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Devoir terminale S : propri´et´es du triangle via les nombres
complexes
Valentin Vinoles
30 d´ecembre 2009
On se place dans le plan complexe muni d’un rep`ere orthonorm´e (O, ~u, ~v ). On note S1 le cercle de centre O
et de rayon 1.

Partie A
Soient U , V , W et S quatre points distincts deux `a deux de S1 et d’affixes respectives u, v, w, et s.
−−→ −−→
−→ −−→
1. Montrer que (OU , OV ) = (OS, OW ) [2π] si, et seulement si, vs = uw.
−−→ −−→
−−→ −→
−→ −−→
2. Montrer que (OU , OV ) = 2(W U , SV ) + (OS, OW ) [2π]. En d´eduire que les droites (SV ) et (U W ) sont
parall`eles si, et seulement si, vs = uw.
3. La droite parall`ele `
a la droite (SV ) passant par O coupe S1 en deux points d’affixes z et z 0 . Montrer
0
que z = −z, puis montrer que −z 2 = sv.
4. Montrer que les deux droites (SV ) et (U W ) sont perpendiculaires si, et seulement si,vs = −uw.

Partie B : droite d’Euler et cercle des neufs points
Dans la suite du probl`eme, on consid`ere A, B et C trois points distincts de S1 d’affixes respectives a, b et c.
On note M , N et T les pieds des hauteurs de ABC issues respectivement de A, B et C.
1. Soit E le point d’affixe b + c et soit H le point tel que AHEO soit un parall`elogramme. Montrer que
l’affixe h de H v´erifie h = a + b + c.
2. Montrer que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires. En d´eduire que H est l’orthocentre du
triangle ABC.
−−→
−−→
3. Soit G le centre de gravit´e du triangle ABC. Montrer que OH = 3OG. La droite passant par les points
O, G et H est appell´ee droite d’Euler.
4. Soit A0 le milieu du segment [AH] et I le milieu du segment [BC]. Montrer que A0 HIO est un parall`elogramme dont le centre O0 est le milieu de [OH]. Montrer que l’affixe de O0 est a+b+c
et montrer
2
que IO0 = 1/2.
5. Montrer que le cercle de centre O0 et de rayon 1/2 passe par les pieds de hauteurs du triangle ABC,
par les milieux des cˆ
ot´es et par le milieu des segments [AH], [BH] et [CH]. Ce cercle est appel´e cercle
des neufs points ou cercle d’Euler.

1

Partie C

La droite (AH) coupe le cercle S1 en P d’affixe p, la droite (BH) coupe ce mˆeme cercle en Q d’affixe q et la
droite (CH) coupe encore ce mˆeme cercle en R d’affixe r.
1. Montrer que
p=−

bc
,
a

q=−

On pourra s’aider de la partie A.
1

ac
b

et r = −

ab
.
c

−−→ −→
−→ −−→
−→ −→
2. Montrer que (OR, OA) = (OA, OQ) [2π]. On pourra s’aider de la partie A. En d´eduire que (P R, P A) =
−→ −−→
(P A, P Q) [π].
3. Montrer que H est le point de concours de bissectrices int´erieures ou ext´erieures du triangle P QR.
−−→ −−→
−−→ −−→
4. Montrer que (HB, HC) = (P C, P B) [π]. . En d´eduire que P est le symetrique de H par rapport `
a la
droite (BC).
5. En d´eduire les affixes m, n et t des points M , N et T .

Partie D : droite de Simpson
Soit F un point quelconque de S1 . Les projet´es orthogonaux de F sur (AB), (BC) et (CA) sont not´es
respectivement J, K et L.
1. Montrer que les points C, F , L et K sont cocycliques, ainsi que les points B, F , J et K.
−−→ −−→
−−→ −−→
2. Montrer que les points J, K et L sont align´es. On pourra s’aider de la relation (KJ, KL) = (KJ, KF )+
−−→ −−→
(KF , KL) [2π]
La droite passant par les points J, K et L est appel´ee droite de Simpson.

2


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