Fonction réciproque .pdf


Nom original: Fonction réciproque.pdf
Titre: D:\Livre 4M(Tome 1)\7 cours fon
Auteur: ZOUHAIER

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Lycée pilote Médenine

Fonction réciproque

Hadj Salem Habib

Définition
f étant une application d’un ensemble E dans un ensemble F.
On dit que :

f réalise une bijection de E sur F
si et seulement si
y

F ; il existe un seul x

E tel que y

VOCABULAIRE:
Soit f une bijection de I sur J. On note f
Ainsi: f 1 : J
I.
y

J ; ff

x

I ; f

1

1

y

la bijection réciproque de f.

y

fx

Théo rème

1

fx

x.
f étant une fonction définie sur un intervalle I.
si f est strictement monotone sur I alors f réalise une bijection
de I sur f(I).

Remarque importante

f est une bijection de I sur f I J
0

J

fI

0 possède un seul antécédent par f dans I
l’équation f(x) 0 admet une seule solution dans I.

Remarques
O; i ; j

est un repère orthonormé du plan P. S la symétrie axiale

d’axe :y x. On a:
S M a, b
M b, a .
L’image d’une droite D : y a (a

IR par S est la droite D’: x

a

Théo rème
Soit f une fonction strictement monotone sur un intervalle I.
Désignons par f

1

la bijection réciproque de f et par J

fI .

On a:
1 f

1

et f ont même sens de variation.

2 les courbes de f et de f 1 , dans un repère orthonormé, sont symétriques
par rapport à la droite d’équation y
3 si f est continue sur I alors f
Hadj Salem Habib

1

x dite la première bissectrice.

est aussi continue sur J

Bac Maths

(1)

f(I).

Bac Sc exp

Lycée pilote Médenine

Lycée pilote Médenine

Fonction réciproque

Hadj Salem Habib

y

3
Cf

2

1

1

Cf

-1
0

1

3

2

4

x

-1

Théo rème

f est une bijection d’un intervalle I sur un intervalle J. Soit x 0

I et

y 0 f x 0 . On a:
si f est dérivable en x 0 et f x 0
f x0

y 0 de plus f

1

si f est dérivable sur I 0
dérivable sur f I 0

est dérivable en

1

1
f x0

y0

1

0 alors f
f f

I et f x

1

J0; f

.

I 0 alors f

0; x

J 0 et de plus x

y0

1

1

est
1

x

f f

1

x

.

3. Fonction racine nième

Définition

Théo rème

x n réalise

Soit n un entier supérieur ou égal à 2. La fonction x

x n est

une bijection de IR sur IR . La bijection réciproque de x
la fonction dite racine nième et elle est notée x
Pour tous réels positifs x et y on a :

Propriétés

n

xn

y

x

Soient deux entiers n et p tels que n
b. Alors :

n

np

n

ap ;

n

n

a

n

a;

n

y

2 et p
n

a. b

2 et deux positifs a et
n

a n b;

0.
p

n

ap ;

n p

a

np

a.

IN \ 1 et u une fonction dérivable et strictement positive

sur un intervalle I. On a:
x est continue sur 0;
et dérivable sur 0;
n

x
n

Hadj Salem Habib

a

Soient n

Théo rème

2/ La fonction x

a;

a
avec b
n
b

a

1/ La fonction x

an

n

a
b

n

n

x .

n

ux

n

1
xn

1

;

x

0.

est dérivable sur I et que

Bac Maths

de plus

(2)

n

u x

x
n
Bac Sc exp

n

ux

n 1

;

x

0.

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