TD Chapitre1 Integrale avec corrigé .pdf


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Nom original: TD_Chapitre1_Integrale_avec_corrigé.pdf
Titre: TP_Chapitre1_Integrale_avec_corrigé
Auteur: Yacine

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Université Saâd Dahlab-BLIDA1/ Faculté de Technologies. Département Electronique

2016/2017

TD1-Intégrales Simples et multiples
I-Intégrale de Riemann
Exercice 1: Soit f une fonction continue, strictement croissante sur l’intervalle [0,a], telle que f(0)=0.
On pose =
.
1- Calculer à l’aide de sommes de Riemann bien choisies
+
2- En déduire que, pour tout αϵ [0,a] et βϵ[0, f (a)] :


+

Corrigé de l’exercice 1 :
1- Soit = 0 < < ⋯ < = une subdivision quelconque du segment [0,a] et pour tout
= 0,1, … , − 1, soit ! ∈ [ ! , !$ ]. Puisque est intégrable sur[0, ], on a :

De plus

!

-!-

= lim +
→$*

!$

!,

est une subdivision du segment [0,

On choisit pour chaque :
+

2- Supposons que

!



=

!$

et

=

!

!

= lim +



→$*



!$

!,

!

∈[

!

!

!

,

!$

], on a :

!

. On a alors :


!$

!,

!

]. Donc si

= lim +
→$*



!

+

!$



!$

!

!

=

. Ce qui implique :
+

D’autre part, g étant croissante sur [



=

, ],

= 1 −

2

D’où
+
On suppose cette fois que : 0 ≤
échangeant les rôles de f et g.




Exercice 2: Pour a,b ϵ R, a< b, montrer que : lim
Corrigé de l’exercice2:
Soit ; l’intégrale définie dans l’énoncé.
On remarque d’abord que∀ ∈ [ , =], 5
; =?

8

5

>7

>7

≤5

@ ≤ A5

+ 1 −

on alors >
→$∞ [4

7
7

8

5

67

2=
. On détermine le résultat en

9

]: = 5

7

. D’où

B =−

=5

7

=−

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9

9

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Or = − : tend vers 1 lorsque → +∞. Donc = − : lim →$∞ ; ≤ 5 .
7
Pour démontrer l’autre inégalité, on utilise la continuité de la fonction 5 > en a : à C > 0 donné, on
7
7
associé > 0 tel que + ≤ = et pour tout D[ , + ], 5 > ≥ 5
1 − ε
Alors :

8

5

>7



D’où l’inégalité :
Comme

9
:

$

5

>7

≥ 1 − C
; ≥5

7

$

5

1−C 5

tend vers 1 lorsque → +∞, on en déduit :
lim ; ≥ 1 − C 5
→$∞

Ceci étant vrai pour tout C > 0, on en déduit que :
lim ; ≥ 5
→$∞

7

Exercice 3 :

Corrigé de l’exercice 3 :

II-Calcul des primitives
Exercice 4 :
Calculer les primitives suivantes par changement de variable.

7

7
7

=

1−C 5

7



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1.4 FGH

IJK

G H H

2. 4

LM L

H

3. 4
J$NOP

L

H

4. 4
√KL

L7

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H

Corrigé de l’exercice 4 :

Exercice 5 : Calculer les primitives suivantes par intégration par parties.
1. 4 H I R H H

2. 4 H S

Corrigé de l’exercice 5:

H H

3. 4 R H H

4. 4 R H I H

5. 4 cos H exp H H

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Exercice 6 :
1.4 L 7

L$I
JL K

H

L

2. 4 L 7 $L$

Corrigé de l’exercice 6 :

H

3. 4 G

Z

H FG J H H

4. 4 [!

L

H

J [! L

5. 4 I\][L$J>

L

H

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Calculs d’intégrales :
Exercice 7 :
Calculer les intégrales suivantes :

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^

1. 4 7 HG H H

2. 4

_`

√_ ` $

H

3. 4


$L 7 7

H

4. 4

JL$

L7$ 7

H

5. 49 1 + L 7 S
7

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H H

Indication pour le calcul :
1. Intégration par partie

2. Changement de variable simple

3.changement de variable x=tant

4. décomposition en éléments simples 5. Changement de variable u=1/x
Corrigé de l’exercice 7 :

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Exercice 8 :
Calculer les intégrales suivantes :
^

1. 4 7

$[!

H
L

^

2. 4 7

Corrigé de l’exercice 8 :

[! L

$[! L

H

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III- Intégrale double et triple
Exercice 9
1. Si R est le rectangle [0, a] × [0, a/2], Calculer sur R les intégrales suivantes :
e = ∬ H + Hg H g et B= ∬ G

H G

g H g.

2. Soit D le domaine défini par g ≤ 0 ≤ H, et H I + g I ≤ 1, calculer sur D
h H I + 2Hg H g

Corrigé de l’exercice 9 :
e=

j

L,

i

j
I

k,

H + Hg gl H =
=

a
a
+
4 16
J

K

j

L,

j

Hg I I
?Hg +
@ H =
2

j

L,

j

a aI
a aI HI
[ + ]H H = ? + @? @
2
8
2 8 2

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p=

j

L,

sin H

H

jr
I

k,

sin g

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g=2

H = S FGt
2.On passe en coordonnées polaires en prenant s g = SG t u , ce qui fait que le domaine D est le
H g=S S t
j
quartd de disque inférieur droit, par conséquent t varie entre
et 0.
I

h H I + 2Hg H g =
=

v,

SJ S

j
I
j
I

S I FG I t + 2S I FGtG t S S t
FG I t + 2 FGtG t

t

L’intégration en r vaut ¼. Pour calculer l’intégrale en t on linéarise : FG I t = [1 + cos 2t ]/2,
d’intégrale π/4. Et 2sinθcosθ = sin (2θ) a donc pour primitive −cos (2θ)/2, donc pour intégrale ici -1.
Finalement on trouve que la valeur de l’intégrale est π/16 − 1/4.
Exercice 10 :
Calculer : ; = 4 w4

k

Hg I Hx g.

L’intégrale peut être écrite ; = ∬ Hg I H g, sur le domaine D. Représenter le domaine D. De quelle
8

forme géométrique ? En utilisant la forme de domaine D. Calculer : 4 w4

Corrigé de l’exercice 10 :
A proposer !
Exercice 11 :
Calculer l’intégrale suivante :

Ou

Corrigé de l’exercice 11 :

y L
L

Hg I Hx g

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Exercice 12 :

Corrigé de l’exercice 12 :
A faire !

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