Trigonométrie et nombres complexes .pdf



Nom original: Trigonométrie et nombres complexes.pdfAuteur: Paul PAOLI

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Géométrie, trigonométrie et nombres complexes

1) Géométrie vectorielle
a)

Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle de côtés de longueurs 𝑎 et 𝑏 et d’hypoténuse 𝑐, on a :
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 2

Dem : Considérons un carré de côté 𝛼 et inscrivons dans ce carré un autre carré de côté 𝑐 tel que :

𝛼

𝑐

𝑐

𝛼

𝛼

𝑐

𝑐

𝛼
On va chercher à déterminer l’aide du carré du côté 𝑎 de deux manières différentes.
Posons 𝛼 = 𝑎 + 𝑏 tel que :

𝑎

𝑏

𝑏

𝑎
𝑐

𝑎

𝑐

𝑏

𝑐

𝑐

𝑏

𝑎

1

L’aire 𝒜 du carré de côté 𝛼 vaut bien évidemment :
𝒜 = 𝛼 2 = (𝑎 + 𝑏)2
D’un autre côté l’aire du carré de côté 𝛼 vaut également l’aire du carré de côté 𝑐 plus l’aire des 4 triangles des coins.
On a alors :
𝑎𝑏
𝒜 = 𝑐2 + 4 × ( )
2
D’où :
𝑎𝑏
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑐 2 + 4 × ( )
2
⇔ 𝑎2 + 𝑏 2 + 2𝑎𝑏 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏
D’où :
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 2
𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont les trois côtés d’un triangle rectangle quelconque. Ce qui prouve le théorème de Pythagore.


b)

Notion de bipoints

Def 1 : On appelle « bipoint » un couple de deux points du plan. Soient 𝑀 et 𝑁 deux points du plan, alors le bipoint
formé par les points 𝑀 et 𝑁 est noté (𝑀, 𝑁).
Def 2 : Un bipoint noté ( 𝑂2 , 𝐸2 ) est équipollent à un bipoint donné ( 𝑂1 , 𝐸1 ) si le segment de droite reliant
l’origine ( 𝑂1 ) du premier bipoint et l’extrémité du second bipoint (𝐸2 ) et le segment de droite reliant l’extrémité du
premier bipoint ( 𝐸1) et l ’ origine du second bipoint (𝑂2) se coupent en leur milieu.
Illustration :

2

c)

Notion de vecteurs

Def 1 : On appelle vecteur pointé, un bipoint du plan auquel on associe un sens, du point de départ vers le point d’arrivée.
On a réalité choisi un ordre dans la représentation des points dans un bipoint. On note le vecteur associé au bipoint
(𝐴, 𝐵) : ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
Le bipoint (𝐴, 𝐵) et le bipoint (𝐵, 𝐴) ne représentent pas le même vecteur.
Un vecteur est donc caractérisé par :



Un bipoint
Un ordre dans les points

Remarque : La détermination du bipoint permet de caractériser un vecteur par une direction (la droite (𝐴𝐵)) et une
norme (la distance entre le point 𝐴 et le point 𝐵, ce qu’on note généralement 𝑑(𝐴, 𝐵)). L’ordre des points dans le bipoint,
revient à définir le sens du vecteur, d’un point vers un autre.
Def 2 : On appelle translation, toute application 𝛿 du plan dans lui-même qui à tout point 𝑃(𝑥, 𝑦) (on suppose qu’on a
muni le plan d’un repère orthonormé direct (𝑂, 𝐴, 𝐵)) en un point 𝑃′(𝑥 ′ , 𝑦′) telle que les longueurs entre les points soient
conservées (on nomme ça une isométrie), le parallélisme des droites est conservée (on nomme ça une symétrie
géométrique).
Def 3 : On appelle vecteur généralisé, et on le note en toute généralité 𝑢
⃗ , toute translation du plan caractérisée par un
vecteur pointé.
Exemple : Soit (𝐴, 𝐵) un bipoint du plan. On note ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 le vecteur correspondant à ce bipoint. On définit alors le vecteur
généralisé 𝑢
⃗ (c’est une translation) caractérisé par le vecteur pointé ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 par ;
A tout point 𝑀 du plan on associe le point 𝑀′ tel que la translation qui associe 𝑀 à 𝑀′ est la même que celle qui associe 𝐴
à 𝐵.
Donc finalement, la notation ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 ne désigne plus un vecteur pointé (c’est-à-dire un couple de bipoint) mais bien un
vecteur généralisé (c’est-à-dire une translation qui est une fonction).
On peut donc écrire :
𝑢
⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑀′ = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
Ce qui veut dire que pour tout point 𝑀du plan, la translation 𝑢
⃗ , est la translation qui à tout point 𝑀 du plan associe le
point 𝑀′ tel que cette translation soit identique à celle qui associe le point 𝐴 au point 𝐵.
⃗⃗⃗⃗⃗ désignera un vecteur généralisé et non un vecteur pointé.
Remarque : Dans toute la suite la notation 𝑢
⃗ ou 𝐴𝐵
d)

Notations et propriétés élémentaires



La notation |𝜔| désigne la valeur absolue de 𝜔 qui vaut par définition :
𝜔 si 𝜔 est positif
−𝜔 si 𝜔 est négatif



Dans tout ce qui suit, on notera 𝑑(𝐴, 𝐵) la distance entre le point 𝐴 et le point 𝐵. Il s’agit par définition, de la
valeur absolue de la différence des abscisses de deux points sur un axe gradué :
𝐴
0

1

2

3 𝛼 4

𝐵
𝛽

3

On a :
𝑑(𝐴, 𝐵) = |𝛽 − 𝛼| = |𝛼 − 𝛽|

Propriété (distance dans un repère orthonormé) : Dans un repère orthonormé (𝑂, 𝐺, 𝐺′) du plan, les points 𝐴 et 𝐵 ont un
couple de coordonnées (𝑥, 𝑦) et (𝑥 ′ , 𝑦′), alors la distance entre 𝐴 et 𝐵 vaut :
𝑑(𝐴, 𝐵) = √(𝑥 − 𝑥 ′ )2 + (𝑦 − 𝑦′)2
Dem :
Soit (𝑂, 𝐺, 𝐺′) un repère du plan et soient 𝐴(𝛼, 𝛽) et 𝐵(𝛼 ′ , 𝛽′) deux points du plan et leurs coordonnées dans ce repère.
Considérons le point 𝐻(𝛼, 𝛽′). Soient (𝒟1 ) la droite d’équation 𝑥 = 𝛼 (c’est-à-dire l’ensemble des points 𝑃(𝑥, 𝑦) du plan
qui vérifient 𝑥 = 𝛼) et (𝒟2 ) la droite d’équation 𝑦 = 𝛽′ (c’est-à-dire l’ensemble des points 𝑃(𝑥, 𝑦) du plan qui vérifient
𝑦 = 𝛽′)
𝐻 ∈ (𝒟1 ) et 𝐻 ∈ (𝒟2 ) par évidence. Donc 𝐻 est l’unique point d’intersection entre (𝒟1 ) et (𝒟2 ) (les deux droites n’étant
évidemment ni parallèles ni confondues à cause leur équation de droite).
De plus, 𝐴 ∈ (𝒟1 ) et 𝐵 ∈ (𝒟2 ) par évidence.
(𝒟1 ) et (𝒟2 ) sont perpendiculaires car (𝒟1 ) est parallèle à l’axe de ordonnées et (𝒟2 ) est parallèle à l’axe des abscisse
(toujours d’après leur équation de droite)
Donc le triplet de points (𝐴, 𝐵, 𝐻) forme un triangle rectangle en 𝐻.
On applique à présent le théorème de Pythagore qui dit que :
2

2

(𝑑(𝐴, 𝐵)) = (𝑑(𝐴, 𝐻)) + (𝑑(𝐵, 𝐻))

2

Comme 𝐴 et 𝐻 sont sur (𝒟1 ) tous les deux alors ils ont la même abscisse et finalement :
𝑑(𝐴, 𝐻) = |𝛽 − 𝛽′|
Et de même, puisque 𝐵 et 𝐻 sont sur (𝒟2 ) tous les deux alors ils la même ordonnée et finalement :
𝑑(𝐵, 𝐻) = |𝛼 − 𝛼′|
Finalement donc :
2

(𝑑(𝐴, 𝐵)) = |𝛽 − 𝛽′|2 + |𝛼 − 𝛼′|2
Donc :
𝑑(𝐴, 𝐵) = ±√|𝛽 − 𝛽′|2 + |𝛼 − 𝛼′|2
Une distance est toujours positive (ou nulle si les deux points sont confondues) donc on doit rejeter la solution négative.
Finalement il reste :
𝑑(𝐴, 𝐵) = √|𝛽 − 𝛽′|2 + |𝛼 − 𝛼′|2


4



⃗⃗⃗⃗⃗ la distance entre 𝐴 et 𝐵 et on note :
Soient 𝐴 et 𝐵 deux points du plan. On appelle norme du vecteur pointé 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝑑(𝐴, 𝐵)
‖𝐴𝐵
La norme du vecteur généralisé ‖𝑢
⃗ ‖ caractérisé par le vecteur pointé ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 est également 𝑑(𝐴, 𝐵).

e)

Angles dans le plan



On appelle angle toute portion de cercle telle que :

La longueur en rouge définie un angle 𝛼.
On a :
𝛼=

𝐿
𝑅

Où 𝐿 est la portion de cercle voulue et 𝑅 le rayon du cercle. (d’après cette formule l’angle est donc sans unité)
Lorsque le rayon du cercle est égal à 1 alors le cercle est dit « trigonométrique » et l’angle vaut alors :
𝛼=𝐿
Et il s’exprime en radians.
Tableau de valeurs :
La circonférence du cercle trigonométrique vaut 2𝜋 car son rayon vaut 1. On peut alors, dresser une petite table de
valeurs :
Angle 𝛼

En radians
En degré

Un quart de
cercle

Un demicercle

Trois quart
de cercle

Un cercle
complet

𝜋
2

𝜋

3𝜋
2

2𝜋

90°

180°

270°

360°

Formule de conversion des radians en degrés :
Soient 𝛼 la mesure en radians d’un angle et 𝜃 sa mesure en degrés alors :

5

𝛼=

𝜋
𝜃
180

Dem :
On cherche le coefficient de proportionnalité 𝜀 qui permette de passer de la mesure en radian à la mesure en degré. Soit 𝛼
la mesure en radians d’un angle et 𝜃 sa mesure en degrés, en cherche 𝜀 tel que :
Quel que soit l’angle 𝜃 donné on a :
𝛼 = 𝜀𝜃
Or, on sait que :
2𝜋 = 𝜀 × 360
Donc :
𝜀=

2𝜋
𝜋
=
360 180




(Angles vectoriels)

f)



Vecteurs colinéaires et bipoints équipollents
(Def)
(Norme d’un vecteur colinéaire à un autre)

g)





Propriétés sur les vecteurs
(Linéarité de vecteurs)
(Relation de chasles)
(Expression d’un vecteur dans une base différente)
(Indépendance linéaire)

h)









Produit scalaire
(Définition)
(Formule 1)
(Formule 2)
(Formule 3)
(Bilinéarité du produit scalaire)
(Propriété du produit scalaire)
(Inégalité triangulaire)
(Inégalité de Cauchy-Swcharzt)

i)










Géométrie vectorielle dans l’espace
(Defs)
(Théorème 1)
(Théorème 2)
(Théorème 3)
(Théorème 4)
(Coordonnés 1)
(Coordonnés 2)
(Volume 1)
(Volume 2)
6



(Volume 3)

j)

Fonctions trigonométriques
 (Paramétrage du cercle trigonométrique)
 (Cosinus)
 (Sinus)
 (Tangente)
 (Cotangente)

k)

Relations métriques dans le triangle
 (Loi des sinus)
 (Théorème d’Al-Kashi)
 (Formule fondamentale de la trigonométrie)
 (Droite d’Euler dans le triangle)
 (Droite de Simpson)
 (Points d’Apollinaire)
 (Points de Gergonne)

Propriété (inégalité triangulaire) : Soit (𝑂, 𝐼, 𝐽) un repère du plan. Soient 𝐴(𝑥, 𝑦)et 𝐵(𝑥 ′ , 𝑦′) deux points du plan. Et soit,
𝐶(𝛼, 𝛽) un troisième point du plan, distinct de 𝐴 et 𝐵 alors :
𝑑(𝐴, 𝐶) + 𝑑(𝐶, 𝐵) < 𝑑(𝐴, 𝐵)
Illustration :

Cette inégalité énonce que le chemin le plus court entre deux points est toujours le chemin direct, sans point
intermédiaire.
Def

2) Géométrie analytique
3) Formules trigonométriques
 Formules d’addition
 Formules de duplication
 Formules de Carnot
 Formules de Simpsons
 Formules de produit
 Formules tangente
4) Equations trigonométriques
 Equation sin
 Equation cos
 Equation tan (exo)
7

5) Nombres complexes (part 1)
 Construction des complexes
 Forme algébrique des complexes
 Conjugué et module
6) Nombres complexes (part 2)
 Argument d’un complexe
 Forme trigonométrique
 Formules d’Euler et de Moivre
7) Interprétation géométrique des nombres complexes
8) Racines ènième de l’unité
9) Equation dans le champ complexe (degré 2 et 3)

8


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