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11. Soit a, b, c trois r´eels positifs tels que abc = 1
a
b
c
Montrer que : (a+1)(b+1)
+ (b+1)(c+1)
+ (c+1)(a+1)


3
4

12. Montrer que pour tout re´el x: cos(sin(x)) > sin(cos(x)).
13. Soient x et y deux r´eels strictement positifs, montrer que xy + y x > 1
14. (**) Soient x,y des r´eels diff´erents et strictement positifs. Montrer que xx + y y > xy + y x
15. Soient a, b, c trois r´eels, tels que abc = 1 . Montrer que : a2 + b2 + c2 + ab + ac + bc ≥ 6
16. Soient 0 < λ1 < λ2 . On note T = {(x1 , x2 ) ∈ R2 |x1 , x2 ≥ 0, x1 + x2 ≤ 1}.
Pour x = (x1 , x2 ) ∈ T , on note f (x) = (λ1 x1 + λ2 x2 )( λx11 + λx22 )
D´eterminez la valeur maximale que prend la fonction f , lorsque x d´ecrit l’ensemble T .
17. Montrer que ln(1 + x).ln(1 + x1 ) ≤ ln(2)2 pour x positif
18. Soit f une fonction r´eelle telle que : x + |f (x) − 1| = 2f (x) − 2.
Calculer f (x) pour x ∈ R
19. Montrer que pour tout (z1 , z2 , z3 , z4 )de C4 ,

P4

k=1

|zk | ≤

P

1≤j<i≤4

20. Soient 0 < a1 < a2 . Montrer que pour tout (x, y) ∈ [a1 , a2 ], on a

|zi + zj |

x
y

+

y
x



a1
a2

+

a2
a1

21. Soient (a1 , ..., an ) et (b1 , ..., bn ) des r´eels strictement positifs et p, q deux r´eels strictement positifs v´erifiant :
1
1
p + q =1
Pn
Pn
1
1 Pn
On veut montrer l’in´egalit´e : i=1 ai bi ≤ ( i=1 bqi ) q ( i=1 api ) p
q
p
a. Montrer que pour x, y > 0 , on a xy ≤ xp + yq
Pn
Pn
1
1
b. Montrer que l’in´egalit´e de d´epart est vraie lorsque : ( i=1 api ) p = ( i=1 bqi ) q ) = 1
c. Montrer alors le cas g´en´eral.
d. Soit n ∈ N et p > 1 .
Montrer qu’il existe deux constantes C1 et C2 `a pr´eciser telles que pour tous a1 , ..., an > 0 on ait :
Pn
Pn
Pn
1
1
C1 ( i=1 api ) p ≤ i=1 ai ≤ C2 ( i=1 api ) p
22. R´esoudre dans R3 le syst`eme x + y + z = 3 ;x2 + y 2 + z 2 = 3
23. Trouver l’ensemble des fonctions f de C dans C telles que f (z) + i.f (¯
z ) = 2i.
|

Pn

z |

k=1 k
24. Soient z1 , ..., zn des nombres complexes. Montrer que 1+| P

n
k=1 zk |
(
cos(a) + cos(b) + cos(c) = 0
25. Soient a,b,c des r´eels tels que :
.
sin(a) + sin(b) + sin(c) = 0
Que vaut donc cos(2a) + cos(2b) + cos(2c) ?

|zk |
k=1 1+|zk |

Pn

26. Soitf : Q → 0; 1 telle que f (0) = 0 et f (1) = 1 et telle que, de plus, pour tout x, y dans Q, si f (x) = f (y)
alors f ( x+y
2 ) = f (x) . Que vaut f (x) pour x > 1 rationnel ?
27. Soit c ∈ R .
D´eterminer une condition n´ecessaire et suffisante sur c pour que l’´equation cos(x)4 + sin(x)4 = c admette au
moins une solution.
2

28. a. Montrer que, pour tout x ≥ 0,x − x2 ≤ ln(1 + x) ≤ x
Qn
b. En d´eduire la limite de la suite (un ) d´efinie par : ∀n ∈ N∗, un = k=1 (1 +
Pn
(On admettra k=1 k 2 = n(n+1)(2n+1)
)
6
5

k
n2 )