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34. Soient a et n deux entiers sup´erieurs `
a 2. On suppose que l’entier an − 1 est premier
a. Montrer que a = 2
b. Montrer que n est premier
35. Soit a un entier naturel tel que a3 poss`ede cinq fois plus de diviseurs naturels que a, combien de diviseurs a
poss`ede-t-il ?
36. (**) Soit un entier n > 1. Montrer que Sn =

Pn

1
k=1 k

n’est pas un entier.

37. (**) D´emontrer que pour tout n dans N : 2n divise E((3 +



5)n ) + 1 avec E la fonction partie enti`ere.

38. a, b, c sont trois entiers.
On suppose que a2 + b2 + c2 est divisible par 6 et ab + bc + ac est divisible par 3. Montrer que a3 + b3 + c3 est
divisible par 6.
39. (**) Montrer que tous les nombres rationnels distincts et strictement positifs a et b tels que a < b v´erifiant
ab = ba sont de la forme a = (1 + n1 )n et b = (1 + n1 )n+1 , n entier naturel non nul.
40. (*) Pour tout entier naturel n, on note In le nombre d’entiers p pour lesquels 50n < 7p < 50n+1
a. D´emontrer que pour tout entier n, vaut 2 ou 3.
b. D´emontrer qu’il existe une infinit´e d’entiers n pour lesquels vaut 3 et donner le plus petit
d’entre eux.
41. Trouvez les nombres `
a 4 chiffres de la forme aabb qui sont le carr´es d’entier.
42. (*) Soit S le sous ensemble de Z des entiers relatifs x tels qu’il existe(a, b, c) dans Z3 tels que
x = a3 + b3 + c3 − 3abc
Sest-il stable par × ?
43. Soient a ≥ 2 un entier et m et n deux entiers strictement positifs. Exprimer pgcd(am − 1, an − 1) en fonction
de a,m et n.
44. Soient :
- Pn le produit des n premiers nombres premiers (la primorielle)
- pn le n-i`eme nombre premier
- Qn le produit des n premiers nombres premiers impairs
a. D´emontrer que pour n quelconque, Pn+1 ne peut jamais ˆetre un carr´e parfait.
b. D´emontrer que pour n quelconque, Q2n + 1 ne peut jamais ˆetre un cube parfait.
c. Pour quelles valeurs de n a-t-on Pn > p2n+1 ?
d. (**) D´emontrer que pour n > 1, Pn − 1 ne peut jamais ˆetre une puissance parfaite.
On pourra utiliser le fait que pour n dans N , il existe un nombre premier compris strictement entre n
et 2n. (Postulat de Bertrand)
(
x ≡ a[9]
45. R´esoudre dans Z le syst`eme suivant :
x ≡ b[11]
46. R´esoudre dans : N3 : x1 +

2
y



3
z

=1

47. Les d´enominateurs de deux fractions irr´eductibles sont 600 et 700. Quelle est la plus petite valeur possible
du d´enominateur de leur somme (lorsqu’on l’´ecrit comme fraction irr´eductible) ?
48. Montrer que n! divise

Qn−1

k=0 (2

n

− 2k ).

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