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(
xy + x + y = 71
14. Trouver x²+y² sachant que : x, y ∈ N et 2
x y + xy 2 = 880


x1 + 4x2 + 9x3 + ... + 49x7 = 1
. Calculer 16x1 + 25x2 + ... + 100x7
15. 4x1 + 9x2 + 16x3 + ... + 64x7 = 12


9x1 + 16x2 + 25x3 + ... + 81x7 = 123
16. Trouver un entier naturel k tel que 2k + 237 + 234 soit un carr´e parfait.
17. R´esoudre dans N² :

1
x

+

1
y

=

1
2003

18. (**) Montrer que tout rationnel positif peut s’´ecrire sous la forme
naturels, non nuls.

a3 +b3
c3 +d3 ,

o`
u a, b, c, d sont des entiers

19. Pour tout entier naturel n strictement plus grand que 1, d´emontrer que n4 + 64 n’est pas premier.
20. En notant E la fonction partie enti`ere:
a. Soient a et b deux entiers strictement positifs.
Pour tout k dans {0, ..., b − 1}, calculer E(k. ab ) + E(a − k. ab )
Pb−1
b. En d´eduire la formule du PGCD: P GCD(a, b) = a + b − a.b + 2. k=1 E(k. ab )
21. (**) Montrer que si 24 divise n + 1, alors 24 divise la somme des diviseurs de n.
22. Pour quelles valeurs de n, 2n + 12n + 2014n est-il un carr´e parfait ?
23. Prouver que si n divise 2n + 1 alors 3 divise n (n strictement sup´erieur `a 1).
24. Soient p et q deux nombres premiers inf´erieurs `a 100. Si les nombres p + 6, p + 10, q + 4, q + 10 et p + q + 1
sont tous premiers, quelle est la plus grande valeur que peut prendre p + q ?
25. Si l’on ´ecrit les nombres de 0 `
a 2015 en base 3, combien de ces nombres sont des palindromes (nombres qui
peuvent se lire indiff´eremment de gauche `
a droite ou de droite `a gauche) ?
26. Si a, b, c, d et e repr´esentent les ˆ
ages de 5 personnes et qu’on a a = 2b = 3c = 4d = 6e, quelle est la plus
petite valeur possible de a + b + c + d + e ?
27. D´eterminer tous les couples (a, b) d’entiers positifs qui satisfont l’´equation a2 + 10b = 2010.
28. Soit n un entier naturel. A quelle condition n´ecessaire et suffisante n4 + 4n est-il premier ?
29. (*) La fonction d’Euler φ : N → N associe `a tout entier n le nombre d’entiers k < n premiers avec n.
αk
1
1
1
Soit n ∈ N, on note n = pα
1 ...pk . Montrer que : φ(n) = n(1 − p1 )...(1 − pk ).
30. Soit n ∈ N.
a. Montrer que n est un carr´e parfait si et seulement
si le nombre de ses diviseurs est impair.

b. On suppose n > 1. Montrer que n divise nk pour tout k ∈ {2, ..., n − 1}
si et seulement si n est un nombre premier.
n

31. On d´efinit le n-i`eme nombre de Fermat par la formule Fn = 22 + 1 avec n appartenant `a l’ensemble des
entiers naturels , montrer que les entiers Fn sont deux `a deux premiers entre eux.
32. Par combien de z´eros se termine le nombre 2004!
33. Montrer que tout entier non divisible par 2 ou par 5 admet un multiple dont l’´ecriture en base 10 est
constitu´ee uniquement de 1 (c`
ad 11111....)

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