Phénomène de Runge .pdf


Nom original: Phénomène de Runge.pdf
Auteur: Mickaël

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DÉVELOPPEMENT : PHÉNOMÈNE DE RUNGE

PARTIE 1

On utilise une méthode élémentaire en approchant 𝑓 avec un polynôme 𝑃𝑛 de degré 𝑛 (au plus) et des
points d’interpolation d’abscisses (𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) dans [𝑎, 𝑏].
Alors la formule d’interpolation de Lagrange donne :
𝑛

𝑃𝑛 (𝑥) = 𝐿𝑛 (𝑓)(𝑥) = ∑ 𝑓 (𝑥𝑖 )𝑙𝑖 (𝑥)
𝑖=0
𝑥−𝑥𝑗

𝑙𝑖 (𝑥) = ∏𝑛𝑗=0,𝑗≠𝑖 𝑥 −𝑥



𝑖

𝑗

sont les vecteurs de la base de Lagrange associée à la subdivision.

On montre facilement que 𝐿𝑛 est un opérateur linéaire de l’evn 𝐶 0 ([𝑎, 𝑏]), muni de la norme ‖. ‖∞ , dans
lui-même.
Ainsi :
𝑛

𝑛

𝑛

|𝐿𝑛 (𝑓)(𝑥)| = |∑ 𝑓 (𝑥𝑖 )𝑙𝑖 (𝑥)| ≤ ∑|𝑓(𝑥𝑖 )𝑙𝑖 (𝑥)| ≤ (∑|𝑙𝑖 (𝑥)|) ‖𝑓‖
𝑖=0

𝑖=0

𝑖=0

Si on note :
𝑛

Λ𝑛 = sup ∑|𝑙𝑖 (𝑥)|
𝑥∈[𝑎,𝑏]

𝑖=0

qui ne dépend pas de 𝑓 et qu’on appelle la constante de Lebesgue associée à (𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) alors :
‖𝐿𝑛 (𝑓)‖ ≤ Λ𝑛 ‖𝑓‖

(1)

Montrons maintenant que le cas d’égalité est atteint.


Les fonctions polynomiales 𝐿𝑖 sont continues donc il existe 𝛼 ∈ [𝑎, 𝑏] tel que :
𝑛

𝑛

Λ𝑛 = sup ∑|𝑙𝑖 (𝑥)| = ∑|𝑙𝑖 (𝛼 )|
𝑥∈[𝑎,𝑏]



𝑖=0

𝑖=0

Notons 𝑔 une fonction affine par morceaux telle que : 𝑔(𝑥𝑖 ) = 1
𝑔(𝑥𝑖 ) = −1

si
si

alors : 𝐿𝑛 (𝑔)(𝛼 ) = ∑𝑛𝑖=0 𝑔(𝑥𝑖 )𝑙𝑖 (𝛼 ) = ∑𝑛𝑖=0|𝑙𝑖 (𝛼 )| = Λ𝑛

‖𝑔‖ = 1

d’où : ‖𝐿𝑛 (𝑔)‖ = Λ𝑛 ‖𝑔‖

or :

(2)

Finalement, de (1) et (2) on tire que Λ𝑛 = |‖𝐿𝑛 ‖| est la norme subordonnée à 𝐿𝑛 .

𝑙𝑖 (𝛼 ) ≥ 0
𝑙𝑖 (𝛼 ) < 0

PARTIE 2

On va maintenant mettre en évidence le phénomène de Runge en supposant que les points d’interpolation
sont d’abscisses régulières :
𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖

𝑏−𝑎
= 𝑎 + 𝑖ℎ
𝑛

Or il existe 𝑡 ∈ [0, 𝑛] tel que 𝑥 = 𝑎 + 𝑡ℎ, donc :
𝑛

𝑛

𝑖−1

𝑛

𝑗=0,𝑗≠𝑖

𝑗=0,𝑗≠𝑖

𝑗=0

𝑗=𝑖+1

𝑖−1
𝑛
𝑎 + 𝑡ℎ − (𝑎 + 𝑗ℎ)
𝑡−𝑗
𝑡−𝑗
𝑡 − 𝑗 ∏𝑗=0(𝑡 − 𝑗) ∏𝑗=𝑖+1(𝑡 − 𝑗)

𝑙𝑖 (𝑥) = ∏
= ∏
=∏
=
𝑎 + 𝑖ℎ − (𝑎 + 𝑗ℎ)
𝑖−𝑗
𝑖−𝑗
𝑖−𝑗
𝑖! (−1)𝑛 (𝑛 − 𝑖 )!
1

Si on considère par exemple le cas 𝑡 = :

(l’encadrement signifie l’absence du facteur concerné)

2

1135
1
1
… (𝑖 − ) … (𝑛 − )

2222
2
2
|𝑙𝑖 (𝑥0,5 )| = |𝑙𝑖 (𝑎 + )| =
2
𝑖! (𝑛 − 𝑖 )!


1 1 × 2 × … × 𝑖 − 1 × … × (𝑛 − 1)
×
4
𝑖! (𝑛 − 𝑖 )!



1
𝑛!
×
4 𝑛²𝑖! (𝑛 − 𝑖 )!



(𝑛𝑖)
4𝑛²

alors on peut affirmer que :
𝑛

𝑛

𝑛

𝑖=0

𝑖=0

𝑖=0

(𝑛𝑖)

𝑛

1
𝑛
2𝑛
Λ𝑛 = sup ∑|𝑙𝑖 (𝑥)| ≥ ∑|𝑙𝑖 (𝑥0,5 )| ≥ ∑ 2 = 2 ∑ ( ) = 2
4𝑛
4𝑛
𝑖
4𝑛
𝑥∈[𝑎,𝑏]
𝑖=0

qui tend assez rapidement vers +∞.
Ceci explique l’instabilité des méthodes élémentaires d’approximation par un polynôme de Lagrange
lorsque le nombre de points devient élevé.

De plus : si 𝑄𝑛 est la meilleure approximation possible de 𝑓 dans ℝ𝑛 [𝑥]
‖𝑓 − 𝐿𝑛 (𝑓)‖ = ‖𝑓 − 𝑄𝑛 − 𝐿𝑛 (𝑓 − 𝑄𝑛 )‖
≤ ‖𝑓 − 𝑄𝑛 ‖ + ‖𝐿𝑛 (𝑓 − 𝑄𝑛 )‖
≤ ‖𝑓 − 𝑄𝑛 ‖ + Λ𝑛 ‖𝑓 − 𝑄𝑛 ‖
≤ (1 + Λ𝑛 )‖𝑓 − 𝑄𝑛 ‖
L’efficacité de la méthode de Lagrange peut diminuer lorsque 𝑛 → +∞.


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