Recurrence dure .pdf


Nom original: Recurrence_dure.pdf
Titre: recurrence dure
Auteur: Galt

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Fiche d’exercices : récurrence, suites.
1) On appelle Pn la propriété « 4n + 1 est un multiple de 3 ». Montrer que si Pn est vraie,
alors Pn+1 est aussi vraie. Peut-on conclure que Pn est vraie pour tput entier ?
2) On appelle Pn la propriété « 4n + 1 est un multiple de 5 ». Montrer que si Pn est vraie,
alors Pn+2 est vraie. Que peut-on en conclure ?
3) Montrer par récurrence que pour tout entier n et tout réel positif x, (1 + x) n ≥ 1 + nx
4) On appelle (un ) la suite définie par u0 = 0 et un +1 = 1 + un , on note f la fonction définie
sur [0 ; +o[ par f ( x) = 1 + x .
a) Résoudre l’équation f ( x) = x , on note f sa solution. Etudier les variations de f.
1
b) Montrer que, pour tous réels a et b, on a f (b) − f (a ) ≤ b − a
2
c) Montrer par récurrence que pour tout n, un ≤ f
1
d) Montrer que pour tout n, un +1 − f ≤ un − f . En déduire que pour tout n,
2
1
un −f ≤ n u0 −f . En déduire la limite de (un ) .
2
e) Combien de termes de (un ) doit-on calculer pour avoir une approximation de 5 à
10-3 près ?
2u + 3
5) On considère la suite (un ) définie par u0 = 0 et un +1 = n
.
un + 4
u −1
a) On pose, pour tout entier n, vn = n
. Montrer que (vn ) est une suite géométrique.
un + 3
b) Exprimer vn puis un en fonction de n.
c) Déterminer la limite de (vn ) , puis celle de (un ) .
6) On considère la suite (un ) définie par un =

n2
.
2n

un +1
. Etudier la limite de (vn ) . En déduire qu’il existe un
un
3
certain rang n0 tel que, si n ? n0, alors vn < . Préciser n0.
4
b) En déduire le sens de variation de (un ) .
a) Calculer pour n ? 1, vn =

n

3
c) Montrer par récurrence que pour tout n ? 13, un ;   . En déduire la limite de (un ) .
4
7) On définit la suite (un ) par un = n 2 + 6n − n .
a) A la calculatrice, déterminer une valeur approchée de un pour n égal à 103, 105, 1010,
1015, 1020. Conjecturer la limite de (un ) .
6
b) Montrer que, pour tout n, un =
. En déduire la limite de (un ) .
6
1+ +1
n
c) Expliquer ce qui s’est passé en a).


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