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Abdelilah BENYOUSSEF

Amal BERRADA
Professeurs à la Faculté des Sciences
Université Mohammed V
Rabat

Cours de

Point et système de points matériels

ER

A L’USAGE DES ETUDIANTS DU 1 CYCLE UNIVERSITAIRE
FACULTES DES SCIENCES, FACULTES DES SCIENCES ET TECHNIQUES,
CLASSES PREPARATOIRES AUX ECOLES D’INGENIEURS

PRESENTATION
Ce document présente l’enseignement de « Mécanique du point et du système de points
matériels », dispensé pendant quelques années par les auteurs à la Faculté des Sciences de
Rabat. Certes, les ouvrages de qualité consacrés à cette même partie de la physique classique
sont nombreux et chacun d’eux comporte généralement son originalité qui traduit la signature
de ses auteurs. C’est justement ce cachet, fruit d’une expérience pédagogique qui fait que
nous avons privilégié dans le développement du document tel aspect sur tel autre tout en
restant à l’intérieur des contours des programmes de mécanique classique généralement
enseignés. C’est donc pour faire partager ces ‘’petits errements’’ aux étudiants, aux collègues,
et autres concernés que nous avons été encouragés à publier ce cours. Les lecteurs
remarqueront que le présent document a insisté de manière particulière sur quelques aspects
mathématiques ou physiques à travers lesquels on peut découvrir quelques fondements de la
mécanique du point et du système de points matériels. On peut citer notamment le problème
du repérage, le trièdre de Frenet , la notion de référentiel, le pendule de Foucault et autres
applications liées à la dynamique terrestre, les collisions élastiques et inélastiques, les
oscillateurs harmoniques, le problème à deux corps etc… Ce document n’est sûrement pas
exempt d’imperfections ou de ‘’coquilles’’ qui ont pu échapper à notre attention ; les lecteurs
nous en excuseront volontiers et toutes leurs remarques seront les bienvenues.
Les auteurs

Chapitre I
I- Repérage d'un point matériel. Systèmes de coordonnées, surfaces et
courbes coordonnées.
L'espace physique est décrit par un espace euclidien (dimension 3) où sont définis
les angles et les distances. La position de tout point matériel M dans cet espace est définie
par rapport à un (ou plusieurs) objet(s) appelé(s) repère. Pour caractériser cette position c'est
à dire pour repérer le point M, il suffit en général de déterminer 3 paramètres réels q , q ,q
1 2 3
ou coordonnées du point. A cet effet on définit un système de coordonnées cohérent qui
peut engendrer un espace dans lequel on associe à tout point M trois nombres q , q ,q de
1

2 3

manière unique.
1- Systèmes de coordonnées
a- Coordonnées cartésiennes
Soit un point origine O et un système d'axes (Oxyz) sur lesquels on considère
r r r
trois vecteurs unitaires e1 , e2 , e3 supposés constituer une base orthonormée directe. Tout
point M de l'espace peut être caractérisé par ses coordonnées cartésiennes q = x, q = y, q =
1







2

3



z qui sont les projections de OM sur les axes Ox , Oy et Oz respectivement (figure I.1) ,
c'est-à-dire :

r
r
r
OM = x e1 + y e2 + z e3

x = Om1 est l'abscisse du point M, y = Om 2 l'ordonnée et z = Om3 la cote avec
∞ ; + ∞ [.

x, y,z∈ ]-

z
m1

r
e3
m1

M(x,y,z)

r
e2

O

m2

r
e1

x

y

Fig. I.1

b- Coordonnées cylindriques
En coordonnées cylindriques tout point M peut être caractérisé de manière
également unique par la connaissance des trois paramètres r,ϕ ,z :


q = r = Om ≥ 0

(rayon vecteur)

1







Om

q = ϕ = ( Ox , OM ) ∈ [0,2π[

(angle polaire)

q = z = Om ' ∈ ] -∞,+∞ [

(cote)

2
3

Les points m et m' sont les projections orthogonales de M respectivement sur le plan polaire






( Ox , Oy ) et sur l'axe Oz (voir FigI.2).
z

m'
M ( r,ϕ,z )

O
ϕ

y

r
m

x

Fig. I.2

c- Coordonnées sphériques
En coordonnées sphériques tout point M de l'espace (figure I.3) peut être
caractérisé de manière également unique par la connaissance des trois paramètres (ou
coordonnées sphériques), ρ,θ,ϕ définis par :


q = ρ = | OM |∈ [0,+∞ [

(rayon vecteur)

1









q = θ = ( Oz , OM ) ∈ [0,π]
2

(colatitude )

q = ϕ = ( Ox , Om ) ∈ [0,2π [
3

(longitude)

Fig. I.3
Remarque :
Si (q ,q ,q ) est un système de coordonnées cohérent, alors q ,q ,q peuvent être
1 2 3

1 2 3

exprimées en fonctions des coordonnées d'un autre système. Ainsi nous pouvons avoir en
fonction des coordonnées cartésiennes par exemple :
q = q (x,y,z) ; q = q (x,y,z) ; q = q (x,y,z)
1

1

2

2

3

3

et inversement
x= x (q ,q ,q ) ; y = y (q ,q ,q ) ; z = z (q ,q ,q )
1 2 3

1 2 3

1 2 3

dans les cas particuliers où nous prenons comme q ,q ,q les coordonnées r,ϕ,z nous aurons
1 2 3

des relations qui existent entre les deux systèmes de coordonnées cartésiennes et
cylindriques :
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
z=z
et inversement :
r=

x2 + y2

y
y
ϕ = Arctg x ou Π + Arctg x (selon les signes respectifs de x et de y)
z=z
De la même manière nous avons entre les coordonnées sphériques et cartésiennes les
relations :
x = ρ sin θ cos ϕ
y = ρ sin θ sin ϕ
z = ρ cos θ
et inversement :
ρ=

x2 + y2 + z2

θ = Arctg
y
ϕ = Arctg x

x2 + y2
ou Π + Arctg
z

x2 + y2
(selon le signe de z)
z

y
ou Π + Arctg x (selon les signes respectifs de x et y)

Enfin entre les coordonnées sphériques et cylindriques nous avons :
r = ρ sin θ
ϕ=ϕ
z = ρ cos θ
et inversement :

r2 + z2
ρ
ρ
θ = Arctg z ou Π + Arctg z (selon le signe de z)
ρ=

ϕ=ϕ

II- Surfaces coordonnées. Courbes coordonnées
1- Définitions
a- Surface coordonnée
Soit (q ,q ,q ) un système de coordonnées, on appelle "surface coordonnée"
1 2 3

l'ensemble des points où l'une des coordonnées q est constante. On l'appelle également
i

surface " iso q ".
i

b- Courbe coordonnée
L'intersection de deux surfaces coordonnées quelconques est une courbe où seule
la troisième coordonnée varie; on appelle cette courbe une courbe coordonnée "q variable".
i

Ainsi l'intersection des surfaces " iso q " et
1

" iso q " est la courbe coordonnée "q
2

3

variable".
Remarques :

*

Dans un système de coordonnées (q ,q ,q ) quelconque tout point M(q ,q ,q ) est à
1 2 3

1 2 3

l'intersection des trois surfaces coordonnées " iso q " i = 1,2,3 comme il est également à
i

l'intersection des trois courbes q variable associés à i = 1,2,3.
i

* On dit que les courbes coordonnées sont orthogonales au point M(q1,q2,q3) si les tangentes
en M aux trois courbes "q variable" pour i = 1,2,3 sont perpendiculaires deux à deux (voir
i

figure II.1).

q variable
3

T1

T3

M
q 2 variable
T2

q 1 variable

Fig. II.1
2- Application au cas de systèmes de coordonnées simples
Il s'agit de déterminer les surfaces et les courbes coordonnées que nous avons
définies précédemment dans les cas des coordonnées cartésiennes, cylindriques et
sphériques successivement.
a- Surfaces et courbes coordonnées en coordonnées cartésiennes.
Soit un point M(x,y,z) défini par ses coordonnées cartésiennes; la surface x = x1 =
cte (" iso x ") est le plan (π1) parallèle au plan (Oy,Oz) passant par le point A1 d'abscisse x1
sur l'axe Ox. De même la surface y = y1 = cte (" iso y ") est le plan (π2) parallèle au plan
(Ox,Oz) et passant par le point B1 d'ordonnée y1 sur l'axe Oy. Enfin la surface z = z1 = cte ("
iso z ") est le plan (π3) parallèle au plan (Ox,Oy) et passant par le point C1 de l'axe Oz et de
cote z1 (figure II.2).

Z

z

( π2 )
X'

C1

(π 3 )

Y'

Y

M
X
B1

O

y

( π1 )

A1

Z'

x

Fig. II. 2
La courbe "x variable"est l'intersection des plans (π2) et (π3), par conséquent c'est
la droite X'X . La courbe "y variable" est l'intersection de (π1) et (π3) c'est donc la droite Y'Y et
la courbe "z variable" est l'intersection des plans (π1) et (π2), soit donc la droite Z´Z. La figure
II.3 présente ces courbes coordonnées au point M.

Z
X'

Y'

Y
M
X
Z'
Fig. II.3

b- Surfaces et courbes coordonnées en coordonnées cylindriques
Soit M(r,ϕ,z) défini par ses coordonnées cylindriques (figure II.4); la surface r = r1
= cte (" iso r ") est le cylindre (C) d'axe Oz et de rayon r = r1 = |OM|. La surface ϕ = ϕ1 = cte
(" iso ϕ ") est le demi-plan (P) : (Oz ,Om). Enfin la surface z = z1 = cte (" iso z ") est le plan
(P') parallèle au plan (Ox,Oy) et contenant le point M de cote z = z 1.

M (r, ϕ, z)

ϕ

x

Fig. II.4
Pour les courbes coordonnées, celle qui correspond à "r variable" est l'intersection de " iso ϕ "
et " iso z "; donc c'est la demi droite O'M. La courbe coordonnée "ϕ variable" est
l'intersection de " iso r " et de " iso z " c'esu par conséquent le cercle de centre O' et de rayon
O'M. Enfin la courbe coordonnée "z variable" est l'intersection des surfaces " iso r " et " iso
ϕ ", c'est par conséquent la droite mM parallèle à Oz et passant par M.
La figure II.5 représente de manière simplifiée les courbes coordonnées et le point
M(r,ϕ,z) qui se trouve à leur intersection.
ϕ variable
O'
M (r,ϕ,z)
r variable
z variable

Fig. II.5
c- Surfaces et courbes coordonnées en coordonnées sphériques
Soit un point M(ρ,θ,ϕ) défini par ses coordonnées sphériques (figure II.6).

z

m'
plan
parallèle

M(ρ,θ,ϕ)

(C' )
θ
O

y
ϕ

m

(C)

demi plan
méridien

x

Fig. II.6
La surface ρ = ρ0 = cte (" iso ρ ") est la sphère de centre O et de rayon OM = ρ0 = cte; la
surface θ = θ0 = cte (" iso θ ") est le demi cône de sommet O et de demi angle au sommet
θ = θ0. Enfin la surface ϕ = ϕ0 = cte (" iso ϕ ") est le demi plan méridien (Oz,Om).
La courbe coordonnées "ρ variable" est à l'intersection des surfaces " iso θ " (demi
cône) et " iso ϕ " (demi plan méridien), c'est par conséquent (D) la demi-droite OM. La
courbe coordonnée "q variable" est l'intersection des surfaces " iso ρ " et " iso ϕ " c'est-à-dire à
l'intersection de la sphère et du demi-plan méridien, c'est par conséquent le demi-cercle (C)
est appelé demi cercle méridien. Enfin la courbe coordonnée "ϕ variable" est à l'intersection
des surfaces " iso ρ " '(sphère) et " iso θ " (demi cône), c'est donc le "cercle parallèle" (C') qui
est parallèle au plan (Ox,Oy) de centre m' et de rayon m'M.
La figure II.7 représente les courbes coordonnées au voisinage du point M(ρ,θ,ϕ).

(C' )
M (ρ,θ,ϕ)
(D)

(C)

Fig. II.7

III- Systèmes d'axes locaux ("repères locaux")
1- Position du problème
r
Soit A(M) un champ de vecteurs défini en un point M de l'espace ; en général ce
point M est un point mobile qui décrit une trajectoire. A chaque instant on peut associer au
point mobile M un système d'axes dont la direction varie d'un instant à l'autre avec le point.
Ce système d'axes est appelé système d'axes locaux ou "repère local". Le champ de vecteurs
r
A(M) pourra alors se décomposer à chaque instant sur les axes locaux.
A titre d'exemple un point matériel M en mouvement possède à chaque instant
r
une vitesse v(M ) (champ de vecteurs) ; cette vitesse peut s'écrire comme la résultante de ses
composantes selon un système d'axes dont l'origine est placée en ce point M (ou en un point
quelconque) et les directions dépendent de la position du point.
Il s'agit donc de préciser ces directions ainsi que les autres caractéristiques du
"repère local" dans le cas d'un système de coordonnées quelconques (q ,q ,q ), puis dans les
1 2 3

cas particulier de systèmes de coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques.
2- Détermination du "repère local" dans le cas général
a- Direction et sens des axes locaux
Soit un système de coordonnées (q ,q ,q ) et un point M(q ,q ,q ); ce point est à
1 2 3

1 2 3

l'intersection des trois courbes coordonnées "q variables" (figure III.1).
i

q
3
variable

M

q

1
variable

q

2
variable

Fig. III.1



Considérons un déplacement infinitésimal ( dM )q sur la courbe coordonnée q variable et
1

1



supposons que ( dM )q soit suffisamment petit pour qu'il soit confondu avec la tangente à la
1

courbe en M(q ,q ,q )
1 2 3

Nous pouvons écrire :




( dM )q = ( MM1 )
1

avec M(q ,q ,q ) et M1(q ,dq ,q ,q ) deux points sur cette tangente (figure III.2) ; l'élément
1 2 3

1

1 2 3



différentiel ( dM )q s'écrit alors :
1

r
∂M
( dM )q =
dq
1
1
∂q1



r
(dM )q1 ∂M
est un vecteur tangent en M à la courbe coordonnée "q variable".
ainsi
=
1
dq1
∂q1

M ( q1 , q 2 , q 3 )
M1 ( q 1 + dq 1 , q 2 , q 3 )
r
∂M
∂q1

q1
variable

Fig. III.2


En considérant successivement deux autres déplacements infinitésimaux ( dM )q

2







= ( MM 2 ) et ( dM )q = ( MM 3 ) respectivement sur les courbes coordonnées "q variable" et "q
3

2

variable", nous déduisons de la même manière que précédemment, que les vecteurs :

3



(dM) q 2
dq 2


(dM ) q 3

et

dq 3

r
∂M
=
∂q 2
r
∂M
=
∂q 3

sont tangents en M à ces deux courbes coordonnées (figure III.3).
r
r
r
∂M ∂M ∂M
,
,
qui dépendent de la position du point
L'ensemble des trois vecteurs
∂q1 ∂q 2 ∂q 3
M(q ,q ,q ) définit un système d'axes locaux ou "repère local" associé au système de
1 2 3

coordonnées (q ,q ,q ). Le caractère "local" de ces axes vient du fait qu'ils dépendent
1 2 3

justement de la position du point M(q ,q ,q ) à chaque instant.
1 2 3

r
∂M
∂q3

q3
variable

r
∂M
∂q1

q1

r
∂M
∂q 2

variable

q2

variable

Fig. III.3
Remarques :

* Tout champ de vecteurs
r

r
A(M) peut s'écrire comme la somme de trois composantes qui

sont les projections de A(M) sur les axes locaux; ainsi nous pouvons écrire :
r
r
r
r
A(M) = A q + A q + A q
1
2
3

r
r
r
∂M
avec A q la projection de A(M) sur la direction
, c'est-à-dire sur la tangente en M à la
∂q1
1
courbe coordonnée "q variable".
1

r

* Si nous considérons un déplacement infinitésimal quelconque d M de M(q1,q2,q3) nous
pouvons donc écrire également :

r
r
r
r
d M = (d M )q + (d M )q + (d M )q
1
2
3
r
r
r
∂M
avec (d M )q =
dq projection de d M sur la tangente en M à la courbe coordonnée
i
∂q i
i
"q variable".
i

* L'origine d'un système d'axes locaux peut être placée en un point quelconque de l'espace
une fois que leur direction a été déterminée à chaque instant.
b- Vecteurs unitaires de base du système d'axes locaux

r
r
r
∂M ∂M ∂M
Nous avons défini trois vecteurs indépendants
,
,
qui caractérisent les
∂q1 ∂q 2 ∂q 3

directions du système d'axes locaux. Nous pouvons leur associer des vecteurs unitaires de
r
même sens et même direction en les normalisant. Ainsi, les vecteurs unitaires sur e q sur la
i
r
∂M
direction
sont définis successivement par :
∂q i

r
∂M
r
∂q1
eq =
r
1
∂M
∂q1

r
∂M
r
∂q 2
eq =
r
2
∂M
∂q 2

r
∂M
r
∂q 3
eq =
r
3
∂M
∂q 3

r
r
r
( e q , e q , e q ) est une base de vecteurs unitaires du "repère local".
1
2
3

Remarques :

r
∂M
* Si les courbes coordonnées sont orthogonales, c'est-à-dire si au point M les directions ,
∂q1
r
r
r
r
∂M ∂M
r
,
sont perpendiculaires deux à deux, alors la base ( e q , e q , e q ) est orthonormée.
1
2
3
∂q 2 ∂q 3
Nous avons alors :
r
r
r
| e q | = 1 et e q . e q = 0 pour i ≠ j
i
i
j

Si, en plus nous avons :
r
r
r
eq Λ eq = eq
1

2

3

r
r
r
eq Λ eq = eq
2

3

1

r
r
r
eq Λ eq = eq
3
1
2
r
r
r
la base ( e q , e q , e q ) est alors directe.
1
2
3

*

La base du système d'axes locaux étant définie, nous pouvons écrire tout champ de
r
vecteur A(M ) sous la forme :

r
r
r
r
A(M ) = Aq e q + Aq e q + Aq e q
1 1
2 2
3 3
r
r
r
avec A q = Aq e q et Aq représentant la valeur algébrique de la projection de A(M ) sur la
1
1 1
1
r
direction de e q , c'est-à-dire :
i

r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
A(M ) = ( A(M ) . eq ) e q + ( A(M) . e q ) e q + ( A(M) . e q ) e q
1
1
2
2
3
3

3- Systèmes d'axes locaux en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques
a- "Repère local" en coordonnées cartésiennes (q1 = x , q2 = y , q3 = z)
Soit un système de coordonnées cartésiennes (O,x y z)
orthonormée directe associée à ce système.

r r r
et i , j , k une base

z

Z
r
ez

X'

r
ey

Y'

r
k

M (x,y,z)

r
ex

X
O

Y

Z'
y

r
j

r
i

x

Fig. III.4

Soit M(x,y,z) un point de l'espace tel que :

r
r
r
OM = x i + y j + z k

Nous nous proposons de déterminer le "repère local" en M en appliquant la démarche suivie
au § III.2 précédent.
Le point M(x,y,z) est à l'intersection des trois droites X'X, Y'Y, Z'Z qui
correspondent respectivement aux trois courbes coordonnées " x variable " ,
" y variable " et " z variable " (figure III.4).
Considérons sur la courbe " x variable " (droite X'X) un déplacement élémentaire
r
(d M )x ; celui-ci est porté par la tangente en M à la courbe coordonnée "x variable" (c'est-àdire la droite X'X passant par le point M est parallèle à Ox). Nous pouvons donc écrire :

r
r
(d M )x = dx i
Par ailleurs d'après ce qui précède (§ III.2) et en faisant q = x nous avons :
1

r
r
r
r
∂M
∂M r
(d M )x =
dx , avec
= i si on identifie les deux expressions de (d M )x. Dans ce cas
∂x
∂x
r
r
∂M
définit directement le premier vecteur unitaire e x du repère local, en effet :
∂x
r
∂M
r
r
r
i

x
ex = r = r = i
|i|
∂M
∂x

En refaisant de même sur les autres courbes coordonnées, nous obtenons :

r
r
ey = j

et

r
r
ez = k

Le repère local en M(x,y,z) est donc défini à partir de ses vecteurs de base
r r r
( ex , e y , e ) qui constituent un trièdre orthonormé et direct.
z
Remarques :

* Tout champ de vecteur

r
A(M ) peut être décomposé à chaque instant selon ses composantes

sur le "repère local" en coordonnées cartésiennes :

r
r
r
r
A ( M ) = Ax e x + Ay e y + Az e

z

r
r
r
r
r
r
avec Ax = A(M ) . ex ; Ay = A(M ) . e y ; Az = A(M ) . ez

* En particulier un déplacement élémentaire quelconque du point M dans l'espace s'écrit :
r
r
r
r
d M = (d M )x + (d M )y + (d M )z
r
r r
r
= dx ex + dy e y + dz e e
z z
b- Repère local en coordonnées cylindriques (q1 = r, q2 = ϕ, q3 = z)
Soit un point M(r,ϕ,z) défini par ses coordonnées cylindriques. Ce point est à
l'intersection des trois courbes coordonnées"r variable","ϕ variable" et "z variable", (figure
III.5)

z
*e z
*e ϕ

M'
M

*e r

O
ϕ

y

r
m

x

Fig. III.5
La courbe " r variable " est la demi-droite M'M . Considérons le vecteur unitaire
r
er sur cette direction et orienté dans le sens croissant de r c'est-à-dire dans le sens croissant


de l'axe M ' M . Un déplacement élémentaire de M sur la courbe coordonnée " r variable "
lorsque r varie de dr s'écrit :
r
r
( dM )r = dr er

Par ailleurs nous avons :

r
r
∂M
( dM )r =
dr
∂r
en identifiant les deux expressions précédentes nous obtenons :

r
∂M r
= er
∂r

r
∂M
ce qui permet d'avoir la direction d'un axe du " repère local " en l'occurence celle de
qui
∂r
r
∂M
r
est celle de er , et de définir le vecteur unitaire sur cette direction par ∂rr , c'est-à-dire par
∂M
∂r
r
er .
Reprenons la même démarche pour la courbe coordonnée " ϕ variable " , c'est-àdire le cercle de centre M' et de rayon M'H = r. Nous définissons sur la tangente en M à ce
r
r
cercle un vecteur unitaire e ϕ orienté dans le sens croissant de ϕ (figure III.6). Soit ( dM )ϕ un
déplacement élémentaire de M sur la courbe coordonnée " ϕ variable ", lorsque ϕ varie de
r
dϕ. Supposons que dϕ est suffisamment petit pour que ( dM )ϕ soit porté par la tangente .

r


M'

r


M

Ainsi nous avons :
r
r
( dM )ϕ = r dϕ eϕ
par ailleurs

r
r
∂M
( dM )ϕ =

∂ϕ

d'où

r
r
∂M
= r dϕ eϕ
∂ϕ

r
ce qui permet de déduire que la seconde direction du système d'axes locaux est celle de eϕ et
r
∂M
r
∂ϕ
le vecteur unitaire sur cette direction est donné par r , c'est-à-dire par eϕ .
∂M
∂ϕ

Enfin sur la courbe coordonnée " z variable " qui est la droite mM parallèle à oz,
r
définissons un vecteur unitaire ez orienté dans le sens croissant de z, c'est-à-dire dans le sens

r
croissant de l'axe mM . Soit (d M )z un déplacement élémentaire de M sur la courbe
coordonnée " z variable " lorsque z varie de dz; nous avons alors :

r
r
(d M )z = dz ez
par ailleurs nous avons :

r
r
∂M
(d M )z =
dz
∂z
d'où

r
∂M r
= ez
∂z
r
et la dernière direction du système d'axes locaux est donc déterminée; c'est celle de ez ,
r
∂M
r
puisque le vecteur unitaire associé est ∂zr = ez
∂M
∂z
Ainsi le "repère local" (système d'axes locaux) en coordonnées cylindriques est
r r r
entièrement déterminé. La base de vecteurs unitaires ( er , eϕ , ez ) que nous avons associée au
repère local est orthonormée (les courbes coordonnées étant orthogonales en M) et directe.
Remarques :

* Tout champ de vecteurs

r
A(M ) peut s'écrire à l'aide de ses composantes dans le système

d'axes locaux :

r
r
r
r
A ( M ) = Ar e r + Aϕ e ϕ + Az e z
avec

r
r
Ar = A ( M ) . e r
r
r
Aϕ = A ( M ) . e ϕ
r
r
Az = A ( M ) . e z

composante radiale
composante orthoradiale
composante axiale

* Un déplacement élémentaire quelconque

r
dM s'écrit alors sous la forme d'une somme de

ses trois composantes :
r
r
r
r
dM = ( dM ) r + ( dM ) ϕ + ( dM ) z
r
r
r
= dr er + r dϕ eϕ + dz ez

c- Repère local en coordonnées sphériques : (q1= ρ , q2 = θ, q3 = ϕ)
Soit un point M(ρ,θ,ϕ) défini par ses coordonnées sphériques. Ce point
est à l'intersection des trois courbes coordonnées " ρ variable ", " θ variable " et
" (figure III.7) .

" ϕ variable

Fig. III.7

r
La courbe coordonnée ρ variable est la demi-droite OM ; définissons e ρ vecteur
unitaire sur OM orienté dans le sens croissant de ρ = OM c'est-à-dire de O vers M . Soit un
r
déplacement élémentaire ( dM )ρ sur cette courbe coordonnée lorsque ρ varie de dρ
r
r
( dM )ρ = dρ e ρ

r
r
∂M
( dM ) ρ =

∂ρ

en identifiant les deux expressions, nous déduisons :
r
∂M r
= eρ
∂ρ

r
∂M
ce qui permet la détermination de la direction de
, c'est-à-dire celle de l'axe local associé
∂ρ

à la coordonnée ρ au point M.
La courbe coordonnée " θ variable " est de demi cercle méridien (C) passant par M
r
; soit e ρ le vecteur unitaire porté par la tangente en M au demi cercle (C) et tel que son sens




correspond au sens croissant de l'angle ( Oz, OM ) (figure III.8).
z

M
θ



r


O

(C)

Fig. III.8
r
Soit ( dM )θ un déplacement élémentaire sur la courbe (C) lorsque la variable θ

varie de dθ ; nous avons :
r
r
( dM )θ = ρ dθ e θ

par ailleurs

r
r
∂M
( dM ) θ =

∂θ

d'où

r
r
∂M
= ρ eθ
∂θ
r
∂M ,
La direction du second axe du "repère local" est donnée par celle de
c'est-à∂θ
r
∂M
r
∂θr =
dire par la direction de e θ et le vecteur unitaire associé est défini
par
∂M
∂θ
r
e
r
ρ θ = eθ
ρ
Enfin pour la troisième direction du "repère local" nous considérons la courbe
r
coordonnée " ϕ variable " qui est le cercle parallèle (C') de centre M'. Soit e ϕ le vecteur
unitaire porté par la tangente à (C') au point M et orienté dans le sens croissant de ϕ et soit
r
( dM )ϕ le vecteur déplacement élémentaire du point M sur (C') lorsque ϕ varie de dϕ (figure
III.9).

r

(C' )



M'

M1

ϕ

θ
O

Fig. III.9

r
( dM )ϕ = MM 1

r
= |MM'|dϕ e ϕ

M
ρ

r
= ρ sin θ dϕ e ϕ
par ailleurs
r
r
∂M
( dM ) ϕ =

∂ϕ

d'où
r
r
∂M
= ρ sin θ e ϕ
∂ϕ
r
r
∂M ,
La direction du troisième axe local est celle de
donc celle de e ϕ . Le vecteur unitaire
∂ϕ

associé à cette direction est :

r
∂M
r
r sin θ r
∂ϕ
eϕ = eϕ
r =
r sin θ
∂M
∂ϕ
Ainsi le "repère local" au point M en coordonnées sphériques a pour direction des
r
r
r
∂M , ∂M
∂M
et
respectivement, (ces directions étant orthogonales), et a pour
axes celles de
∂ρ ∂θ
∂ϕ
r r r
base orthonormée et directe, le système ( e ρ , e θ , e ϕ ) tel qu'il a été défini.
Remarques :

r

* Tout champ de vecteurs A(M) peut s'écrire comme la résultante de ses composantes selon
les axes locaux :

r
r
r
r
A(M) = Aρ e ρ + Aθ e θ + Aϕ e ϕ
avec

r
Aρ = A(M) .
r
Aθ = A(M) .
r
Aϕ = A(M) .

r

r

r


r
composante radiale de A(M)
r
composante de A(M)
r
composante de A(M)

Si


r
A(M) = OM nous avons dans ce cas :


r
OM = ρ e ρ

r
r
avec e ρ = e ρ (θ,ϕ) fonction des paramètres θ et ϕ.
r

* Un déplacement élémentaire dM quelconque s'écrit dans la base ( er ρ , er θ , er ϕ ) sous la forme :
r
r
r
r
dM = ( dM ) ρ + ( dM ) θ + ( dM ) ϕ

r
r
r
= dρ e ρ + ρ dθ e θ + ρ sin θ dϕ e ϕ
d- Passage d'un repère local à un autre
r r r
Nous prouvons passer de la base en coordonnées cartésiennes ( e x , e y , e ) à la
z
r r r
base en coordonnées cylindriques ( e r , e ϕ , e ) par les relations :
z
r
r r
r
r r r
r r r
e r = ( e r . ex ) ex + ( e r . ey ) ey + ( e r . e ) e
z z
r
r
= cos ϕ e x + sin ϕ e y

r
r r r
r r r
r r r
e ϕ = ( e ϕ . ex ) ex + ( e ϕ . ey ) ey + ( e ϕ . e ) e
z z
r
r
= - sinϕ ex + cosϕ e y
r
r
e =e
z
z
r
r
r
r
Ainsi, nous remarquons que nous avons e r = e r (ϕ) et e ϕ = e ϕ (ϕ) .

De même, les vecteurs de la base en coordonnées sphériques peuvent s'exprimer
en fonction des vecteurs de base en coordonnées cartésiennes par les relations :

r
r r r
r r r
r r r
e ρ = ( eρ . ex ) ex + ( eρ . ey ) ey + ( e ρ . e ) e
z z
r
r
r
= sinθ cosϕ ex + sinθ sinϕ e y + cos θ e
r
r r r
r r r
r r r
e θ = ( e θ . ex ) ex + ( e θ . ey ) ey + ( e θ . e ) e
z z

z

r
r
r
= cosθ cosϕ ex + cosθ sinϕ e y - sinθ e
z
r
r r r
r r r
r r r
e ϕ = ( e ϕ . e x ) e x + ( e ϕ . e y ) e y + ( e ϕ . ez ) ez
r
r
= sinϕ e x + cosϕ e y
r
r
r
r
Nous remarquons dans ce cas que nous avons e ρ = e ρ (θ,ϕ) , e θ = e θ (θ,ϕ)
r
r
e ϕ = e ϕ (ϕ).

et

Les représentations planes sur les figures III.10 et 11 permettent de trouver
facilement les relations précédentes.

r


r
ez

r
ey

ϕ
M
M'
O

ϕ

r
er
r
ex

θ

r

r
er

M

O

r


(C)

Fig. III.10
plan parallèle déduit de la Fig.III.5

Fig. III.11
demi plan méridien déduit de la Fig.III.7

4- Cas particulier : repère local de Serret Frenet et formules associées.
a - Présentation
Soit une courbe orientée représentant la trajectoire d'un point matériel M . Dans
les paragraphes précédents nous avons défini des systèmes d'axes locaux qui sont liés à la
position du point M(q ,q ,q ), l'élément trajectoire n'intervenant pas c'est à dire que si le
1 2 3

point M(q ,q ,q ) est sur la trajectoire (C1) ou (C2) par exemple, le repère local en ce point est
1 2 3

le même car il est lié à la seule position du point. Le repère local de SERRET FRENET que
nous allons introduire est d'un type différent des autres dans la mesure où ce système d'axes

locaux dépend à la fois de la trajectoire du point matériel et de la position de ce point sur la
trajectoire et non pas seulement de la position du point dans un repère donné.
(C 2)

M

(C )
1

Fig. III.12
Ainsi si on connait les caractéristiques de la trajectoire on peut alors définir en chaque point
et de manière unique un système d'axes locaux particulier appelé repère de SERRET
FRENET. Les composantes dans ce repère sont appelées composantes intrinsèques.
b - Eléments caractéristiques d'une courbe (trajectoire)
La connaissance des caractéristiques d'une courbe quelconque (c'est-à-dire qui
n'est pas forcément plane), telles que les notions de plan osculateur, normale principale,
binormale, rayon de courbure, rayon de torsion, etc, sont nécessaires pour la détermination
du trièdre de SERRET FRENET et les relations entre les vecteurs unitaires de ce trièdre, aussi
avons nous développé en paragraphe annexe toutes ces notions.

c - Trièdre et base de SERRET FRENET
Soit (C) une courbe trajectoire et M un point de cette courbe. On considère la
direction MT de la tangente à (C) au point M et sur cette direction un vecteur unitaire
r
τ orienté dans le sens de parcours de la trajectoire (figure III.13).

B

*b
(C)



M
*n

T
N

Fig. III.13


Par ailleurs, soit MN la direction de la normale principale à la courbe (C) au point


M, c'est-à-dire la perpendiculaire à MT qui est contenue dans le plan osculateur à la courbe
(C) au même point, on considère alors sur cette normale principale un vecteur unitaire
r
n orienté positivement vers le centre de courbure de (C).


Enfin soit MB la direction de la binormale à la courbe au point M , c'est-à-dire la



r
perpendiculaire au plan ( MT , MN ) et on considère un vecteur unitaire b porté par ( MB ) et
r r r
orienté de telle manière que ( τ , n , b ) soit un trièdre direct.



r r r
Ainsi le trièdre ( MT , MN , MB ) définit le trièdre de SERRET-FRENET et ( τ , n , b )

constitue la base orthonormée directe qui lui est associée , c'est-à-dire nous avons :

r r
r
τ Λ n= b
r r
r
n Λ b= τ
r
r r
b Λ τ= n

d - Formules de SERRET-FRENET
r r r
Soit ( τ , n , b ) la base de SERRET-FRENET et un point M d'abscisse curviligne "s"
sur la courbe trajectoire (C); le rayon de courbure R(s) et le rayon de torsion T(s) de la courbe
(C) au point M sont définis (voir annexe A) par les relations :

r
r

n
=
ds
R (s)

(1)

r
r
n
db
=T(s)
ds

(2)

r
dn .
A partir de ces relations nous pouvons déduire l'expression de
En effet :
ds
r r
r
n=b Λ τ
r
dn
d r r
=
( b Λ τ)
ds ds
r
r
r r
dn

Λ τ+ b Λ
=
ds
ds
compte tenu des relations (1) et (2) nous avons :

r
r
r
r r
dn
n
n
=Λ τ+bΛ
T(s)
R (s)
ds
d'où

(3)

r
r
r
dn
b
τ
=
T(s) R (s)
ds
Les formules (1), (2), (3) sont appelées formules de SERRET-FRENET.

IV- Caractéristiques fondamentales de la cinématique
La notion de temps ayant été introduite précédemment nous présentons les
notions de trajectoire, de vitesse et d'accélération.
1- Trajectoire - Equations paramétriques du mouvement
a - Trajectoire
Soit un mobile M et O une origine fixe. A chaque instant t la position de M est


donnée par le vecteur OM ( t ) . L'ensemble des positions du point M lorsque t varie de
manière continue constitue une courbe (C) qui représente la trajectoire du mobile.

b- Equations paramétriques
Soit un système de coordonnées (q ,q ,q ); la position d'un point matériel M par
1 2 3

rapport à un repère est donnée par ses coordonnées M(q ,q ,q ). Si le point M décrit une
1 2 3

courbe trajectoire (C), les coordonnées q ,q ,q sont en général des fonctions d'un paramètre
1 2 3

auxiliaire t qui détermine la position de M sur cette trajectoire. Les équations du mouvement
de M sur la trajectoire (C) sont alors :
q = f(t)
1

q = g(t)
2

q = h(t)
3

Exemples :

*

Dans le système de coordonnées cartésiennes x,y,z un point M qui évolue sur

une

trajectoire circulaire de rayon R dans le plan xOy (voir figure IV.1) a pour équations
paramétriques de mouvement :
x = R cos ωt
y = R sin ωt
z=0

z

O
ωt

y

R

x
Fig. IV.1

M

Dans le système de coordonnées cylindriques r,ϕ,z le même mouvement du point
M est décrit par les équations paramétriques :
r = R = cte

ϕ(t) = ω t
z=0
Remarques :

* En mécanique le paramètre t représente souvent le temps; cependant d'autres paramètres
sont également utilisés dans les équations paramétriques. Par ailleurs, toute courbe
trajectoire associée à un mouvement peut être représentée paramétriquement d'une infinité
de manières, en substituant au paramètre t consideré initialement, un autre qui en est déduit
par une relation quelconque. Ainsi dans l'exemple précédent du système de coordonnées
cartésiennes au lieu de t on peut prendre ϕ = ωt et on aura avec le paramètre ϕ :
x = R cos ϕ
y = R sin ϕ
z=0

* En éliminant le paramètre auxiliaire (quel qu'il soit) entre les équations paramétriques
nous pouvons trouver la ou les relation (s) reliant les coordonnées des points de la courbe
trajectoire. Ainsi dans le cas simple précédent
x = R cos ωt
y = R sin ωt
z=0
l'élimination de t nous donne :
x2 + y2 = R2 et z = 0

qui représente l'équation d'un cercle dans le plan xOy.
Dans le cas plus général d'une courbe trajectoire gauche, l'élimination du
paramètre t permet de passer des équations paramétriques x(t), y(t), z(t) (si on se place dans
le système de coordonnées cartésiennes par exemple) aux courbes exprimées par
l'intersection de deux surfaces. On obtient alors deux équations reliant x,y,z :
f1(x,y,z) = 0

(1)

g1(x,y,z) = 0

(2)

Signalons que ceci n'implique pas que l'intersection des deux surfaces représentées par (1) et
(2) soit exclusive aux seuls points de la courbe (C). D'autres points autres que ceux qui
constituent (C) peuvent vérifier également simultanement (1) et (2). Donc des conditions
supplémentaires sont nécessaires pour que les équations (1) et (2) soient absolument
équivalentes aux équations paramétriques x(t), y(t), z(t).
2- Vitesse d'un point matériel
a- Vitesse moyenne
Soit un point matériel M en mouvement dans un référentiel (R). A l'instant t le
point est en A et à un instant t' il est en A'.

A'
t'

A
t

La vitesse moyenne du mobile entre t et t' est par définition :




r
AA' ∆A
v moy (M) =
=
avec
t '− t
∆t





∆A = AA' et ∆t = t' - t

Cette vitesse moyenne ne dépend que du point de départ et du point d'arrivée. Cette
vitesse moyenne est peu utilisée du fait qu'elle ne rende pas compte de l'évolution de la
vitesse entre les instants t et t'.

b- vitesse instantanée
La vitesse instantanée d'un mobile M à un instant t, par rapport à un référentiel
(R) est la limite de la vitesse moyenne précédemment définie, lorsque ∆t = t'-t tend vers 0.






r
r
AA '
OA'− OA
v(M ) = lim v moy (M) = lim
= lim
(1)
∆t
∆t
∆t → 0
∆t → 0
∆t → 0
Si O est une origine fixe quelconque, on peut associer à chaque instant au mobile M, le


vecteur position OM ( t ) fonction vectorielle de point. Ainsi à l'instant t le mobile est en A et






nous avons OM ( t ) = OA et à l'instant t' = t + ∆t le mobile est en A' et nous avons OM ( t + ∆t ) =


OA' . D'après (1) la définition de la vitesse instantanée se ramène donc à celle de la dérivée


par rapport au temps de la fonction vectorielle OM( t ) .




r
OM( t + ∆t ) − OM( t )
v(M ) = lim
∆t

lorsque

∆t



0



∆M
= lim
∆t
∆t → 0

r
r
dM
et on note cette vitesse instantanée en utilisant l'écriture différentielle v(M ) =
dt
la vitesse instantanée étant relative au référentiel (R) on adoptera la notation suivante pour
la suite.
r
⎛ dM ⎞
r
⎟/
v(M ) /R = ⎜⎜
⎟ R
dt



Remarques :

r
v(M ) est tangente à la trajectoire (C) et orientée dans le sens du
r
mouvement (figure IV.2). Si τ est le vecteur unitaire porté par la tangente à la courbe au
point M et orienté dans le sens du mouvement du mobile, nous pouvons écrire :

* La vitesse instantanée

r
r
r
v( M ) = | v( M ) | τ

r
v( M )

M (t + ∆t)

r
v( M )

• M (t)
(C)

Fig. IV.2

* La vitesse s'exprime en unité de longueur par unité de temps [L][T-1].
c. Hodographe du mouvement
Soit une trajectoire (C) parcourue par un mobile M. En chaque point Ai de la trajectoire
(figure IV.3) (c'est-à-dire à chaque instant ti) le point M a une vitesse
r
r
v t (M) = v i .
i
M (t1)

A1

r
v1

M(t2)
A2

r
v2

M (t 3)

(C)

r
v3

Ai

Fig. IV.3

Soit un point fixe O pris comme origine des vecteurs équipollents aux vecteurs

r
r
v i ; c'est-à-dire à partir du point O on trace les vecteurs OBi = v i (i = 1,2,…). La courbe (C')
définie par les extremités Bi est appelée hodographe du mouvement (figure IV.4).

(C' )
B1
Bi
O
B2

Fig. IV.4

3- Accélération d'un point matériel
L'accélération par rapport à un référentiel (R) associée à un mobile M traduit la
variation au cours du temps du vecteur vitesse . En d'autres termes le vecteur vitesse est
pour l'accélération ce que le vecteur position est pour le vecteur vitesse.
r
On définit donc le vecteur accélération instantanée γ (M ) du mobile M par rapport
r
à un référentiel (R) par la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse v(M ) :

r
r
r
v( t + ∆t ) − v( t )
γ (M ) /R = lim
∆t
∆t → 0

(1)

r
⎛ dv(M ) ⎞
=⎜
⎟/
⎝ dt ⎠ R
or nous avons :
r
⎛ dM ⎞
r
⎟/
v(M ) /R = ⎜⎜
⎟ R
⎝ dt ⎠

d'où

r
r
⎛ dv(M ) ⎞
γ (M ) /R = ⎜
⎟/ =
⎝ dt ⎠ R

r
⎛ d ⎛ dM ⎞ ⎞
⎜ ⎜
⎟⎟
⎜ dt ⎜ dt ⎟ ⎟ /R
⎠⎠
⎝ ⎝

et en utilisant la notation :

r
⎛ d ⎛ dM ⎞ ⎞
⎜ ⎜
⎟⎟ =
⎜ dt ⎜ dt ⎟ ⎟ /R
⎠⎠
⎝ ⎝

r
⎛ d 2M ⎞


⎜ dt 2 ⎟ /R



Nous déduisons que l'accélération instantanée du mobile M peut s'écrire :
r
⎛ d2M ⎞
r
γ (M) /R = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ /R
⎝ dt ⎠
Remarque :

*

On montre à partir de l'expression (1) que l'accélération est toujours orientée vers la

concavité de la trajectoire (figure IV.5).

r
γ(t)
r
v( t )

(C)

r
v( t + ∆t )

M (t)

M (t + ∆t)

r
v( t )
Fig. IV.5
r
r
r
v( t + ∆t ) − v( t )
* Par ailleurs soit l'accélération γ(M) /R = lim
∆t
∆t → 0
'


r
r
et soit O un point fixe à partir duquel on porte les vecteurs OB = v(t) et OB = v(t + ∆t) , B et



→ '

r
r
B' sont sur l'hodographe (C') lorsque ∆t ∅ 0, B' tend vers B et le vecteur BB = v(t + ∆t) - v(t)
est alors tangent à l'hodographe (C').
r
v( t + ∆t )

r
v( t )
(C' )

B'

B
hodographe

V- Composantes de la vitesse dans différents repères locaux.
r
⎛ dM ⎞
r
⎟ détérminée par
Soit un point matériel M de vitesse instantanée) v(M ) / R = ⎜⎜

⎝ dt ⎠ / R
rapport à un référentiel (R). Il s'agit de déterminer les composantes de cette vitesse dans les
différents repères locaux que nous avons définis précédemment. Il faut faire attention de ne
pas confondre le système d'axes liés au référentiel par rapport auquel on définit la vitesse
r
v(M ) / R avec le repère local (ou système d'axes locaux) en tant que repère géométrique dans
lequel on peut exprimer les composantes de cette vitesse.
1- Repère local en coordonnées cartésiennes
r r r
Soit ( e x , e y , e ) la base associée au système d'axes locaux en coordonnées
z
cartésiennes et M(x,y,z) un point matériel. A chaque instant nous avons :


r
r
r
OM( t ) = x(t) e x + y(t) e y + z(t) e

z

O étant fixe par rapport à ( R ), on a par dérivation relativement au temps dans le référentiel
(R) :
r
⎛ → ⎞
⎛ dM ⎞
r
dx r
dy r
dz r
⎜ d OM ⎟


v(M ) /R = ⎜
=
=
e
+
e
+
ez
/
/
x
y
⎟ R ⎜ dt ⎟ R dt
dt
dt
⎜ dt ⎟




r r r
Les vecteurs e x , e y , e ne dépendent pas du temps.
z

2- Repère local en coordonnées cylindriques
r r r
Soit ( er , eϕ , ez )

base locale en M(r,ϕ,z), point caractérisé par ses coordonnées

cylindriques (figure V.1). Nous avons :



r
r
OM( t ) = r(t) er + z(t) ez = Om + mM

et par dérivation par rapport au temps dans (R)
r
r
r
⎛ dM ⎞
de r dz r
de z
r
dr r


v(M ) /R = ⎜
⎟ /R = dt e r + r(t) dt + dt e z +z(t) dt
⎝ dt ⎠
r
r
r
r
or ez est fixe par rapport au temps et er dépend de ϕ, c'est- à-dire er = er [ϕ(t)]

r
r
de dϕ
de r
= r dt
dt

or

r
de r
r
= eϕ


d'où

r
de r dϕ r
= dt e ϕ
dt

z
*e z
*e ϕ

M
*e r

O

y
ϕ

m

x

Fig. V.1
r
de z
= 0; nous déduisons donc l'expression de la vitesse :
par ailleurs
dt

r
v(M ) /R =

r
dϕ r
⎛ dM ⎞
dr r
dz r

⎟ =
+
r(t)
e
r
⎜ dt ⎟ R dt
dt e ϕ + dt e z



Remarque :
Cette expression de la vitesse peut être déduite également de celle du déplacement
r
élémentaire dM en coordonnées cylindriques. En effet nous avons vu au paragraphe III-3-b
que :
r
r
r
r
dM = dr er + rdϕ e ϕ + dz ez

d'où

r
v(M ) /R =

r
dϕ r
⎛ dM ⎞
dr r
dz r

⎟ =
e
+
r(t)
+
ez
e
r
ϕ
⎜ dt ⎟ R dt
dt
dt



3- Repère local en coordonnées sphériques

r r r
Soit ( e ρ , e θ , e ϕ ) une base locale en coordonnées sphériques (figure V.2). Nous
pouvons écrire dans cette base à chaque instant :

r
OM ( t ) = ρ(t) e ρ

par dérivation par rapport au temps dans le référentiel (R) nous obtenons :

r
r
de ρ
⎛ dM ⎞
r
dρ r
⎟ =
v(M ) /R = ⎜⎜
⎟ R dt e ρ + ρ dt
⎝ dt ⎠
z
*e ρ

M

*e ϕ

*e θ

O

y

x

Fig. V.2

r
or nous avons vu au paragraphe III.3.c que e ρ est fonction de θ et ϕ, c'est-à-dire que :
r
r
e ρ = e ρ [θ(t),ϕ(t)]
d'où

r
de ρ

r
r
∂e ρ dθ
∂e ϕ dϕ
=
+
dt
∂θ dt
∂ϕ dt

et en utilisant les relations de passage du paragraphe III-3-d nous pouvons déduire que :
r
∂e ρ

∂θ

r
= eθ

et
r
∂e ϕ

∂ϕ

r
= sin θ e ϕ

Lorsque l'on remplace les expressions précédentes dans celle de la vitesse nous obtenons
donc en coordonnées sphériques :
r
dϕ r
dθ r
⎛ dM ⎞
r
dρ r
⎟/ =
v(M ) /R = ⎜⎜
e
+
ρ
e
+
ρ
sin
θ
ρ
θ
⎟ R dt
dt
dt e ϕ
⎝ dt ⎠

Remarque :
Cette expression de la vitesse peut être également déduite de celle du dépalacement
élémentaire en coordonnées sphériques (voir III-3-c). En effet
r
r
r
r
dM = dρ e ρ + ρ d θ e θ + ρ sin θ dϕ e ϕ
d'où

r
dθ r
dϕ r
⎛ dM ⎞
r
dρ r
⎟/ =
v(M ) /R = ⎜⎜
e ρ + ρ dt e θ + ρ sin θ dt e ϕ
R

dt
⎝ dt ⎠

4- Dans le repère de SERRET-FRENET :
Soit s(t) l'abscisse curviligne d'un point M(s) sur une courbe trajectoire (C)

r
d'origine O et M' est un point voisin de M (figure V.3) ; nous avons alors dM = MM ' = ds


r
r
dM
τ , c'est-à-dire : τ =
ds

*b

O
M


M'
*n

(C)

Fig. V.3
la vitesse du point M est

r
⎛ dM ⎞
r
dM ds
⎟ =
v(M ) /R = ⎜⎜
⎟R
ds dt
⎝ dt ⎠

d'où l'expression de la vitesse dans le repère de SERRET-FRENET:

ds r
r
v(M ) /R = dt τ

VI- Composantes de l'accélération dans differents repères locaux.

r
γ (M) / R

La même démarche utilisée pour la vitesse va être reprise pour l'accélération
r
⎛ dv ( M ) ⎞
= ⎜
⎟ d'un point M , déterminée par rapport à un référentiel (R). Il s'agit
⎝ dt ⎠ / R

donc de déterminer les composantes de cette accélération dans les différents repères locaux.
1- Repère local en coordonnées cartésiennes
r r r
r
Dans la base ( e x , e y , e z ) l'expression de l'accélération γ (M ) / R s'écrit :
r
r
d2x r
d2y r
d2z r
⎛ dv ( M ) ⎞
γ (M) / R = ⎜
=
e
+
+
ez
e

x
y
dt 2
dt 2
dt 2
⎝ dt ⎠ / R
r r r
les vecteurs e x , e y , e z étant fixes dans le temps.

2- Dans le repère local en coordonnées cylindriques
Nous avons vu dans le paragraphe V-2 que :

r
v(M ) /R =

r
⎛ dM ⎞
dr r
dz r
dϕ r
⎟/ =

e
+
r(t)
e
+
ez
r
ϕ
⎜ dt ⎟ R dt
dt
dt



d'où
r
r
⎛ dv ( M ) ⎞
γ (M) / R = ⎜

⎝ dt ⎠ / R

=

d dr r
d
dϕ r
d dz r
( er ) +
( r(t)
e ϕ )+ ( e z )
dt dt
dt
dt
dt dt

en explicitant le 1er terme de l'epression précédente nous avons :
r
d dr r
dr de r
d 2r r
( er ) = 2 er +
dt dt
dt dt
dt

(1)

r
r
de r dϕ dϕ r
de r
=
=

dt
dϕ dt dt
d'où

d dr r
dr dϕ r
d 2r r
( er ) = 2 er +

dt dt
dt dt
dt
de même, en explicitant le 2ème terme de l'expression (1) nous avons :

(2)

r
d
dϕ r
dr dϕ r
dϕ de ϕ
d 2ϕ r
( r(t)
eϕ ) =
eϕ + r 2 eϕ + r
dt
dt
dt dt
dt dt
dt
or nous avons :

r
de ϕ

r
de ϕ dϕ
r dϕ
=
= - er
dϕ dt
dt
dt

d'où
2

d
dϕ r
dr dϕ
d 2ϕ r
⎛ dϕ ⎞ r
( r(t)
+ r 2 ] eϕ - r ⎜ ⎟ e r
eϕ ) = [
dt
dt
dt dt
dt
⎝ dt ⎠

(3)

Enfin, le 3ème terme de l'expression (1) donne :

d dz r
d2z r
( e z )= 2 e z
dt dt
dt
car

(4)

r
de z
=0
dt

r
En remplaçant (2), (3), (4) dans (1) nous obtenons l'expression de l'accélération γ (M) / R dans
la base du repère local en coordonnées cylindriques :
r
r
⎛ dv ( M ) ⎞
γ (M) / R = ⎜

⎝ dt ⎠ / R
2

=[

dr dϕ
d 2r
d 2ϕ r
d2z r
⎛ dϕ ⎞ r
r
]
e
+
[2
+
r
]
e
+
ez
⎜ ⎟
r
ϕ
dt dt
dt 2
dt 2
dt 2
⎝ dt ⎠

3- Dans le repère local en coordonnées sphériques

Dans ce repère nous avons vu l'expression de la vitesse :
r
dθ r
dϕ r
⎛ dM ⎞
r
dρ r
⎟/ =
v(M ) /R = ⎜⎜
e
+
ρ
e
+
ρ
sin
θ
ρ
θ
⎟ R dt
dt
dt e ϕ
⎝ dt ⎠

et par dérivation
r
r
⎛ dv ( M ) ⎞
γ (M) / R = ⎜

⎝ dt ⎠ / R
dθ r
dϕ r
d dρ r
d
d
= ( e ρ ) + ( ρ dt e θ ) + (ρ sin θ dt e ϕ )
dt dt
dt
dt

en explicitant le 1er terme nous avons :

r
d dρ r
dρ de ρ
d 2ρ r
( eρ ) = 2 eρ +
dt dt
dt dt
dt
r
r
dρ ∂e ρ dθ
dρ ∂ e ρ dϕ
d 2ρ r
= 2 eρ +
+
dt ∂θ dt
dt ∂ϕ dt
dt
r
r
∂e ρ
∂e ρ
r
r
r

car e ρ = e ρ ( θ, ϕ ) et d e ρ =
dθ +
∂ϕ
∂θ
r
or d'après l'expression de e ρ donnée au § III-3-d, nous déduisons :
r
∂e ρ
∂θ

d'où

r
= eθ

et

r
∂e ρ
∂ϕ

r
= sin θ e ϕ

r
dρ dθ r dρ dϕ
d dρ r
d 2ρ r
( e ρ )= 2 e ρ +
e θ + dt dt sin θ e ϕ
dt dt
dt dt
dt

de même en explicitant le 2ème terme de (5) nous avons :
r
dθ r
d
dρ dθ r
dθ d e θ
d 2θ r
( ρ dt e θ )=
eθ + ρ 2 eθ + ρ
dt dt
dt
dt dt
dt

r
or d'après l'expression de e θ donnée au § III-3-d, nous déduisons :
r
r
r
de θ ∂e θ dθ ∂e θ dϕ
=
+
dt
∂θ dt
∂ϕ dt

(5)

=-

dθ r
dϕ r
e ρ + cos θ

dt
dt

d'où
2
dθ r
d
dϕ dθ r
d 2 θ dρ dθ r
⎛ dθ ⎞ r
( ρ dt e θ )= - ρ ⎜ ⎟ e ρ +[ ρ 2 +
] e θ + ρ cos θ

dt
dt dt
dt dt
dt
⎝ dt ⎠

enfin en explicitant le 3ème terme de (5) nous avons :

r
dϕ de ϕ
θ dt
dt

dϕ r

d
dϕ r
dϕ dθ r
d 2ϕ r
(ρ sin θ dt e ϕ ) = dt sin θ
e ϕ + ρ cos θ
e ϕ + ρ sin θ 2 e ϕ +
dt
dt
dt dt
dt

ρ sin

r
or nous avons d'après l'expression de e ϕ donnée au § III-3-d :
r
de ϕ

r
∂ e ϕ dϕ
=
dt
∂ϕ dt

et

r
∂e ϕ

∂ϕ

r
r
= - sin θ e ρ - cos θ e θ

en remplaçant dans (5) les trois termes par leurs expressions respectives détaillées nous
obtenons finalement :

r
γ (M) / R =

r
2
2
r
d 2ρ
⎛ dv ( M ) ⎞
⎛ dθ ⎞
2 ⎛ dϕ ⎞
sin
=
{
ρ
}
e
ρ
θ






ρ
dt 2
⎝ dt ⎠ / R
⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
2

dρ dθ
d 2θ
⎛ dϕ ⎞ r
-ρ sinθ cos θ ⎜ ⎟ } e θ
+{ρ 2 + 2
dt dt
dt
⎝ dt ⎠
⎛ d 2ϕ ⎞
dρ dϕ
dϕ dθ r
+ { ρ sinθ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + 2 sinθ
+ 2ρ cos θ
} eϕ
dt dt
dt dt
⎝ dt ⎠

4. Dans le repère de SERRET FRENET

Nous avons vu précedemment l'expression de la vitesse, dans ce repère:

r
⎛ dM ⎞
r
r
ds r
⎟ =
v(M ) / R = ⎜⎜
=
v
τ
τ

dt
⎝ dt ⎠ / R
par dérivation nous avons :
r
r
r
d 2 s r ds dτ
⎛ dv ( M ) ⎞
γ (M) / R = ⎜
=
τ
+

dt dt
dt 2
⎝ dt ⎠ / R

or nous avons, en tenant compte des formules de FRENET (voir § 1, 2, 3)

r
r
r
n ds
dτ dτ ds
=
=
dt ds dt R (s) dt
avec R(s) le rayon de courbure. Et en remplaçant dans l'expression de l'accélération nous
obtenons finalement :

r
2
r
r
r
d 2 s r ⎛ ds ⎞ n
γ (M) / R = 2 τ + ⎜ ⎟
= γt τ + γn n
dt
⎝ dt ⎠ R (s)

(6)

Remarques :

* La composante tangentielle de l'accélération est :
dv d2s
γt = dt = 2
dt
elle donne des indications sur la manière dont le point matériel est accéléré sur la trajectoire,
tandis que la composante normale de l'accélération (portée par la normale principale)

⎛ds⎞ 2 1
v2
γn = R(s) = ⎜⎝ dt ⎟⎠ R(s)
permet de déterminer la courbure de la trajectoire au point considéré , γn est d'autant plus
grande que le rayon de courbure est petit.

r
r
r
On remarque d'après l'expression γ (M) / R = γt τ + γn n que l'accélération est toujours
contenue dans le plan osculateur de la trajectoire au point considéré.

*

VII- Exemples de mouvements particuliers simples.
1- Mouvement rectiligne
a- Définition
Un point matériel M est animé d'un mouvement rectiligne si sa trajectoire est une




r
d OM
droite et si les vecteurs position OM (O point fixe sur cette droite), vitesse v(M ) =
et
dt


r
d 2 OM
accélération γ (M) =
sont colinéaires et portés par cette droite.
dt 2
b- Mouvement rectiligne uniforme
Un mouvement est rectiligne et uniforme s'il répond à la définition (a) et si en
r
plus, le module de la vitesse est constant, c'est-à-dire | v(M ) | = cte ; ainsi pour un tel

r
mouvement nous avons v(M ) = cte .
Remarques :

*

r
Si M décrit un mouvement rectiligne uniforme et i un vecteur unitaire sur la droite

trajectoire, nous avons :

r
r
v( M ) = v i
r
r
r
dv r
di
⎛ dv(M ) ⎞
γ (M) = ⎜
i+ v
⎟ =
dt
dt
⎝ dt ⎠
r
dv
di
avec dt = 0 (mouvement uniforme) et
= 0 (mouvement rectiligne). Par conséquent, pour
dt
un mouvement rectiligne uniforme nous avons à tout instant :
r
r
γ (M) = 0

*

Un mouvement sur une trajectoire quelconque (pas nécessairement rectiligne) est

uniforme si le module de la vitesse est constant sur cette trajectoire.

r
| v(M ) | = cte

c- Mouvement rectiligne uniformément varié
Un mouvement est rectiligne et uniformément varié s'il répond à la définition (a)
r
et si en plus le module de l'accélération est constant sur la trajectoire, c'est-à-dire | γ (M) | =

r
cte. Ainsi pour un tel mouvement nous avons γ (M) = cte .
Remarques :

*

De manière plus générale un mouvement sur une trajectoire quelconque (pas

nécessairement rectiligne) peut être uniformément varié si l'accélération sur cette trajectoire
r
à un module constant | γ (M) | = cte.

* Un mouvement uniformément varié est dit accéléré si en plus, le carré de la vitesse est une

r
r
fonction croissante du temps ; dans ce cas le produit scalaire v(M ) . γ (M) est positif. En effet,
soit un mouvement uniformément accéléré ; posons :

r
r
r
v 2 ( M ) = v( M ) . v( M )
par définition du mouvement accéléré c'est une fonction croissante et donc

d r2
v (M) >
dt

0, d'où :

r
r
d r
d r
v( M ) > 0
( v(M ) . v(M ) )= 2 v(M )
dt
dt

r
r
et nous avons bien v(M ) . γ (M) > 0
r
De même, le mouvement uniformément varié est dit retardé si v 2 (M) est une fonction
r
r
décroissante du temps. Le produit scalaire v(M ) . γ (M) est alors négatif.
d - Mouvement rectiligne sinusoïdal
Un mouvement est rectiligne sinusoïdal s'il répond à la définition (a) et si en plus,
l'abscisse du point mobile M est à chaque instant de la forme :
x(t) = Xm sin(ωt + ϕ)

r
Ainsi, si O est un point fixe sur la droite trajectoire et i un vecteur unitaire, nous
avons les vecteurs position, vitesse et accélération du point M qui sont donnés
respectivement par :

r
r
OM = x(t) i = [Xm sin (ωt+ϕ)] i

r
r
dx r
v( M ) =
i = [Xm ω cos (ωt+ϕ)] i
dt
r
r
d2x r
γ (M) = 2 i = [- Xm ω2 sin (ωt+ϕ)] i
dt


= - ω2 OM
Xm est l'amplitude maximale du mouvement, ω la pulsation et ϕ la phase.
2- Mouvement circulaire
a- Définition
Un point matériel M est animé d'un mouvement circulaire si sa trajectoire est un
cercle (figure VII.1).
z

*e z

O

y
ϕ
*e ϕ

M

*v (M)

*e r

x

Fig. VII. 1
Si R est le rayon du cercle trajectoire le point M peut être défini par ses équations
paramétriques soit en coordonnées cylindriques :

r=R




ϕ = ϕ(t) avec ϕ = ( Ox , OM )
z = cte

(= 0 dans le cas de la figure)

soit en coordonnées cartésiennes
x(t) = R cos ϕ
y(t) = R sin ϕ
z(t) = cte (= 0 dans le cas de la figure).
b- Vecteur vitesse de rotation
Nous nous plaçons en coordonnées cylindriques (ou polaires); l'expression de la
vitesse est alors d'après (V-2) :

r
dr r
dϕ r
dz r
v( M ) =
er + r
eϕ +
ez
dt
dt
dt

(1)

or dans notre cas nous avons r = R = cte et z = cte ; et en remplaçant dans (1)

r
dϕ r
v( M ) = R

dt

(2)

r
= v eϕ
r
Puisque le mouvement est circulaire e ϕ est tangent au cercle trajectoire ; par ailleurs le
r r r
trièdre ( e r , e ϕ , e z ) étant orthonormé et direct nous pouvons écrire l'expression (2) sous la
forme :

r
dϕ r r
v( M ) = R
( e z Λe r )
dt
=

r
dϕ r
ez Λ R er
dt


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