Fichier PDF

Partage, hébergement, conversion et archivage facile de documents au format PDF

Partager un fichier Mes fichiers Convertir un fichier Boite à outils PDF Recherche PDF Aide Contact



مسائل في الدالة الوغاريتمية .pdf



Nom original: مسائل في الدالة الوغاريتمية.pdf
Auteur: HAMZA@INFO

Ce document au format PDF 1.5 a été généré par ÿþMicrosoft® Office Word 2007(Infix Pro) / Microsoft® Office Word 2007, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 16/12/2016 à 18:17, depuis l'adresse IP 105.108.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 271 fois.
Taille du document: 10.9 Mo (54 pages).
Confidentialité: fichier public




Télécharger le fichier (PDF)









Aperçu du document


‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫األَل‪‬‬
‫التمرٌن ّ‬
‫‪ I‬ـ لتكن الدالة العددٌة ‪ g‬المعرّ فة على المجال ‪ 0; ‬كما ٌلً‪g  x   2 x  2  ln x :‬‬
‫‪ .1‬اُدزض ذغ‪ّٛ‬ساخ اندانح ‪ ، g‬ث ّى شكم جدٔل ذغ‪ٛ‬ساذٓا‪.‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ .2‬احسب ‪ g 1‬ث ّم استنتج إشارة ‪ g  x ‬على ‪. 0; ‬‬
‫‪1  ln x‬‬
‫‪ II‬ـ ‪ f‬دالة عددٌة معرّ فة على المجال ‪ 0; ‬كما ٌلً‪ 2 x  2e :‬‬
‫‪x‬‬

‫‪f  x ‬‬
‫‪ ‬‬

‫و ‪  C f ‬تمثٌلها البٌانً فً المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس ‪. O ; i , j ‬‬

‫‪ .1‬أ ـاحعة ‪ lim f  x ‬و ‪. lim f  x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫ب ـ بٌّن أنّ المنحنى ‪ٌ  C f ‬قبل المستقٌم ‪   ‬ذا المعادلة ‪ y  2 x  2e‬مقاربا مائال له عند ‪. ‬‬
‫جـ ـ ح ّدد وضعٌة المنحنى ‪  C f ‬بالنسبة إلى المستقٌم ‪.   ‬‬
‫‪g  x‬‬
‫‪ .2‬أ ـ بٌّن أ ّنه من أجل كل عدد حقٌقً ‪ x‬من المجال ‪: 0; ‬‬
‫‪x2‬‬
‫ب ـ استنتج اتجاه تغٌّر الدالة ‪ ، f‬ث ّم شكل جدول تغٌّراتها‪.‬‬

‫‪f ' x ‬‬

‫‪ .3‬أ ـ أثثد ّ‬
‫أٌ انًعادنح ‪ f  x   0‬ذمثم حال ٔح‪ٛ‬دا ‪ x0‬ف‪ ٙ‬انًجال ‪. 0, 4;0,5‬‬
‫ب ـ أَشئ ‪.  C f  ٔ   ‬‬
‫الحل‪‬‬
‫‪ I‬ـ لتكن الدالة العددٌة ‪ g‬المعرّ فة على المجال ‪ 0; ‬كما ٌلً‪g  x   2 x  2  ln x :‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ .1‬دزاسح تغٍّساخ اندانح ‪ ، g‬ث ّم شكم خدَل تغٍساتٍا‪.‬‬
‫‪lim g  x   ‬‬

‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬

‫الدالة ‪g‬‬

‫ألنّ ‪ 2x 2  2  2‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪ lim‬و ‪ln x  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪2 ln x‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim g  x   lim x  2x  ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫تقبل اإلشتقاق على ‪ 0; ‬ولدٌنا‪g '  x   4x  :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪1‬‬
‫من أجل كل عدد حقٌقً ‪ x‬من المجال ‪ 4x  0 ، 0; ‬و ‪ 0‬‬
‫‪x‬‬

‫‪ ‬عندئذ ‪ g '  x   0‬وبالتالً الدالة ‪g‬‬

‫متناقصة تماما على المجال ‪. 0; ‬‬

‫جدول تغٌرات الدالة ‪. g‬‬
‫‪‬‬

‫‪1‬‬
‫‪‬‬

‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪g 'x ‬‬
‫‪g x ‬‬

‫‪‬‬
‫‪ .2‬حساب ‪ g 1‬ث ّم استنتج إشارة ‪ g  x ‬على ‪. 0; ‬‬
‫‪g 1  2 1  2  ln1  0‬‬
‫‪2‬‬

‫‪1‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫من أجل ‪g  x   0 ، x  0;1‬‬
‫من أجل ‪g  x   0 ، x  1; ‬‬
‫‪1  ln x‬‬
‫‪ II‬ـ ‪ f‬دالة عددٌة معرّ فة على المجال ‪ 0; ‬كما ٌلً‪ 2 x  2e :‬‬
‫‪x‬‬

‫‪f  x ‬‬
‫‪ ‬‬

‫و ‪  C f ‬تمثٌلها البٌانً فً المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس ‪. O ; i , j ‬‬

‫‪ .1‬أ ـحساب ‪ lim f  x ‬و ‪. lim f  x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪1 ln x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2x  2e  ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x  x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1  ln x‬‬
‫‪1  ln x‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪f  x   lim‬‬
‫‪ lim‬عندئذ ‪ 2x  2e  ‬‬
‫لدٌنا ‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪lim f  x   lim‬‬

‫ب ـ تبٌٌن أنّ المنحنى ‪ٌ  C f ‬قبل المستقٌم ‪   ‬ذا المعادلة ‪ y  2 x  2e‬مقاربا مائال له عند ‪. ‬‬

‫‪1 ln x‬‬
‫‪‬‬
‫لدٌنا ‪ 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ y  2 x  2e‬مقاربا مائال له عند ‪. ‬‬

‫‪ lim f  x    2x  2e   lim‬ومنه المنحنى ‪ٌ  C f ‬قبل المستقٌم ‪   ‬ذا المعادلة‬
‫‪x ‬‬

‫‪x ‬‬

‫جـ ـ تحدٌد وضعٌة المنحنى ‪  C f ‬بالنسبة إلى المستقٌم ‪.   ‬‬

‫ندرس إشارة الفرق ‪. f  x   y‬‬
‫‪1  ln x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ٌ f  x   y  0‬كافئ ‪ 1  ln x  0‬وٌكافئ ‪ ln x  1‬أي ‪. x  e‬‬

‫‪ f  x   y ‬لدٌنا ‪ x  0‬ومنه إشارة ‪ f  x   y‬هً نفس إشارة ‪. 1  ln x‬‬

‫‪ٌ f  x   y  0‬كافئ ‪ 1  ln x  0‬وٌكافئ ‪ ln x  1‬أي ‪. x  e‬‬
‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪+‬‬

‫‪0‬‬
‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪  C f ‬تحت ‪  ‬‬
‫‪  C f ‬فوق ‪  ‬‬
‫‪ٌ  C f ‬قطع ‪  ‬‬
‫فً النقطة ‪B e ;0 ‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f x   y‬‬

‫الوضعٌة النسبٌة‬

‫‪g  x‬‬
‫‪ .2‬أ ـ تبٌٌن أ ّنه من أجل كل عدد حقٌقً ‪ x‬من المجال ‪: 0; ‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.x   1  ln x ‬‬
‫‪2  ln x  2x 2 g  x ‬‬
‫‪f 'x   x‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x2‬‬
‫ب ـ استنتاج اتجاه تغ ٌّر الدالة ‪. f‬‬

‫‪f ' x ‬‬

‫إشارة ‪ f '  x ‬هً نفس إشارة ‪. g  x ‬‬
‫من أجل ‪ f '  x   0 ، x  ;1‬؛ ومن أجل ‪. f '  x   0 ، x  1; ‬‬
‫إذن الدالة ‪ f‬متزاٌدة تماما على‬

‫‪;1‬‬

‫ومتناقصة تماما على ‪. 1; ‬‬

‫‪2‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫جدول تغ ٌّرات الدالة ‪. f‬‬
‫‪‬‬

‫‪1‬‬
‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬
‫‪+‬‬

‫‪2e  3‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f 'x ‬‬
‫‪f x ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ .3‬أ ـ إثثاخ أنّ انمعادنح ‪ f  x   0‬تقثم حال َحٍدا ‪ x0‬فً انمدال ‪. 0, 4;0,5‬‬
‫اندانح ‪ f‬يعرًسج ٔيرصا‪ٚ‬دج ذًايا عهٗ انًجال ‪ٔ 0;1‬خاصح عهٗ انًجال ‪ٔ 0, 4;0,5‬ند‪ُٚ‬ا ‪ٔ f  0, 4   0,15‬‬
‫‪ f  0,5  1, 04‬إذٌ ‪ٕٚ‬جد عدد حم‪ٛ‬م‪ٔ ٙ‬ح‪ٛ‬د ‪ x0‬يٍ انًجال ‪ 0, 4;0,5‬تح‪ٛ‬ث ‪ْٔ f  x 1   0‬را حعة يثسُْح انم‪ٛ‬ى‬
‫انًرٕظطح‪.‬‬
‫ب ـ زسم ‪َ   ‬‬

‫‪y‬‬

‫‪6‬‬

‫‪. C f ‬‬

‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-6‬‬

‫التمرٌن انثاوً‪‬‬
‫‪ I‬ـ لتكن الدالة العددٌة ‪ g‬المعرّ فة على المجال ‪ 0; ‬كما ٌلً‪g  x   x  2  2ln  x  :‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ .1‬ادرس تغٌّرات الدالة ‪ g‬واحسب ‪. g 1‬‬
‫‪ .2‬استنتج ا ّنه من أجل كل ‪ x‬من ‪. g  x   0 ، 0; ‬‬
‫‪2 ln x‬‬
‫‪ II‬ـ ‪ f‬دالة عددٌة معرّ فة على المجال ‪ 0; ‬كما ٌلً‪:‬‬
‫‪x‬‬

‫‪f  x  x ‬‬
‫‪ ‬‬

‫و ‪  C f ‬تمثٌلها البٌانً فً المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس ‪. O ; i , j ‬‬

‫‪ .1‬أ ـ احعة ‪ lim f  x ‬و ‪. lim f  x ‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫ب ـ بٌّن أنّ المنحنى ‪ٌ  C f ‬قبل المستقٌم ‪  D ‬ذا المعادلة ‪ y  x‬مقاربا مائال له عند ‪. ‬‬
‫جـ ـ ح ّدد وضعٌة المنحنى ‪  C f ‬بالنسبة إلى المستقٌم ‪.  D ‬‬
‫‪g  x‬‬
‫‪ .2‬أ ـ بٌّن أ ّنه من أجل كل عدد حقٌقً ‪ x‬من المجال ‪: 0; ‬‬
‫‪x2‬‬
‫ب ـ استنتج اتجاه تغٌّر الدالة ‪ ، f‬ث ّم شكل جدول تغٌّراتها‪.‬‬

‫‪f ' x ‬‬

‫‪ .3‬أ ـ بٌّن أ ّنه ٌوجد مماس وحٌد ‪   ‬للمنحنى ‪ ،  C f ‬مواز للمستقٌم ‪.  D ‬‬
‫‪3‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-7‬‬

‫‪-8‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫ب ـ اكتب معادلة ‪.   ‬‬
‫جـ ـ بٌّن أنّ المنحنى‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬
‫‪ٌ  C f‬قطع حامل محور الفواصل فً نقطة فاصلتها ‪ ‬حٌث ‪   1‬‬
‫‪2‬‬

‫د ـ أنشئ المستقٌمٌن ‪   ‬و ‪  D ‬والمنحنى ‪.  C f ‬‬

‫هـ ـ ناقش بٌانٌا‪ ،‬حسب قٌّم العدد الحقٌقً ‪ ، m‬عدد حلول المعادلة ‪. mx  2ln  x   0 :‬‬
‫الحل‪‬‬
‫‪ I‬ـ لتكن الدالة العددٌة ‪ g‬المعرّ فة على المجال ‪ 0; ‬كما ٌلً‪g  x   x 2  2  2ln  x  :‬‬
‫‪ .1‬ادرس تغ ٌّرات الدالة ‪ g‬واحسب ‪. g 1‬‬
‫‪lim g  x   lim‬‬
‫‪ lim‬عندئذ ‪x 2 2  2ln x  ‬‬
‫‪ lim‬و ‪x 2  2  2‬‬
‫لدٌنا ‪2ln x  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪2‬‬
‫‪ln x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim g  x   lim x  x   2‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪2‬‬
‫‪2 2  x  1‬‬
‫‪ g '  x   2x  ‬لدٌنا ‪ x  0‬ومنه إشارة‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪+‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪g 1  1  2  2ln1  3‬‬

‫‪ g '  x ‬هً من نفس إشارة ‪x  1‬‬
‫‪2‬‬

‫جدول تغٌرات الدالة ‪. g‬‬
‫‪‬‬

‫‪+‬‬

‫‪1‬‬
‫‪0‬‬

‫‪0‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬

‫‪g 'x ‬‬

‫‪‬‬

‫‪g x ‬‬

‫‪3‬‬
‫‪ .2‬استنتاج ا ّنه من أجل كل ‪ x‬من ‪. g  x   0 ، 0; ‬‬
‫بما أنّ ‪ 3‬هً قٌمة حدٌة صغرى للدالة ‪ g‬على المجال ‪ 0; ‬فإ ّنه من أجل كل عدد حقٌقً ‪ x‬من المجال ‪، 0; ‬‬
‫‪ g  x   3‬وبالتالً ‪. g  x   0‬‬
‫‪2 ln x‬‬
‫‪ II‬ـ ‪ f‬دالة عددٌة معرّ فة على المجال ‪ 0; ‬كما ٌلً‪:‬‬
‫‪x‬‬

‫‪f  x  x ‬‬
‫‪ ‬‬

‫و ‪  C f ‬تمثٌلها البٌانً فً المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس ‪. O ; i , j ‬‬

‫‪ .1‬أ ـ حساب ‪ lim f  x ‬و ‪. lim f  x ‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪2ln x‬‬
‫‪2ln x‬‬
‫‪ lim‬فٌكون ‪ ‬‬
‫لدٌنا ‪ 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2ln x‬‬
‫‪2ln x‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪f  x   lim‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ lim‬فٌكون ‪ ‬‬
‫ولدٌنا ‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪lim f  x   lim x ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪4‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫ب ـ تبٌٌن أنّ المنحنى ‪ٌ  C f ‬قبل المستقٌم ‪   ‬ذا المعادلة ‪ y  x‬مقاربا مائال له عند ‪. ‬‬
‫‪ lim f  x   x  lim‬إذن المنحنى ‪  C f ‬له مستقٌم مقارب مائل ‪   ‬معادلته ‪ y  x‬فً جوار ‪. ‬‬

‫‪2ln x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x‬‬

‫‪x ‬‬

‫جـ ـ تحدٌد وضعٌة المنحنى ‪  C f ‬بالنسبة إلى المستقٌم ‪.   ‬‬
‫‪2ln x‬‬
‫لدٌنا‬
‫‪x‬‬
‫‪ٌ f  x   x  0‬كافئ ‪ ln x  0‬أي ‪x  1‬‬

‫‪ f  x   x ‬؛ إشارة ‪ f  x   x‬هً من نفس إشارة ‪. ln x‬‬

‫‪ٌ f  x   x  0‬كافئ ‪ ln x  0‬وٌكافئ ‪x  1‬‬
‫‪ٌ f  x   x  0‬كافئ ‪ ln x  0‬وٌكافئ ‪0  x  1‬‬

‫‪‬‬

‫‪+‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪  C f ‬تحت ‪  ‬‬
‫‪  C f ‬فوق ‪  ‬‬
‫‪ٌ  C f ‬قطع ‪  ‬‬
‫فً النقطة ‪A 1;1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f x   x‬‬

‫الوضعٌة النسبٌة‬

‫‪g  x‬‬
‫‪ .2‬أ ـ تبٌٌن أ ّنه من أجل كل عدد حقٌقً ‪ x‬من المجال ‪: 0; ‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x .x  ln x ‬‬
‫‪2  2 ln x x 2  2  2 ln x g  x ‬‬
‫‪f 'x   1 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ب ـ استنتاج اتجاه تغ ٌّر الدالة ‪. f‬‬

‫‪f ' x ‬‬

‫من أجل كل عدد حقٌقً ‪ x‬من المجال ‪ g  x   0 : 0; ‬و ‪ x 2  0‬إذن ‪ f '  x   0‬وبالتالً الدالة ‪ f‬متزاٌدة‬
‫تماما على ‪. 0; ‬‬
‫جدول تغ ٌّرات الدالة ‪. f‬‬
‫‪‬‬

‫‪0‬‬
‫‪+‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f 'x ‬‬

‫‪f x ‬‬

‫‪ .3‬أ ـ تبٌٌن أ ّنه ٌوجد مماس وحٌد ‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪ T‬للمنحنى ‪ ،  C f ‬مواز للمستقٌم ‪.   ‬‬

‫‪ٌ T‬وازي ‪ٌ   ‬عنً ‪. f '  x 0   1‬‬

‫‪g x 0 ‬‬
‫‪ٌ f '  x 0   1‬كافئ ‪ 1‬‬
‫‪x 02‬‬

‫وٌكافئ ‪ x 0 2  2  2ln x 0  x 0 2‬وٌكافئ ‪ ln x 0  1‬أي ‪x 0  e‬‬

‫إذن المنحنى ‪ٌ  C f ‬قبل مماسا وحٌدا ‪‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ T‬موازٌا لـ ‪   ‬فً النقطة التً إحداثٌتٌها ‪.  e ;e  ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪5‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫ب ـ كتابة معادلة ‪.   ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ y  f ' e  x  e   f e ‬ومنه ‪ y   x  e   e ‬أي‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬

‫‪.y x ‬‬

‫‪1‬‬
‫جـ ـ تبٌٌن أنّ المنحنى ‪ٌ  C f ‬قطع حامل محور الفواصل فً نقطة فاصلتها ‪ ‬حٌث ‪   1‬‬
‫‪2‬‬
‫لدٌنا الدالة ‪ f‬مستمرة على المجال ‪ 0; ‬وبالخصوص على المجال ‪  0,5;1‬و ‪f 1  1 ، f  0,5  2, 27‬‬

‫أي ‪ f  0,5  f 1  0‬ومنه حسب مبرهنة القٌم المتوسطة ٌوجد عدد حقٌقً ‪ ‬من المجال ‪ 0,5;1‬بحٌث‬
‫‪ f    0‬وبما أنّ الدالة ‪ f‬متزاٌدة تماما على ‪ 0; ‬فإن ‪ ‬وحٌد أي ‪ٌ  C f ‬قطع حامل محور الفواصل فً‬
‫نقطة فاصلتها ‪ ‬حٌث ‪0,5    1‬‬

‫د ـ رسم المستقٌمٌن ‪   ‬و ‪‬‬

‫‪ T‬والمنحنى ‪.  C f ‬‬

‫هـ ـ المناقشة بٌانٌا‪ ،‬حسب ق ٌّم العدد الحقٌقً ‪، m‬‬
‫عدد حلول المعادلة ‪. mx  2ln  x   0 :‬‬
‫‪ mx  2ln  x   0‬تكافئ ‪mx  2ln  x ‬‬
‫‪2 ln  x ‬‬
‫وتكافئ‬
‫‪x‬‬
‫‪2ln  x ‬‬
‫‪ x  m  x ‬أي ‪f  x   x  m‬‬
‫‪x‬‬

‫‪ m ‬وتكافئ‬

‫ومنه حلول المعادلة هً فواصل النقط المشتركة بٌن‬
‫‪  C f ‬والمستقٌم ذي المعادلة ‪y  x  m‬‬
‫بقراءة بٌانٌة‪:‬‬
‫إذا كان ‪ m  0‬فإنّ المعادلة تقبل حال واحدا‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫إذا كان‬
‫‪e‬‬
‫‪2‬‬
‫إذا كان ‪ m ‬فإن المعادلة تقبل حال مضاعفا‪.‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2‬‬
‫إذا كان ‪ m ‬فإن المعادلة ال تقبل حلوال‪.‬‬
‫‪e‬‬
‫حذار‪ :‬قٌم ‪ m‬العالقة لها بمجموعة تعرٌف الدالة ‪. f‬‬

‫‪ 0  m ‬فإنّ المعادلة تقبل حلٌن‪.‬‬

‫التمرٌن الثالث ‪‬‬
‫‪ h -I‬دالة معرّ فة على ‪ 1; ‬بـ‪. h  x   x 2  2 x  ln  x  1 :‬‬
‫‪ .1‬احسب ‪ lim h  x ‬و ‪. lim h  x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪x ‬‬

‫)‪1  2( x  1‬‬
‫‪ ، h '  x  ‬ث ّم ش ّكل جدول تغٌّرات ‪. h‬‬
‫‪ .2‬بٌّن أ ّنه‪ ،‬من أجل ‪ x‬من ‪: 1; ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪x 1‬‬

‫‪ .3‬احسب ‪ h  0 ‬واستنتج إشارة ‪ h  x ‬حسب قٌّم ‪. x‬‬

‫‪6‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪ln  x  1‬‬
‫‪ f -II‬دالة معرّ فة على ‪ 1; ‬كما ٌلً‪:‬‬
‫‪x 1‬‬

‫‪. f  x   x 1‬‬
‫‪ ‬‬

‫نسمً ‪  C f ‬تمثٌلها البٌانً فً المستوي المنسوب إلى يعهى يرعايد ٔيرجاَط ‪. O ; i , j ‬‬

‫‪ .1‬أ ـ احعة ‪ lim f  x ‬وفسّر النتٌجة بٌانٌا‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪t‬‬

‫‪e‬‬
‫‪ln u‬‬
‫ب ـ باستخدام النتٌجة ‪ ، lim  ‬برهن أنّ ‪ 0 :‬‬
‫‪t  t‬‬
‫‪u  u‬‬

‫‪. lim‬‬

‫جـ ـ استنتج ‪. lim f  x ‬‬
‫‪x ‬‬

‫د ـ احسب ‪ lim  f  x    x  1‬واستنتج وجود مستقٌم مقارب مائل للمنحنى ‪.  C f ‬‬
‫‪x ‬‬
‫هـ ـ ادرس وضعٌة المنحنى ‪  C f ‬بالنسبة إلى المستقٌم المقارب المائل‪.‬‬
‫‪h  x‬‬
‫‪ .2‬بٌّن أ ّنه‪ ،‬من أجل كل ‪ x‬من ‪، 1; ‬‬
‫‪( x  1) 2‬‬

‫‪ ، f '  x  ‬ث ّم ش ّكل جدول تغٌّرات ‪. f‬‬

‫‪ .3‬بٌّن أنّ المنحنى ‪ٌ  C f ‬قطع المستقٌم ذو المعادلة ‪ y  2‬عند نقطة فاصلتها محصورة بٌن ‪ 3,3‬و ‪. 3, 4‬‬
‫‪ .4‬ارسم ‪.  C f ‬‬
‫الحل‪‬‬
‫‪ h -I‬دالة معرّ فة على ‪ 1; ‬بـ‪. h  x   x  2 x  ln  x  1 :‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ .1‬حساب ‪ lim h  x ‬و ‪. lim h  x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪lim‬‬
‫‪ lim‬و‪x 2  2x  1‬‬
‫‪ lim‬ألنّ ‪ln  x  1  ‬‬
‫‪h  x   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪ lim h  x   ‬ألنّ ‪ lim ln  x  1  ‬و ‪lim x  2x  ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪x ‬‬

‫)‪1  2( x  1‬‬
‫‪ .2‬تبٌٌن أ ّنه‪ ،‬من أجل كل ‪ x‬من ‪: 1; ‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪. h ' x ‬‬

‫‪2  x  1 x  1  1 2  x  1  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪h '  x   2  x  1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪2‬‬

‫من أجل كل ‪ x‬من ‪ h '  x   0 ، 1; ‬وعلٌه الدالة ‪ h‬متزاٌدة تماما على ‪. 1; ‬‬
‫جدول تغ ٌّرات ‪. h‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬
‫‪h 'x ‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬
‫‪‬‬

‫‪h x ‬‬

‫‪ .3‬حساب ‪h  0 ‬‬
‫‪h  0  02  2  0   ln  0  1  0‬‬

‫‪7‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫استنتاج إشارة ‪ h  x ‬حسب ق ٌّم ‪. x‬‬
‫‪‬‬

‫‪+‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬
‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬

‫‪h x ‬‬

‫‪ln  x  1‬‬
‫‪ f -II‬دالة معرّ فة على ‪ 1; ‬كما ٌلً‪:‬‬
‫‪x 1‬‬

‫‪. f  x   x 1‬‬
‫‪ ‬‬

‫نسمً ‪  C f ‬تمثٌلها البٌانً فً المستوي المنسوب إلى يعهى يرعايد ٔيرجاَط ‪. O ; i , j ‬‬

‫‪ .1‬أ ـ حساب ‪lim f  x ‬‬
‫وفسر النتٌجة بٌانٌا‪.‬‬
‫ّ‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪ln  x  1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ln  x  1‬‬
‫‪. lim‬‬
‫‪f  x   lim‬‬
‫‪x 1 ‬‬
‫ومنه ‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x 1‬‬

‫‪lim‬‬
‫‪ lim‬ألنّ ‪ln  x  1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪lim‬‬
‫و ‪x  1  0‬‬
‫‪‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪t‬‬

‫‪e‬‬
‫‪ln u‬‬
‫ب ـ باستخدام النتٌجة ‪ ، lim  ‬برهن أنّ ‪ 0 :‬‬
‫‪t  t‬‬
‫‪u  u‬‬

‫‪. lim‬‬

‫نضع ‪ u  e t‬عندئذ ‪ t  ln u‬إذا كان ‪ٌ t‬ئول إلى ‪ ‬فإنّ ‪ٌ u‬ئول إلى ‪. ‬‬
‫‪ln u‬‬
‫‪1‬‬
‫‪et‬‬
‫‪u‬‬
‫ومنه ‪ ‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪ lim  lim‬وعلٌه ‪ 0‬‬
‫‪u  u‬‬
‫‪u  u‬‬
‫‪t  t‬‬
‫‪u  ln u‬‬
‫‪ln u‬‬

‫جـ ـ استنتاج ‪. lim f  x ‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪ln  x  1‬‬
‫‪ln  x  1‬‬
‫‪ln u‬‬
‫‪ lim‬ومنه ‪ ‬‬
‫‪ lim‬‬
‫لدٌنا ‪ 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪u‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪u‬‬

‫‪lim f  x   lim x  1 ‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪x ‬‬

‫د ـ احسب ‪ lim  f  x    x  1‬واستنتاج وجود مستقٌم مقارب مائل للمنحنى ‪.  C f ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪ln  x  1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x 1‬‬

‫‪ lim f  x    x  1   lim‬؛ إذن ٌوجد مستقٌم مقارب مائل للمنحنى ‪  C f ‬معادلته ‪y  x  1‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬

‫هـ ـ دراسة وضعٌة المنحنى ‪  C f ‬بالنسبة إلى المستقٌم المقارب المائل‪.‬‬
‫ندرس إشارة الفرق ‪. f  x   y‬‬
‫‪ ln  x  1‬‬
‫لدٌنا‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ f  x   y‬هً نفس إشارة ‪.  ln  x  1‬‬

‫‪ f  x   y ‬؛ من أجل كل عدد حقٌقً ‪ x‬من المجال ‪ x  1  0 ، 1; ‬ومنه إشارة‬

‫‪ٌ f  x   y  0‬كافئ ‪  ln  x  1  0‬وٌكافئ ‪ ln  x  1  0‬وٌكافئ ‪ x  1  1‬أي ‪x  0‬‬
‫‪ٌ f  x   y  0‬كافئ ‪  ln  x  1  0‬وٌكافئ ‪ ln  x  1  0‬وٌكافئ ‪ 0  x  1  1‬أي ‪1  x  0‬‬

‫‪ٌ f  x   y  0‬كافئ ‪  ln  x  1  0‬وٌكافئ ‪ ln  x  1  0‬وٌكافئ ‪ x  1  1‬أي ‪. x  0‬‬

‫‪8‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬
‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f x   y‬‬

‫‪+‬‬

‫‪  C f ‬فوق ‪  ‬‬
‫‪  C f ‬تحت ‪  ‬‬
‫‪ٌ  C f ‬قطع ‪  ‬‬
‫فً النقطة ‪A  0; 1‬‬

‫الوضعٌة النسبٌة‬

‫‪h  x‬‬
‫‪ .2‬تبٌٌن أ ّنه‪ ،‬من أجل كل ‪ x‬من ‪، 1; ‬‬
‫‪( x  1) 2‬‬

‫‪. f ' x ‬‬

‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  1  x  1  ln  x  1 ‬‬
‫‪1  ln  x  1  x  1  1  ln  x  1‬‬
‫‪h x ‬‬
‫‪f 'x   1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  1‬‬
‫‪ x  1‬‬
‫‪ x  1‬‬
‫‪ x  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫إشارة ‪ f '  x ‬هً من نفس إشارة ‪. h  x ‬‬
‫جدول تغ ٌّرات ‪. f‬‬
‫‪‬‬

‫‪+‬‬

‫‪0‬‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f 'x ‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪f x ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ .3‬تبٌٌن أنّ المنحنى ‪ٌ  C f ‬قطع المستقٌم ذو المعادلة ‪ y  2‬عند نقطة فاصلتها محصورة بٌن ‪ 3,3‬و ‪. 3, 4‬‬
‫الدالة ‪ f‬مستمرة على المجال ‪  0; ‬بالتالً هً مستمرة على المجال ‪ 3,3;3, 4‬ولدٌنا ‪ f  3,3  1,96‬و‬
‫‪ f  3, 4   2,06‬أي ‪ f  3,3  2  f  3, 4 ‬ومنه حسب مبرهنة القٌم المتوسطة ٌوجد عدد حقٌقً ‪ ‬من المجال‬
‫‪ 3,3;3, 4‬بحٌث ‪ f    2‬أي ‪ٌ  C f ‬قطع المستقٌم ذو المعادلة ‪ y  2‬عند نقطة فاصلتها ‪ ‬محصورة بٌن‬
‫‪ 3,3‬و ‪. 3, 4‬‬

‫‪y‬‬

‫‪ .4‬رسم ‪.  C f ‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-6‬‬

‫‪9‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-7‬‬

‫‪-8‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫التمرٌن الرابع‪‬‬
‫‪ g -I‬هً الدالة المعرّ فة على المجال ‪ 0; ‬كما ٌلً‪g  x   1  x  2 x ln x :‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ .1‬ادرس تغٌّرات الدالة ‪ ، g‬ث ّم شكل جدل تغٌراتها‪.‬‬
‫‪ .2‬أ )بٌّن أنّ المعادلة ‪ g  x   0‬تقبل على المجال ‪ 0; ‬حال وحٌدا ‪ ‬حٌث ‪. 1,5    2‬‬
‫ب) استنتج إشارة ‪ g  x ‬على المجال ‪. 0; ‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪ f -II‬ال ّدالة المعرّ فة على المجال ‪ 0; ‬كما ٌلً‪:‬‬
‫‪x2  1‬‬

‫‪f  x ‬‬
‫‪ ‬‬

‫‪  C f ‬تمثٌلها البٌانً فً المستوي المنسوب إلى يعهى يرعايد ٔيرجاَط ‪. O ; i , j ‬‬

‫‪ )1‬أ) احسب ‪ lim f  x ‬و ‪ lim f  x ‬؛ فسّر النتائج هندسٌا‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪x ‬‬

‫ب) عبّر عن ‪ f '  x ‬بداللة ‪ g  x ‬واستنتج تغٌرات الدالة ‪ f‬ث ّم شكل جدول تغٌراتها‪.‬‬
‫‪ .2‬بٌّن أنّ‬

‫‪1‬‬
‫‪2 2‬‬

‫‪ f   ‬واستنتج حصرا للعدد ‪. f  ‬‬

‫‪ .3‬اكتب معادلة المماس ‪   ‬للمنحنى ‪  C f ‬عند النقطة ذات الفاصلة ‪. 1‬‬
‫‪ .4‬ارسم ‪   ‬و ‪.  C f ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ .5‬ناقش بٌانٌا‪ ،‬حسب قٌم الوسٌط الحقٌقً ‪ ، m‬عدد حلول المعادلة‪. f  x   x  m :‬‬
‫‪ h -III‬هً الدالة المعرّ فة على المجال ‪ 0; ‬كما ٌلً‪:‬‬

‫‪ln x‬‬
‫‪x2  1‬‬

‫‪h  x ‬‬

‫اشرح كٌف ٌمكن رسم ‪  Ch ‬منحنى الدالة ‪ h‬اعتمادا على ‪ ،  C f ‬ث ّم ارسم ‪.  Ch ‬‬
‫الحل‪‬‬
‫‪ g -I‬هً الدالة المعرّ فة على المجال ‪ 0; ‬كما ٌلً‪g  x   1  x  2 x ln x :‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ .1‬دراسة تغ ٌّرات الدالة ‪ ، g‬ث ّم شكل جدل تغٌراتها‪.‬‬
‫‪ lim g  x   1‬ألنّ ‪ lim 2x 2 ln x  0‬و ‪. lim 1  x  1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim g  x   lim x 2  2  1  2ln x   ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪g '  x   2x  2  2x ln x  .x 2   2x  4x ln x  2x  4x ln x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫من أجل كل عدد حقٌقً ‪ x‬من المجال ‪ 4x  0 ، 0; ‬ومنه إشارة ‪ g '  x ‬هً عكس إشارة ‪. ln x‬‬
‫من أجل ‪ ln x  0 ، x  0;1‬ومنه ‪g '  x   0‬‬
‫ومن أجل ‪ ln x  0 ، x  1; ‬ومنه ‪g '  x   0‬‬

‫بالتالً الدالة ‪ g‬متزاٌدة تماما على المجال ‪ 0;1‬و متناقصة تماما على المجال‬

‫‪1; ‬‬

‫‪10‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫جدول تغٌرات الدّالة ‪. g‬‬
‫‪‬‬

‫‪1‬‬
‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0‬‬

‫‪g 'x ‬‬

‫‪+‬‬

‫‪2‬‬

‫‪g x ‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ .2‬أ )تبٌٌن أنّ المعادلة ‪ g  x   0‬تقبل على المجال ‪ 0; ‬حال وحٌدا ‪ ‬حٌث ‪. 1,5    2‬‬
‫لدٌنا الدالة ‪ g‬مستمرة ومتزاٌدة تماما على المجال ‪ 0;1‬وتأخذ قٌمها فً المجال ‪ 1; 2‬و ‪ 0  1; 2‬إذن على المجال‬
‫‪. g  x   0 ، 0;1‬‬
‫ولدٌنا الدالة ‪ g‬مستمرة ومتناقصة تماما على المجال ‪ 1; ‬وتأخذ قٌمها فً المجال ‪ ; 2‬و ‪ 0  ; 2‬إذن‬
‫المعادلة ‪ g  x   0‬تقبل حال وحٌدا ‪ ‬فً المجال ‪ 1; ‬؛ وبما أنّ ‪ g 1,5  1, 42‬و ‪ g  2   0,55‬أي‬
‫‪ g 1,5  g  2   0‬فإنّ ‪. 1,5    2‬‬
‫ب) استنتاج إشارة ‪ g  x ‬على المجال ‪. 0; ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬
‫‪+‬‬

‫‪x‬‬

‫‪g x ‬‬

‫‪ln x‬‬
‫‪ f -II‬ال ّدالة المعرّ فة على المجال ‪ 0; ‬كما ٌلً‪:‬‬
‫‪x2  1‬‬

‫‪f  x ‬‬
‫‪ ‬‬

‫‪  C f ‬تمثٌلها البٌانً فً المستوي المنسوب إلى يعهى يرعايد ٔيرجاَط ‪. O ; i , j ‬‬

‫‪)1‬أ) حساب ‪ lim f  x ‬و ‪. lim f  x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪lim f  x   ‬‬

‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪x ‬‬

‫ألنّ ‪ lim ln x  ‬و ‪. lim x 2  1  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ lim‬و ‪ 0‬‬
‫‪ lim f  x   lim‬ألنّ ‪ 0‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪2‬‬

‫تفسٌر النتائج هندسٌا‪.‬‬
‫لدٌنا ‪ lim f  x   ‬إذن‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪. lim‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪ٌ  C f ‬قبل مستقٌم مقارب معادلته ‪( x  0‬محور التراتٌب )‬

‫‪ lim f  x   0‬إذن ‪ٌ  C f ‬قبل مستقٌم مقارب معادلته ‪( y  0‬محور الفواصل ) بجوار ‪. ‬‬
‫‪x ‬‬

‫ب) التعبٌر عن ‪ f '  x ‬بداللة ‪g  x ‬‬

‫‪ x 2  1  2x 2 ln x‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 2  1  2x 2 ln x‬‬
‫‪‬‬
‫‪g x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f 'x  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x  x 2  1‬‬
‫‪x  x 2  1‬‬
‫‪ x 2  1‬‬
‫‪ x 2  1‬‬
‫واستنتاج تغٌرات الدالة ‪f‬‬

‫لدٌنا من أجل كل عدد حقٌقً ‪ x‬من المجال ‪ x  x 2  1  0 ، 0; ‬ومنه إشارة ‪ f '  x ‬هً نفس إشارة ‪. g  x ‬‬
‫‪2‬‬

‫إذن ال ّدالة ‪ f‬متزاٌدة تماما على المجال ‪ 0; ‬ومتناقصة تماما على المجال ‪.  ; ‬‬
‫‪11‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫جدول تغٌرات الدالة ‪. f‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬
‫‪0‬‬

‫‪0‬‬
‫‪+‬‬

‫‪f  ‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f 'x ‬‬
‫‪f x ‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬
‫‪ .2‬تبٌٌن أنّ‬

‫‪1‬‬
‫‪2 2‬‬

‫‪f   ‬‬

‫‪1  2‬‬
‫لدٌنا ‪ٌ g    0‬كافئ ‪ 1   2  2 2 ln   0‬أي‬
‫‪ln  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ln ‬‬
‫‪ 2 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫إذن‬
‫‪f    2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  1   1 2   1 2 2‬‬

‫استنتاج حصرا للعدد ‪. f  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫لدٌنا ‪ 1,5    2‬معناه ‪ 2, 25   2  4‬وٌكافئ ‪ 4,5  2 2  8‬وٌكافئ‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8 2‬‬
‫‪4,5‬‬

‫أي‬

‫‪0,12  f    0, 23‬‬

‫‪ .3‬كتابة معادلة المماس ‪   ‬للمنحنى ‪  C f ‬عند النقطة ذات الفاصلة ‪. 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ y  f ' 1 x  1  f 1‬ومنه ‪ y   x  1‬أي‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪.y  x ‬‬

‫‪ .4‬رسم ‪   ‬و ‪.  C f ‬‬

‫‪y‬‬
‫‪6‬‬

‫‪ .5‬المناقشة بٌانٌا‪ ،‬حسب قٌم الوسٌط الحقٌقً‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ ، m‬عدد حلول المعادلة‪. f  x   x  m :‬‬
‫‪1‬‬
‫إذا كان‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫إذا كان ‪ m  ‬فإن المعادلة تقبل حال واحدا‬
‫‪2‬‬

‫‪4‬‬
‫‪3‬‬

‫‪ m  ‬فإن المعادلة تقبل حلٌن‪.‬‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫)‪(Cf‬‬
‫‪x‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-1‬‬

‫مضاعفا‪.‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫إذا كان ‪ m  ‬فإنّ المعادلة لٌس لها حلول‪.‬‬

‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-6‬‬

‫‪ h -III‬هً الدالة المعرّ فة على المجال ‪ 0; ‬كما ٌلً‪:‬‬

‫‪ln x‬‬
‫‪x2  1‬‬

‫‪h  x ‬‬

‫‪12‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-7‬‬

‫‪-8‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫شرح كٌف ٌمكن رسم ‪  Ch ‬منحنى الدالة ‪ h‬اعتمادا على ‪،  C f ‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪;ln x  0‬‬
‫‪x 2 1‬‬
‫لدٌنا‬
‫‪ ln x‬‬
‫‪;ln x  0‬‬
‫‪x 2 1‬‬

‫‪‬‬
‫‪h  x  ‬‬
‫‪h  x   f  x  ; x  1; ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ‬ومنه‬
‫‪h  x   f  x  ; x  0;1‬‬
‫‪h  x  ‬‬
‫‪‬‬

‫إذن فً المجال ‪ٌ 1; ‬كون ‪  Ch ‬منطبق على‬

‫‪C ‬‬
‫‪f‬‬

‫وفً المجال ‪ٌ  Ch  ، 0;1‬ناظر ‪  C f ‬بالنسبة لمحور الفواصل‪.‬‬
‫التمرٌن الخامس‪‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪ f‬ال ّدالة المعرّ فة على المجال ‪ 0; ‬بـ‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ ‬‬
‫المنسوب إلى يعهى يرعايد ٔيرجاَط ‪ٔ . O ; i , j‬حدجانطٕل ‪2cm‬‬

‫‪ ، f  x  ‬نسمً ‪ C ‬المنحنى الممثل للدالة ‪ f‬فً المستوي‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ .1‬أ ـ احسب ‪ lim f  x ‬و ‪ lim f  x ‬و فسّر النتٌجتٌن بٌانٌا‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪1  ln x‬‬
‫ب ـ بٌّن أنه من أجل كل عدد حقٌقً من المجال ‪: 0; ‬‬
‫‪x2‬‬
‫جـ ـ ادرس اتجاه تغٌّر الدالة ‪ f‬و شكل جدول تغٌّراتها‪.‬‬

‫‪. f 'x  ‬‬

‫‪ .2‬أ ـ بٌّن أنّ المنحنى ‪ٌ C ‬قبل نقطة انعطاف‪ٌ E‬طلب تعٌٌن إحداثٌٌها‪.‬‬
‫ب ـ اكتب معادلة المماس ‪  D ‬للمنحنى ‪ C ‬الذي ٌشمل المبدأ ‪. O‬‬
‫‪ .3‬ارسم ‪  D  ،   ‬و ‪. C ‬‬
‫‪ .4‬ناقش بٌانٌا حسب قٌم الوسٌط الحقٌقً الموجب تماما ‪ ، m‬عدد حلول المعادلة ‪. m x  x‬‬
‫الحل‪‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪ f‬ال ّدالة المعرّ فة على المجال ‪ 0; ‬بـ‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ ‬‬
‫المنسوب إلى يعهى يرعايد ٔيرجاَط ‪ٔ . O ; i , j‬حدجانطٕل‪2cm‬‬

‫‪ ، f  x  ‬نسمً ‪ C ‬المنحنى الممثل للدالة ‪ f‬فً المستوي‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ .1‬أ ـ احسب ‪ lim f  x ‬و ‪lim f  x ‬‬

‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪ln x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x  x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪ lim‬و ‪x  0‬‬
‫‪ lim‬ألنّ ‪ln x  ‬‬
‫‪f  x   lim‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪. lim‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0 x‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪lim f  x   lim‬‬

‫تفسٌر النتٌجتٌن بٌانٌا‪.‬‬
‫بما أنّ ‪ lim f  x   0‬فإنّ‬
‫‪x ‬‬

‫‪ٌ C ‬قبل مستقٌم مقارب معادلته ‪( y  0‬محور الفواصل)‬

‫و ‪ lim f  x   ‬ومنه ‪ٌ C ‬قبل مستقٌم مقارب معادلته ‪( x  0‬محور التراتٌب)‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪13‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪1  ln x‬‬
‫ب ـ تبٌٌن أنه من أجل كل عدد حقٌقً ‪ x‬من المجال ‪: 0; ‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.x  ln x‬‬
‫‪1  ln x‬‬
‫‪f 'x   x‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2‬‬
‫جـ ـ دراسة اتجاه تغ ٌّر الدالة ‪f‬‬

‫‪. f 'x  ‬‬

‫إشارة ‪ f '  x ‬هً من نفس إشارة ‪. 1  ln x‬‬
‫‪ f '  x   0‬معناه ‪ 1  ln x  0‬وٌكافئ ‪ ln x  1‬أي ‪. x  e‬‬
‫‪ f '  x   0‬معناه ‪ 1  ln x  0‬وٌكافئ ‪ ln x  1‬أي ‪0  x  e‬‬

‫‪ f '  x   0‬معناه ‪ 1  ln x  0‬وٌكافئ ‪ ln x  1‬أي ‪. x  e‬‬
‫إذن ال ّدالة ‪ f‬متزاٌدة تماما على ‪ 0;e ‬ومتناقصة تماما على ‪. e ; ‬‬
‫جدول تغ ٌّرات الدالة ‪. f‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬
‫‪+‬‬

‫‪1‬‬
‫‪e‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f 'x ‬‬
‫‪f x ‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪ .2‬أ ـ تبٌٌن أنّ المنحنى ‪ٌ C ‬قبل نقطة انعطاف‪ٌ E‬طلب تعٌٌن إحداثٌٌها‪.‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪.x  2x 1  ln x  x  2x 1  ln x ‬‬
‫‪1  2  2ln x 3  2ln x‬‬
‫‪f " x   x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪x3‬‬

‫من أجل كل عدد حقٌقً ‪ x‬من المجال ‪ x 3  0 ، 0; ‬ومنه إشارة ‪ f "  x ‬هً نفس إشارة ‪. 3  2ln x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ f " x   0‬معناه ‪ 3  2ln x  0‬وتكافئ‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ f " x   0‬معناه ‪ 3  2ln x  0‬و تكافئ ‪ ln x ‬أي‬
‫‪2‬‬

‫‪ ln x ‬أي ‪x  e 3‬‬

‫‪‬‬

‫‪e3‬‬

‫‪+‬‬

‫‪0‬‬

‫‪ f "  x ‬تنعدم عند العدد ‪e 3‬‬

‫‪0‬‬
‫‪‬‬

‫‪x  e3‬‬

‫‪x‬‬
‫‪f " x ‬‬

‫وتغٌر من إشارتها بجوار ‪e 3‬‬

‫ومنه النقطة ‪ e ‬‬
‫‪3‬‬

‫‪e3 ;f‬‬

‫‪‬‬

‫‪ E‬هً نقطة انعطاف‬

‫للمنحنً ‪. C ‬‬
‫جـ ـ كتابة معادلة المماس ‪  D ‬للمنحنى ‪ C ‬الذي ٌشمل المبدأ ‪. O‬‬
‫معادلة المماس من الشكل ‪y  f '  x 0  x  x 0   f  x 0 ‬‬

‫‪ 1  ln x 0  ln x 0‬‬
‫‪1  2 ln x 0‬‬
‫‪ O   D ‬معناه ‪ 0  f '  x 0  0  x 0   f  x 0 ‬وتكافئ ‪ 0‬‬
‫‪ x 0 ‬وتكافئ ‪ 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪ x0‬‬
‫‪ x0‬‬
‫‪14‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪1‬‬
‫وتكافئ‬
‫‪2‬‬

‫‪ ln x 0 ‬أي ‪x 0  e‬‬

‫إذن معادلة المماس هً‬

‫‪ e x‬‬

‫‪1‬‬
‫' ‪ y  f‬أي ‪x‬‬
‫‪2e‬‬

‫‪y ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪6‬‬

‫‪ .3‬رسم ‪  D ‬و ‪. C ‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ .4‬المناقشة بٌانٌا حسب قٌم الوسٌط الحقٌقً الموجب‬
‫تماما ‪ ، m‬عدد حلول المعادلة ‪. m x  x‬‬

‫‪4‬‬
‫‪3‬‬

‫‪ m x  x‬تكافئ ‪ ln m x  ln x‬وتكافئ ‪x ln m  ln x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪ ln m ‬أي ‪f  x   ln m‬‬
‫وتكافئ‬
‫‪x‬‬
‫إذا كان ‪ 0  m  1‬فإنّ ‪ ln m  0‬وبالتالً المعادلة تقبل‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫)‪(C‬‬
‫‪x‬‬

‫حال وحٌدا‪.‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬
‫إذا كان ‪ 1  m  e e‬فإنّ‬
‫‪e‬‬

‫‪ 0  ln m ‬وبالتالً المعادلة‬

‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬

‫تقبل حلٌن متماٌزٌن‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫إذا كان ‪ m  e e‬فإنّ‬
‫‪e‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪ ln m ‬وبالتالً المعادلة تقبل‬

‫‪-5‬‬

‫حال مضاعفا‪.‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫إذا كان ‪ m  e e‬فإنّ‬
‫‪e‬‬

‫‪ ln m ‬وبالتالً المعادلة لٌس لها حلول‪.‬‬

‫التمرٌن السادس‪‬‬
‫‪)I‬ان ّدانح انعدد‪ٚ‬ح ‪ g‬يعسّ فح عهٗ ‪ 0; ‬تـ‪. g  x   1  x  ln x :‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ .1‬ادزض اذجاِ ذغ‪ّٛ‬س ان ّدانح ‪. g‬‬
‫‪ .2‬احعة ‪ g 1‬ث ّى اظرُرج ذثعا نم‪ٛ‬ى ‪ x‬إشازج ‪. g  x ‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪ )II‬ان ّدانح انعدد‪ٚ‬ـــح ‪ f‬يعسّ فح عهٗ ‪ 0; ‬تـ‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .1‬أ ـ احعة ‪lim f  x ‬‬

‫‪f  x   x 1 ‬‬

‫‪x ‬‬

‫ب ـ احعة ‪ ، lim f  x ‬ث ّى فعّس انُر‪ٛ‬جح ُْدظ‪ٛ‬ا‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪g  x ‬‬
‫‪ .2‬أ ـ ت‪ ٍّٛ‬أَّّ يٍ أجم كم ‪ x‬يٍ ‪ّ 0; ‬‬
‫فإٌ‬
‫‪x2‬‬
‫ب ـ شكم جدٔل ذغ‪ّٛ‬ساخ ان ّدانح ‪. f‬‬

‫‪ .3‬أ ـ ت‪ّ ٍّٛ‬‬
‫أٌ انًعرم‪ٛ‬ى ‪  D ‬انر٘ يعادنرّ ‪y  x  1‬‬

‫ب ـ ادزض ٔضع‪ٛ‬ح ‪‬‬

‫‪ f '  x  ‬ث ّى اظرُرج اذجاِ ذغ‪ّٛ‬س ان ّدانح ‪. f‬‬

‫يمازب يائم نهًُحُٗ ‪‬‬

‫‪. C f‬‬

‫‪ C f‬تانُعثح إنٗ ‪.  D ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪ .4‬ت‪ّ ٍّٛ‬‬
‫أٌ انًعرم‪ٛ‬ى ‪   ‬ذا انًعادنح‬
‫‪e‬‬
‫‪ .5‬ازظى ‪. C f  ٔ  D  ،   ‬‬

‫‪ًٚ y  x  1 ‬طّ انًُحُٗ ف‪َ ٙ‬مطح ‪ٚ A‬طهة ذع‪ ٍٛٛ‬إحداث‪ٛ‬ر‪ٓٛ‬ا‪.‬‬

‫‪15‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-7‬‬

‫‪-8‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫انحم‪‬‬
‫‪ )I‬ان ّدانح انعدد‪ٚ‬ح ‪ g‬يعسّ فح عهٗ ‪ 0; ‬تـ‪. g  x   1  x  ln x :‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ .1‬دزاسح اتداي تغٍّس اندّانح ‪. g‬‬
‫‪1‬‬
‫ان ّدانح ‪ g‬ذمثم اإلشرماق عهٗ ‪ٔ 0; ‬ند‪ُٚ‬ا‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫يٍ أجم كم ‪ x‬يٍ انًجال ‪ٔ g '  x   0 ، 0; ‬تانران‪ ٙ‬ان ّدانح ‪ g‬يرُالصح ذًايا عهٗ ‪. 0; ‬‬
‫‪g '  x   2x ‬‬

‫‪ .2‬حساب ‪َ g 1‬استىتاج تثعا نقٍم ‪ x‬إشازج ‪. g  x ‬‬
‫‪g 1  1  12  ln1  0‬‬
‫‪‬‬

‫‪1‬‬
‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬
‫‪+‬‬

‫‪x‬‬

‫‪g x ‬‬

‫‪ln x‬‬
‫‪ )II‬ان ّدانح انعدد‪ٚ‬ـــح ‪ f‬يعسّ فح عهٗ ‪ 0; ‬تـ‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .1‬أ ـ حساب ‪lim f  x ‬‬

‫‪f  x   x 1 ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪ln x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪ lim f  x   lim x  1 ‬ألنّ ‪ 0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪x  x‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x‬‬
‫ب ـ حساب ‪f  x ‬‬
‫‪. lim‬‬
‫‪‬‬

‫‪ lim‬و ‪. lim x  1  ‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪ln x‬‬
‫ند‪ُٚ‬ا ‪ ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0 x‬‬

‫‪ٔ lim‬يُّ ‪. lim f  x   ‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫تفسٍس انىتٍدح ٌىدسٍا‪.‬‬
‫‪ٚ C f ‬مثم يعرم‪ٛ‬ى يمازب يعادنرّ ‪( x  0‬يحٕز انرساذ‪ٛ‬ة)‪.‬‬
‫‪g  x ‬‬
‫‪ .2‬أ ـ تثٍٍه أوًّ مه أخم كم ‪ x‬مه ‪ 0; ‬فإنّ‬
‫‪x2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  x   ln x  x 2  1  ln x  g  x ‬‬
‫‪f 'x   1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪f 'x  ‬‬

‫إشازج ‪ ْٙ f '  x ‬عكط إشازج ‪g  x ‬‬

‫يٍ أجم ‪ٔ g  x   0 ، x  0;1‬يُّ ‪. f '  x   0‬‬
‫ٔيٍ أجم ‪ٔ g  x   0 ، x  1; ‬يُّ ‪f '  x   0‬‬

‫إذٌ ان ّدانح ‪ f‬يرُالصح ذًايا عهٗ ‪ٔ 0;1‬يرصا‪ٚ‬دج ذًايا عهٗ ‪. 1; ‬‬
‫ب ـ خدَل تغٍّساخ اندّانح ‪. f‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪+‬‬
‫‪‬‬

‫‪0‬‬
‫‪‬‬

‫‪x‬‬
‫‪f 'x ‬‬
‫‪f x ‬‬

‫‪0‬‬
‫‪16‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪ .3‬أ ـ تثٍٍه أنّ انمستقٍم ‪  D ‬انري معادنتً ‪y  x  1‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬

‫مقازب مائم نهمىحىى ‪‬‬

‫‪. C f‬‬

‫‪ٔ lim f  x    x  1  lim ‬يُّ انًعرم‪ٛ‬ى ‪  D ‬انر٘ يعادنرّ ‪y  x  1‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪x ‬‬

‫ب ـ دزاسح َضعٍح ‪‬‬
‫‪ ln x‬‬
‫ند‪ُٚ‬ا‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬

‫يمازب يائم نهًُحُٗ ‪‬‬

‫‪. C f‬‬

‫‪ C f‬تانىسثح إنى ‪.  D ‬‬

‫‪ٔ f  x    x  1 ‬يُّ إشازج ‪ ْٙ f  x    x  1‬عكط إشازج ‪. ln x‬‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬
‫‪f x   y‬‬

‫‪+‬‬

‫‪  C f ‬تحت ‪ D ‬‬
‫‪  C f ‬فوق ‪ D ‬‬
‫‪ٌ  C f ‬قطع ‪  ‬‬
‫فً النقطة ‪A 1;0 ‬‬

‫الوضعٌة النسبٌة‬

‫‪1‬‬
‫‪ .4‬تثٍٍه أنّ انمستقٍم ‪   ‬ذا انمعادنح‬
‫‪e‬‬
‫‪g  x ‬‬
‫ٔ‪ٚ‬كافئ ‪ٚٔ x 2  1  ln x  x 2‬كافئ ‪ ln x  1‬أ٘ ‪x  e‬‬
‫‪ f '  x 0   1‬ذعُ‪ 1 ٙ‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫ٔند‪ُٚ‬ا ‪ y  e  1  ٔ f e   e  1 ‬إذٌ انًعرم‪ٛ‬ى ‪ًٚ   ‬طّ انًُحُٗ ‪ C f ‬ف‪ ٙ‬انُمطح ‪A  e ;e  1  ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬

‫ٌمس انمىحىى ‪ C f ‬فً وقطح ‪ٌ A‬طهة تعٍٍه إحداثٍتٍٍا‪.‬‬
‫‪y  x 1 ‬‬
‫ّ‬

‫‪ .5‬زسم ‪ َ  D  ،   ‬‬

‫‪. C f‬‬
‫‪y‬‬

‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-7‬‬

‫‪-8‬‬

‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-6‬‬

‫التمرٌن السابع‪‬‬
‫‪2ln x‬‬
‫نعتبر الدالة العددٌة ‪ f‬المعرّ فة على المجال ‪ 0; ‬كما ٌلً‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ ‬‬
‫المستوي المنسوب إلى يعهى يرعايد ٔيرجاَط ‪. O ; i , j‬‬

‫‪‬‬

‫‪ f  x   1 ‬و ‪  C f ‬تمثٌلها البٌانً فً‬

‫‪‬‬

‫‪ )1‬أ) احسب ‪ lim f  x ‬و ‪ lim f  x ‬؛ فسّر النتائج هندسٌا‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪x ‬‬

‫ب) ادرس اتجاه تغٌّر الدالة ‪ f‬على المجال ‪ 0; ‬ث ّم شكل جدول تغٌراتها‪.‬‬

‫‪17‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪ )2‬أ) ادرس وضعٌة المنحنى ‪  C f ‬بالنسبة إلى المستقٌم ‪   ‬الذي معادلته‪. y  1 :‬‬
‫ب) اكتب معادلة المماس ‪ T ‬للمنحنى ‪  C f ‬فً النقطة ذات الفاصلة ‪. 1‬‬
‫جـ) بٌّن أنّ المعادلة ‪ f  x   0‬تقبل فً المجال ‪ 0;1‬حال وحٌدا ‪ ، ‬حٌث ‪. e 0,4    e 0,3‬‬
‫‪ )3‬أنشئ ‪ T ‬و ‪.  C f ‬‬
‫‪ )4‬لتكن الدالة ‪ h‬المعرفة على ‪   0‬كما ٌلً‪:‬‬

‫‪2ln x‬‬
‫‪x‬‬

‫‪. h  x  1‬‬

‫ولٌكن ‪  Ch ‬تمثٌلها البٌانً فً نفس المعلم السابق‪.‬‬
‫أ) بٌّن أ ّنه من أجل كل عدد حقٌقً ‪ x‬غٌر معدوم‪ . h  x   h   x   0 ،‬ماذا تستنتج ؟‬
‫ب) أنشئ المنحنى ‪  Ch ‬إعتمادا على المنحنى ‪.  C f ‬‬
‫جـ) ناقش بٌانٌا‪ ،‬حسب قٌم الوسٌط الحقٌقً ‪ ، m‬عدد حلول المعادلة‪. ln x2   m  1 x :‬‬
‫الحل‪‬‬
‫‪2ln x‬‬
‫نعتبر الدالة العددٌة ‪ f‬المعرّ فة على المجال ‪ 0; ‬كما ٌلً‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ ‬‬
‫المستوي المنسوب إلى يعهى يرعايد ٔيرجاَط ‪. O ; i , j‬‬

‫‪‬‬

‫‪ f  x   1 ‬و ‪  C f ‬تمثٌلها البٌانً فً‬

‫‪‬‬

‫‪ )1‬أ) حساب ‪ lim f  x ‬و ‪. lim f  x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪2ln x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪ lim‬ومنه ‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0 x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2ln x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪lim f  x   lim 1 ‬‬
‫‪ lim‬ومنه ‪ 1‬‬
‫لدٌنا‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬

‫‪lim‬‬
‫‪f  x   lim‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫تفسٌر النتائج هندسٌا‪.‬‬
‫لدٌنا ‪ lim f  x   ‬إذن‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪ٌ  C f ‬قبل مستقٌم مقارب معادلته ‪( x  0‬محور التراتٌب)‪.‬‬

‫ولدٌنا ‪ lim f  x   1‬إذن ‪ٌ  C f ‬قبل مستقٌم مقارب معادلته ‪ y  1‬بجوار ‪. ‬‬
‫‪x ‬‬

‫ب) دراسة اتجاه تغ ٌّر الدالة ‪ f‬على المجال ‪. 0; ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  x  2 ln x 2 1  ln x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f 'x     2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2‬‬

‫لدٌنا من أجل كل عدد حقٌقً ‪ x 2  0 ، x‬ومنه إشارة ‪ f '  x ‬هً من نفس إشارة ‪. 1  ln x‬‬
‫‪ f '  x   0‬تعنً ‪ٌ 1  ln x  0‬كافئ ‪ ln x  1‬أي ‪. x  e‬‬
‫‪ f '  x   0‬تعنً ‪ٌ 1  ln x  0‬كافئ ‪ ln x  1‬أي ‪0  x  e‬‬

‫‪ f '  x   0‬تعنً ‪ٌ 1  ln x  0‬كافئ ‪ ln x  1‬أي ‪. x  e‬‬
‫إذن ال ّدالة ‪ f‬متزاٌدة تماما على ‪ 0;e ‬ومتناقصة تماما على ‪. e ; ‬‬

‫‪18‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪f 'x ‬‬

‫‪+‬‬

‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪f x ‬‬
‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ )2‬أ)دراسة وضعٌة المنحنى ‪  C f ‬بالنسبة إلى المستقٌم ‪   ‬الذي معادلته‪. y  1 :‬‬
‫‪2ln x‬‬
‫لدٌنا‬
‫‪x‬‬

‫‪f  x  1 ‬‬

‫‪2 ln x‬‬
‫‪ f  x   1  0‬معناه ‪ 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2 ln x‬‬
‫‪ f  x   1  0‬معناه ‪ 0‬‬
‫تكافئ ‪ ln x  0‬أي ‪x  1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2 ln x‬‬
‫تكافئ ‪ ln x  0‬أي ‪. 0  x  1‬‬
‫‪ f  x   1  0‬معناه ‪ 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬

‫تكافئ ‪ ln x  0‬أي ‪. x  1‬‬

‫‪+‬‬

‫‪f  x  1‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪  C f ‬فوق ‪  ‬‬

‫‪ٌ  C f ‬قطع ‪  ‬‬
‫فً النقطة ‪A 1;1‬‬

‫‪  C f ‬تحت ‪  ‬‬

‫الوضعٌة النسبٌة‬

‫ب)كتابة معادلة المماس ‪ T ‬للمنحنى ‪  C f ‬فً النقطة ذات الفاصلة ‪. 1‬‬
‫‪ y  f ' 1 x  1  f 1‬ومنه ‪ y  2  x  1  1‬أي ‪ 2x  1‬‬

‫‪T  : y‬‬

‫جـ)تبٌٌن أنّ المعادلة ‪ f  x   0‬تقبل فً المجال ‪ 0;1‬حال وحٌدا ‪ ، ‬حٌث ‪. e 0,4    e 0,3‬‬
‫الدالة ‪ f‬مستمرة على المجال ‪ 0;1‬فهً مستمرة على المجال ‪ e 0,4 ;e 0,3 ‬ولدٌنا ‪، f e 0,4   0,19‬‬

‫‪ f e 0,3   0,19‬أي ‪ f e 0,4   f e 0,4   0‬ومنه حسب مبرهنة القٌم المتوسطة ٌوجد عدد حقٌقً ‪ ‬من المجال‬
‫‪ e 0,4 ;e 0,3 ‬بحٌث ‪ f    0‬وبما أنّ ال ّدالة ‪ f‬متزاٌدة تماما على ‪ 0;1‬فإنّ ‪ ‬وحٌد ‪.‬‬
‫‪2ln x‬‬

‫‪ )4‬لتكن الدالة ‪ h‬المعرفة على ‪   0‬كما ٌلً‪:‬‬

‫‪x‬‬

‫‪. h  x  1‬‬

‫ولٌكن ‪  Ch ‬تمثٌلها البٌانً فً نفس المعلم السابق‪.‬‬
‫أ) تبٌٌن أ ّنه من أجل كل عدد حقٌقً ‪ x‬غٌر معدوم‪ . h  x   h   x   0 ،‬ماذا تستنتج ؟‬
‫لٌكن ‪ x‬عددا حقٌقٌا غٌر معدوم‪:‬‬
‫‪0‬‬

‫‪2ln x‬‬
‫‪x‬‬

‫‪‬‬

‫‪2ln x‬‬
‫‪x‬‬

‫‪‬‬

‫‪2ln x‬‬
‫‪x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2ln x‬‬
‫‪x‬‬

‫‪h  x   h  x   1 ‬‬

‫من أجل ‪ x   ‬لدٌنا ‪x   ‬‬
‫‪19‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫ولدٌنا ‪ h  x   h  x   0‬ومنه ‪ h  x   h  x ‬إذن ال ّدالة ‪ h‬زوجٌة‪.‬‬
‫ب) الرسم‬
‫جـ) المناقشة بٌانٌا‪ ،‬حسب قٌم الوسٌط الحقٌقً ‪، m‬‬
‫عدد حلول المعادلة‪. ln x2   m  1 x :‬‬

‫‪y‬‬
‫‪6‬‬

‫)‪(T‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬

‫‪ln x 2‬‬
‫‪ m ‬ذكافئ‬
‫‪ ln x 2   m  1 x‬ذكافئ ‪ 1‬‬
‫‪x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2 ln x‬‬
‫‪x‬‬

‫‪3‬‬

‫)‪(Cf‬‬

‫‪ m ‬أ٘ ‪. h  x   m‬‬

‫)‪(Ch‬‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫حهٕل انًعادنح إٌ ُٔجدخ ْ‪ ٙ‬فٕاصم انُمظ انًشرسكح‬
‫ت‪ٔ  Ch  ٍٛ‬انًعرم‪ٛ‬ى األفم‪ ٙ‬ذ٘ انًعادنح ‪. y  m‬‬

‫‪-1‬‬

‫إذا كاٌ ‪ّ m  1‬‬
‫فإٌ انًعادنح ذمثم حه‪.ٍٛ‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬
‫إذا كاٌ‬
‫‪e‬‬
‫‪2‬‬
‫إذا كاٌ ‪ّ m  1 ‬‬
‫فإٌ انًعادنح ذمثم حه‪ ٍٛ‬يضاعف‪.ٍٛ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ّ m  1‬‬
‫فإٌ انًعادنح ن‪ٛ‬ط نٓا حهٕل‪.‬‬
‫‪e‬‬

‫‪ّ 1  m  1‬‬
‫فإٌ انًعادنح ذمثم أز‪ٚ‬عح حهٕل‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-6‬‬

‫التمرٌن الثامن ‪‬‬
‫نعتبر الدالة العددٌة ‪ f‬المعرّ فة على ‪ ‬كما ٌلً‪. f  x   x  ln 1  e x  :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪  C f ‬تمثٌلها البٌانً فً المستوي المنسوب إلى يعهى يرعايد ٔيرجاَط ‪. O ; i , j ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .1‬بٌّن أ ّنه ٌمكن كتابة ‪ ، f  x ‬على الشكل‪. f  x    x  ln 1  e x  :‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ .2‬برهن أنّ ال ّدالة ‪ f‬زوجٌة‪.‬‬
‫‪ .3‬احسب ‪ lim f  x ‬و ‪. lim f  x ‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪ .4‬ادرس اتجاه تغٌّر الدالة ‪ ، f‬ث ّم ش ّكل جدول تغٌّراتها‪.‬‬

‫‪ .5‬أثبت أنّ المنحنى ‪ٌ  C f ‬قبل مستقٌمٌن مقاربٌن مائلٌن ‪   ‬و ‪ٌ   '‬طلب تعٌٌن معادلتٌهما‪.‬‬
‫‪ .6‬ارسم ‪   ' ،   ‬و ‪.  C f ‬‬
‫‪ x 1 ‬‬
‫‪ .7‬نعتبر الدالة ‪ g‬المعرّ فة على المجال ‪ 1; ‬بـ‪ :‬‬
‫‪ x ‬‬

‫‪. g  x   ln ‬‬

‫أ ـ تح ّقق أ ّنه من أجل كل عدد حقٌقً ‪ x‬من المجال ‪. g  x   f  ln x  ، 1; ‬‬
‫ـ استنتج اتجاه تغٌّر الدالة ‪. g‬‬
‫ب ـ ش ّكل جدول تغٌّرات الدالة ‪. g‬‬

‫‪20‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-7‬‬

‫‪-8‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫الحل‪‬‬
‫نعتبر الدالة العددٌة ‪ f‬المعرّ فة على ‪ ‬كما ٌلً‪. f  x   x  ln 1  e x  :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪  C f ‬تمثٌلها البٌانً فً المستوي المنسوب إلى يعهى يرعايد ٔيرجاَط ‪. O ; i , j ‬‬
‫‪ .1‬تبٌٌن أ ّنه ٌمكن كتابة ‪ ، f  x ‬على الشكل‪. f  x    x  ln 1  e x  :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫لدٌنا ‪f  x   x  ln 1  e  x   f  x   x  ln e  x e x  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x  ln e  x  ln e x  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x  x  ln e x  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪  x  ln e x  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬إثبات أنّ الدّالة ‪ f‬زوجٌة‪.‬‬

‫من أجل ‪ x ‬فإنّ ‪ x ‬و لدٌنا ‪ f  x    x  ln 1  e x   f  x ‬ومنه الدالة ‪ f‬زوجٌة‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ .3‬حساب ‪ lim f  x ‬و ‪. lim f  x ‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪ lim f  x   lim f  x    x  ln 1  e x   ‬ألنّ ‪ lim ln 1  e x   0‬و ‪. lim  x  ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪lim f  x   lim f  x   lim f t   ‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪t ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪ .4‬دراسة اتجاه تغ ٌّر الدالة ‪. f‬‬
‫‪1 e x‬‬
‫‪1  e x  2e x‬‬
‫‪e x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 1 e x‬‬
‫‪2 e x  1‬‬
‫‪2 e x  1‬‬

‫‪f 'x  ‬‬

‫من أجل كل عدد حقٌقً ‪ 2 e x  1  0 ، x‬ومنه إشارة ‪ f '  x ‬هً نفس إشارة ‪. e x  1‬‬
‫‪ f '  x   0‬تعنً ‪ e x  1  0‬وٌكافئ ‪ e x  1‬أي ‪x  0‬‬
‫‪ f '  x   0‬تعنً ‪ e x  1  0‬وٌكافئ ‪ e x  1‬أي ‪x  0‬‬
‫‪ f '  x   0‬تعنً ‪ e x  1  0‬وٌكافئ ‪ e x  1‬أي ‪x  0‬‬

‫إذن الدالة ‪ f‬متناقصة تماما على المجال ‪ ;0‬ومتزاٌدة تماما على المجال ‪.  0; ‬‬
‫جدول تغ ٌّرات الدالة ‪. f‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪+‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f 'x ‬‬
‫‪f x ‬‬

‫‪ln 2‬‬

‫‪21‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪ .5‬إثبات أنّ المنحنى ‪ٌ  C f ‬قبل مستقٌمٌن مقاربٌن مائلٌن ‪   ‬و ‪ٌ   '‬طلب تعٌٌن معادلتٌهما‪.‬‬
‫لدٌنا ‪ lim f  x   x  lim ln 1  e  x   0‬إذن للمنحنً‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬
‫‪  C f‬مستقٌم مقارب مائل ‪   ‬معادلته ‪x‬‬
‫‪2‬‬

‫‪y ‬‬

‫بجوار ‪. ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ولدٌنا ‪ lim f  x     x   lim ln 1  e x   0‬إذن للمنحنً ‪  C f ‬مستقٌم مقارب مائل ‪   '‬معادلته‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪y‬‬

‫‪ y   x‬بجوار ‪. ‬‬

‫‪6‬‬
‫‪5‬‬

‫‪ .6‬رسم ‪   ' ،   ‬و ‪.  C f ‬‬

‫‪4‬‬
‫‪3‬‬

‫)‪(Cf‬‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-6‬‬

‫‪ x 1 ‬‬
‫‪ .7‬نعتبر الدالة ‪ g‬المعرّ فة على المجال ‪ 1; ‬بـ‪ :‬‬
‫‪ x ‬‬

‫‪. g  x   ln ‬‬

‫أ ـ التح ّقق أ ّنه من أجل كل عدد حقٌقً ‪ x‬من المجال ‪. g  x   f  ln x  ، 1; ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x 1 ‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪g  x   ln ‬‬
‫لدٌنا ‪  ln  x  1  2 ln x   2 ln x  ln e  1  f  ln x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ـ استنتاج اتجاه تغ ٌّر الدالة ‪. g‬‬
‫نالحظ أنّ الدالة ‪ g‬هً مركب ال ّدالة ‪ ln‬متبوعة بال ّدالة ‪ ln ‬‬

‫‪g  f‬‬

‫‪f‬‬

‫لدٌنا الدالة اللوغارتمٌة النٌبٌرٌة ‪ ln‬متزاٌدة تماما على المجال ‪ 1; ‬وتأخذ قٌمها فً المجال ‪  0; ‬والدالة ‪f‬‬

‫متزاٌدة تماما على المجال ‪  0; ‬إذن للدالتٌن نفس اإلتجاه وبالتالً تركٌبهما ٌكون دالة متزاٌدة تماما على المجال‬
‫‪ 1; ‬أي الدالة ‪ g‬متزاٌدة تماما على المجال ‪. 1; ‬‬
‫ب ـ جدول تغ ٌّرات الدالة ‪. g‬‬
‫‪‬‬

‫‪1‬‬
‫‪+‬‬

‫‪‬‬

‫‪ln 2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪g 'x ‬‬
‫‪g x ‬‬

‫التمرٌن التاسع‪‬‬
‫‪ -I‬الدالة المعرّ فة على المجال ‪ 1; ‬بـ‪g  x   x  2 x  4  2ln  x  1 :‬‬
‫‪ )1‬ادرس تغٌّرات الدالة ‪ ، g‬ث ّم ش ّكل جدول تغٌّراتها‪.‬‬
‫‪2‬‬

‫‪22‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫‪-7‬‬

‫‪-8‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪ )2‬استنتج أ ّنه‪ ،‬من أجل كل ‪ x‬من المجال ‪. g  x   0 ، 1; ‬‬
‫‪1  2ln  x  1‬‬
‫‪ f -II‬الدالة المعرّ فة على المجال ‪ 1; ‬بـ‪:‬‬
‫‪x 1‬‬

‫‪f  x  x ‬‬
‫‪ ‬‬

‫و ‪  C f ‬تمثٌلها البٌانً فً المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس ‪ٔ( . O ; i , j ‬حدج انطٕل ‪) 2cm‬‬

‫‪)1‬أ ) احسب ‪ . lim f  x ‬فسّر النتٌجة بٌانٌا‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫ب) احسب ‪. lim f  x ‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪)2‬أ )بٌّن أ ّنه‪ ،‬من أجل كل ‪ x‬من المجال ‪، 1; ‬‬

‫‪g  x‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ x  1‬‬

‫‪ ، f '  x  ‬حٌث ' ‪ f‬هً مشتقة الدالة ‪. f‬‬

‫ب) ادرس اتجاه تغٌّر الدالة ‪ f‬على المجال ‪ ، 1; ‬ث ّم شكل جدول تغٌّراتها‪.‬‬
‫جـ) بٌّن أنّ المعادلة ‪ f  x   0‬تقبل حال وحٌدا ‪ ‬فً المجال ‪ ، 1; ‬ث ّم تحقق أن ‪. 0    0,5‬‬
‫‪ )3‬أ ) بٌّن أنّ المستقٌم ‪   ‬ذا المعادلة ‪ y  x‬مقارب مائل للمنحنى ‪  C f ‬عند ‪. ‬‬
‫ب) ادرس وضعٌة المنحنى ‪  C f ‬بالنسبة إلى ‪.   ‬‬
‫‪ )4‬نقبل أنّ المستقٌم ‪ T ‬ذا المعادلة‪:‬‬

‫‪2‬‬
‫‪e3‬‬

‫‪ ، y  x ‬مماس للمنحنى ‪  C f ‬فً نقطة فاصلتها ‪. x0‬‬

‫أ ) احسب ‪. x0‬‬
‫ب) اُرسم المستقٌمٌن المقاربٌن والمماس ‪ T ‬ث ّم المنحنى ‪.  C f ‬‬
‫جـ) عٌّن بٌانٌا قٌّم الوسٌط الحقٌقً ‪ ، m‬بحٌث تقبل المعادلة ‪ f  x   x  m‬حلٌّن متماٌزٌن‪.‬‬
‫الحل‪‬‬
‫‪ g -I‬الدالة المعرّ فة على المجال ‪ 1; ‬بـ‪g  x   x  2 x  4  2ln  x  1 :‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ )1‬دراسة تغ ٌّرات الدالة ‪. g‬‬
‫‪ lim‬ألنّ ‪lim 2ln  x  1  ‬‬
‫‪g  x   lim‬‬
‫‪x 2  2x  4  2ln  x  1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫و‬

‫‪lim x 2  2x  4  3‬‬

‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪ln  x  1 ‬‬
‫‪ x 2  2x  4‬‬
‫‪lim f  x   lim x  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 x 2  4 x 2x  x  2 ‬‬
‫ال ّدالة ‪ g‬تقبل اإلشتقاق على ‪ 1; ‬ولدٌنا‪:‬‬
‫‪g '  x   2x  2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫من أجل كل ‪ x  1  0 ، x  1; ‬و ‪ x  2  0‬ومنه إشارة ‪ g '  x ‬هً نفس إشارة ‪. x‬‬

‫إذن ال ّدالة ‪ g‬متناقصة تماما على المجال ‪ 1;0‬ومتزاٌدة تماما على المجال ‪.  0; ‬‬

‫‪23‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫جدول تغ ٌّرات الدّالة ‪. g‬‬
‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬
‫‪0‬‬

‫‪+‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬

‫‪g 'x ‬‬
‫‪g x ‬‬

‫‪4‬‬
‫‪ )2‬استنتاج أ ّنه‪ ،‬من أجل كل ‪ x‬من المجال ‪. g  x   0 ، 1; ‬‬
‫نالحظ من جدول التغٌرات أ ّنه من أجل كل ‪ x‬من المجال ‪ g  x   4 ، 1; ‬وبالتالً ‪. g  x   0‬‬
‫‪1  2ln  x  1‬‬
‫‪ f -II‬الدالة المعرّ فة على المجال ‪ 1; ‬بـ‪:‬‬
‫‪x 1‬‬

‫‪f  x  x ‬‬
‫‪ ‬‬

‫و ‪  C f ‬تمثٌلها البٌانً فً المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس ‪ٔ( . O ; i , j ‬حدج انطٕل ‪) 2cm‬‬

‫‪)1‬أ ) حساب ‪. lim f  x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪1  2ln  x  1‬‬
‫‪1  2ln  x  1‬‬
‫‪ lim‬ومنه ‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1‬‬

‫تفسٌر النتٌجة بٌانٌا‪.‬‬
‫لدٌنا ‪ lim f  x   ‬إذن‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪lim‬‬
‫‪f  x   lim‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪ٌ  C f ‬قبل مستقٌم مقارب معادلته ‪. x  1‬‬

‫ب) حساب ‪. lim f  x ‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪2ln  x  1‬‬
‫‪2ln  x  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ lim‬و ‪ 0‬‬
‫‪ lim f  x   lim f  x   x ‬ألنّ ‪ 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪x  x  1‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪g  x‬‬
‫‪ ، f '  x  ‬حٌث ' ‪ f‬هً مشتقة الدالة ‪. f‬‬
‫‪)2‬أ ) تبٌٌن أ ّنه‪ ،‬من أجل كل ‪ x‬من المجال ‪، 1; ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  1‬‬

‫‪lim‬‬

‫‪2‬‬
‫‪ x  1  1  2 ln  x  1‬‬
‫‪f 'x   1 x 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  1‬‬
‫‪3  2 ln  x  1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ x  1‬‬

‫‪ 1‬‬

‫‪x 2  2x  4  2 ln  x  1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ x  1‬‬
‫‪g x ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ x  1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫ب)دراسة اتجاه تغ ٌّر الدالة ‪ f‬على المجال ‪. 1; ‬‬
‫لدٌنا من أجل كل ‪ x‬من المجال ‪ g  x   0 ، 1; ‬و ‪  x  1  0‬إذن ‪ f '  x   0‬وبالتالً الدالة ‪ f‬متزاٌدة‬
‫‪2‬‬

‫تماما على‬

‫‪1; ‬‬
‫‪24‬‬

‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫جدول تغ ٌّرات الدالة ‪. f‬‬
‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪+‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f 'x ‬‬
‫‪f x ‬‬

‫جـ) تبٌٌن أنّ المعادلة ‪ f  x   0‬تقبل حال وحٌدا ‪ ‬فً المجال ‪ ، 1; ‬ث ّم التحقق أن ‪. 0    0,5‬‬
‫الدالة ‪ f‬مستمرة و متزاٌدة تماما على المجال ‪ 1; ‬وتأخذ قٌمها فً ‪ ℝ‬إذن من أجل كل عدد حقٌقً ‪ k‬المعادلة‬
‫‪ f  x   k‬تقبل حال وحٌدا فً المجال ‪ 1; ‬وباألخص المعادلة ‪ f  x   0‬تقبل حال وحٌدا ‪ ‬فً المجال‬
‫‪ 1; ‬وبما أنّ ‪ f  0   f  0,5  0‬فإنّ ‪. 0    0,5‬‬
‫‪ )3‬أ )تبٌٌن أنّ المستقٌم ‪   ‬ذا المعادلة ‪ y  x‬مقارب مائل للمنحنى ‪  C f ‬عند ‪. ‬‬
‫‪1  2ln  x  1‬‬
‫‪ln  x  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪2‬‬
‫لدٌنا ‪ 0‬‬
‫‪x  x  1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1‬‬

‫‪ lim f  x   x  lim ‬ومنه المستقٌم ‪   ‬مقارب مائل‬
‫‪x ‬‬

‫‪x ‬‬

‫للمنحنى ‪  C f ‬عند ‪. ‬‬

‫ب)دراسة وضعٌة المنحنى ‪  C f ‬بالنسبة إلى ‪.   ‬‬
‫‪1  2ln  x  1 2ln  x  1  1‬‬
‫لدٌنا‬
‫‪‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1‬‬

‫‪ f  x   x  ‬ومنه إشارة ‪ f  x   x‬هً من نفس إشارة ‪2ln  x  1  1‬‬

‫‪1‬‬
‫‪ f  x   x  0‬معناه ‪ 2ln  x  1  1  0‬وتكافئ‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ f  x   x  0‬معناه ‪ 2ln  x  1  1  0‬وتكافئ ‪ ln  x  1 ‬أي ‪x  e  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ln  x  1 ‬أي ‪x  e  1‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪e 1‬‬

‫‪+‬‬

‫‪0‬‬

‫‪  C f ‬فوق ‪  ‬‬

‫‪‬‬

‫‪  C f ‬تحت ‪  ‬‬

‫‪x‬‬
‫‪f x   x‬‬

‫الوضعٌة‬

‫‪‬‬

‫و ‪ٌ  C f ‬قطع ‪   ‬فً النقطة التً إحداثٌاها ‪e  1; e  1‬‬

‫‪ )4‬نقبل أنّ المستقٌم ‪ T ‬ذا المعادلة‪:‬‬

‫‪2‬‬
‫‪e3‬‬

‫‪‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ ، y  x ‬مماس للمنحنى ‪  C f ‬فً نقطة فاصلتها ‪. x0‬‬

‫أ )حساب ‪. x0‬‬
‫المستقٌم ‪ T ‬مٌلة ٌساوي ‪ 1‬ومنه ‪. f '  x 0   1‬‬
‫‪g x 0 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ f '  x 0   1‬معناه ‪ 1‬‬
‫تكافئ‪ x 02  2x 0  4  2ln  x 0  1  x 0 2  2x 0  1‬وتكافئ ‪ln  x 0  1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x 0  1‬‬
‫‪3‬‬

‫أي ‪x 0  e 2  1‬‬

‫‪25‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫ب)رسم المستقٌمٌن المقاربٌن والمماس ‪ T ‬ث ّم المنحنى ‪.  C f ‬‬
‫‪y‬‬

‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-8‬‬

‫‪-7‬‬

‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-6‬‬

‫جـ)تعٌٌن بٌانٌا ق ٌّم الوسٌط الحقٌقً ‪ ، m‬بحٌث تقبل المعادلة ‪ f  x   x  m‬حلٌّن متماٌزٌن‪.‬‬
‫‪2 ‬‬
‫المعادلة ‪ f  x   x  m‬تقبل حلٌّن متماٌزٌن من أجل قٌّم ‪ m‬من المجال ‪‬‬
‫‪e3 ‬‬

‫‪‬‬

‫;‪.  0‬‬
‫‪‬‬

‫التمرٌن العاشر‪‬‬
‫‪ I‬ـ لتكن الدالة ‪ g‬المعرفة على ‪ 0; ‬كما ٌلً‪g  x   2x  1  ln x :‬‬
‫‪ .1‬ادرس تغٌّرات ال ّدالة ‪ g‬ثم شكل جدول تغٌّراتها‪.‬‬
‫‪ .2‬استنتج إشارة ‪ g  x ‬على المجال ‪. 0; ‬‬
‫‪ .3‬تحقق أنّ ‪ g 1  1‬وبٌّن أنّ المعادلة ‪ g  x   1‬تقبل حال آخرا ‪ ‬حٌث ‪. 0,1    0,3‬‬
‫‪ II‬ـ نركٍ ان ّدانح ‪ f‬انًعسّ فح عهٗ كًا ‪ٚ‬ه‪. f  0   0 ٔ f  x   x 2  x ln x :ٙ‬‬
‫‪ ‬‬

‫‪  C f ‬تمثٌلها البٌانً فً المستوي المنسوب إلى يعهى يرعايد ٔيرجاَط ‪. O ; i , j ‬‬
‫‪f x ‬‬
‫‪ .1‬أ ـ احسب‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫ب ـ ‪. lim f  x ‬‬

‫‪ lim‬وفسّر النتٌجة هندسٌا‪.‬‬
‫‪‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪ .2‬أ ـ بٌّن أ ّنه‪ ،‬من أجل كل عدد حقٌقً ‪ x‬من المجال ‪. f '  x   g  x  : 0; ‬‬
‫ب ـ استنتج اتجاه تغٌّر ال ّدالة ‪ ، f‬ثم شكل جدول تغٌّراتها‪.‬‬
‫جـ ـ بٌّن أنّ المنحنى ‪ٌ  C f ‬قبل نقطة انعطاف ‪ٌ ‬طلب تعٌٌنها‪.‬‬
‫‪f  x   f  ‬‬
‫د ـ عٌّن دون حساب‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪ lim‬وفسّر النتٌجة بٌانٌا‪.‬‬

‫‪ .3‬أ ـ أثبت أنّ ‪ ، f  x   x  g  x   x  1‬ثم احسب ‪. f  ‬‬
‫ب ـ أعط حصرا لـ ‪. f  ‬‬

‫‪ .4‬أثبت أنّ المنحنً ‪ٌ  C f ‬قبل مماسٌن ‪‬‬

‫‪ T‬و ‪ T '‬مٌالهما ٌساوي ‪ٌ،1‬طلب كتابة معادلة كل منهما‪.‬‬

‫‪26‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪ .5‬ارسم ‪ T ' ، T ‬والمنحنً ‪.  C f ‬‬
‫الحل‪‬‬
‫‪ I‬ـ لتكن الدالة ‪ g‬المعرفة على ‪ 0; ‬كما ٌلً‪g  x   2x  1  ln x :‬‬
‫‪ .1‬دراسة تغ ٌّرات الدّالة ‪g‬‬
‫‪g  x   lim‬‬
‫‪2x  1  ln x  ‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪ lim‬ألنّ ‪ln x  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬

‫اندانح ‪g‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪1 ln x‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim g  x   lim x  2  ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 2x  1‬‬
‫ذمثم اإلشرماق عهٗ ‪ٔ 0; ‬ند‪ُٚ‬ا‪:‬‬
‫‪g 'x   2  ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬

‫‪ln x‬‬
‫ألنّ ‪ 0‬‬
‫‪x  x‬‬
‫‪lim‬‬

‫إشازج ‪َ ْٙ g '  x ‬فط إشازج ‪ّ 2x  1‬‬
‫ألٌ ‪. x  0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪+‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0‬‬

‫‪g 'x ‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 1‬‬

‫‪1‬‬

‫ان ّدانح ‪ g‬يرُالصح ذًايا عهٗ انًجال ‪ ٔ  0; ‬يرصا‪ٚ‬دج ذًايا عهٗ انًجال ‪.  ;  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫جدول تغ ٌّرات الدالة ‪. g‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪+‬‬

‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x‬‬
‫‪f 'x ‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪f x ‬‬

‫‪ln 2‬‬

‫‪ .2‬استنتاج إشارة ‪ g  x ‬على المجال ‪. 0; ‬‬
‫لدٌنا ال ّدالة ‪ g‬تقبل قٌمة حدٌة صغرى وهً ‪ ln 2‬إذن من أجل كل عدد حقٌقً ‪ x‬من المجال‬

‫‪0;  g  x   ln 2‬‬

‫وبالتالً ‪. g  x   0‬‬
‫‪ .3‬التحقق أنّ ‪g 1  1‬‬
‫‪g 1  2 1  1  ln1  1‬‬

‫تبٌٌن أنّ المعادلة ‪ g  x   1‬تقبل حال آخرا ‪ ‬حٌث ‪. 0,1    0,3‬‬
‫‪ 1‬‬

‫الدالة ‪ g‬مستمرة ومتناقصة تماما على المجال ‪  0; ‬وبالخصوص على المجال ‪ 0,1;0,3‬ولدٌنا ‪، g  0,1  1,5‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ g  0,3  0,8‬أي ‪ g  0,3  1  g  0,1‬ومنه حسب مبرهنة القٌم المتوسطة ٌوجد عدد حقٌقً وحٌد ‪ ‬من المجال‬
‫‪ 0,1;0,3‬بحٌث ‪. g    1‬‬
‫‪ II‬ـ نركٍ ان ّدانح ‪ f‬انًعسّ فح عهٗ ‪  0; ‬كًا ‪ٚ‬ه‪. f  0   0 ٔ f  x   x 2  x ln x :ٙ‬‬
‫‪ ‬‬

‫‪  C f ‬تمثٌلها البٌانً فً المستوي المنسوب إلى يعهى يرعايد ٔيرجاَط ‪. O ; i , j ‬‬
‫‪27‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪f x ‬‬
‫‪ .1‬أ ـ حساب‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪‬‬

‫‪f x ‬‬
‫‪x 2  x ln x‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪x  ln x  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪‬‬

‫التفسٌر‪ :‬الدالة ‪ f‬ال تقبل اإلشتقاق على ٌمٌن ‪ 0‬ومنحناها البٌانً ‪  C f ‬له نصف مماس مواز لمحور التراتٌب‬
‫ب ـ حساب ‪. lim f  x ‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪ ln x ‬‬
‫‪lim f  x   lim x 2 1 ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪‬‬

‫‪ .2‬أ ـ تبٌٌن أ ّنه‪ ،‬من أجل كل عدد حقٌقً ‪ x‬من المجال ‪. f '  x   g  x  : 0; ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪f '  x   2x  ln x  .x   2x  1  ln x  g  x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪‬‬
‫ب ـ استنتتاج اتجاه تغ ٌّر الدّالة ‪. f‬‬

‫من اجل كل عدد حقٌقً ‪ x‬من المجال ‪ g  x   0 ، 0; ‬ومنه ‪f '  x   0‬‬

‫إذن الدالة ‪ f‬متزاٌدة تماما على ‪.  0; ‬‬
‫جدول تغ ٌّرات الدالة ‪. f‬‬
‫‪‬‬

‫‪0‬‬
‫‪+‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f 'x ‬‬
‫‪f x ‬‬

‫‪0‬‬
‫جـ ـ ب ٌّن أنّ المنحنى ٌقبل نقطة انعطاف ‪ٌ ‬طلب تعٌٌنها‪.‬‬
‫لدٌنا ‪ f " x   g '  x ‬ومنه إشارة ‪ f "  x ‬هً من نفس إشارة ‪. g '  x ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪+‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0‬‬
‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪f " x ‬‬

‫‪ 1 ‬‬

‫‪1‬‬

‫وتغٌر من إشارتها ومنه النقطة ‪   ; f   ‬هً نقطة إنعطاف للمنحنى ‪.  C f ‬‬
‫‪ f "  x ‬تنعدم من أجل‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2  2 ‬‬
‫‪f  x   f  ‬‬
‫وفسر النتٌجة بٌانٌا‪.‬‬
‫د ـ تعٌٌن دون حساب‬
‫‪lim‬‬
‫ّ‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫الدالة ‪ f‬تقبل اإلشتقاق على المجال ‪ 0; ‬وباألخص عند ‪ ‬ولدٌنا‪:‬‬
‫‪1‬‬

‫‪f  x   f  ‬‬
‫‪ f '    g    1‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫مٌله ٌساوي ‪. 1‬‬

‫‪ lim‬؛ وتفسٌر ذلك وجود مماس للمنحنى ‪  C f ‬عند النقطة التً فاصلتها ‪‬‬

‫‪ .3‬أ ـ إثبات أنّ ‪، f  x   x  g  x   x  1‬‬
‫‪f  x   x 2  x ln x  x  x  ln x   x  2x  1  ln x  x  1  x  g  x   x  1‬‬

‫‪28‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫حساب ‪. f  ‬‬
‫‪. f      g      1   1    1    2   ‬‬
‫ب ـ حصرا لـ ‪. f  ‬‬
‫‪ 0,1    0,3‬معناه ‪ٌ 0,3    0,1‬كافئ ‪1,7  2    1,9‬‬

‫ومنه ‪ 1,7  0,1    2     1,9  0,3‬أي ‪. 0,17  f    0,57‬‬

‫‪ .4‬إثبات أنّ المنحنً ‪ٌ  C f ‬قبل مماسٌن ‪‬‬
‫‪ٌ f '  x 0   1‬كافئ ‪ g  x 0   1‬ومنه ‪ x 0  1‬أو ‪x 0  ‬‬
‫إذن ‪ٌ  C f ‬قبل مماسٌن ‪ T ‬و ‪ T '‬مٌالهما ٌساوي ‪ 1‬عند النقطتٌن اللتٌن فاصلتٌهما ‪ 1‬و ‪. ‬‬
‫‪ T‬و ‪ T '‬مٌالهما ٌساوي ‪.1‬‬

‫كتابة معادلة كل منهما‪.‬‬
‫معادلة المماس ‪ T ‬عند النقطة ذات الفاصلة ‪.1‬‬
‫‪ y  f ' 1 x  1  f 1‬ومنه ‪ y   x  1  1‬أي ‪ x‬‬

‫‪T  : y‬‬

‫معادلة المماس ‪ T '‬عند النقطة ذات الفاصلة ‪. ‬‬
‫‪ y  f '   x     f  ‬ومنه ‪ y   x       2   ‬أي ‪. T ' : y  x   2  ‬‬
‫‪ .5‬رسم ‪ T ' ، T ‬والمنحنً ‪.  C f ‬‬
‫‪y‬‬

‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-7‬‬

‫‪-8‬‬

‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-6‬‬

‫التمرٌن الحادي عشر‪‬‬
‫لتكن ‪ f‬الدالة العددٌة المعرّ فة على * ‪ ‬بالعبارة‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ln x‬‬
‫‪x‬‬

‫‪f  x  1‬‬
‫‪ ‬‬

‫‪  C f ‬تمثٌلها البٌانً فً المستوي المنسوب إلى يعهى يرعايد ٔيرجاَط ‪. O ; i , j ‬‬
‫‪ .1‬ادزض ذغ‪ّٛ‬ساخ اندانح ‪. f‬‬
‫‪ .2‬أثثد ّ‬
‫أٌ انًُحُٗ ‪ٚ  C f ‬مطع انًعرم‪ٛ‬ى ‪    : y  1‬ف‪َ ٙ‬مطر‪ٚ ٍٛ‬طهة ذع‪ ٍٛٛ‬إحداث‪ٛ‬اذًٓا‪.‬‬
‫‪ .3‬احعة ‪ ، f   x   f  x ‬ياذا ذعرُرج ؟‬
‫‪29‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪ .4‬ت‪ّ ٍّٛ‬‬
‫أٌ انًعادنح ‪ f  x   0‬ذمثم حال ٔح‪ٛ‬دا ‪ ‬ح‪ٛ‬ث ‪  0,71; 0,70‬‬
‫‪ .5‬أثبت أنّ المنحنى ‪ٌ  C f ‬قبل مماسا ‪ٌ T ‬شمل النقطة ‪ A  0;1‬وٌمسّ المنحنى ‪  C f ‬فً نقطتٌن‬
‫ٌطلب حساب إحداثٌات كل منهما‪ ،‬اكتب معادلةالمماس ‪. T ‬‬
‫‪ .6‬اُرسم المماس ‪ T ‬والمنحنى ‪.  C f ‬‬
‫‪ .7‬ناقش بٌانٌا‪ ،‬وحسب قٌم الوسٌط الحقٌقً ‪ m‬عدد حلول المعادلة‪f  x   mx  1 :‬‬
‫‪ln x 2‬‬
‫‪ .8 h‬اندانح انعدد‪ٚ‬ح نهًرغ‪ّٛ‬س انحم‪ٛ‬م‪ x ٙ‬ح‪ٛ‬ث‪:‬‬
‫‪x‬‬

‫‪. h  x  1‬‬

‫أ) بٌّن أنّ ‪ h‬دالة زوجٌة‪.‬‬
‫ب) دون دراسة تغٌّرات ‪ ، h‬اُرسم ‪ ،  Ch ‬علل ذلك‪.‬‬
‫الحل‪‬‬
‫لتكن ‪ f‬الدالة العددٌة المعرّ فة على * ‪ ‬بالعبارة‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ln x‬‬
‫‪x‬‬

‫‪f  x  1‬‬
‫‪ ‬‬

‫‪  C f ‬تمثٌلها البٌانً فً المستوي المنسوب إلى يعهى يرعايد ٔيرجاَط ‪. O ; i , j ‬‬
‫‪ .1‬دزاسح تغٍّساخ اندانح ‪. f‬‬
‫‪2ln  x‬‬
‫‪2ln t‬‬
‫‪ lim 1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪t ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪t‬‬
‫‪2ln x‬‬
‫‪lim f  x   lim 1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x‬‬

‫‪lim f  x   lim 1 ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪ln x 2‬‬
‫‪ln x 2‬‬
‫ند‪ُٚ‬ا ‪ln x 2  ‬‬
‫‪ lim‬إذٌ ‪ ‬‬
‫‪ٔ lim‬يُّ ‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ln x 2‬‬
‫‪ln x 2‬‬
‫َ ‪ln x 2  ‬‬
‫‪ lim‬إذٌ ‪ ‬‬
‫‪ٔ lim‬يُّ ‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  x  ln x‬‬
‫‪ln x 2  2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f 'x      2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2‬‬

‫‪lim‬‬
‫‪f  x   lim‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪. lim f  x   lim 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫إشازج ‪ ْٙ f '  x ‬يٍ َفط إشازج ‪. ln x 2  2‬‬
‫‪ f '  x   0‬يعُاِ ‪ٚٔ ln x 2  2  0‬كافئ ‪ٚٔ ln x 2  2‬كافئ ‪ x 2  e 2‬أ٘ ‪ x  e‬أٔ ‪x  e‬‬
‫‪ f '  x   0‬يعُاِ ‪ٚٔ ln x 2  2  0‬كافئ ‪ٚٔ ln x 2  2‬كافئ ‪ x 2  e 2‬أ٘ ‪ x  e‬أٔ ‪x  e‬‬

‫إشازج ‪. f '  x ‬‬
‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪e‬‬

‫‪+‬‬

‫‪0‬‬

‫‪e‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪+‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f 'x ‬‬

‫ان ّدانح ‪ f‬يرصا‪ٚ‬دج عهٗ كم يٍ ‪ٔ e ;  ٔ ; e ‬يرُالصح عهٗ كم يٍ ‪. 0;e  ٔ  e ;0‬‬

‫‪30‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫خدَل تغٍّساخ اندّانح ‪. f‬‬
‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪e‬‬

‫‪+‬‬

‫‪e‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪e 2‬‬
‫‪e‬‬

‫‪+‬‬

‫‪e 2‬‬
‫‪e‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f 'x ‬‬
‫‪f x ‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ .2‬إثثاخ أنّ انمىحىى ‪ٌ  C f ‬قطع انمستقٍم ‪    : y  1‬فً وقطتٍه ٌطهة تعٍٍه إحداثٍاتٍما‪.‬‬
‫‪ln x 2‬‬
‫‪ f  x   1‬يعُاِ ‪ 1‬‬
‫‪x‬‬
‫إذٌ ‪C f       A 1;1 , B  1;1‬‬

‫‪ٚ 1 ‬كافئ ‪ٚٔ ln x 2  0‬كافئ ‪ x 2  1‬أي ‪ x  1‬أٔ‪x  1‬‬

‫‪ .3‬حساب ‪. f   x   f  x ‬‬
‫‪ln  x ‬‬
‫‪ln x 2‬‬
‫‪ln x 2 ln x 2‬‬
‫‪f  x   f  x   1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫يٍ أجم ‪ x   ‬ند‪ُٚ‬ا ‪ٔ x  ‬ند‪ُٚ‬ا ‪ٔ f  x   f  x   2‬عه‪ ّٛ‬انُمطح ‪ ْٙ   0;1‬يسكص ذُاظس نهًُحُٗ‬
‫‪2‬‬

‫‪ .4‬تثٍٍه أنّ انمعادنح ‪ f  x   0‬تقثم حال َحٍدا ‪ ‬على المجال ‪0,71; 0,70‬‬
‫ال ّدالة ‪ f‬مستمرة ومتناقصة تماما على المجال ‪  0,71; 0,70‬ولدٌنا ‪ 0,70  0,02 ، f  0,71  0,04‬‬
‫‪ f  0,71  f  0,70   0‬ومنه حسب مبرهنة القٌم المتوسطة ٌوجد عدد حقٌقً وحٌد ‪ ‬فً المجال‬
‫‪ 0,71; 0,70‬بحٌث ‪. f    0‬‬
‫‪ .5‬إثبات أنّ المنحنى ‪ٌ  C f ‬قبل مماسا ‪ٌ T ‬شمل النقطة ‪A  0;1‬‬
‫وٌمس المنحنى ‪  C f ‬فً نقطتٌن‪.‬‬
‫ّ‬
‫لدٌنا معادلة المماس ‪ T ‬من الشكل‪y  f '  x 0  x  x 0   f  x 0  :‬‬
‫‪‬‬

‫‪C f ‬‬
‫‪ f‬أي‬

‫‪ ln x 0 2  2 ‬‬
‫‪ln x 0 2‬‬
‫‪x 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ A  0;1  T‬معناه ‪ 1  f '  x 0  0  x 0   f  x 0 ‬وتكافئ ‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪ x0‬‬
‫‪‬‬

‫‪  ln x 0 2  2  ln x 0 2‬‬
‫‪2 ln x 0 2  2‬‬
‫‪ ‬وتكافئ ‪ 0‬‬
‫وتكافئ ‪ 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫أي ‪ x 0  e‬أو ‪e‬‬

‫‪  e‬ولدٌنا‬

‫‪ . x 0  ‬إذن ‪‬‬

‫‪ e    e1‬‬

‫' ‪ f‬و‬

‫‪ٌ C f‬قبل مماسٌن ٌشمالن النقطة ‪ A  0;1‬عند النقطتٌن اللتٌن فاصلتٌهما ‪ e‬و‬

‫‪ f '   e    e1‬إذن المماسان متوازٌان وبالتالً هما متطابقان أي أنّ المنحنى ‪ C ‬‬
‫‪f‬‬

‫ٌقبل مماسا ‪ٌ T ‬شمل النقطة ‪ A  0;1‬وٌمسّ المنحنى ‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫وتكافئ ‪ ln x 0 2  1‬ومنه ‪x 0 2  e‬‬

‫‪‬‬

‫‪f‬‬

‫‪ C‬فً النقطتٌن اللتٌن إحداثٌتٌهما ‪ e ‬‬

‫‪e ;f‬‬

‫‪.  e ;f  e‬‬

‫كتابة معادلةالمماس ‪. T ‬‬

‫‪ e  x  e   f  e ‬‬

‫‪1‬‬
‫' ‪ y  f‬ومنه ‪x  1‬‬
‫‪e‬‬

‫‪.y ‬‬

‫‪31‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫‪‬‬

‫و‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪ .6‬رسم المماس ‪ T ‬والمنحنى ‪.  C f ‬‬

‫‪y‬‬
‫‪6‬‬

‫‪ .7‬المناقشة بٌانٌا‪ ،‬وحسب قٌم الوسٌط الحقٌقً ‪m‬‬
‫عدد حلول المعادلة‪f  x   mx  1 :‬‬

‫)‪(Cf‬‬

‫‪4‬‬

‫حلول المعادلة هً فواصل نقط تقاطع ‪ C f ‬والمستقٌم‬

‫‪3‬‬

‫)‪(Cg‬‬

‫ذي المعادلة ‪. y  mx  1‬‬
‫‪1‬‬
‫إذا كان‬
‫‪e‬‬
‫‪1‬‬
‫إذا كان ‪ m  ‬فإن المعادلة تقبل حلٌن مضاعفٌن‪.‬‬
‫‪e‬‬
‫‪1‬‬
‫إذا كان ‪   m  0‬فإن المعادلة تقبل أربعة حلول‪.‬‬
‫‪e‬‬
‫إذا كان ‪ m  0‬فإنّ المعادلة تقبل حلٌن‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫‪ m  ‬فإنّ المعادلة لٌس لها حلول‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-6‬‬

‫‪ln x 2‬‬
‫‪. h  x  1‬‬
‫‪ .8 h‬اندانح انعدد‪ٚ‬ح نهًرغ‪ّٛ‬س انحم‪ٛ‬م‪ x ٙ‬ح‪ٛ‬ث‪:‬‬
‫‪x‬‬

‫أ) تبٌٌن أنّ ‪ h‬دالة زوجٌة‪.‬‬
‫من أجل ‪ x   ‬لدٌنا ‪. x  ‬‬
‫‪ln  x ‬‬
‫‪ln x 2‬‬
‫‪h  x   1 ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫ولدٌنا ‪ h  x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬
‫‪ln x 2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪;x  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪h  x   f  x  ; x  0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ ‬ومنه‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪h  x   f  x  ; x  0‬‬
‫‪h  x   1  ln x ; x  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬

‫إذن ‪ٌ C h ‬نطبق على ‪‬‬

‫‪ C f‬فً المجال ‪ ;0‬وبما أنّ ‪ h‬زوجٌة فإنّ ‪ C h ‬متناظر بالنسبة إلى حامل محور‬

‫التراتٌب‪.‬‬
‫التمرٌن الثانً عشر ‪‬‬
‫‪1  ln x‬‬
‫‪ )I‬ال ّدالة المعرّ فة على المجال ‪ 0; ‬كما ٌلً‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ C ‬تمثٌلها البٌانً فً المعلم المتعامد والمتجانس ‪. O ; i , j‬‬

‫‪f x  ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ .1‬احسب نهاٌة الدالة ‪ f‬عند ‪ 0‬وعند ‪ ‬وفسّر النتٌجتٌن هندسٌا‪.‬‬
‫‪ .2‬ادرس اتجاه تغٌّر الدالة ‪ f‬وشكل جدول تغٌّراتها‪.‬‬
‫‪ T‬للمنحنى ‪ C ‬عند النقطة ذات الترتٌب ‪.0‬‬

‫‪ .3‬اكتب معادلة المماس ‪‬‬
‫‪ .4‬بٌّن أنّ المنحنى ‪ٌ C ‬قبل نقطة انعطاف ‪ٌ ‬طلب تعٌٌن إحداثٌاها‪.‬‬

‫‪32‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫‪-7‬‬

‫‪-8‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪1‬‬
‫‪ .5‬بٌّنأنّ المنحنى ‪ٌ C ‬قطع المستقٌم ‪ d ‬ذا المعادلة‬
‫‪2‬‬
‫و ‪. 5,3    5, 4‬‬

‫‪ .6‬ارسم كال من ‪‬‬

‫‪ y ‬فً نقطتٌن فاصلتاهما ‪ ‬و ‪ ‬حٌث‪0, 4    0,5 :‬‬

‫‪ T‬و ‪. C ‬‬

‫‪ln x 2‬‬
‫‪‬‬
‫نعتبر ال ّدالة ‪ g‬المعرّ فة على ‪ ‬كماٌلً‪:‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪.1‬بٌّن أنّ ال ّدالة ‪ g‬فردٌة‪.‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ . g  x  ‬ولٌكن ‪   ‬منحناها البٌانً فً المعلم السابق‪.‬‬
‫‪x‬‬

‫‪ .2‬بٌّن أنّ ‪ g  x   f  x ‬على مجال ٌطلب تحدٌده‪.‬‬
‫‪ .3‬دون دراسة الدالة ‪ g‬شكل جدول تغٌّراتها‪.‬‬
‫‪ .4‬اعتمادا على المنحنى ‪ C ‬اشرح كٌفٌة رسم المنحنى ‪ ،   ‬ث ّم ارسمه‪.‬‬
‫الحل‪‬‬
‫‪1  ln x‬‬
‫‪ )I‬ال ّدالة المعرّ فة على المجال ‪ 0; ‬كما ٌلً‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪O‬‬
‫;‬
‫‪i‬‬
‫‪ C ‬تمثٌلها البٌانً فً المعلم المتعامد والمتجانس ‪, j‬‬
‫‪.‬‬

‫‪f x  ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪.1‬حساب نهاٌة الدالة ‪ f‬عند ‪ 0‬وعند ‪. ‬‬
‫‪1  ln x‬‬
‫لدٌنا ‪1  ln x  ‬‬
‫‪ lim‬ومنه ‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1 ln x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪lim f  x   lim ‬‬
‫‪ lim‬ومنه ‪ 0‬‬
‫لدٌنا ‪ lim  0‬و ‪ 0‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x  x‬‬
‫‪x  x‬‬
‫‪x  x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪f  x   lim‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫تفسٌر النتٌجتٌن هندسٌا‬
‫لدٌنا ‪ lim f  x   ‬إذن ٌقبل مستقٌم مقارب معادلته ‪( x  0‬حامل محور التراتٌب)‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫ولدٌنا ‪ lim f  x   0‬إذن ٌقبل مستقٌم مقارب معادلته ‪( y  0‬حامل محور الفواصل)‬
‫‪x ‬‬

‫‪ .2‬دراسة اتجاه تغ ٌّر الدالة ‪. f‬‬
‫‪1‬‬
‫‪  x  1  ln x  ln x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f 'x     2‬‬
‫‪‬‬
‫ال ّدالة ‪ f‬تقبل اإلشتقاق على ‪ 0; ‬ولدٌنا‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2‬‬

‫إشارة ‪ f '  x ‬هً عكس إشارة ‪. ln x‬‬
‫من أجل ‪ ln x  0 ، x  0;1‬ومنه ‪f '  x   0‬‬

‫ومن أجل ‪ ln x  0 ، x  1; ‬ومنه ‪ f '  x   0‬و ‪. f ' 1  0‬‬
‫إذن ال ّدالة ‪ f‬متزاٌدة تماما ‪ 0;1‬على ومتناقصة تماما على ‪. 1; ‬‬
‫جدول التغ ٌّرات‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪+‬‬
‫‪0‬‬
‫‪f 'x ‬‬
‫‪f x ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪33‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪ .3‬كتابة معادلة المماس ‪‬‬

‫‪ T‬للمنحنى ‪ C ‬عند النقطة ذات الترتٌب ‪.0‬‬

‫‪1  ln x 0‬‬
‫‪ f  x 0   0‬معناه ‪ 0‬‬
‫‪x0‬‬

‫تكافئ ‪ 1  ln x 0  0‬أي ‪x 0  e 1‬‬

‫ومنه ‪ y  f ' e 1  x  e 1   f e 1 ‬أي ‪ y  e 2  x  e 1 ‬وعلٌه ‪ e 2 x  e‬‬

‫‪T  : y‬‬

‫‪ .4‬تبٌٌن أنّ المنحنى ‪ٌ C ‬قبل نقطة انعطاف ‪ٌ ‬طلب تعٌٌن إحداثٌاها‪.‬‬
‫‪ 1  2‬‬
‫‪  x  2x ln x x  2x ln x 1  2 ln x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f ''  x    ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫الدالة ‪ f‬تقبل اإلشتقاق مرتٌن على ‪ 0; ‬ولدٌنا ‪:‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪x3‬‬

‫إشارة ‪ f ''  x ‬هً من نفس إشارة ‪. 1  2ln x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ f ''  x   0‬معناه ‪ 1  2ln x  0‬وٌكافئ‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ f ''  x   0‬معناه ‪ 1  2ln x  0‬وٌكافئ ‪ ln x ‬أي ‪. x  e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ln x ‬أي ‪x  e‬‬

‫‪‬‬

‫‪e‬‬

‫‪+‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪ f ''  x ‬تنعدم عند العدد ‪e‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x‬‬
‫‪f ''  x ‬‬

‫وتغٌّر من إشارتها بجوار ‪e‬‬

‫ومنه النقطة ‪ e ‬‬

‫‪e ;f‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬هً نقطة انعطاف‬

‫للمنحنى ‪. C ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .5‬تبٌٌنأنّ المنحنى ‪ٌ C ‬قطع المستقٌم ‪ d ‬ذا المعادلة‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0, 4    0,5‬و ‪. 5,3    5, 4‬‬

‫‪ y ‬فً نقطتٌن فاصلتاهما ‪ ‬و ‪ ‬حٌث‪:‬‬

‫الدالة ‪ f‬مستمرة ومتزاٌدة تماما على المجال ‪ 0;1‬وبالخصوص على المجال ‪ 0, 4;0,5‬ولدٌنا ‪، g  0, 4   0, 20‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ g  0,5  0,61‬إذن ‪ f  0, 4    f  0,5‬ومنه حسب مبرهنة القٌم المتوسطة ٌوجد عدد حقٌقً وحٌد ‪ ‬من‬
‫‪1‬‬
‫المجال ‪ 0, 4;0,5‬بحٌث‬
‫‪2‬‬

‫‪f   ‬‬

‫ولدٌنا الدالة ‪ f‬مستمرة ومتناقصة تماما على المجال ‪ 1; ‬وبالخصوص على المجال ‪ 5,3;5, 4‬ولدٌنا‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ g  5, 4   0, 497 ، g  5,3  0,503‬إذن ‪ f  5, 4    f  5,3‬ومنه حسب مبرهنة القٌم المتوسطة ٌوجد عدد‬
‫‪1‬‬
‫حقٌقً وحٌد ‪ ‬من المجال ‪ 5,3;5, 4‬بحٌث‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ y ‬فً نقطتٌن فاصلتاهما ‪ ‬و ‪ ‬حٌث‪ 0, 4    0,5 :‬و ‪. 5,3    5, 4‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ f    ‬وبالتالً المنحنى ‪ٌ C ‬قطع المستقٌم ‪ d ‬ذا المعادلة‬

‫‪34‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪ .6‬رسم كال من ‪‬‬

‫‪ T‬و ‪. C ‬‬
‫‪y‬‬

‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬

‫)‪(C‬‬
‫‪8‬‬

‫‪x‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-7‬‬

‫‪-8‬‬

‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-6‬‬

‫‪ln x 2‬‬
‫‪‬‬
‫نعتبر ال ّدالة ‪ g‬المعرّ فة على ‪ ‬كما ٌلً‪:‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪.1‬تبٌٌن أنّ الدّالة ‪ g‬فردٌة‪.‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ . g  x  ‬ولٌكن ‪   ‬منحناها البٌانً فً المعلم السابق‪.‬‬
‫‪x‬‬

‫من أجل ‪ x   ‬لدٌنا ‪x   ‬‬

‫ولدٌنا من أجل كل عدد حقٌقً غٌر معدوم ‪: x‬‬
‫‪ 1 ln x 2 ‬‬
‫‪1 ln  x ‬‬
‫‪ g  x  ‬ومنه ال ّدالة ‪ g‬فردٌة ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪  g  x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪2x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ .2‬تبٌٌن أنّ ‪ g  x   f  x ‬على مجال ٌطلب تحدٌده‪.‬‬
‫‪1 2 ln x‬‬
‫‪‬‬
‫‪;x  0‬‬
‫‪1 2ln x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪ g  x   ‬ومنه‬
‫لدٌنا‬
‫‪1 2 ln  x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪‬‬
‫‪;x  0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x‬‬

‫‪1  ln x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ g  x   x ; x  0‬‬
‫‪ g  x  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬أي‬
‫‪ g  x   1  ln  x ; x  0  g  x  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬

‫إذن من أجل ‪g  x   f  x  : x  0; ‬‬
‫‪ .3‬جدول تغ ٌّرات الدّالة ‪. g‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬
‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪g 'x ‬‬

‫‪0‬‬
‫‪‬‬

‫‪1‬‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0‬‬
‫‪1‬‬

‫‪ .4‬شرح كٌفٌة رسم المنحنى ‪  ‬‬
‫‪ٌ   ‬نطبق على ‪ C f ‬فً المجال ‪ 0; ‬وبما أنّ‬

‫‪g x ‬‬

‫‪ g‬فردٌة فإنّ ‪   ‬متناظر بالنسبة إلى ‪ O‬مبدأ المعلم‪.‬‬

‫التمرٌن الثالث عشر‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪f  x   x ln 1  2  ; x  0‬‬
‫‪ f‬الدالة المعرّ فة على المجال ‪  0; ‬كما ٌلً‪:‬‬
‫‪ x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪f  0   0‬‬
‫‪‬‬
‫‪35‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪ ‬‬

‫‪ C ‬تمثٌلها البٌانً فً المستوي المنسوب إلى يعهى يرعايد ٔيرجاَط ‪ . O ; i , j ‬انٕحدج‪5cm‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ g -I‬ال ّدالة المعرّ فة على المجال ‪ 0; ‬بـ‪:‬‬
‫‪g  x   ln 1  2   2‬‬
‫‪ x  x 1‬‬

‫‪ .1‬ت‪ ٍّٛ‬أَّ‪ ،‬يٍ أجم كم ‪ x‬يٍ ‪: 0; ‬‬

‫‪2  x 2  1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x  x 2  1‬‬

‫‪g 'x  ‬‬

‫‪ .2‬ادرس إشارة ‪ g '  x ‬حسب قٌم ‪. x‬‬
‫‪ .3‬شكل جدول تغٌّرات الدالة ‪. g‬‬
‫‪ .4‬برهن أنّ المعادلة ‪ g  x   0‬تقبل حال وحٌدا ‪ ‬حٌث ‪. 0,5    0,6 :‬‬
‫‪ .5‬حدد إشارة ‪. g  x ‬‬
‫‪ .1 -II‬أ‪ .‬بيّن أ ّنه‪ ،‬من أجل عدد حقيقي ‪ x‬من المجال ‪f '  x   g  x  : 0; ‬‬

‫ب‪ .‬استنتج إتجاه تغيّر الدالة ‪ f‬على المجال ‪. 0; ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .2‬أ‪ .‬احسب ‪ lim xf  x ‬؛ يمكن وضع‬
‫‪x ‬‬
‫‪x2‬‬
‫ب‪ .‬استنتج ‪. lim f  x ‬‬

‫‪t‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪ .3‬أ‪ .‬بٌّن أنه ٌمكن كتابة ‪ f  x ‬على الشكل ‪f  x   x ln  x  1  2x ln x‬‬
‫‪2‬‬

‫ب‪ .‬احسب ‪lim f  x ‬‬

‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫جـ‪ .‬ادرس قابلٌة اشتقاق الدالة ‪ f‬عند ‪.0‬‬
‫‪ .4‬أنشئ جدول تغٌّرات الدالة ‪ ، f‬ث ّم ارسم ‪ . C ‬نأخذ ‪. f    0,8‬‬
‫الحل‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪f  x   x ln 1  2  ; x  0‬‬
‫‪ f‬الدالة المعرّ فة على المجال ‪  0; ‬كما ٌلً‪:‬‬
‫‪ x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪f  0   0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ C ‬تمثٌلها البٌانً فً المستوي المنسوب إلى يعهى يرعايد ٔيرجاَط ‪ . O ; i , j‬انٕحدج ‪5cm‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ g -I‬ال ّدالة المعرّ فة على المجال ‪ 0; ‬بـ‪:‬‬
‫‪g  x   ln 1  2   2‬‬
‫‪ x  x 1‬‬

‫‪ .1‬تثٍٍه أوً‪ ،‬مه أخم كم ‪ x‬مه ‪: 0; ‬‬

‫‪2  x 2  1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x  x 2  1‬‬

‫‪g 'x  ‬‬

‫‪2x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪g 'x   x‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1  2  x  1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x  x  1  x 2  1‬‬

‫‪36‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪4x 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x  x 2  1‬‬

‫‪‬‬

‫‪2  x 2  1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪x  x 2  1‬‬

‫‪2  x 2  1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪x  x 2  1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ .2‬دراسة إشارة ‪ g '  x ‬حسب قٌم ‪. x‬‬
‫من أجل كل عدد حقٌقً من المجال ‪ x  x 2  1  0 ، 0; ‬ومنه إشارة ‪ g '  x ‬هً نفس إشارة ‪. x 2  1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪+‬‬

‫‪1‬‬
‫‪0‬‬

‫‪0‬‬
‫‪‬‬

‫‪x‬‬

‫‪g 'x ‬‬

‫‪ .3‬جدول تغ ٌّرات الدالة ‪. g‬‬
‫‪‬‬

‫‪+‬‬

‫‪1‬‬
‫‪ 0‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪g 'x ‬‬
‫‪g x ‬‬

‫‪0‬‬

‫‪ln 2  1‬‬
‫‪ .4‬تبٌٌن أنّ المعادلة ‪ g  x   0‬تقبل حال وحٌدا ‪ ‬حٌث ‪. 0,5    0,6 :‬‬

‫‪ .5‬تحدٌد إشارة ‪. g  x ‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬
‫‪0‬‬

‫‪0‬‬
‫‪+‬‬

‫‪x‬‬

‫‪g x ‬‬

‫‪ .1 -II‬أ‪.‬تبيين أ ّنه‪ ،‬من أجل عدد حقيقي ‪ x‬من المجال ‪f '  x   g  x  : 0; ‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪f '  x   ln 1  2   x2‬‬
‫‪.x‬‬
‫‪ x  x 1‬‬
‫‪x2‬‬

‫‪1  2x x 2‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f '  x   ln 1  2   4 . 2 .x  ln 1  2   2‬‬
‫‪ g x ‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ x  x‬‬
‫‪ x  x 1‬‬

‫ب‪ .‬استنتاج إتجاه تغ ّير الدالة ‪ f‬على المجال ‪. 0; ‬‬
‫إشارة ‪ f '  x ‬هي نفس إشارة ‪g  x ‬‬

‫ومنه الدالة ‪ f‬متزايدة تماما على المجال ‪ 0; ‬ومتناقصة تماما على المجال ‪.  ; ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .2‬أ‪ .‬حساب ‪ lim xf  x ‬؛ يمكن وضع‬
‫‪x ‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ln 1  2 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪lim xf  x   lim x 2 ln 1  2   lim ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x ‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪1‬‬
‫نضع ‪ t  2‬إذا كان ‪ x‬يئول إلى ‪ ‬فإنّ ‪ t‬يئول إلى ‪. 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪t‬‬

‫‪37‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪ln 1  t ‬‬
‫ومنه ‪ 1‬‬
‫‪t ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪t‬‬
‫ب‪ .‬استنتاج ‪. lim f  x ‬‬

‫‪. lim xf  x   lim‬‬
‫‪‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪1‬‬
‫لدينا ‪ lim xf  x   1‬ومنه ‪ 0‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x  x‬‬

‫‪. lim f  x   lim‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪ .3‬أ‪ .‬تبٌٌن أنه ٌمكن كتابة ‪ f  x ‬على الشكل ‪f  x   x ln  x 2  1  2x ln x‬‬

‫‪ x 2 1 ‬‬
‫‪f  x   x ln  2   x ln  x 2  1  ln x 2  x ln  x 2  1  2x ln x‬‬
‫‪ x ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫ب‪ .‬حساب ‪lim f  x ‬‬

‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫لدٌنا ‪x ln x  0‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪ lim‬و ‪x ln  x 2  1  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪lim‬‬
‫‪f  x   lim‬‬
‫إذن ‪x ln  x 2  1  2x ln x  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫جـ‪ .‬دراسة قابلٌة اشتقاق الدالة ‪ f‬عند ‪.0‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ln 1  2 ‬‬
‫‪ x   lim ln 1  1   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ x ‬‬

‫إذن الدالة ‪ f‬التقبل اإلشتقاق ‪.0‬‬
‫‪ .4‬جدول تغ ٌّرات الدالة ‪. f‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪+‬‬

‫‪0‬‬

‫‪f  ‬‬

‫‪0‬‬

‫‪f  x   f  0‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x 0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f 'x ‬‬

‫‪f x ‬‬

‫‪0‬‬

‫رسم ‪. C ‬‬

‫‪38‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫التمرٌن الرابع عشر ‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ g -I‬هً الدالة المعرّ فة على ‪ 1;3‬كما ٌلً‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ )1‬ادرس تغٌّرات الدالة ‪ ، g‬ث ّم ش ّكل جدول تغٌّراتها‪.‬‬

‫‪. g  x   2ln  x  1 ‬‬

‫‪ )2‬بٌّن أنّ المعادلة‪ g  x   0 :‬تقبل حلٌن أحدهما معدوم واآلخر ‪ٌ ‬ح ّقق ‪. 0,8    0,7‬‬
‫‪)3‬عٌّن‪ ،‬حسب قٌّم ‪ x‬إشارة ‪. g  x ‬‬
‫‪ h )4‬هً الدالة المعرّ فة على المجال ‪ 1;3‬بـ‪. h  x    g  x  :‬‬
‫‪2‬‬

‫أ ) احسب ‪ h '  x ‬بداللة كل من ‪ g  x ‬و ‪. g '  x ‬‬
‫ب) عٌّن اشارة ‪ ، h '  x ‬ث ّم ش ّكل جدول تغٌّرات الدالة ‪. h‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ f  x   ln x  1 , x  0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ f -II‬هً الدالة المعرّ فة على المجال ‪ 1;3‬كما ٌلً‪:‬‬
‫‪f 0 0‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  C f ‬تمثٌلها البٌانً فً المستوي المنسوب إلى يعهى يرعايد ٔيرجاَط ‪. O ; i , j‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪-1‬ت‪ّ ٍّٛ‬‬
‫أٌ اندانح ‪ f‬تقبل االشتقاق عند الصفر‪ ،‬ث ّم اكتب معادلة لـ ‪ T ‬مماس ‪  C f ‬فً النقطة ذات الفاصلة ‪. 0‬‬
‫‪xg  x ‬‬

‫‪ -2‬أ )بٌّن أ ّنه‪ ،‬من أجل كل ‪ x‬من ‪، 1;0  0;3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ln  x  1 ‬‬

‫‪ ، f '  x  ‬ث ّم استنتج اتجاه تغٌّر الدالة ‪f‬‬

‫ب)بٌّن أنّ ‪ ، f    2   1 :‬ث ّم عٌّن حصرا لـ ‪. f  ‬‬

‫جـ)احسب ‪ f  3‬و ‪ ، lim f  x ‬ث ّم ش ّكل جدول تغٌّرات الدالة ‪. f‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪ -3‬أ )بٌّن أ ّنه من أجل كل ‪ x‬من المجال ‪ 1;3‬فإنّ ‪. x  ln  x  1  0 :‬‬
‫ب)ادزض ٔضع‪ٛ‬ح ‪  C f ‬تانُعثح إنٗ انًًاض ‪. T ‬‬
‫‪-4‬ع‪ ٍّٛ‬يعادنح نهًعرم‪ٛ‬ى ‪ T '‬انًٕاش٘ نـ ‪ٔ T ‬انر٘ ‪ٚ‬رماطع يع ‪  C f ‬ف‪ ٙ‬انُمطح ذاخ انفاصهح ‪.3‬‬
‫‪-5‬ازظى ‪.  C f  ٔ T ' ، T ‬‬
‫‪َ-6‬الش ت‪ٛ‬اَ‪ٛ‬ا‪ ،‬حعة ل‪ّٛ‬ى انٕظ‪ٛ‬ظ انحم‪ٛ‬م‪ ، m ٙ‬عدد حهٕل انًعادنح ‪. f  x   x  m :‬‬
‫الحل‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ g -I‬هً الدالة المعرّ فة على ‪ 1;3‬كما ٌلً‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ )1‬دراسة تغ ٌّرات الدالة ‪ ، g‬ث ّم ش ّكل جدول تغ ٌّراتها‪.‬‬

‫‪. g  x   2ln  x  1 ‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2  x  1 ln  x  1  x   ‬‬
‫‪x 1 ‬‬

‫‪lim‬‬
‫‪g  x   lim‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪lim 2  x  1 ln  x  1  lim‬‬
‫ألنّ ‪2t ln t  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪0‬‬

‫‪3‬‬
‫‪4‬‬

‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪1‬‬
‫و ‪ ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1 x  1‬‬

‫‪. lim‬‬
‫‪‬‬

‫‪g  3  2ln 4 ‬‬

‫ال ّدالة ‪ g‬تقبل اإلشتقاق على ‪ 1;3‬ولدٌنا ‪:‬‬
‫‪39‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪2  x  1  1 2x  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x  1  x  1‬‬
‫‪ x  1‬‬
‫‪ x  1‬‬

‫‪g 'x  ‬‬

‫إشارة ‪ g '  x ‬هً من نفس إشارة ‪. 2x  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪3‬‬
‫‪+‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪g 'x ‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 1‬‬

‫نستنتج هكذا أنّ ال ّدالة ‪ g‬متناقصة تماما على المجال ‪  1;  ‬ومتزاٌدة تماما على المجال ‪.   ;3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫جدول تغ ٌّرات الدّالة ‪. g‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬
‫‪+‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪0 +‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪g 'x ‬‬

‫‪‬‬

‫‪4 ln 2 ‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪g x ‬‬

‫‪0‬‬
‫‪2ln 2  1‬‬

‫‪)2‬تبٌٌن أنّ المعادلة‪ g  x   0 :‬تقبل حلٌن أحدهما معدوم واآلخر ‪ٌ ‬ح ّقق ‪. 0,8    0,7‬‬
‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫ال ّدالة ‪ g‬مستمرة ومتناقصة تماما على المجال ‪  1;  ‬وتأخذ قٌمها فً المجال ‪  2ln 2  1; ‬و‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0   2ln 2  1; ‬إذن المعادلة ‪ g  x   0‬تقبل حال وحٌدا ‪ ‬فً المجال ‪  1;  ‬وكذلك لدٌنا ال ّدالة ‪g‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫مستمرة ومتزاٌدة تماما على المجال ‪   ;3‬وتأخذ قٌمها فً المجال ‪  2ln 2  1; 4ln 2  ‬و‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0   2ln 2  1; 4ln 2  ‬إذن المعادلة ‪ g  x   0‬تقبل حال وحٌدا ‪ ‬فً المجال ‪ .   ;3‬وبما أنّ‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪ g  0,8  g  0,7   0‬ومنه ‪0,8    0,7‬‬

‫‪ g  0   2ln  0  1 ‬فإنّ ‪   0‬ولدٌنا ‪ g  0,8  0,8‬و ‪ g  0,7   0,8‬أي‬

‫‪)3‬تعٌٌن‪ ،‬حسب ق ٌّم ‪ x‬إشارة ‪. g  x ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪+‬‬

‫‪0‬‬
‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪g x ‬‬

‫‪+‬‬

‫‪ h )4‬هً الدالة المعرّ فة على المجال ‪ 1;3‬بـ‪. h  x    g  x  :‬‬
‫‪2‬‬

‫أ )حساب ‪ h '  x ‬بداللة كل من ‪ g  x ‬و ‪. g '  x ‬‬
‫‪h '  x   2g '  x   g  x ‬‬

‫‪40‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫ب) تعٌٌن اشارة ‪. h '  x ‬‬
‫‪3‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪0‬‬
‫‪+‬‬

‫‪0‬‬

‫‪+‬‬
‫‪+‬‬

‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪+‬‬

‫‪g x ‬‬

‫‪+‬‬

‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪g 'x ‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪+‬‬

‫‪‬‬

‫‪h 'x ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 1‬‬

‫الدالة ‪ h‬متزاٌدة تماما على كل من ‪  ;  ‬و ‪  0;3‬ومتناقصة تماما على كل من ‪ 1; ‬و ‪.   ;0 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫جدول تغ ٌّرات الدالة ‪. h‬‬
‫‪3‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪0‬‬
‫‪+‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪h  3‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬
‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪h 'x ‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 2ln 2  1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪‬‬

‫‪h x ‬‬

‫‪0‬‬

‫‪‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ f  x   ln x  1 , x  0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ f -II‬هً الدالة المعرّ فة على المجال ‪ 1;3‬كما ٌلً‪:‬‬
‫‪f 0 0‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  C f ‬تمثٌلها البٌانً فً المستوي المنسوب إلى يعهى يرعايد ٔيرجاَط ‪. O ; i , j‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ -1‬تثٍٍه أنّ اندانح ‪ f‬تقبل االشتقاق عند الصفر‪.‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪f  x   f  0‬‬
‫‪ln  x  1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪x 0 ln  x  1‬‬
‫‪x 0 ln  x  1‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫إذن الدالة ‪ f‬تقبل اإلشتقاق عند ‪.0‬‬

‫‪ln  x  1‬‬
‫ألنّ ‪ 1‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪x‬‬

‫كتابة معادلة لـ ‪ T ‬مماس ‪  C f ‬فً النقطة ذات الفاصلة ‪. 0‬‬
‫‪ y  f '  0  x  0   f  0 ‬ومنه ‪ x‬‬

‫‪ -2‬أ ) بٌّن أ ّنه‪ ،‬من أجل‬

‫‪xg  x ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ln  x  1 ‬‬

‫‪T  : y‬‬

‫‪. f ' x ‬‬

‫من أجل ‪ ، x  1;0  0;3‬لدٌنا‪:‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.x 2 x  2 ln  x  1 ‬‬
‫‪xg  x ‬‬
‫‪x  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ln  x  1 ‬‬
‫‪ ln  x  1 ‬‬
‫‪ ln  x  1 ‬‬

‫‪2x ln  x  1 ‬‬

‫‪f 'x  ‬‬

‫‪41‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫‪lim‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫استنتاج اتجاه تغ ٌّر الدالة ‪f‬‬

‫‪0‬‬
‫‪0‬‬

‫‪3‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪+‬‬

‫‪g x ‬‬

‫‪+‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f 'x ‬‬

‫نستنتج هكذا أنّ الدالة ‪ f‬متناقصة تماما على المجال ‪ 1; ‬ومتزاٌدة تماما على المجال ‪.  ;3‬‬
‫ب) تبٌٌن أنّ ‪. f    2   1 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2ln   1 ‬تكافئ‬
‫‪ g    0‬معناه ‪ 0‬‬
‫‪2   1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪2 2   1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫ومنه ‪ 2   1‬‬
‫‪ln   1‬‬
‫‪‬‬

‫‪ ln   1 ‬تكافئ‬

‫‪2   1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ln   1‬‬

‫أي ‪. f    2   1‬‬

‫تعٌٌن حصرا لـ ‪. f  ‬‬
‫‪ 0,8    0,7‬معناه ‪ 1,6  2  1, 4‬وٌكافئ ‪1, 4  2  1,6......... 1‬‬

‫ولدٌنا ‪0, 2    1  0,3.........  2 ‬‬

‫إذن ‪ 0, 28  2   1  0, 48‬ومنه ‪ 0, 48  2   1  0, 28‬أي ‪. 0, 48  f    0, 28‬‬
‫جـ) حساب ‪ f  3‬و ‪. lim f  x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪32‬‬
‫‪9‬‬
‫‪‬‬
‫‪ln  3  1 ln 4‬‬

‫‪f  3 ‬‬

‫‪x2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1 ln  x  1‬‬

‫‪ lim f  x   lim‬ألنّ ‪ lim x 2  1‬و ‪. lim ln  x  1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫جدول تغ ٌّرات الدالة ‪. f‬‬
‫‪3‬‬
‫‪+‬‬

‫‪‬‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪f 'x ‬‬

‫‪‬‬

‫‪9‬‬
‫‪ln 4‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0‬‬

‫‪f x ‬‬

‫‪f  ‬‬

‫‪ -3‬أ )تبٌٌن أ ّنه من أجل كل ‪ x‬من المجال ‪ 1;3‬ففنّ ‪. x  ln  x  1  0 :‬‬
‫نضع ‪u  x   x  ln  x  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫من أجل كل عدد حقٌقً ‪ x‬من ‪ 1;3‬لدٌنا ‪:‬‬
‫‪x 1 x 1‬‬

‫‪u 'x   1‬‬

‫إشارة ‪ u '  x ‬هً نفس إشارة ‪. x‬‬
‫من أجل ‪ u '  x   0 ، 1;0‬ومن أجل ‪u '  x   0 ، 0;3‬‬

‫‪42‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫إذن ال ّدالة ‪ u‬متناقصة تماما على المجال ‪ 1;0‬ومتزاٌدة تماما على المجال ‪  0;3‬ولها قٌمة حدٌّة صغرى على المجال‬
‫‪ 1;3‬وهً ‪ u  0   0‬إذن من أجل كل عدد حقٌقً ‪ x‬من المجال ‪ u  x   0 ، 1;3‬أي ‪. x  ln  x  1  0‬‬
‫ب)دزاسح َضعٍح ‪  C f ‬تانىسثح إنى انمماس ‪. T ‬‬
‫‪x 2  x ln  x  1 x  x  ln  x  1 ‬‬
‫‪xu  x ‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪f x   x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ln  x  1‬‬
‫‪ln  x  1‬‬
‫‪ln  x  1‬‬
‫‪ln  x  1‬‬
‫‪ٚ ln  x  1  0‬كافئ ‪ x  1  1‬أي ‪x  0‬‬
‫‪ٚ ln  x  1  0‬كافئ ‪ 0  x  1  1‬أي ‪1  x  0‬‬

‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬

‫‪+‬‬

‫‪u x ‬‬

‫‪+‬‬

‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪ln  x  1‬‬

‫‪+‬‬

‫‪0‬‬

‫‪+‬‬

‫‪f x   x‬‬

‫‪3‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬

‫‪  C f ‬فٕق ‪T ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬
‫‪x‬‬

‫‪‬‬

‫‪ٌ T ‬مس ‪ C ‬‬

‫‪  C f ‬فٕق ‪T ‬‬

‫انٕضع‪ٛ‬ح‬

‫‪f‬‬

‫فً النقطة ‪O‬‬

‫‪-4‬تعٍٍه معادنح نهمستقٍم ‪ T '‬انمُاشي نـ ‪َ T ‬انري ٌتقاطع مع ‪  C f ‬فً انىقطح ذاخ انفاصهح ‪.3‬‬
‫يعادنح انًعرم‪ٛ‬ى ‪ T '‬يٍ انشكم ‪ٔ y  x  b‬تًا أَّ ‪ٚ‬رماطع يع ‪  C f ‬ف‪ ٙ‬انُمطح ذاخ انفاصهح ‪ 3‬فٕٓ ‪ٚ‬شًم انُمطح‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ 9 ‬‬
‫ٔيُّ ‪ 3‬‬
‫;‪ A  3‬إذٌ ‪ 3  b‬‬
‫‪‬‬
‫‪ln 4‬‬
‫‪ln 4‬‬
‫‪ ln 4 ‬‬
‫‪9‬‬
‫ٔعه‪ ّٛ‬يعادنح انًعرم‪ٛ‬ى ‪ 3 ْٙ T '‬‬
‫‪.y x ‬‬
‫‪2ln 2‬‬

‫‪.b ‬‬

‫‪-5‬زسم ‪.  C f  َ T ' ، T ‬‬

‫‪y‬‬

‫‪6‬‬

‫)‪(Cf‬‬

‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬

‫)‪(T‬‬

‫)'‪(T‬‬
‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-7‬‬

‫‪-8‬‬

‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-6‬‬

‫‪43‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪-6‬انمىاقشح تٍاوٍا‪ ،‬حسة قٍّم انُسٍط انحقٍقً ‪ ، m‬عدد حهُل انمعادنح ‪. f  x   x  m :‬‬
‫حلول المعادلة إن وُ جدت هً فواصل النقط المشتركة بٌن ‪ C f ‬والمستقٌم ذي المعادلة ‪. y  x  m‬‬
‫إذا كان‬
‫إذا كان‬
‫إذا كان‬
‫إذا كان‬

‫‪9‬‬
‫‪ m  0‬أو ‪ 3‬‬
‫‪2 ln 2‬‬
‫‪ m  0‬فإنّ المعادلة لها حال واحدا مضاعفا‪.‬‬
‫‪ 0  m  1‬فإنّ المعادلة لها حالن مختلفان‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ 1  m ‬فإنّ المعادلة لها حل وحٌد‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2ln 2‬‬

‫‪ m ‬فإنّ المعادلة ال تقبل حال‪.‬‬

‫التمرٌن الخامس عشر ‪‬‬
‫‪ f‬دالة معرّ فة بـ‪ f  x   ln  x  e x  :‬و ‪  C ‬تمثٌلها البٌانً فً معلم متعامد ومتجانس‪.‬‬
‫‪ .1‬أ ـ بٌّن أ ّنه من أجل كل ‪ x‬من ‪ٚ ℝ‬كٌٕ ‪. x  e x  1‬‬
‫ب ـ استنتج أنّ ‪ f‬معرّ فة على ‪.ℝ‬‬
‫‪ .2‬أ ـ ذحمّك يٍ صحح انًعهٕياخ انران‪ٛ‬ح ‪:‬‬

‫ـ يٍ أجم كم ‪ x‬يٍ ‪ ℝ‬ند‪ُٚ‬ا ‪. f  x    x  ln 1  xe x ‬‬
‫‪ e x ‬‬
‫‪f  x   ln x  ln 1 ‬‬
‫ـ يٍ أجم كم ‪ ، x  0‬ند‪ُٚ‬ا ‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪‬‬

‫ب ـ عٌّن نهاٌات الدالة ‪ f‬عند ‪ ‬و ‪. ‬‬
‫جـ ـ استنتج من السؤال السابق أنّ المستقٌم ‪  d ‬ذا المعادلة ‪ y   x‬مقارب مائل لــ ‪  C ‬بجوار ‪. ‬‬
‫‪ .3‬ماهً نهاٌة ‪  f  x   ln x ‬عند ‪ ‬؛ ماذا تستنتج ؟‬
‫‪ .4‬ادرس تغٌّرات الدالة ‪ f‬وش ّكل جدول تغٌّراتها‪.‬‬
‫‪ .5‬ارسم ‪  C  ،  d ‬و ‪   ‬حٌث ‪   ‬التمثٌل البٌانً للدالة ‪. x  ln x‬‬
‫الحل‪:‬‬
‫‪ f‬دالة معرّ فة بـ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ f  x   ln  x  e‬و ‪  C ‬تمثٌلها البٌانً فً معلم متعامد ومتجانس‪.‬‬

‫‪ .1‬أ ـ تبٌٌن أ ّنه من أجل كل ‪ x‬من ‪ٌ ℝ‬كُن ‪. x  e x  1‬‬
‫نضع ‪g  x   x  e  x‬‬
‫ال ّدالة ‪ g‬تقبل اإلشتقاق على ‪ ℝ‬ولدٌنا ‪. g '  x   1  e  x :‬‬
‫‪ g '  x   0‬يعُاِ ‪ٚٔ 1  e  x  0‬كافئ ‪ e  x  1‬أ٘ ‪x  0‬‬
‫‪ g '  x   0‬يعُاِ ‪ٚٔ 1  e  x  0‬كافئ ‪ٚٔ e  x  1‬كافئ ‪ x  0‬أ٘ ‪x  0‬‬

‫‪ g '  x   0‬يعُاِ ‪ٚٔ 1  e  x  0‬كافئ ‪ٚٔ e  x  1‬كافئ ‪ x  0‬أ٘ ‪. x  0‬‬
‫إذٌ اندانح ‪ g‬يرُالصح ذًايا عهٗ انًجال ‪ٔ ;0‬يرصا‪ٚ‬دج ذًايا عهٗ انًجال ‪ٔ  0; ‬نٓا ل‪ًٛ‬ح حد‪ٚ‬ح صغسٖ ْٔ‪ٙ‬‬
‫‪ٔ g  0   1‬عه‪ ّٛ‬يٍ أجم كم عدد حم‪ٛ‬م‪ g  x   1، x ٙ‬أ٘ ‪. x  e  x  1‬‬
‫ب ـ استنتاج أنّ ‪f‬‬
‫معرفة على ‪.ℝ‬‬
‫ّ‬
‫ند‪ُٚ‬ا يٍ أجم كم عدد حم‪ٛ‬م‪ٔ x  e  1 ،x ٙ‬يُّ ‪ 0‬‬
‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ x  e‬إذٌ ان ّدانح ‪ f‬معرّ فة على ‪.ℝ‬‬

‫‪44‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪ .2‬أ ـ انتحقّق مه صحح انمعهُماخ انتانٍح ‪:‬‬

‫ـ يٍ أجم كم ‪ x‬يٍ ‪ ℝ‬ند‪ُٚ‬ا ‪. f  x    x  ln 1  xe x ‬‬

‫‪f  x   ln  x  e  x   ln e  x  xe x  1  ln e  x  ln  xe x  1  x  ln  xe x  1‬‬

‫‪ e x ‬‬
‫‪f  x   ln x  ln 1 ‬‬
‫ـ يٍ أجم كم ‪ ، x  0‬ند‪ُٚ‬ا ‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪ x  e x ‬‬
‫‪ e x ‬‬
‫‪f  x   ln x  ln  x  e   ln x  ln ‬‬
‫‪  ln 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ب ـ تعٌٌن نهاٌات الدالة ‪ f‬عند ‪ ‬و ‪. ‬‬
‫‪x‬‬

‫‪lim f  x   lim ln  x  e  x   ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪ lim f  x   lim  x  ln  xe x  1  ‬ألنّ ‪ lim  x  ‬و ‪lim xe x  1  1‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪x ‬‬

‫جـ ـ استنتاج من السؤال السابق أنّ المستقٌم ‪  d ‬ذا المعادلة ‪ y   x‬مقارب مائل لــ ‪  C ‬بجوار ‪. ‬‬
‫لدٌنا ‪ lim f  x   x  lim ln  xe x  1  0‬ومنه المستقٌم ‪  d ‬مقارب مائل لــ ‪  C ‬بجوار ‪. ‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪ e x ‬‬
‫‪e x‬‬
‫‪ .3 lim f  x   ln x   lim ln 1 ‬ألنّ ‪ 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬

‫‪lim 1 ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪ .4‬دراسة تغ ٌّرات الدالة ‪. f‬‬
‫‪1  e x‬‬
‫‪x  e x‬‬

‫‪ f '  x  ‬؛ لدٌنا من أجل كل عدد حقٌقً ‪ x  e  x  0 ، x‬ومنه إشارة هً نفس إشارة ‪. 1  e  x‬‬

‫‪ٌ f '  x   0‬كافئ ‪x  0‬‬
‫‪ٌ f '  x   0‬كافئ ‪x  0‬‬

‫إذٌ اندانح ‪ f‬يرُالصح ذًايا عهٗ انًجال ‪ٔ ;0‬يرصا‪ٚ‬دج ذًايا عهٗ انًجال‬
‫جدول تغ ٌّرات الدالة ‪. f‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪+‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪0; ‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f 'x ‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪f x ‬‬

‫‪0‬‬
‫‪ .5‬رسم ‪  C  ،  d ‬و ‪   ‬حٌث ‪   ‬التمثٌل البٌانً للدالة ‪. x  ln x‬‬

‫‪45‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫‪y‬‬

‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬

‫)‪(C‬‬

‫‪1‬‬

‫‪8‬‬

‫‪x‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-8‬‬

‫‪-7‬‬

‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-6‬‬

‫التمرٌن السادس عشر ‪‬‬
‫‪-I‬ال ّدالة ‪ g‬معرّ فة على المجال ‪ 1; ‬بالعبارة‪. g  x    x  1  2  ln  x  1 :‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ -1‬ادرس اتجاه تغٌّر الدالة ‪ g‬على المجال ‪. 1; ‬‬
‫‪ -2‬بٌّن أنّ المعادلة ‪ g  x   0‬تقبل حال وحٌدا ‪ ‬حٌث‪ 0,31    0,32 :‬وأنّ ‪. ln   1  2    1 :‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ -3‬استنتج‪ ،‬حسب قٌّم ‪ x‬إشارة ‪. g  x ‬‬
‫‪-II‬ال ّدالة ‪ f‬معرّ فة على المجال ‪ 1; ‬بالعبارة‪. f  x    x  1   2  ln  x  1  :‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ C f‬منحنى ‪ f‬فً المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد المتجانس‬
‫‪ -1‬احسب ‪lim f  x ‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪‬‬

‫‪. O ;i , j‬‬

‫و ‪. lim f  x ‬‬

‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪2g  x ‬‬
‫‪ -2‬أثبت أ ّنه‪ ،‬من أجل كل ‪ x‬من ‪: 1; ‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ -3‬ادرس اتجاه تغٌّر الدالة ‪ ، f‬ث ّم شكل جدول تغٌّراتها‪.‬‬

‫‪. f ' x ‬‬

‫‪ -4‬بٌّن أنّ ‪ :‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ، f      1 1    1‬ث ّم استنتج حصرا للعدد ‪. f  ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ّ -5‬‬
‫مثل المنحنى ‪ C f ‬على المجال ‪. 1; 2‬‬
‫‪    -III‬المنحنى الممثل لل ّدالة ‪ h‬المعرّ فة على المجال ‪ 1; ‬بالعبارة‪. h  x   ln  x  1 :‬‬
‫‪ A‬النقطة ذات اإلحداثٌتٌن ‪  1; 2 ‬و ‪ M‬نقطة من ‪   ‬فاصلتها ‪. x‬‬
‫‪ -1‬أثبت أنّ المسافة ‪ AM‬تعطى بالعبارة ‪f  x ‬‬

‫‪. AM ‬‬

‫‪ -2‬ال ّدالة ‪ k‬معرّ فة على المجال ‪ 1; ‬بالعبارة‪. k  x   f  x  :‬‬
‫أ ـ بٌّن أنّ للدالتٌن ‪ k‬و ‪ f‬نفس اتجاه التغٌّر على المجال ‪. 1; ‬‬
‫ب ـ عٌّن إحداثٌتً النقطة ‪ B‬من ‪ ،   ‬بحٌث تكون المسافة ‪ AM‬أصغر ما ٌمكن‪.‬‬
‫جـ ـ بٌّن أنّ ‪ 1 :‬‬

‫‪2‬‬

‫‪  1‬‬

‫‪. AB    1‬‬

‫‪46‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫الحل‪‬‬
‫‪-I‬ال ّدالة ‪ g‬معرّ فة على المجال ‪ 1; ‬بالعبارة‪. g  x    x  1  2  ln  x  1 :‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ -1‬دراسة اتجاه تغ ٌّر الدالة ‪ g‬على المجال ‪. 1; ‬‬
‫ال ّدالة ‪ g‬تقبل على اإلشتقاق على ‪ 1; ‬ولدٌنا من أجل كل عدد حقٌقً ‪ x‬من المجال ‪: 1; ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x 1‬‬

‫‪g '  x   2  x  1 ‬‬

‫‪1‬‬
‫من أجل كل عدد حقٌقً ‪ x‬من المجال ‪ x  1  0 ، 1; ‬و ‪ 0‬‬
‫‪x 1‬‬

‫ومنه ‪ g '  x   0‬إذن الدالة ‪ g‬متزاٌدة‬

‫تماما على ‪. 1; ‬‬

‫‪-2‬تبٌٌن أنّ المعادلة ‪ g  x   0‬تقبل حال وحٌدا ‪ ‬حٌث‪ 0,31    0,32 :‬وأنّ ‪. ln   1  2    1 :‬‬
‫‪2‬‬

‫ال ّدالة ‪ g‬مستمرة على ‪ 1; ‬ألنها تقبل اإلشتقاق على ‪ 1; ‬وهً متزاٌدة تماما على هذا المجال و خاصة على‬
‫المجال ‪ 0,31;0,32‬ولدٌنا ‪ g  0,32   0,02 ، g  0,31  0,01‬أي ‪ g  0,31  g  0,32   0‬ومنه حسب‬
‫مبرهنة القٌم المتوسطة ٌوجد عدد حقٌقً وحٌد ‪ ‬من المجال ‪ 0,31;0,32‬بحٌث ‪g    0‬‬

‫‪ g    0‬معناه ‪   1  2  ln   1  0‬أي ‪. ln   1  2    1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ -3‬استنتاج‪ ،‬حسب ق ٌّم ‪ x‬إشارة ‪. g  x ‬‬
‫من أجل ‪ x  1; ‬لدٌنا ‪ g  x   g  ‬أي ‪g  x   0‬‬

‫ومن أجل ‪ x   ; ‬لدٌنا ‪ g  x   g  ‬أي ‪ g  x   0‬و ‪. g    0‬‬
‫‪-II‬ال ّدالة ‪ f‬معرّ فة على المجال ‪ 1; ‬بالعبارة‪. f  x    x  1   2  ln  x  1  :‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ C f‬منحنى ‪ f‬فً المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد المتجانس‬
‫‪-1‬حساب ‪lim f  x ‬‬

‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪‬‬

‫‪. O ;i , j‬‬

‫و ‪. lim f  x ‬‬
‫‪x ‬‬

‫لدٌنا ‪ lim  2  ln  x  1   ‬و ‪lim  x  1  ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪x ‬‬

‫إذن ‪. lim f  x   lim  x  1   2  ln  x  1   ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 2  ln  x  1 ‬‬

‫‪lim‬‬
‫‪‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫ومنه ‪ ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ x  1   2  ln  x  1 ‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪2g  x ‬‬
‫‪-2‬إثبات أ ّنه‪ ،‬من أجل كل ‪ x‬من ‪: 1; ‬‬
‫‪x 1‬‬
‫ال ّدالة ‪ f‬تقبل اإلشتقاق على ‪ 1; ‬ولدٌنا‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪. lim f  x   lim‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪x ‬‬
‫‪1‬‬

‫‪. f ' x ‬‬

‫‪2  2  ln  x  1  2  x  1  2  2  ln  x  1 ‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪f '  x   2  x  1  2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  2  ln  x  1   2  x  1 ‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ x 1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2  x  1  2  ln  x  1  2 g  x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪f 'x   ‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪47‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪-3‬دراسة اتجاه تغ ٌّر الدالة ‪. f‬‬
‫‪2‬‬
‫من أجل كل ‪ x‬من المجال ‪ 0 ، 1; ‬‬
‫‪x 1‬‬

‫ومنه إشارة ‪ f '  x ‬هً من نفس إشارة ‪. g  x ‬‬

‫أي ' ‪ f‬سالبة على ‪ 1; ‬وموجبة على ‪ ; ‬‬
‫نستنتج هكذا أنّ الدالة ‪ f‬متناقصة تماما على ‪1; ‬‬
‫جدول تغ ٌّرات الدالة ‪. f‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪+‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f 'x ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪f x ‬‬

‫‪f  ‬‬

‫‪-4‬تبٌٌن أنّ ‪ :‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪f      1 1    1‬‬
‫‪2‬‬

‫لدٌنا ‪ ln   1  2    1‬إذن‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫ومتزاٌدة تماما على ‪.  ; ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪f      1   2  ln   1     1  2  2    1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪f      1    1    1 1    1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫استنتج حصرا للعدد ‪. f  ‬‬
‫ا‬
‫‪ 0,31    0,32‬معناه ‪ٌ 1,31    1  1,32‬كافئ ‪ 1,7161    1  1,7424‬وٌكافئ‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 2,7161  1    1  2,7424‬ومنه ‪ 1, 7161 2, 7161    1 1    1  1, 7424  2, 7424‬أي‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪. 4,6611  f    4,7789‬‬
‫‪-5‬تمثٌل المنحنى ‪ C f ‬على المجال ‪. 1; 2‬‬
‫‪y‬‬

‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-7‬‬

‫‪-8‬‬

‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-6‬‬

‫‪    -III‬المنحنى الممثل لل ّدالة ‪ h‬المعرّ فة على المجال ‪ 1; ‬بالعبارة‪. h  x   ln  x  1 :‬‬
‫‪ A‬النقطة ذات اإلحداثٌتٌن ‪  1; 2 ‬و ‪ M‬نقطة من ‪   ‬فاصلتها ‪. x‬‬
‫‪-1‬إثبات أنّ المسافة ‪ AM‬تعطى بالعبارة ‪f  x ‬‬

‫‪. AM ‬‬

‫لدٌنا ‪ M  x ;ln  x  1 ‬ومنه‬
‫‪ f x ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ x  1   2  ln  x  1 ‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ x  1   ln  x  1  2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪AM ‬‬

‫‪48‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬

‫إعداد‪ :‬مصطفاي عبد العزٌز‬
‫سلسلة تمارٌن محلولة فً الدوال اللوغارتمٌة‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

‫‪ -2‬ال ّدالة ‪ k‬معرّ فة على المجال ‪ 1; ‬بالعبارة‪. k  x   f  x  :‬‬
‫أ ـ تبٌٌن أنّ للدالتٌن ‪ k‬و ‪ f‬نفس اتجاه التغ ٌّر على المجال ‪. 1; ‬‬
‫الدالة ‪ f‬تقبل اإلشتقاق على ‪ 1; ‬وهً موجبة على هذا المجال إذن الدالة ‪ k‬تقبل اإلشتقاق على‬
‫ولدٌنا‬

‫‪f 'x ‬‬
‫‪2 f x ‬‬

‫‪1; ‬‬

‫‪k 'x  ‬‬

‫من أجل كل ‪ x‬من المجال ‪ 2 f  x   0 ، 1; ‬ومنه إشارة ‪ k '  x ‬هً نفس إشارة ‪ f '  x ‬وبالتالً للدالتٌن ‪k‬‬

‫و ‪ f‬نفس اتجاه التغٌّر على المجال ‪. 1; ‬‬
‫مالحظة‪ٌ :‬مكن إتباع طرٌقة اتجاه تغٌر مركب دالتٌن‪.‬‬
‫ب ـ تعٌٌن إحداثٌتً النقطة ‪ B‬من ‪ ،   ‬بحٌث تكون المسافة ‪ AM‬أصغر ما ٌمكن‪.‬‬
‫لدٌنا ال ّدالة ‪ k‬متناقصة تماما على ‪ 1; ‬ومتزاٌدة تماما على ‪  ; ‬فهً تقبل قٌمة حدٌة صغرى على المجال‬
‫‪ 1; ‬تبلغها من أجل ‪ x  ‬ومنه ‪ AM‬تكون أصغر ما ٌمكن من أجل ‪ x  ‬أي عند النقطة ‪B  ;ln   1 ‬‬

‫جـ ـ تبٌٌن أنّ ‪ 1 :‬‬
‫‪2‬‬

‫‪1    1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪  1‬‬

‫‪. AB    1‬‬

‫‪1    1     1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪AB  k    f   ‬‬

‫‪  1‬‬

‫التمرٌن السابع عشر ‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪َ-I‬عرثس ان ّدانح ‪ g‬انًعسّ فح عهٗ ‪ ℝ‬تانعثازج‪:‬‬
‫‪1  ex‬‬

‫‪. g  x   ln 1  e x  ‬‬

‫‪ -1‬اُحسب ‪ lim g  x ‬و ‪. lim g  x ‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪ -2‬ادرس اتجاه تغٌّر ال ّدالة ‪ g‬وشكل جدول تغٌّراتها‪.‬‬
‫‪ -3‬استنتج إشارة ‪ g  x ‬على ‪.ℝ‬‬
‫‪ -II‬نركٍ اندانح ‪ f‬انًعسّ فح عهٗ ‪ ℝ‬تانشكم‪. f  x   e x ln 1  e x  :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ -1‬اُحسب ‪ًٚ ( lim f  x ‬كٍ ٔضع‬
‫‪x ‬‬
‫‪ex‬‬

‫‪.) t ‬‬

‫‪-2‬بٌّن أ ّنه‪ ،‬من أجل كل عدد حقٌقً ‪. f  x    xe x  e x ln 1  e x  : x‬‬
‫ـ استنتج ‪. lim f  x ‬‬
‫‪x ‬‬

‫‪ -3‬ادرس اتجاه تغٌّر ال ّدالة ‪ f‬وشكل جدول تغٌّراتها‪.‬‬
‫ـ استنتج مجموعة صور ‪ ℝ‬بواسطة الدالة ‪. f‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ -4‬بٌّن أنّ المعادلة‪:‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ -5‬ارسم‬

‫‪‬‬

‫‪ f  x  ‬تقبل حال وحٌدا ‪. ‬‬

‫‪ C f‬منحنى الدالة ‪ f‬فً مستو مزود بمعلم متعامد ومتجانس‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪‬‬

‫‪. O ;i , j‬‬

‫‪ -6‬ناقش بٌانٌا‪ ،‬حسب قٌّم الوسٌط الحقٌقً ‪ m‬عدد حلول المعادلة‪. e x ln 1  e x   m  0 :‬‬

‫‪49‬‬
‫سر النجاح أن تكون مخلصاً ألهدافك‬

‫‪aziz_mus1@hotmail.fr‬‬


Documents similaires


fichier pdf sans nom 1
math sc exp 2014
resume continuite dune fonct
examen s4 lmd 2012 2013 2
3 2


Sur le même sujet..