decalage des frequences .pdf


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Aujourd’hui, nous allons parler du decalage des frequences dus la deformation de l’espace-temps. Pour commencer nous considererons deux scientifiques
ayant des horloges parfaitement identiques. Ensuite, l’un ira dans un vaisseau
en orbite geostationnaire. Pendant ce temps, le second scientifique va envoyer
une impulsion de 1 seconde precisemment et son collegue dans l’espace chonometrera la duree de ce signal.
Pour commencer, rappelons la metrique de Schwarzschild:
ds2 = (1 −

Rs 2 2
r )c dt

− (1 −

Rs −1 2
dr
r )

− r2 (dθ2 + sin2 (θ) dφ))

Or, ici notre probleme ne va porter que sur l’intervalle de temps. Il n’y a
donc que la coordonnee t qui va etre prise en compte. On obtiens:
ds2 = (1 −

Rs 2 2
r )c dt

Appelons ∆t1 la duree du signal pour le scientifique au sol( donc ∆t1 = 1
seconde) et ∆t2 la duree du signal emis par le scientifique au sol.
Definissons aussi r1 la distance entre le scientifique au sol et le centre de la
Terre, et r2 la distance du second chercheur l’eloignant du centre de la planete.
Donc dans le referentiel du sol:
ds2 = (1 −

Rs 2
2
r1 )c ∆t1

ds2 = (1 −

Rs 2
2
r2 )c ∆t2

Et dans l’autre referentiel:

1

Cela implique:
(1 − Rr1s )c2 ∆t21 = (1 − Rr2s )c2 ∆t22
⇔ (1 − Rr1s )∆t21 = (1 − Rr2s )∆t22
On ecrit donc qu’il y a relation entre ∆t1 et ∆t2 :

∆t1 =

v
u
u (1− Rr s )
2
t
(1− Rr s )

∆t2

1

et donc:

∆t2 =

v
(−1)
u
u (1− Rr s )
2
t
∆t1 (1− Rs )
r
1

Ou autrement dit:
v
u
u (1− Rs )
u
r1
u
1t
R

∆t2 = ∆t

(1− r s )
2

2

Calcul de r2 :
Pour cela nous allons utiliser la 3e loi de Kepler qui fait un lien entre la periode orbitale d’un corps et le demi-grand axe de son orbite(Notre chercheur
dans l’espace va suivre une trajectoire circulaire, donc ce demi-grand axe est en
ralit le rayon de l’orbite). Ensuite l’eminent physicien Isaac Newtion a repris
cette loi et y trouva un lien avec la masse de l’objet central(si la masse du corps
orbitant est negligeable face a la masse du corps central):
T2
R3

=

4π 2
GM

Avec:
T le temps pour faire une revolution(en secondes)
R le rayon de l’orbite du chercheur
G la constante universelle de gravitation(≈ 6.67 × 10−11 )
M la masse du corps central (≈ 6 × 1024 kg pour la Terre)
Si le chercheur est en orbite geostationnaire, son vaisseau doit se trouver a:
r
2
R = 3 T 4πGM
2
On a:

T = 60.60.24 = 3600.24 = 86400s2
→ T 2 = 864002 = 7 464 960 000
r

R=

3

7 464 960 000×6.102 ×4.10−11
4π 2

r2 ≈ 42 297 523 m

3

Calcul du decalage gravitationnel
des f requences
Nous avons desormais toutes les donnees en main pour calculer cette dilatation des frequences. Nous savons que ∆t1 = 1, donc cela simplifie legerement
l’equation(avec Rs qui vaut environs 9mm pour la Terre et r1 qui est logiquement le rayon de la Terre):

∆t2 =
∆t2 =

v
u
u (1− Rs )
∆t1 t (1− Rr1s )
r2
s
0,009
(1− 6378000 )
0,009
(1− 42297523
)

Autrement dit:

∆t2 ≈ 0, 999999999s
Ceci est tout a fait interessant: en effet a cause de la dilatation du temps, le
scientifique dans son vaisseau voient une duree ∆t1 qui est le temps qui separe
le debut et la fin du signal, qui est plus long que ∆t2 : ce qui represente une
seconde pour lui. En exagerant la deformation de l’espace-temps, du point de
vu du chercheur dans le vaisseau, il verrait le scientifique au sol declencher le
signal ”au ralenti”. Ce qui pour lui mettrait bien plus d’une seconde.

Ecrit par Joffrey Le Grix

4


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