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Le Cassini des futurs MPSI (vol. 2)

August 27, 2015

1

Enonc´
es

1.1

Arithm´
etique

5

6

1. Montrer que 34 + 45 peut s’´ecrire sous la forme d’un produit de deux facteurs entiers.
2. D´eterminer le reste de la division euclidienne de

Pn

i=0

2i par 2n .

3. R´esoudre dans Z3 : x²+y²=7z²
4. Soit x un entier relatif. D´emontrer que l’´equation (x + 2y)2 = 1317 n’admet pas de couple solution (x, y)
dans Z²
5. Soit n ∈ N . On pose a = 21n+4 et b = 16n + 3 . PGCD de a et b ?
6. Soient a et b des entiers naturels non nuls tels que P GCD(a + b, ab) = p , o`
u p est un nombre premier.
a. D´emontrer que p divise a2 .
b. En d´eduire que p divise a. On constate donc, de mˆeme, que p divise b.
c. D´emontrer que P GCD(a, b) = p .
7. On d´esigne par a et b des entiers
naturels tels que a ≤ b
(
P GCD(a, b) = 5
a. R´esoudre le syst`eme :
P P CM (a, b) = 170
(
P GCD(a + b, ab) = 5
b. En d´eduire les solutions du syst`eme :
P P CM (a, b) = 170
8. R´esoudre pour (x, y) ∈ Z²,

1
x

+

1
y

1
5

=

9. Soit p un nombre premier plus grand 5 que, montrez que p²-1 est divisible par 24.
10. D´emontrez l’existence d’une infinit´e d’entiers x tel que ∀n ∈ N, x + n4 n’est pas un nombre premier.
77
77

11. Quel est le chiffre des unit´es de 7

77

?

12. Par combien de z´eros se termine100! Puis 1000!? Et 10000! ?
Equivalent en l’infini du nombre de z´eros de 10n ! ?
13. Montrer que, pour tout entier naturel k, 2k divise an si et seulement si 2k divise n.

1