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EQUATION DES ONDES .pdf



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Équation des ondes
L3 Mathématiques
Université de Mostaganem.

17 Novembre 2016

S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)

EPM

17 Novembre 2016

1 / 15

But
Résolution de l’équation des ondes linéaire homogène, en dimension
un d’espace :
(1)

S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)

EPM

17 Novembre 2016

2 / 15

But
Résolution de l’équation des ondes linéaire homogène, en dimension
un d’espace :
(1)

Deplacement d’une corde elastique

S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)

EPM

17 Novembre 2016

2 / 15

Plan

Problème de Cauchy homogène

S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)

EPM

17 Novembre 2016

3 / 15

Plan

Problème de Cauchy homogène
Problème de Cauchy non-homogène

S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)

EPM

17 Novembre 2016

3 / 15

Plan

Problème de Cauchy homogène
Problème de Cauchy non-homogène
Quelques méthodes de résolution numérique.

S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)

EPM

17 Novembre 2016

3 / 15

Plan

Problème de Cauchy homogène
Problème de Cauchy non-homogène
Quelques méthodes de résolution numérique.
Quelques éléments de théorie relatifs aux cas des dimensions d’espace
deux ou trois.

S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)

EPM

17 Novembre 2016

3 / 15

Analyse du problème monodimensionnel
1. Préliminaires

On s’intéresse à l’équation des ondes 1D posée sur R tout entier
(2)

S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)

EPM

17 Novembre 2016

4 / 15

Analyse du problème monodimensionnel
1. Préliminaires

On s’intéresse à l’équation des ondes 1D posée sur R tout entier
(2)
avec les conditions initiales
(3)

S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)

EPM

17 Novembre 2016

4 / 15

1. Préliminaires

Introduisons un premier résultat.

S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)

EPM

17 Novembre 2016

5 / 15

1. Préliminaires

Introduisons un premier résultat.

Lemma (1)
Soit u 2 C 2 (R R+ ) solution de (2), alors u est la somme de deux ondes
progressives u+ , u 2 C 2 (R) de vitesses respectives +c et c :
(4)

S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)

EPM

17 Novembre 2016

5 / 15

1. Préliminaires

Proof.
Il su¢ t d’utiliser la factorisation d’opérateurs suivante :

(5)

S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)

EPM

17 Novembre 2016

6 / 15

1. Préliminaires
Principe de Duhamel

Lemma (2)
On considère l’équation de transport

(6)

S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)

EPM

17 Novembre 2016

7 / 15

1. Préliminaires
Principe de Duhamel

Lemma (2)
On considère l’équation de transport

(6)
Alors il existe une unique solution v 2 C 1 (R
formule de Duhamel :

R+ ), donnée par la

(7)

S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)

EPM

17 Novembre 2016

7 / 15

Analyse du problème monodimensionnel
2. Problème de CAUCHY

Revenons à l’équation des ondes et prouvons le caractère bien posé du
problème de Cauchy que constitue (2)(3).

S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)

EPM

17 Novembre 2016

8 / 15

Analyse du problème monodimensionnel
2. Problème de CAUCHY

Revenons à l’équation des ondes et prouvons le caractère bien posé du
problème de Cauchy que constitue (2)(3).

Theorem (Existence et unicité - formule de d’Alembert)
Soient g 2 C 2 (R) et h 2 C 1 (R), alors il existe une unique solution
u 2 C 2 (R R+ ) du problème de Cauchy (2)(3), donnée par la formule de
d’Alembert :

(8)

S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)

EPM

17 Novembre 2016

8 / 15

Analyse du problème monodimensionnel
2. Problème de CAUCHY

Fact
À partir de la formule de d’Alembert, on est …nalement en mesure
d’identi…er les deux ondes progressives u+ et u constituant u, introduites
dans le Lemme1, en fonction des données du problème de Cauchy :

(9)

S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)

EPM

17 Novembre 2016

9 / 15

Analyse du problème monodimensionnel
2. Problème de CAUCHY

Fact
À partir de la formule de d’Alembert, on est …nalement en mesure
d’identi…er les deux ondes progressives u+ et u constituant u, introduites
dans le Lemme1, en fonction des données du problème de Cauchy :

(10)

S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)

EPM

17 Novembre 2016

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3. Stabilité en norme
L∞ (R [0, T ])
La formule de d’Alembert (8) permet d’observer la propriété suivante
de stabilité, caractérisée par la dépendance continue de la
solution par rapport aux données de Cauchy en norme
L∞ (R [0, T ]) pour tout T > 0 …xé.

S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)

EPM

17 Novembre 2016

11 / 15

3. Stabilité en norme
L∞ (R [0, T ])
La formule de d’Alembert (8) permet d’observer la propriété suivante
de stabilité, caractérisée par la dépendance continue de la
solution par rapport aux données de Cauchy en norme
L∞ (R [0, T ]) pour tout T > 0 …xé.

Corollary
Soit T > 0 …xé et e > 0 donné, soient (g1 , h1 ) et (g2 , h2 ) deux couples de
fonctions dans C 2 (R) C 1 (R) tels que
(11)
Soient u1 et u2 les solutions respectivement obtenues pour ces données de
Cauchy. Alors, pour tout x 2 R et tout t 2 R+ , t T , on a
(12)
S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)

EPM

17 Novembre 2016

11 / 15

4. Domaine de dépendance et domaine d’in‡uence.

Le domaine de dépendance de (x, t ) est le triangle
(13)

S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)

EPM

17 Novembre 2016

12 / 15

4. Domaine de dépendance et domaine d’in‡uence.

Le domaine de dépendance de (x, t ) est le triangle
(13)
Réciproquement, le domaine d’in‡uence du point (x, t ) est le cône
(14)

S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)

EPM

17 Novembre 2016

12 / 15

4. Domaine de dépendance et domaine d’in‡uence.

Domaines de dependance et d’in‡uence

S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)

EPM

17 Novembre 2016

13 / 15

Problème non homogène

S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)

EPM

17 Novembre 2016

14 / 15

5. Problème de Cauchy non homogène
Theorem
Soit f 2 C 0 (R

R+ ), on considère le problème de Cauchy non-homogène

suivant :

(15)
(16)
avec g 2 C 2 (R) et h 2 C 1 (R). Alors il y a existence et unicité de la
solution u 2 C 2 (R) C 1 (R), donnée par :
(17)

S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)

EPM

17 Novembre 2016

14 / 15

6. Stabilité pour le problème de Cauchy non-homogène

Corollary
Soit T > 0 …xé et e > 0 donné, soient (g1 , h1 ) et (g2 , h2 ) deux couples de
fonctions dans C 2 (R) C 1 (R) et f1 , f2 des second termes continus sur

R

R+ , tels que

(18)
Soient u1 et u2 les solutions respectivement obtenues pour ces données de
Cauchy et second termes. Alors, pour tout x 2 R et tout t 2 R+ , t T ,
on a
(19)

S. M. Bahri (Université de Mostaganem.)

EPM

17 Novembre 2016

15 / 15


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