libre : la section de conduite n’est pas pleine.
Liquide incompressible...
Zones en charge : la section de conduite est pleine. Liquide
faiblement compressible...

∆h =

∆P
ρ0 g

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion

Qu’est ce qu’un écoulement mixte ?

Zones à surface libre : la section de conduite n’est pas pleine.
Liquide incompressible...
Zones en charge : la section de conduite est pleine. Liquide
faiblement compressible...

∆h =

∆P
ρ0 g

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion

Qu’est ce qu’un écoulement mixte ?

Zones à surface libre : la section de conduite n’est pas pleine.
Liquide incompressible...
Zones en charge : la section de conduite est pleine. Liquide
faiblement compressible...

∆h =

∆P
ρ0 g

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion

Quel modèle ?
Ecoulements à surface libre
équations de Saint-Venant ...
Ecoulements en charge
Dans la littérature : les équations d’Allievi
∂P
c 2 ∂Q
+
∂t
g A ∂x

= 0

∂Q
∂P
+gA
∂t
∂x

= −α Q |Q|

Des termes sont négligés −→ elles ne permettent pas une
formulation conservative
Modéliser les écoulements en charge par un système
conservatif "proche" des équations de Saint-Venant

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion

Quel modèle ?
Ecoulements à surface libre
équations de Saint-Venant ...
Ecoulements en charge
Dans la littérature : les équations d’Allievi
∂P
c 2 ∂Q
+
∂t
g A ∂x

= 0

∂Q
∂P
+gA
∂t
∂x

= −α Q |Q|

Des termes sont négligés −→ elles ne permettent pas une
formulation conservative
Modéliser les écoulements en charge par un système
conservatif "proche" des équations de Saint-Venant

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion

Quel modèle ?
Ecoulements à surface libre
équations de Saint-Venant ...
Ecoulements en charge
Dans la littérature : les équations d’Allievi
∂P
c 2 ∂Q
+
∂t
g A ∂x

= 0

∂Q
∂P
+gA
∂t
∂x

= −α Q |Q|

Des termes sont négligés −→ elles ne permettent pas une
formulation conservative
Modéliser les écoulements en charge par un système
conservatif "proche" des équations de Saint-Venant

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion

Quel modèle ?
Ecoulements à surface libre
équations de Saint-Venant ...
Ecoulements en charge
Dans la littérature : les équations d’Allievi
∂P
c 2 ∂Q
+
∂t
g A ∂x

= 0

∂Q
∂P
+gA
∂t
∂x

= −α Q |Q|

Des termes sont négligés −→ elles ne permettent pas une
formulation conservative
Modéliser les écoulements en charge par un système
conservatif "proche" des équations de Saint-Venant

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion

Sommaire
1

Motivations

2

Dérivation du modèle en charge
Equations d’Euler compressibles
Une dérivation possible

3

Schéma Volumes Finis décentré
Approximation Volumes Finis décentré
Schéma Volume Fini explicite décentré

4

Simulation numérique : coup de bélier
Validation du modèle
Conduite déformable
Conduite à section variable

5

Conclusion et perspectives

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Equations d’Euler compressibles

L’eau est compressible

Equations d’Euler compressibles
~
= 0
∂t ρ + div(ρ U)
~
∂t (ρ u) + div(ρ u U) = Fx − ∂x P
~ = u~i + v~j + w ~k = u~i + V
~.
avec U
~ ·N
~ = 0 on ∂Ω
Impermeabilité : U

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Equations d’Euler compressibles

Loi d’état
Loi de pression de Boussinesq
:
r
1
P = c 2 (ρ − ρ0 ) c =
β ρ0
Forces extérieures :
Gravité : −ρ g ∂x z
Force de frottement de Strickler : −Sf ~i = −K (A) u | u |~i
Variation de section vs variation de pression :
∂S

A = A(x, t) = S(x, P(x, t))
=
∂P
e E cos φ
Equations d’Euler compressibles
~) = 0
∂t ρ + ∂x (ρ u) + div(y ,z) (ρ V
~ ) = −ρg(∂x z + Sf ) − c 2 ∂x ρ
∂t (ρ u) + ∂x (ρ u 2 ) + div(y ,z) (ρ u V

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Equations d’Euler compressibles

Loi d’état
Loi de pression de Boussinesq
:
r
1
P = c 2 (ρ − ρ0 ) c =
β ρ0
Forces extérieures :
Gravité : −ρ g ∂x z
Force de frottement de Strickler : −Sf ~i = −K (A) u | u |~i
Variation de section vs variation de pression :
∂S

A = A(x, t) = S(x, P(x, t))
=
∂P
e E cos φ
Equations d’Euler compressibles
~) = 0
∂t ρ + ∂x (ρ u) + div(y ,z) (ρ V
~ ) = −ρg(∂x z + Sf ) − c 2 ∂x ρ
∂t (ρ u) + ∂x (ρ u 2 ) + div(y ,z) (ρ u V

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Equations d’Euler compressibles

Loi d’état
Loi de pression de Boussinesq
:
r
1
P = c 2 (ρ − ρ0 ) c =
β ρ0
Forces extérieures :
Gravité : −ρ g ∂x z
Force de frottement de Strickler : −Sf ~i = −K (A) u | u |~i
Variation de section vs variation de pression :
∂S

A = A(x, t) = S(x, P(x, t))
=
∂P
e E cos φ
Equations d’Euler compressibles
~) = 0
∂t ρ + ∂x (ρ u) + div(y ,z) (ρ V
~ ) = −ρg(∂x z + Sf ) − c 2 ∂x ρ
∂t (ρ u) + ∂x (ρ u 2 ) + div(y ,z) (ρ u V

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Equations d’Euler compressibles

Loi d’état
Loi de pression de Boussinesq
:
r
1
P = c 2 (ρ − ρ0 ) c =
β ρ0
Forces extérieures :
Gravité : −ρ g ∂x z
Force de frottement de Strickler : −Sf ~i = −K (A) u | u |~i
Variation de section vs variation de pression :
∂S

A = A(x, t) = S(x, P(x, t))
=
∂P
e E cos φ
Equations d’Euler compressibles
~) = 0
∂t ρ + ∂x (ρ u) + div(y ,z) (ρ V
~ ) = −ρg(∂x z + Sf ) − c 2 ∂x ρ
∂t (ρ u) + ∂x (ρ u 2 ) + div(y ,z) (ρ u V

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Une dérivation possible

La démarche : prendre des valeurs moyennes

Valeurs moyennes de u et ρ sur Ω(x, t)
¯ et ρu 2 ' ρ¯ u
¯2.
ρu ' ρ¯ u
¯ = Au
¯.
Q

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Une dérivation possible

1er stade : les équations

Conservation de la masse
¯ =
ρA) + ∂x (¯
ρ Q)
∂t (¯

Z



~ · ~n
~ + u ∂x m
~ −V
ρ ∂t m

∂Ω(x,t)

Conservation de la quantité de mouvement

¯2
Q
¯
∂t (¯
ρ Q)+
∂x ρ¯
+ c 2 ρ¯ A = −g ρ¯ A(∂x z + Sf )+
A
+c 2 ρ¯ ∂x A+
Z


~ · ~n
~ + u ∂x m
~ −V
∂t m
ρu
+
∂Ω(x,t)

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Une dérivation possible

Le modèle
Variables conservatives : M = ρA , D = ρQ
Vitesse du son au point x : a(x) dépend de la géométrie.
Traitement astucieux du terme c 2 ρ¯ ∂x A utilisant la relation entre la
variation de la section et de la pression et expression du terme de
bord grâce à la condition d’imperméabilté
Conservation de la masse
∂t (M) + ∂x (D) = −

1 ∂t A
2
(∂x δ0 ) M.
4 A

Conservation de la quantité de mouvement

∂t (D) + ∂x

D2
+ a2 M
M



D|D|
+ M ∂x a2
M
M
1 ∂t A
2
+a2
∂x S0 −
(∂x δ0 ) D
A
4 A

= −g M ∂x z − g K (A)

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Une dérivation possible

Le modèle
Variables conservatives : M = ρA , D = ρQ
Vitesse du son au point x : a(x) dépend de la géométrie.
Traitement astucieux du terme c 2 ρ¯ ∂x A utilisant la relation entre la
variation de la section et de la pression et expression du terme de
bord grâce à la condition d’imperméabilté
Conservation de la masse
∂t (M) + ∂x (D) = −

1 ∂t A
2
(∂x δ0 ) M.
4 A

Conservation de la quantité de mouvement

∂t (D) + ∂x

D2
+ a2 M
M



D|D|
+ M ∂x a2
M
M
1 ∂t A
2
+a2
∂x S0 −
(∂x δ0 ) D
A
4 A

= −g M ∂x z − g K (A)

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Une dérivation possible

La dilatation de la conduite et les propriétés du système
Dilatation de la conduite
∂t A = k ∂t M

k paramètre dépendant de la géométrie

Les propriétes du système
Le système précédent est hyperbolique.
Dans le cas d’une conduite uniforme infiniment rigide :
Entropie : E(M, D, z) =

D2
+ gMz + c 2 M ln M
2M

∂t E + ∂x [u(E + c 2 ln M)] ≤ −g M K (A) u 2 |u|
2

u
Ψ=
+ c 2 ln M + g z charge totale.
2
Etats stationnaires :
D = D0 , u = u(x) et



= −g K (A) u |u| ,

.

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Une dérivation possible

La dilatation de la conduite et les propriétés du système
Dilatation de la conduite
∂t A = k ∂t M

k paramètre dépendant de la géométrie

Les propriétes du système
Le système précédent est hyperbolique.
Dans le cas d’une conduite uniforme infiniment rigide :
Entropie : E(M, D, z) =

D2
+ gMz + c 2 M ln M
2M

∂t E + ∂x [u(E + c 2 ln M)] ≤ −g M K (A) u 2 |u|
2

u
Ψ=
+ c 2 ln M + g z charge totale.
2
Etats stationnaires :
D = D0 , u = u(x) et



= −g K (A) u |u| ,

.

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion

Sommaire
1

Motivations

2

Dérivation du modèle en charge
Equations d’Euler compressibles
Une dérivation possible

3

Schéma Volumes Finis décentré
Approximation Volumes Finis décentré
Schéma Volume Fini explicite décentré

4

Simulation numérique : coup de bélier
Validation du modèle
Conduite déformable
Conduite à section variable

5

Conclusion et perspectives

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion

Système sous forme conservative
Sans dilatation de la conduite
Système sous forme conservative
∂t U + ∂x F (x, U) = G(x, U)
Variable conservative et flux

U=

M
D





D




F (x, U) =  D 2
+ a2 M
M

Terme source

0

M
D|D|
G(x, U) = 
+ M ∂x a2 + a2
∂x S0
−g M ∂x z − g K (A)
M
S0


Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion

Principe de la discrétisation Volumes Finis d’après Gallouet et al.

Uin ' valeur moyenne de U sur mi au temps tn = n∆t.
Par intégration sur mi × (tn , tn+1 ) :
Schéma Volumes Finis classique
Uin+1 = Uin −




∆t ∗

(0+ , Ui−1 , Ui )
F Ui+1/2 (0− , Ui , Ui+1 ) − F Ui−1/2
hi
+∆t G(xi , Uin )

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion

Principe de la discrétisation Volumes Finis d’après Gallouet et al.

Uin ' valeur moyenne de U sur mi au temps tn = n∆t.
Par intégration sur mi × (tn , tn+1 ) :
Schéma Volumes Finis classique
Uin+1 = Uin −




∆t ∗

(0+ , Ui−1 , Ui )
F Ui+1/2 (0− , Ui , Ui+1 ) − F Ui−1/2
hi
+∆t G(xi , Uin )


Ui+1/2
(ξ = x/t, Ui , Ui+1 ) : solution exacte ou approchée du problème
de Riemann avec Ui et Ui+1 respectivement comme états gauche et
droit

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion

Principe de la discrétisation Volumes Finis d’après Gallouet et al.

Uin ' valeur moyenne de U sur mi au temps tn = n∆t.
Par intégration sur mi × (tn , tn+1 ) :
Schéma Volumes Finis classique
Uin+1 = Uin −




∆t ∗

(0+ , Ui−1 , Ui )
F Ui+1/2 (0− , Ui , Ui+1 ) − F Ui−1/2
hi
+∆t G(xi , Uin )

Le schéma ne conserve pas les états d’équilibre et est très instable

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Approximation Volumes Finis décentré

Principe des schémas décentrés d’après Leroux et al.

Z =z−

a2
ln S0
g

et

Ψ(x) =

a2 (x)
c2

On rajoute les deux équations : ∂t Z = 0 et ∂t Ψ = 0
Nouvelle inconnue : W = (Z , Ψ, M, D)t
Formulation non conservative
∂t W + ∂x Φ(x, W ) + g M ∂x Z + M (ln S0 − 1) c 2 ∂x Ψ = TS(W )



Φ(x, W ) = 


0
0
D
D2
+ a2 M
M












TS(W ) = 


0
0
0
−g K (A)



D |D|
M






Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Approximation Volumes Finis décentré

Principe des schémas décentrés d’après Leroux et al.

Z =z−

a2
ln S0
g

et

Ψ(x) =

a2 (x)
c2

On rajoute les deux équations : ∂t Z = 0 et ∂t Ψ = 0
Nouvelle inconnue : W = (Z , Ψ, M, D)t
Formulation non conservative
∂t W + ∂x Φ(x, W ) + g M ∂x Z + M (ln S0 − 1) c 2 ∂x Ψ = TS(W )



Φ(x, W ) = 


0
0
D
D2
+ a2 M
M












TS(W ) = 


0
0
0
−g K (A)



D |D|
M






Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Approximation Volumes Finis décentré

Principe des schémas décentrés d’après Leroux et al.

Z =z−

a2
ln S0
g

et

Ψ(x) =

a2 (x)
c2

On rajoute les deux équations : ∂t Z = 0 et ∂t Ψ = 0
Nouvelle inconnue : W = (Z , Ψ, M, D)t
Formulation non conservative
∂t W + ∂x Φ(x, W ) + g M ∂x Z + M (ln S0 − 1) c 2 ∂x Ψ = TS(W )



Φ(x, W ) = 


0
0
D
D2
+ a2 M
M












TS(W ) = 


0
0
0
−g K (A)



D |D|
M






Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Approximation Volumes Finis décentré

Principe des schémas décentrés d’après Leroux et al.

Formulation non conservative
W = (Z , Ψ, M, D)t
∂t W + B(x, W )∂x W = TS(W )


0
 0
B(x, W ) = 
 0
gM



TS(W ) = 


0
0
0
0
0
0
c 2 M ln S0 (x) a(x)2 − u 2

0

0


0

D |D|
−g K (A)
M


0
0 

1 
2u

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Approximation Volumes Finis décentré

Z et Ψ constant sur la maille mi
Par intégration sur mi × (tn , tn+1 ) :
Schéma Volumes Finis décentré

∆t

n
Φ Wi+1/2
(0− , Win , Wi+1
Win+1 = Win −
) −
hi


n
Φ Wi−1/2
(0+ , Wi−1
, Win ) +
+∆t TSin

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Approximation Volumes Finis décentré

Z et Ψ constant sur la maille mi
Par intégration sur mi × (tn , tn+1 ) :
Schéma Volumes Finis décentré

∆t

n
Φ Wi+1/2
(0− , Win , Wi+1
Win+1 = Win −
) −
hi


n
Φ Wi−1/2
(0+ , Wi−1
, Win ) +
+∆t TSin

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Approximation Volumes Finis décentré

Z et Ψ constant sur la maille mi
Par intégration sur mi × (tn , tn+1 ) :
Schéma Volumes Finis décentré

∆t

n
Φ Wi+1/2
(0− , Win , Wi+1
Win+1 = Win −
) −
hi


n
Φ Wi−1/2
(0+ , Wi−1
, Win ) +
+∆t TSin

Problème de Riemann

n
Wi+1/2
(ξ = x/t, Win , Wi+1
) solution du problème de Riemann linéaire

∂t W + J˜ ∂x W

= 0


W = (Z , Ψ, M, D) =

Win = (Zi , Ψi , Min , Din )t
n

n

si
n

t

x <0

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Approximation Volumes Finis décentré

Z et Ψ constant sur la maille mi
Par intégration sur mi × (tn , tn+1 ) :
Schéma Volumes Finis décentré

∆t

n
Φ Wi+1/2
(0− , Win , Wi+1
Win+1 = Win −
) −
hi


n
Φ Wi−1/2
(0+ , Wi−1
, Win ) +
+∆t TSin

Les termes de pentes Z et de vitesse du son Ψ n’apparaissent pas
directement dans le schéma mais dans la solution du problème de
Riemann

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Approximation Volumes Finis décentré

Problème de Riemann linéaire aux interfaces

Problème de Riemann
∂t W + J˜ ∂x W

= 0

W = (Z , Ψ, M, D)

=



Win = (Zi , Ψi , Min , Din )t
n
n
n
Wi+1
= (Zi+1 , Ψi+1 , Mi+1
, Di+1
)t

si
si


n
Win + Wi+1
n
n
˜
˜
J = J(Wi , Wi+1 ) = B xi+1/2 ,
de valeurs propres :
2
n
n
˜i+1/2 − a
˜i+1/2 et λ4 = u
˜i+1/2 + a
˜i+1/2 avec
λ1 = λ2 = 0 , λ3 = u
2
2
a + ai+1
Di + Di+1
n
2
˜i+1/2
˜i+1/2
u
=
, a
= i
, et ai2 = c 2 Ψ(xi )
Mi + Mi+1
2

x <0
x >0

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Approximation Volumes Finis décentré

Problème de Riemann linéaire aux interfaces

Problème de Riemann
∂t W + J˜ ∂x W

= 0

W = (Z , Ψ, M, D)

=



Win = (Zi , Ψi , Min , Din )t
n
n
n
Wi+1
= (Zi+1 , Ψi+1 , Mi+1
, Di+1
)t

si
si

x <0
x >0

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Approximation Volumes Finis décentré

Décentrement des pentes et des termes de vitesse du son

n,−
Mi+1/2

= Min +

˜n
gM
i+1/2
(Zi+1 − Zi )+
n
˜
˜
˜i+1/2
2 ai+1/2 (ai+1/2 − u
)
+

˜n
M
i+1/2 ln(S0 )i+1/2
(a2 − ai2 )+
n
˜i+1/2 (a
˜i+1/2 − u
˜i+1/2
2a
) i+1

+

n
˜i+1/2
˜i+1/2
u
+a
n
(Mi+1
− Min )−
˜i+1/2
2a



1
(D n − Din )
˜i+1/2 i+1
2a

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Schéma Volume Fini explicite décentré

Schéma final
Schéma Volumes Finis explicite décentré
n,−
n,+
Fi+1/2
− Fi−1/2
Uin+1 − Uin
+
= TSin
∆t
hi

1 ≤ i ≤ N,

n ≥ 0.

n,±

n
Fi+1/2
= F (Ui+1/2
(0± , Uin , Ui+1
))

t
Din |Din |
n,±
t
n
±
n
n
n

.
Ui+1/2 (0 , Ui , Ui+1 ) = (Mi+1/2 , Di+1/2 ) , TSi = 0, −g K (Ai )
Min

Conditions aux limites ? Traitement proche de Kumbaro, Dubois.
Le schéma est soumis à une condition de CFL :
∆t ≤ 0.7 10−3 ∆x
=⇒ Ecrire un schéma Volumes Finis décentré linéairement implicite,
=⇒ Ecrire un schéma d’ordre 2 en espace : méthode MUSCL de

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Schéma Volume Fini explicite décentré

Schéma final
Schéma Volumes Finis explicite décentré
n,−
n,+
Fi+1/2
− Fi−1/2
Uin+1 − Uin
+
= TSin
∆t
hi

1 ≤ i ≤ N,

n ≥ 0.

n,±

n
Fi+1/2
= F (Ui+1/2
(0± , Uin , Ui+1
))

t
Din |Din |
n,±
t
n
±
n
n
n

.
Ui+1/2 (0 , Ui , Ui+1 ) = (Mi+1/2 , Di+1/2 ) , TSi = 0, −g K (Ai )
Min

Conditions aux limites ? Traitement proche de Kumbaro, Dubois.
Le schéma est soumis à une condition de CFL :
∆t ≤ 0.7 10−3 ∆x
=⇒ Ecrire un schéma Volumes Finis décentré linéairement implicite,
=⇒ Ecrire un schéma d’ordre 2 en espace : méthode MUSCL de

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Schéma Volume Fini explicite décentré

Schéma final
Schéma Volumes Finis explicite décentré
n,−
n,+
Fi+1/2
− Fi−1/2
Uin+1 − Uin
+
= TSin
∆t
hi

1 ≤ i ≤ N,

n ≥ 0.

n,±

n
Fi+1/2
= F (Ui+1/2
(0± , Uin , Ui+1
))

t
Din |Din |
n,±
t
n
±
n
n
n

.
Ui+1/2 (0 , Ui , Ui+1 ) = (Mi+1/2 , Di+1/2 ) , TSi = 0, −g K (Ai )
Min

Conditions aux limites ? Traitement proche de Kumbaro, Dubois.
Le schéma est soumis à une condition de CFL :
∆t ≤ 0.7 10−3 ∆x
=⇒ Ecrire un schéma Volumes Finis décentré linéairement implicite,
=⇒ Ecrire un schéma d’ordre 2 en espace : méthode MUSCL de

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion

Sommaire
1

Motivations

2

Dérivation du modèle en charge
Equations d’Euler compressibles
Une dérivation possible

3

Schéma Volumes Finis décentré
Approximation Volumes Finis décentré
Schéma Volume Fini explicite décentré

4

Simulation numérique : coup de bélier
Validation du modèle
Conduite déformable
Conduite à section variable

5

Conclusion et perspectives

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Validation du modèle

Cas tests : coup de bélier se produisant à l’aval
Caractéristiques de la conduite
Longueur de la conduite circulaire en béton : 2000 m.
Section : 2 m2 . Epaisseur : 20 cm. Module de Young E = 23 109 Pa.
Angle : 5◦ . Altitude du haut de la conduite z0 = 250 m.
Conditions aux limites
Charge totale constante à l’amont : Ψ =

u02
+ c 2 ln M0 + g z0 = 300.
2

Débit initial à l’aval : Q = 10 m3 /s.
On coupe le débit linéairement en 5 secondes.

Débit et hauteur piezométrique au milieu de la conduite.
piezo = z + δ + p with p =

c 2 (ρ − ρ0 )
.
ρ0 g

On compare avec la solution des équations d’Allievi produite par le
code belier fourni par EDF-CIH.

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Validation du modèle

Ordre 1 vs ordre 2. Hauteur piezo et débit. Nx = 1000

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Validation du modèle

Ordre 1 vs ordre 2. Hauteur piezo et débit. Nx = 1000

Motivations Dérivation du modèle en charge Schéma Volumes Finis décentré Simulation numérique : coup de bélier Conclusion
Validation du modèle

Ordre 1 vs ordre 2. Hauteur piezo et débit. Nx = 1000


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