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Titre: Roulement d'un yo-yo sur une table horizontale

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Roulement d'un yo-yo sur une table horizontale

Présentation du problème

Un considère un yo-yo assimilé à un petit cylindre de
masse m1 de rayon r1 et d'axe de symétrie (Gz) collé à deux
Fil
grands cylindres identiques de même axe de symétrie ayant
R
chacun la masse m2 et le rayon R. On choisit comme système
(S) l'ensemble constitué du yo-yo et du l enroulé sur la
r
partie centrale. Une diculté apparaît alors : (S) ne garde
pas une masse xe puisque le l s'enroule ou se déroule. On
F
se limite donc à l'étude du démarrage sans vitesse initiale
Ux
θ
G
de (S) sur une table horizontale, la masse de (S) étant alors
P
M et la distance GQ égale à r. On se limite, au moins dans
Q
Uy
ω
les premiers paragraphes, à un roulement sans glissement
O
g
N
lorsque l'on tire sur la celle. Dans quel sens roule le yo-yo ?
Uz
I
T
L'expérience, facile à réaliser (on peut remplacer le yo-yo par
00000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000
une simple bobine de l à coudre) conduit à des résultats a Figure 1  11111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111
priori un peu surprenant. Si l'angle θ d'inclinaison du l par


rapport à l'horizontale est faible et la force de traction F du l pas trop intense, le yo-yo se déplace dans le sens de la force
de traction (vers la droite du schéma). En revanche, si on augmente l'inclinaison du l : le sens du mouvement s'inverse !
Enn : si le manipulateur tire  fort  sur le l, un phénomène de glissement apparaît. Il s'agit ici de réaliser une modélisation
de la situation susamment réaliste pour rendre compte de ces phénomènes.
Condition de roulement sans glissement







Le vecteur rotation instantané du solide (S) mesuré dans le repère barycentrique (G,x,y,z) est : Ω = ω · Uz . La vitesse




du point G dans le repère terrestre (O,x,y,z) est : VG = v · Uy . Si le solide ne glisse pas par rapport à la table, la vitesse du
point I, considéré comme appartenant au yo-yo, doit être le vecteur nul. Or l'expression générale de ce vecteur vitesse est :

→ −
→ −→ →

VI = VG + IG ∧ Ω

(1)




→  −
→




0 = v · Uy + R · Ux ∧ ω · Uz = (v − R · ω) · Uy

(2)

D'où la condition de roulement sans glissement :
v =R·ω

(3)

Nous nous limitons au mouvement au cours duquel le centre G reste animé d'un mouvement rectiligne. Son accélération



dans le repère (O,x,y,z) peut s'écrire : →
a = a · Uy avec :
a=

dv

=R·
dt
dt

(4)

Étude dynamique



T.

Les forces appliquées au solide (S) sont représentées sur le schéma :



* le poids P = M · →
g


* la force de traction du l F


* la réaction de la table qui peut être considérée comme la somme d'une réaction normale N et d'une réaction tangentielle

Le repère (O,x,y,z) étant assimilé à un repère galiléen, le théorème du centre d'inertie (relation fondamentale de la
dynamique) conduit à :

− →
− →
− →


P + T +N + F =M ·→
a

La projection sur l'axe (O,y) conduit à :
1

(5)

(6)

F · cos (θ) − T = M · a

Remarque : F, T désignent les normes des vecteurs forces.  a  est en revanche une valeur algébrique pour l'instant de
signe inconnu.
Le théorème de König sur moment dynamique en G (ou sur le moment cinétique en G) montre que le moment dynamique
(ou le moment cinétique) du solide au point G est le même dans le repère terrestre galiléen (O,x,y,z) et dans le repère
barycentrique (G,x,y,z). Il est donc possible d'appliquer le théorème du moment dynamique en G dans le repère barycentrique,
bien que celui-ci ne soit pas galiléen. On obtient :


→ −→ →
− →
−  −−→ →

dω −
· Uz = GI ∧ T + N + GQ ∧ F
dt

Soit :



=R·T −r·F
dt

(7)

En divisant tous les termes par R et en tenant compte de la relation (4) :
J
r
·a=T − ·F
2
R
R

(8)

En additionnant  membre à membre  cette relation (8) et la relation (6), on obtient l'expression de l'accélération :
a=F ·

cos (θ) − Rr
M + RJ2

(9)

F et M + RJ2 étant deux grandeurs strictement positives, le signe de l'accélération ne dépend que de celui de cos (θ) − Rr .
Nous sommes donc amenés à distinguer trois cas, toujours en excluant provisoirement le glissement. Remarquons d'abord
que les valeurs de θ étant comprises entre zéro et 90°, la fonction cosinus est monotone décroissante sur cet intervalle.
r
r
Premier cas : cos (θ) >
R soit : θ < θ0 = arccos R . La relation (9) conduit à : a>0 : le yo-yo se met à rouler dans le
sens positif, le l s'enroule sur la partie centrale du yo-yo. 
r
r
Deuxième cas : cos (θ) <
R soit : θ > θ0 = arccos R . La relation (9) conduit à : a<0 : le yo-yo se met à rouler dans
le sens négatif, le l se déroule sur la partie centrale du yo-yo.

r
r
Troisième cas : cos (θ) =
R soit : θ = θ0 = arccos R . La relation (9) conduit à : a = 0 : le yo-yo reste en équilibre, sous
réserve bien sûr que l'intensité de la force de traction ne soit pas trop intense mais cela sera précisé au paragraphe suivant.
On peut remarquer que ce cas particulier correspond à la situation où le prolongement du l tendu passe par le point I : les
quatre forces à l'équilibre sont coplanaires et concourantes.




Autre condition de roulement sans glissement

La loi de Coulomb sur les frottements entre solides précise que le roulement sans glissement n'est possible que si l'inégalité
suivante est vériée :
(10)

T ≤ µs · N

où µs désigne le coecient de frottement statique, grandeur caractéristique de la nature des deux solides et de leurs états
de surfaces (rugosité plus ou moins grande...). Pour un contact bois sur bois, µs est compris entre 0,25 et 0,45 selon les
natures des bois et les états des surfaces.
La projection de la relation (5) sur l'axe vertical conduit à :
N = M · g − F · sin (θ)

(11)

T = F · cos (θ) − M · a

(12)

Or, selon (6) :
En tenant compte de ces trois dernières relations on obtient :
F · cos (θ) − M · a ≤ µs · [M · g − F · sin (θ)]
F · cos (θ) − M · F ·

cos (θ) − Rr
≤ µs · [M · g − F · sin (θ)]
M + RJ2

Soit :
F ≤

µs · M · g
M
cos (θ) + µs · sin (θ) − M +
J · cos (θ) −
R2

2

r
R



(13)

Ainsi, le roulement sans glissement étudié précédemment n'est possible que si la force de traction reste inférieure à la
valeur obtenue ci-dessus.
Sinon, le yo-yo se met à glisser sur la table. À titre d'exemple, je détaille ci-dessous le cas particulier

θ = θ0 = arccos Rr en étudiant les diérents démarrage possibles du yo-yo selon l'intensité de la force de traction.
Étude du cas particulier

Alors : sin (θ) =

q

1−

r2
R2



=

r
R .



θ = θ0 = arccos

R2 −r 2
.
R

L'équilibre du yo-yo sur la table est donc maintenu tant que :
F ≤

µs · M · g · R

r + µs · R2 − r2

(14)

Supposons maintenant que F devienne plus élevée que la valeur indiquée ci-dessus. Les relations (5), (6) et (7) restent
valides mais la relation (8) et les suivantes sont maintenant fausses. En revanche, la loi de Coulomb sur les frottements entre
deux solides glissant l'un par rapport à l'autre s'écrit :
(15)

T = µd · N

où µd désigne le coecient de frottement dynamique entre les deux solides. La valeur de µd est de très peu inférieure à
la valeur de µs au point que souvent, pour simplier les calculs, on pose µd = µs . La loi de Coulomb précise aussi que le


sens de la force de frottement T est opposé au sens de la vitesse de glissement du yo-yo par rapport à la table. Le vecteur






T a donc le sens indiqué sur le schéma seulement si le vecteur VI a le sens du vecteur Uy , ce qui suppose, selon (2) :
(16)

V >R·ω

Les forces étant indépendantes du temps, les relations (6) et (8) permettent de considérer l'accélération et l'accélération
angulaire comme deux constantes ; ainsi :

V =a·t ;

ω=


dt


·t

L'inégalité (16) conduit donc à :
a>R·


dt

(17)

Reprenons les équations obtenues précédemment en tenant compte de la valeur particulière de l'inclinaison choisie ici :
(6) conduit à :
M ·a=F ·

r
−T
R

(7) conduit à :
J dω
r
·
=T −F ·
R dt
R

(11) et (15) conduisent à :


"
T = µd · N = µd · M · g − F ·

R2 − r 2
R

#

On obtient à partir de ces trois relations :
"
#

J dω
r + µd · R2 − r2
M ·a=− ·
=F·
− µd · M · g
R dt
R

(18)

Or, la relation (14) sur l'existence d'un glissement conduit à :
"


r + µs ·



R2 − r 2

R

#
> µs · M · g

(19)

Les coecients de frottements statique et dynamique étant très sensiblement de même valeur, l'égalité (18) et l'inégalité
(19) conduisent à :
M ·a=−

J dω
·
>0
R dt

(20)

Conséquences : le centre G du yo-yo se déplace vers la droite alors que celui-ci tourne dans le sens négatif (sens anti
horaire). La relation (4) de roulement sans glissement n'est évidemment pas vériée : il y a simultanément glissement


et roulement. Dernière remarque : l'inégalité (17) est bien vériée : le vecteur T a bien le sens précisé sur le schéma.
3


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