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29. Trouver tous les couples (x, n) dansR × N∗ tels que : cosn (x) + sinn (x) = 1
30. Soient m et n deux entiers positifs tels que n ≤ m, montrer que : 2n .n! ≤

(m+n)!
(m−n)!

≤ (m2 + m)n

31. Soit l’´equation (E) : 4x3 + x2 + x − 3 = 0 .
a. Montrer que (E) a une unique solution r´eelle α et que α ∈]0, 1[ .
b. Montrer que si (E) a une solution rationnelle pq avec pgcd(p, q) = 1alors p divise 3 et q divise 4.
La solution α est-elle rationnelle ?
c. R´esoudre (E) dans C
32. (**)Soient a2 , ..., an des r´eels strictement positifs (n > 2). On suppose que leur produit vaut 1.
Montrer que : (1 + a2 )2 ∗ (1 + a3 )3 ∗ ... ∗ (1 + an )n ≥ nn
33. Soit (ak )k∈N une suite de
non nuls et distincts.
Pn
Pnnombres naturels
Montrer que pour tout n : k=1 akk2 ≥ k=1 k1
34. Soit n > 1 et 1 = d1 < d2 < ... < dk = n la suite de ses diviseurs.
n
a. Montrer que pour tout j entre 1 et k, on a : dj ≤ k+1−j
Pk−1
b. En d´eduire que j=1 dj dj−1 < n2
35. Montrer que : pour tout x ∈ [0, π2 [, sin(x) ≤ x ≤ tan(x)
≤ x ≤ 32 sin(x) + 13 tan(x)
et que pour tout x ∈ [0, π2 [, 8sin(x)−sin(2x)
6
36. Pour tout x, y des r´eels strictement positifs, on pose a =
puis que ces trois expressions sont comprises entre x et y.

x+y
2 ,

g=



xy, h1 =

1
1
2x + 2y

. Montrer que h ≤ g ≤ a,

37. Soient n ∈ N∗ et deux familles de r´eels (a1 , ...., an ) et
Pn(b1 , ..., bn ).
On consid`ere la fonction f d´efinie par : ∀x ∈ R,f (x) = k=1 (ak x + bk )2 . Montrer que
des
pPfn ne prend
pPque
Pn
n
2
2
valeurs positives, puis montrer l’in´egalit´e dite de Cauchy-Schwarz : | k=1 ak bk | ≤
k=1 ak .
k=1 bk .
(
x+y+z =0
3
38. R´esoudre dans R , le syst`eme suivant :
ex + ey + ez = 3
39. Soit n un entier naturel non nul et x un r´eel positif ou nul.
D´emontrer l’in´egalit´e :(1 + x)n ≤ 2n−1 (1 + xn ).
Pr´eciser les ´eventuelles valeurs de x qui donnent une ´egalit´e.
40. Soit f une fonction continue sur [0, 1] a` valeurs strictement positives.
´1
´1
D´emontrer l’in´egalit´e : 0 ln(f ) ≤ ln( 0 f ).

1.3

Nombres rationnels, irrationnels



2+


3

3 est-il rationnel ?
p
p


3
3
2. D´emontrer que :
2 + 5 + 2 − 5est un rationnel.
1.

3. Montrer que



2+



3+



5 est un irrationnel.

4. Le nombre suivant est-il rationnel: 0, 1223334444555556666667777777... ?

5. Montrer que f : x → cos(x) + cos(x 2) n’est pas p´eriodique.

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