pc0VuiP4Tw .pdf


Nom original: pc0VuiP4Tw.pdf
Titre: TScompcor01
Auteur: Xavier DELAHAYE

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Exercice 01
1°) L'équation x3 = 1 est de la forme x3 = px + q avec p = 0 et q = 1.
2
3
2
3
On a alors q - p = 1 donc q - p ³ 0 ; on peut utiliser la formule de Cardan.
4 27 4
4 27
3
1+
1 +
11 = 3 1+1 + 3 1-1 = 31 =1
2
4
2
4
2 2
2 2
On obtient comme solution 1 (ce qui était une solution évidente).

On obtient x =

3

2°) L'équation x3 = 3x + 2 est de la forme
2
3
On a alors q - p = 4 - 27 = 0 donc
4 27 4 27

x3 = px + q avec p = 3 et q = 2.
q2 - p3 ³ 0 ; on peut utiliser la formule de Cardan.
4 27

2+ 0 + 3 2- 0 = 31 + 31 =1+1=2
2
2
On obtient comme solution 2.
On peut vérifier : 23 = 8 et 3 x 2 + 2 = 6 + 2 = 8 . Donc 2 est solution de l'équation x3 = 3x + 2 .

On obtient x =

3

L'observation de la représentation
graphique des courbes de f(x) = x3
et g(x) = 3x + 2 laisse penser qu'il
existe une deuxième solution et que
cette deuxième solution est -1.
(On pourrait
aussi
utiliser
représentation
graphique
h(x) = x3 - 3x - 2 )

la
de

Pour justifier que l'équation x3 = 3x + 2 a exactement deux solutions qui sont -1 et 2, on peut démontrer
que x3 - 3x - 2 = (x - 2)(x + 1)2
3°) L'équation x3 = 2x + 4 est de la forme x3 = px + q avec p = 2 et q = 4.
2
3
2
3
On a alors q - p = 16 - 8 = 100 donc q - p ³ 0 ; on peut utiliser la formule de Cardan.
4 27 4
27 27
4 27
On obtient x =

3

4+
2

100 +
27

3

42

100 = 3 2 + 10 + 3 2 - 10
27
3 3
3 3

Avec une calculatrice on obtient x ≈ 2 .
On obtient comme solution 2 ou un réel très proche de 2.
On peut vérifier : 23 = 8 et 2 x 2 + 4 = 4 + 4 = 8 . Donc 2 est solution de l'équation x3 = 2x + 4 .
L'observation de la représentation
graphique des courbes de f(x) = x3
et g(x) = 2x + 4 laisse penser qu'il
n'existe pas d'autre solution.

Pour justifier que l'équation x3 = 3x + 2 a une seule solution, on peut démontrer que
x3 - 2x - 4 = (x - 2)(x2 + 2x + 2) et que le trinôme du second degré x2 + 2x + 2 n'a pas de racines.
4°) L'équation x3 = 15x + 4 est de la forme x3 = px + q avec p = 15 et q = 4.
q2 - p3 = 16 - 153 = 4 - 53 = - 121 donc q2 - p3 < 0 ; on ne peut pas utiliser la formule de Cardan.
4 27 4
27
4 27
Si l'on utilise néanmoins la formule on obtiendra :
x=

3

4+
2

http://xmaths.free.fr

42 - 153 +
4
27

3

42

42 - 153 = 3 2 +
4
27

- 121 +

TS − Nombres complexes − Corrections

3

2-

- 121

5°) En imaginant que l'on peut utiliser un nombre -1 dont le carré est -1, et en utilisant la formule
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 , on pourrait écrire :
3
2
3
(2 + -1 ) = 23 + 3 x 22 x -1 + 3 x 2 x ( -1 ) + ( -1 ) = 8 + 12 -1 + 6 x (- 1) + (-1)( -1 )
3
donc (2 + -1 ) = 2 + 11 -1 .
3

On peut alors écrire (2 + -1 ) = 2 + -121, donc 2 + -1 est une racine cubique de 2 + -121
De la même façon on peut écrire :
3
2
3
(2 - -1 ) = 23 - 3 x 22 x -1 + 3 x 2 x ( -1 ) - ( -1 ) = 8 - 12 -1 + 6 x (- 1) - (-1)( -1 )
3
donc (2 - -1 ) = 2 - 11 -1 = 2 - -121
Donc 2 - -1 est une racine cubique de 2 - -121
3

3

La solution donnée dans la question précédente sous la forme x = 2 + - 121 + 2 peut alors s'écrire x = 2 + -1 + 2 - -1 = 4 .
La formule de Cardan appliquée à l'équation x3 = 15x + 4 donne comme solution 4.
On peut vérifier : 43 = 64 et 15 x 4 + 4 = 64. Donc 4 est solution de l'équation

- 121

x3 = 15x + 4 .

On a donc, en utilisant des nombres "imaginaires", obtenu un résultat bien réel (et juste).
6°) Lorsque a et b sont deux réels positifs, on peut écrire a b = ab .
En appliquant cette propriété au nombre imaginaire -1 , on obtiendrait
-1 x -1 = 1
2
c'est-à-dire ( -1 ) = 1 .
Ceci est en contradiction avec la définition du nombre -1 dont le carré devrait être égal à -1.

http://xmaths.free.fr

TS − Nombres complexes − Corrections


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