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Cours Mécanique Rationnelle .pdf



Nom original: Cours Mécanique Rationnelle.pdf
Titre: UNIVERSITÉ SORBONNE NOUVELLE – PARIS 3
Auteur: Ali

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Université Djilali Bounaama Khemis Miliana
Institut des Sciences et Techniques

MECANIQUE RATIONNELLE
COURS ET EXERCICES

Ali MAHIEDDINE
Maître de conferences

Septembre 2014

Sommaire

INTRODUCTION ............................................................................................................................................................ 7
1.

OUTILS MATHEMATIQUES.............................................................................................................................. 9
1.1.

VECTEUR LIBRE ............................................................................................................................................... 9

1.2.

PRODUIT SCALAIRE .......................................................................................................................................... 9

1.3.

BASE ................................................................................................................................................................ 9

1.4.

CHANGEMENT DE BASE ORTHONORMEE ......................................................................................................... 10

1.5.

PRODUIT VECTORIEL ...................................................................................................................................... 10

1.5.1.

Définition .................................................................................................................................................. 10

1.5.2.

Double produit vectoriel........................................................................................................................... 10

1.5.3.

Produit mixte ............................................................................................................................................ 10

1.5.4.

Division vectorielle ................................................................................................................................... 11

1.6.

VECTEUR LIE ET SYSTEME VECTORIEL .......................................................................................................... 11

1.6.1.

Vecteur lié................................................................................................................................................. 11

1.6.2.

Moment d’un vecteur lié ........................................................................................................................... 11

1.6.3.

Système vectoriel ...................................................................................................................................... 11

1.6.4.

Moment d’un système vectoriel ................................................................................................................ 12

1.7.

2.

TORSEUR........................................................................................................................................................ 12

1.7.1.

Définition .................................................................................................................................................. 12

1.7.2.

Propriété des torseurs .............................................................................................................................. 12

1.7.2.1.

Égalité ............................................................................................................................................................. 12

1.7.2.2.

Somme ............................................................................................................................................................ 13

1.7.2.3.

Multiplication par un scalaire .......................................................................................................................... 13

1.7.2.4.

Torseur nul ...................................................................................................................................................... 13

1.7.2.5.

Produit scalaire de deux torseurs ..................................................................................................................... 13

1.8.

DERIVATION D'UN VECTEUR PAR UN OPERATEUR DONNE ............................................................................... 13

1.9.

EXERCICES ..................................................................................................................................................... 14

STATIQUE ............................................................................................................................................................ 17
2.1.

INTRODUCTION .............................................................................................................................................. 17

2.2.

NOTIONS FONDAMENTALES DE LA STATIQUE ................................................................................................. 17

2.2.1.

Point matériel ........................................................................................................................................... 17

2.2.2.

Corps solide parfait .................................................................................................................................. 17

2.2.3.

Force ........................................................................................................................................................ 17

2.2.4.

Moment d’une force par rapport à un point ............................................................................................. 18

2.3.

TORSEURS DES FORCES EXTERIEURES ............................................................................................................ 19

2.4.

CONDITION D’EQUILIBRE STATIQUE ............................................................................................................... 20

2.4.1.

Cas Général .............................................................................................................................................. 20

2.4.2.

Condition d’équilibre analytique.............................................................................................................. 20

2.5.

LES LIAISONS ET LES REACTIONS.................................................................................................................... 21

2.5.1.

Définition .................................................................................................................................................. 21

2.5.2.

Axiome des liaisons .................................................................................................................................. 21

2.5.3.

Différents types des liaisons et de réactions ............................................................................................. 22

2.6.

QUELQUES OPERATIONS SUR LES FORCES....................................................................................................... 23

2.6.1.

Résultante de deux forces concourantes ................................................................................................... 23

2.6.2.

Résultante de plusieurs forces concourantes ............................................................................................ 24

2.6.2.1.

Méthode du parallélogramme des forces ......................................................................................................... 24

2.6.2.2.

Règle du polygone des forces .......................................................................................................................... 24

2.6.2.3.

Condition d’équilibre géométrique.................................................................................................................. 25

2.6.3.

2.6.3.1.

Décomposition suivant deux directions........................................................................................................... 25

2.6.3.2.

Décomposition suivant trois directions ........................................................................................................... 26

2.6.3.3.

Décomposition d'une force si un point de la ligne d’action est connu ............................................................. 27

2.6.4.

Décomposition analytique d’une force ..................................................................................................... 28

2.6.5.

Cas général du moment d’une force ......................................................................................................... 28

2.6.5.1.

Moment d’une force par rapport à un axe ....................................................................................................... 28

2.6.5.2.

Théorème de VARIGNON .............................................................................................................................. 30

2.7.

ÉQUILIBRE DES SOLIDES EN PRESENCE DU FROTTEMENT ................................................................................ 30

2.7.1.

Frottement de glissement .......................................................................................................................... 30

2.7.1.1.

Force de frottement statique ............................................................................................................................ 31

2.7.1.2.

Force de frottement cinématique ..................................................................................................................... 31

2.7.2.

Angle de frottement................................................................................................................................... 32

2.7.3.

Frottement de roulement .......................................................................................................................... 32

2.7.4.

Frottement d’un câble sur une poulie....................................................................................................... 34

2.8.
3.

Décomposition géométrique d’une force .................................................................................................. 25

EXERCICES ..................................................................................................................................................... 34

GEOMETRIE DES MASSES .............................................................................................................................. 37
3.1

INTRODUCTION ................................................................................................................................................... 37

3.2

MASSE D’UN SYSTEME MATERIEL ....................................................................................................................... 37

3.2.1

Système discret ......................................................................................................................................... 37

3.2.2

Système continu ........................................................................................................................................ 37

3.3

CENTRE D’INERTIE .............................................................................................................................................. 38

3.3.1

Définition .................................................................................................................................................. 38

3.3.2

Symétries matérielles ................................................................................................................................ 38

3.3.3

Théorèmes de Guldin ................................................................................................................................ 38

3.4

3.3.3.1.

Centre d'inertie d'une courbe plane.................................................................................................................. 38

3.3.3.2.

Centre d'inertie d'une surface plane ................................................................................................................. 39

MOMENT D’INERTIE, OPERATEUR D’INERTIE ....................................................................................................... 40

3.4.1

Définition .................................................................................................................................................. 40

3.4.2

Matrice d’inertie ....................................................................................................................................... 40

3.4.3.

Cas particuliers ........................................................................................................................................ 41

3.4.2.1

Le système présente certains plans de symétrie .................................................................................................... 41

3.4.2.2

Le système est un corps de révolution autour de l'axe Oz .................................................................................... 42

3.4.4.

Axes principaux d’inertie.......................................................................................................................... 42

3.4.5.

Théorème de Huygens .............................................................................................................................. 42

3.4.6.

Moment d’inertie par rapport à une droite quelconque ∆ ........................................................................ 44

3.4.7.

4.

Produit d’inertie par rapport à deux droites perpendiculaires ................................................................ 44

3.5

CENTRES ET MATRICES D’INERTIE POUR QUELQUES SOLIDES .............................................................................. 45

3.6

EXERCICES.......................................................................................................................................................... 47

CINEMATIQUE ................................................................................................................................................... 49
4.1.

INTRODUCTION .............................................................................................................................................. 49

4.2.

CINEMATIQUE DU POINT................................................................................................................................. 49

4.2.1.

Trajectoire ................................................................................................................................................ 49

4.2.2.

Vecteur vitesse .......................................................................................................................................... 49

4.2.3.

Vecteur accélération ................................................................................................................................. 50

4.3.

CINEMATIQUE DU SOLIDE............................................................................................................................... 50

4.3.1.

Définitions ................................................................................................................................................ 50

4.3.1.1.

Notion d'un solide parfait ................................................................................................................................ 50

4.3.1.2.

Mouvement de translation d’un solide ............................................................................................................ 50

4.3.1.3.

Mouvement de rotation d’un solide ................................................................................................................. 50

4.3.2.

Repérage d’un solide ................................................................................................................................ 50

4.3.3.

Matrice de passage de 𝑹 à 𝑹𝒐 ................................................................................................................. 51

4.3.3.1.

Angle de précession ........................................................................................................................................ 51

4.3.3.2.

Angle de nutation ............................................................................................................................................ 52

4.3.3.3.

Angle de rotation propre.................................................................................................................................. 53

4.3.4.

Torseur cinématique – distribution des vitesses ....................................................................................... 54

4.3.5.

Champ des accélérations d'un solide ....................................................................................................... 55

4.3.6.

Axe instantané de rotation ........................................................................................................................ 56

4.3.7.

Cas particulier de mouvements ................................................................................................................ 56

4.3.7.1.

Mouvement de translation ............................................................................................................................... 56

4.3.7.2.

Mouvement de rotation autour d'un axe .......................................................................................................... 57

4.3.7.3.

Mouvement hélicoïdal ..................................................................................................................................... 58

4.4.

COMPOSITION DE MOUVEMENTS......................................................................................................... 58

4.4.1.

Dérivation composée ................................................................................................................................ 58

4.4.2.

Composition de vitesses ............................................................................................................................ 59

4.4.3.

Composition des taux de rotation instatanés ............................................................................................ 60

4.4.4.

Composition d’accélérations .................................................................................................................... 61

4.5.
4.5.1.

LES LIAISONS ................................................................................................................................................. 62
Définitions ................................................................................................................................................ 62

4.5.2.

4.5.2.1.

Vitesse de glissement ...................................................................................................................................... 63

4.5.2.2.

Plan tangent ..................................................................................................................................................... 63

4.5.2.3.

Roulement sans glissement ............................................................................................................................. 63

4.5.2.4.

Roulement et pivotement................................................................................................................................. 63

4.6.

MOUVEMENT PLAN SUR PLAN .............................................................................................................. 64

4.6.1.

Définition .................................................................................................................................................. 64

4.6.2.

Centre instantané de rotation ................................................................................................................... 64

4.6.3.

Base et roulante ........................................................................................................................................ 64

4.7.
5.

EXERCICES ..................................................................................................................................................... 65

CINETIQUE ......................................................................................................................................................... 67
5.1.

INTRODUCTION .............................................................................................................................................. 67

5.2.

GRANDEURS ASSOCIEES AUX VITESSES .......................................................................................................... 67

5.2.1.

Quantité de mouvement, moment cinétique .............................................................................................. 67

5.2.1.1.

Point matériel .................................................................................................................................................. 67

5.2.1.2.

Ensemble de points matériels .......................................................................................................................... 67

5.2.1.3.

Système matériel continu ................................................................................................................................ 67

5.2.2.

Torseur cinétique ...................................................................................................................................... 67

5.2.2.1.

Définition ........................................................................................................................................................ 67

5.2.2.2.

Calcul de la résultante ..................................................................................................................................... 68

5.2.2.3.

Théorème de Koenig relatif au moment cinétique........................................................................................... 68

5.2.2.4.

Moment cinétique d'un solide indéformable en G (centre d'inertie) ................................................................ 69

5.2.2.5.

Moment cinétique d'un solide indéformable en un point de vitesse nulle ....................................................... 70

5.2.3.

Energie cinétique ...................................................................................................................................... 70

5.2.3.1.

Définition ........................................................................................................................................................ 70

5.2.3.2.

Théorème de Koenig relatif à l'énergie cinétique ............................................................................................ 70

5.2.3.3.

L'énergie cinétique d'un solide indéformable .................................................................................................. 71

5.3.

GRANDEURS ASSOCIEES AUX ACCELERATIONS .............................................................................................. 72

5.3.1.

Torseur dynamique ................................................................................................................................... 72

5.3.1.1.

Définition ........................................................................................................................................................ 72

5.3.1.2.

Calcul de la résultante dynamique ................................................................................................................... 72

5.3.1.3.

Théorème de Koenig relatif au moment dynamique ....................................................................................... 73

5.3.1.4.

Calcul du moment dynamique ......................................................................................................................... 73

5.4.
6.

Solides en contact ponctuel ...................................................................................................................... 62

EXERCICES ..................................................................................................................................................... 74

DYNAMIQUE ....................................................................................................................................................... 77
6.1.

INTRODUCTION .............................................................................................................................................. 77

6.2.

TORSEUR D’ACTION ....................................................................................................................................... 77

6.3.

PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE ................................................................................................. 77

6.3.1.

Rappel de la dynamique des particules .................................................................................................... 77

6.3.1.1.

Première loi de Newton ................................................................................................................................... 78

6.3.1.2.

Deuxième loi de Newton ................................................................................................................................. 78

6.3.1.3.

6.3.2.

Troisième loi de Newton ................................................................................................................................. 78

Principe fondamental de la dynamique pour un système matériel ........................................................... 79

6.3.2.1.

Théorème de la résultante dynamique ............................................................................................................. 79

6.3.2.2.

Théorème du moment cinétique ou moment dynamique ................................................................................. 79

6.3.2.3.

Solide mobile autour d'un axe fixe 𝚫............................................................................................................... 79

6.4.

ENERGIE CINETIQUE ....................................................................................................................................... 79

6.4.1.

Puissance et travail d'une force................................................................................................................ 79

6.4.2.

Cas des solides indéformables .................................................................................................................. 80

6.4.3.

Théorème de l'énergie cinétique ............................................................................................................... 80

6.5.

6.4.3.1.

Cas d'un système discontinu ............................................................................................................................ 80

6.4.3.2.

Cas du solide indéformable (continu).............................................................................................................. 81

6.4.3.3.

Conservation de l'énergie mécanique .............................................................................................................. 81

EXERCICES ..................................................................................................................................................... 81

Introduction
La Mécanique Rationnelle est une science située à la frontière entre les mathématiques et la
physique. Elle permet d’étudier et d’effectuer des prédictions dans l'étude de l'état de repos ou de
mouvement des corps sous l'action des forces auxquelles ils sont soumis.
Dans ce cours, on décrit les grands principes de la mécanique classique en restreignant
volontairement les applications aux seuls solides indéformables ou des systèmes articulés de solides
indéformables qui constituent dans un grand nombre de situations une modélisation satisfaisante de
systèmes réels.
La théorie générale s’articule autour des concepts d’espace ou se déroulent les phénomènes
étudiés, de temps pour décrire l’évolution des positions occupées par la matière, de masse et
d’effort causes de mouvements ou de déformation des systèmes matériel.
La mécanique rationnelle se divise en trois grandes parties. La statique qui est l’étude de
l’équilibre des systèmes matériels, La cinématique qui est l’étude des mouvements en fonction du
temps, indépendamment des causes qui les provoquent et enfin la dynamique qui se propose
d’étudier le mouvement des corps matériels en liaison avec les forces qui s’exercent sur les corps.
Pour une modélisation complète d’un problème de mécanique, il est important de définir
précisément le système, ou la partie du système, étudié et les inconnues du problème avant
d’appliquer les théorèmes fondamentaux issus du principe fondamental de la dynamique.

Chapitre I
OUTILS MATHEMATIQUES

8

1. OUTILS MATHEMATIQUES
La modélisation de l’espace physique qui, dans le cadre de la mécanique classique, peut être
considéré comme étant à trois dimensions, homogène et isotrope, suppose l’introduction de
concepts et formules mathématiques tel que les vecteurs et les torseurs. L’utilisation des torseurs en
mécanique permet de simplifier l’écriture et clarifier la présentation des grandeurs mécaniques
fondamentales.

1.1.

Vecteur libre

L’espace physique ou se meuvent les systèmes matériels est représenté par l’espace métrique
tridimensionnel de la géométrie classique d’Euclide qu’on notera E3 .

Les éléments de E3 sont des points dont des quantités de matière petites leur sont associées. A
un couple ordonné de points (P, Q) de E3 , correspond un élément v
�⃗ d’un espace vectoriel
Euclidien :
(𝑃, 𝑄) → 𝑣⃗ = �����⃗
𝑃𝑄

(1.1)

Cette application a les propriétés suivantes :


�����⃗ = −𝑄𝑃
�����⃗
𝑃𝑄
�����⃗
𝑃𝑄 = ������⃗
𝑃𝑀 + ������⃗
𝑀𝑄

(1.2)

Il existe une infinité de points (P, Q) correspondant au même vecteur. Ces vecteurs sont appelés
vecteurs libres.

1.2.

Produit scalaire

Pour un couple (v
�⃗1 , v
�⃗2 ) de vecteurs de E3 , on peut correspondre un nombre réel appelé produit
�⃗1 par �v⃗2 et noté v
�⃗1 ∙ v
�⃗2 . Il s’écrit :
scalaire de v
-

1.3.

𝑣⃗1 ∙ 𝑣⃗2 = ‖𝑣⃗1 ‖ ∙ ‖𝑣⃗2 ‖ ∙ cos(𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 )

(1.3)

On note 𝑣⃗ 2 = 𝑣⃗ ∙ 𝑣⃗ et on appelle ‖𝑣⃗‖ module de 𝑣⃗.
Un vecteur est unitaire si son module est égal à 1.
Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul

Base

On appelle base de E3 un ensemble de trois vecteurs u
�⃗1 , u
�⃗2 , u
�⃗3 tels que tout vecteur v
�⃗ de E3 soit
d’une manière et une seule une combinaison linéaire de u
�⃗1, u
�⃗2, u
�⃗3 .
La base (u
�⃗1 , u
�⃗2 , u
�⃗3 ) est orthonormée si et seulement si �u⃗i ∙ u
�⃗j = δij (δ est le delta de Kronecker).
Pour une base orthonormée de E3 on peut écrire ∀ v
�⃗ ∈ E3 :

3

𝑣⃗ = 𝑣1 𝑢
�⃗1 + 𝑣2 𝑢
�⃗2 + 𝑣3 𝑢
�⃗3 = � 𝑣𝑖 𝑢
�⃗𝑖

(1.4)

𝑖=1

9

On dit que v1 , v2 , v3 sont les composantes de v
�⃗ dans la base orthonormée (u
�⃗1 , u
�⃗2 , u
�⃗3 ). Les
)
(u
vecteurs �⃗1 , u
�⃗2 , u
�⃗3 constituent une base orthonormée ; v1 , v2 , v3 sont les projections orthogonales
de �v⃗ sur les trois vecteurs de base :
𝑣𝑖 = 𝑣⃗ ∙ 𝑒⃗𝑖 = ‖𝑣⃗‖ ∙ cos(𝑣⃗, 𝑒⃗𝑖 )

1.4.

(1.5)

Changement de base orthonormée

Tout vecteur d’une base peut être exprimé dans une autre base et réciproquement :
{𝑣⃗ ′ } = [𝛼]{𝑣⃗}

Ou :

𝑣⃗1′ = 𝛼11 𝑣⃗1 + 𝛼12 𝑣⃗2 + 𝛼13 𝑣⃗3
�𝑣⃗2′ = 𝛼21 𝑣⃗1 + 𝛼22 𝑣⃗2 + 𝛼23 𝑣⃗3
𝑣⃗3′ = 𝛼31 𝑣⃗1 + 𝛼32 𝑣⃗2 + 𝛼33 𝑣⃗3

(1.6)

(1.7)

Où �v⃗i ∙ v
�⃗j′ = αij sont les cosinus directeurs de {v
�⃗ ′ } dans {v
�⃗} et [α] est la matrice des cosinus

directeurs de {v
�⃗ } dans {v
�⃗}.

1.5.

Produit vectoriel

1.5.1. Définition
Soient v
�⃗, �w
��⃗, x�⃗ trois vecteurs quelconques de l’espace vectoriel à trois dimensions qui sont
rapportés à une base (u
�⃗1 , u
�⃗2 , u
�⃗3 ) orthonormée et directe.
Le produit vectoriel �v⃗ ∧ �w
��⃗ s’écrit :

-

𝑣2 𝑤3 − 𝑣3 𝑤2
𝑣⃗1
𝑤
��⃗1
𝑣⃗ ∧ 𝑤
��⃗ = �𝑣⃗2 � ∧ �𝑤
��⃗2 � = �𝑣3 𝑤1 − 𝑣1 𝑤3 �
𝑣1 𝑤2 − 𝑣2 𝑤1
𝑣⃗3
𝑤
��⃗3

(1.8)

Notons que si 𝑣⃗ ∧ 𝑤
��⃗ = 𝑥⃗, on aura 𝑣⃗ ⊥ 𝑥⃗ et 𝑤
��⃗ ⊥ 𝑥⃗
Le produit vectoriel est anticommutatif : 𝑣⃗ ∧ 𝑤
��⃗ = −𝑤
��⃗ ∧ 𝑣⃗
Le produit vectoriel est déterminé autrement :
𝑣⃗ ∧ 𝑤
��⃗ = (‖𝑣⃗‖ ∙ ‖𝑤
��⃗‖ ∙ sin(𝑣⃗, 𝑤
��⃗)) ∙ 𝑢
�⃗

(1.9)

�⃗ étant le vecteur unitaire du produit vectoriel �v⃗ ∧ �w
u
�⃗ dirigé perpendiculairement à v
�⃗ et �w
�⃗.

1.5.2. Double produit vectoriel

Le double produit vectoriel de trois vecteurs v
�⃗ ∧ (w
��⃗ ∧ �x⃗) est exprimé par la relation suivante :
1.5.3. Produit mixte

𝑣⃗ ∧ (𝑤
��⃗ ∧ 𝑥⃗) = (𝑥⃗ ∙ 𝑣⃗) ∙ 𝑤
��⃗ − (𝑤
��⃗ ∙ 𝑣⃗) ∙ 𝑥⃗

(1.10)

Le produit mixte de trois vecteurs est écrit par v
�⃗ ∙ (w
��⃗ ∧ �x⃗), on peut l’exprimer par :
10

1.5.4. Division vectorielle

𝑣⃗ ∙ (𝑤
��⃗ ∧ 𝑥⃗) = 𝑥⃗ ∙ (𝑣⃗ ∧ 𝑤
��⃗) = 𝑤
��⃗ ∙ (𝑥⃗ ∧ 𝑣⃗)

(1.11)

���⃗
w

Si x�⃗ ∧ v
�⃗ = �w
��⃗, on dit que �x⃗ est le résultat de la division vectorielle �w
��⃗ par v
�⃗ ( v�⃗ ).
S’il existe un réel positif λ, le résultat de la division s’écrit :

1.6.

𝑥⃗ =

𝑣⃗ ∧ 𝑤
��⃗
+ 𝜆𝑣⃗
‖𝑣⃗‖2

(1.12)

Vecteur lié et Système Vectoriel

1.6.1. Vecteur lié
Un vecteur lié est un objet géométrique caractérisé par un vecteur libre �v⃗ et un point P : (P, v
�⃗).

La droite issue de P ayant v
�⃗ pour vecteur directeur est le support du vecteur lié (P, v
�⃗). Cette
droite est aussi appelée axe Pv
�⃗.
En mécanique, les forces sont des exemples de vecteurs liés.

1.6.2. Moment d’un vecteur lié
Le moment d’un vecteur lié (P, �v⃗) par rapport à un point O est exprimé par :
��⃗𝑜 (𝑃, 𝑣⃗) = �����⃗
𝑀
𝑂𝑃 ∧ 𝑣⃗

(1.13)

���⃗o (P, v
M
�⃗) est un vecteur libre fonction du point O.

Le moment d’un vecteur lié (P, �v⃗) par rapport à un axe (Δ) est :
��⃗Δ (𝑃, 𝑣⃗) = �𝑀
��⃗𝑜 (𝑃, 𝑣⃗)� 𝑢
𝑀
�⃗

(1.14)

O est un point quelconque de l’axe (Δ) et �u⃗ est le vecteur directeur de l’axe (Δ).

1.6.3. Système vectoriel

Un système vectoriel (S) est un ensemble de n vecteurs liés. On écrit symboliquement :
(𝑆) = �(𝑃𝑖 , 𝑣⃗𝑖 )

(1.15)

𝑖

Un tel système n’admet de somme géométrique que si les vecteurs sont concourants. En effet,
l’addition (P1 , v
�⃗1 ) + (P2 , v
�⃗2 ) + ⋯ n’a pas de sens.
Par définition, on appelle résultante (ou somme) de (S) le vecteur libre �R⃗ tel que :
𝑅�⃗ = 𝑣⃗1 + 𝑣⃗2 + 𝑣⃗3 + ⋯ + 𝑣⃗𝑛 = � 𝑣⃗𝑖

(1.16)

𝑖=1

11

1.6.4. Moment d’un système vectoriel
Le moment d’un système vectoriel (S) par rapport à un point O est le vecteur libre fonction du
point O :
��⃗𝑜 = � �����⃗
𝑀
𝑂𝑃𝑖 ∧ 𝑣⃗𝑖

(1.17)

��⃗𝑜′ (𝑆) = 𝑀
��⃗𝑜 (𝑆) + �������⃗
𝑀
𝑂′ 𝑂 ∧ 𝑅�⃗ (𝑆)

(1.18)

𝑖

On démontre que, lors d’un changement d’origine, on a la relation :

Cette relation définit un champ de vecteurs dit champ de moment ou champ de vecteurs
antisymétrique.

1.7.

Torseur

1.7.1. Définition
Le torseur est une grandeur mathématique très utilisée en mécanique. Le torseur [τ] d’un
système vectoriel (S), est formé :
-

de sa résultante 𝑅�⃗ (vecteur libre)
��⃗ fonction du point, appelé moment.
d’un champ antisymétrique 𝑀

Sa représentation en un point O est notée :

[𝜏]𝑜 = �

𝑅�⃗

��⃗𝑜
𝑀

(1.19)

Quelque soit le point d’application, la résultante du torseur ne varie pas. Cependant, le moment
dépend du point auquel il est exprimé.
La propriété la plus importante des torseurs est la règle de transport des moments (ou
distribution des moments) qui caractérise un champ des vecteurs antisymétrique.
1.7.2. Propriété des torseurs
Soit :

Et :

[𝜏]𝑜1 = �

On a alors les propriétés suivantes :

[𝜏]𝑜2 = �

𝑅�⃗1

��⃗𝑜1
𝑀
𝑅�⃗2

��⃗𝑜2
𝑀

(1.20)

(1.21)

1.7.2.1. Égalité
Deux torseurs sont égaux si :

12

��⃗𝑜1 = 𝑀
��⃗𝑜2
[𝜏]𝑜1 = [𝜏]𝑜2 ⟺ 𝑅�⃗1 = 𝑅�⃗2 et 𝑀

1.7.2.2. Somme

(1.22)

La résultante et le moment de la somme de deux torseurs sont respectivement la somme des
deux résultantes et la somme des deux moments (exprimés en même point).
��⃗𝑜 = 𝑀
��⃗𝑜1 + 𝑀
��⃗𝑜2
[𝜏]𝑜 = [𝜏]𝑜1 + [𝜏]𝑜2 ⟺ 𝑅�⃗ = 𝑅�⃗1 + 𝑅�⃗2 et 𝑀

(1.23)

1.7.2.3. Multiplication par un scalaire

La multiplication d’un torseur par un scalaire est égale à :
𝜆[𝜏]𝑜 = �

1.7.2.4. Torseur nul

𝜆𝑅�⃗

��⃗𝑜
𝜆𝑀

(1.24)

Un torseur est nul si et seulement si sa résultante et son moment sont nuls.
��⃗𝑜 = �0⃗
[𝜏]𝑜 = 0 ⟺ 𝑅�⃗ = �0⃗ et 𝑀

(1.25)

1.7.2.5. Produit scalaire de deux torseurs

Le produit scalaire de deux torseurs [τ]A et [τ]B est donné par :

1.8.

[𝜏]𝐴 ∙ [𝜏]𝐵 = �

𝑅�⃗𝐴
𝑅�⃗
��⃗𝐵 + 𝑅�⃗𝐵 𝑀
��⃗𝐴
� ∙ � 𝐵 � = 𝑅�⃗𝐴 ∙ 𝑀
��⃗𝐴
��⃗𝐵
𝑀
𝑀

(1.26)

Dérivation d'un vecteur par un opérateur donné

Soit la fonction variable en fonction du temps :
���⃗ (𝑡) = 𝑥𝑜 (𝑡)𝑥⃗𝑜 + 𝑦𝑜 (𝑡)𝑦⃗𝑜 + 𝑧𝑜 (𝑡)𝑧⃗𝑜
𝑊

(1.27)

exprimée dans le repère fixe R o (O, x�⃗o , y
�⃗o , z⃗ o ).
-

la dérivée de cette fonction vectorielle dans le temps est :

-

���⃗ (𝑡)
𝑑𝑊
(1.28)
���⃗ ′ (𝑡)
=𝑊
𝑑𝑡
la dérivée du produit d’une fonction variable et une fonction vectorielle dans le temps 𝑡 est :

-

-

���⃗ � 𝑑𝑓
���⃗
𝑑�𝑓𝑊
𝑑𝑊
���⃗ + 𝑓
=
𝑊
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
la dérivée du produit scalaire de deux fonctions vectorielles dans le temps 𝑡 est :
�⃗ ∙ 𝑉
�⃗ � 𝑑𝑈
�⃗
�⃗
𝑑�𝑈
𝑑𝑉
�⃗ + 𝑈
�⃗
=
𝑉
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
la dérivée du produit vectorielle de deux fonctions dans le temps 𝑡 est :

(1.29)

(1.30)

13

-

-

�⃗ ∧ 𝑉
�⃗ � 𝑑𝑈
�⃗
�⃗
𝑑�𝑈
𝑑𝑉
(1.31)
�⃗ + 𝑈
�⃗ ∧
=
∧𝑉
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
���⃗ (𝑡) exprimée dans 𝑅𝑜 (𝑂, 𝑥⃗𝑜 , 𝑦⃗𝑜 , 𝑧⃗𝑜 ) est :
La dérivée par rapport au repère fixe 𝑅𝑜 de 𝑊
���⃗ (𝑡)
𝑑𝑅𝑜 𝑊
(1.32)
= 𝑥̇ 𝑜 (𝑡)𝑥⃗𝑜 + 𝑦̇𝑜 (𝑡)𝑦⃗𝑜 + 𝑧̇𝑜 (𝑡)𝑧⃗𝑜
𝑑𝑡
���⃗(t)
La dérivée par rapport au repère fixe R o (O, x�⃗ o , y
�⃗o , z⃗ o ) d’une fonction vectorielle W
exprimée dans le repère mobile 𝑅(𝑂, 𝑥⃗, 𝑦⃗, 𝑧⃗) tels que :
���⃗ (𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑥⃗ + 𝑦(𝑡)𝑦⃗ + 𝑧(𝑡)𝑧⃗
𝑊

(1.33)

En appliquant les règles de dérivation d'un vecteur :

���⃗ (𝑡)
𝑑𝑅𝑜 𝑊
𝑑 𝑅𝑜 𝑥⃗
𝑑 𝑅𝑜 𝑦⃗
𝑑 𝑅𝑜 𝑧⃗
= 𝑥̇ (𝑡)𝑥⃗ + 𝑦̇ (𝑡)𝑦⃗ + 𝑧̇ (𝑡)𝑧⃗ + 𝑥
+𝑦
+𝑧
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
D'après la formule de la base mobile :

��⃗R/R
Le vecteur Ω
o
repère 𝑅𝑜 .

1.9.

(1.34)

𝑑 𝑅𝑜 𝑥⃗
��⃗R/R ∧ 𝑥⃗
(1.35)

o
𝑑𝑡
𝑑𝑅𝑜 𝑦⃗
�⃗R/R ∧ 𝑦⃗
(1.36)
= �Ω
o
𝑑𝑡
𝑑 𝑅𝑜 𝑧⃗
��⃗R/R ∧ 𝑧⃗
(1.37)

o
𝑑𝑡
est appelé vecteur taux de rotation du repère 𝑅(𝑂, 𝑥⃗, 𝑦⃗, 𝑧⃗) par rapport au

���⃗ (𝑡) 𝑑𝑅 𝑊
���⃗ (𝑡)
𝑑𝑅𝑜 𝑊
𝑑 𝑅𝑜 𝑥⃗
𝑑 𝑅𝑜 𝑦⃗
𝑑 𝑅𝑜 𝑧⃗
(1.38)
=
+ 𝑥(𝑡)
+ 𝑦(𝑡)
+ 𝑧(𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
���⃗ (𝑡) 𝑑 𝑅 𝑊
���⃗ (𝑡)
𝑑 𝑅𝑜 𝑊
��⃗R/R ∧ 𝑥⃗� + 𝑦(𝑡)�Ω
��⃗R/R ∧ 𝑦⃗�
=
+ 𝑥(𝑡)�Ω
o
o
(1.39)
𝑑𝑡
𝑑𝑡

�⃗
+ 𝑧(𝑡)�ΩR/Ro ∧ 𝑧⃗�
���⃗ (𝑡) 𝑑 𝑅 𝑊
���⃗ (𝑡)
𝑑 𝑅𝑜 𝑊
(1.40)
�⃗R/R ∧ (𝑥(𝑡)𝑥⃗ + 𝑦(𝑡)𝑦⃗ + 𝑧(𝑡)𝑧⃗)
=
+ �Ω
o
𝑑𝑡
𝑑𝑡
���⃗ (𝑡) 𝑑𝑅 𝑊
���⃗ (𝑡)
𝑑 𝑅𝑜 𝑊
(1.41)
��⃗R/R ∧ 𝑊
���⃗ (𝑡)
=

o
𝑑𝑡
𝑑𝑡
���⃗ (𝑡) exprimée dans le repère mobile 𝑅(𝑂, 𝑥⃗, 𝑦⃗, 𝑧⃗)
C’est la dérivée de la fonction vectorielle 𝑊
par rapport au repère fixe 𝑅𝑜 (𝑂, 𝑥⃗𝑜 , 𝑦⃗𝑜 , 𝑧⃗𝑜 ).

Exercices

A. Deux points A et B ont pour coordonnées cartésiennes dans l’espace : A(2,3, −3) et
B(5,7,2). Déterminer les composantes du vecteur �����⃗
AB ainsi que son module, sa direction et
son sens.
�⃗1 et F
�⃗2 est égale à 50N et fait un angle de 30° avec la force
B. La résultante de deux forces F
�⃗2 et l’angle entre les deux forces.
F1 = 15N. Trouver le module de la force F
�⃗ et U
�⃗
��⃗1 = A1⃗ı + A2⃗ȷ + A3 k
�⃗2 = B1⃗ı + B2⃗ȷ + B3 k
C. Soient les vecteurs suivants : U
14

-

�⃗1 ∙ 𝑈
�⃗2 , 𝑈
�⃗1 ∙ 𝑈
�⃗1 et 𝑈
�⃗2 ∙ 𝑈
�⃗2
Calculer les produit scalaires : 𝑈

�⃗ , 𝑉
�⃗ et 𝑉
�⃗
�⃗1 = 2𝚤⃗ − 𝚥⃗ + 5𝑘
�⃗2 = −3𝚤⃗ + 1.5𝚥⃗ − 7.5𝑘
�⃗3 = −5𝚤⃗ + 4𝚥⃗ + 𝑘
On donne : 𝑉

�⃗1 ∙ 𝑉
�⃗2 et 𝑉
�⃗1 ∧ 𝑉
�⃗2.
Calculer 𝑉
Sans faire de représentation graphique que peut-on dire du sens et de la direction du
�⃗2 par rapport à 𝑉
�⃗1.
vecteur 𝑉
�⃗1 ∙ �𝑉
�⃗2 ∧ 𝑉
�⃗3 � et 𝑉
�⃗1 ∧ �𝑉
�⃗2 ∧ 𝑉
�⃗3 �.
- Calculer les produits suivant : 𝑉
�⃗2 et 𝑉
�⃗3.
- Déterminer la surface du triangle formé par les vecteurs 𝑉
�⃗, �V⃗ = 8ı⃗ + yȷ⃗ + zk
�⃗, �P⃗ = 3ı⃗ − 4ȷ⃗ + 2k
�⃗, �Q⃗ = −2ı⃗ + yȷ⃗ +
��⃗ = 2ı⃗ + 6k
D. Soient les vecteurs : U
�⃗.
12k
�⃗ et 𝑉
�⃗ soient colinéaires.
- Déterminer 𝑦 et 𝑧 pour que les vecteurs 𝑈
�⃗ soient perpendiculaires.
- Déterminer la valeur de 𝑦 pour que les vecteurs 𝑃�⃗ et 𝑄
E. Trouver le volume d’un parallélépipède dont les cotés sont les vecteurs �U⃗, �V⃗ et �Q⃗ tel que :
�⃗ et 𝑄
�⃗ .
�⃗ = 𝚤⃗ + 4𝚥⃗ − 2𝑘
�⃗ = 2𝚤⃗ + 6𝚥⃗, 𝑃�⃗ = 3𝚥⃗ + 5𝑘
𝑈
-

15

Chapitre II
STATIQUE

16

2. STATIQUE
2.1.

Introduction

La statique est l’étude de l’équilibre des systèmes matériels, c’est-à-dire l’étude mécanique des
systèmes au repos.
Un système matériel peut se déplacer globalement ou se déformer sous l’action de causes
extérieures. On nomme ces causes diverses : forces extérieures.
Tout système matériel est toujours soumis à des forces extérieures. Il est cependant possible,
dans des cas particuliers, que l’ensemble de toutes ces actions ait pour résultat une absence de
mouvement. La statique étudie ce cas particulier.

2.2.

Notions fondamentales de la statique

2.2.1. Point matériel
On appelle point matériel une région de l’espace extrêmement petite dans laquelle est localisée
une quantité de matière m que l’on appelle masse. La différence par rapport au point géométrique,
réside en le fait que le point matériel est supposé contenir une certaine quantité de matière
concentrée.
La position du point matériel peut être définie en établissant l’évolution au cours du temps du
������⃗. On peut repérer ce vecteur en utilisant différents systèmes de coordonnées.
vecteur position OM
2.2.2. Corps solide parfait

Tout corps physique se présente en mécanique comme un système de points matériels : on
entend par-là un ensemble de particules matérielles qui agissent les unes sur les autres
conformément au principe d’égalité de l’action et de la réaction. Par corps solide, on entend un
corps dont deux points quelconques restent en toutes circonstances séparés par une distance
inchangée. Autrement, le corps solide conserve une forme géométrique constante (il reste
indéformable) tant dans son ensemble qu’en chacune de ses parties.
2.2.3. Force
Quelle que soit leur nature, et quelle que soit la façon dont elles se manifestent (à distance ou au
contact de deux corps), les forces (par exemple le poids d’un corps), sont, en physique
traditionnelle, des grandeurs vectorielles.
La force est définie par :
-

La droite d’action (la direction) ;
Le sens ;
Le point d’application ;
L’intensité.

On distingue deux types de forces. Les forces extérieures qui sont exercées par d’autres corps
sur le solide, et les forces intérieures qui sont des force d’interaction se développant entre les points
matériels du solide et dont leur résultante est nulle.

17

2.2.4. Moment d’une force par rapport à un point
Un moment de force (M) est la grandeur physique décrivant la capacité d’une force à mettre en
rotation un objet. Il est défini comme le produit de la force par le bras de levier.

Soit une force �F⃗ et un point O. Menons par O un plan contenant �F⃗. Abaissons de O une
�⃗. La longueur de la perpendiculaire est le bras
perpendiculaire OP sur la direction AB de la force F
�⃗ par rapport au point O ; ce point s’appelle pôle.
de levier h de la force F
��⃗𝑜 �𝐹⃗ �
𝑀
𝑜

𝑜


𝐴

𝑃

𝐹⃗

𝐵

𝐶


𝐴

𝑃

𝐹⃗

𝐵

Figure 2.1. Moment d’une force par rapport à un point
�⃗ par rapport à O est le produit du module F du vecteur de la force F
�⃗ par le bras
Le moment de F
de levier h, qui peut être affecté de signe positif ou négatif.
𝑀𝑜 �𝐹⃗ � = ±𝐹ℎ

(2.1)

�⃗� > 0 si la force fait tourner le plan dans le sens contraire à celui des aiguilles d’une
Mo �F
montre.
�⃗� < 0 si la force fait tourner le plan dans le sens des aiguilles d’une montre.
Mo �F

La valeur absolue du moment d’une force est le double de l’aire du triangle OAB construit sur la
force �F⃗ et le pôle O ou l’aire du parallélogramme OABC (Figure 1.2b).
Où :

D’où :

��⃗𝑜 �𝐹⃗ �� = 𝐹ℎ = 2𝑆𝑂𝐴𝐵
�𝑀

(2.2)

��⃗𝑜 �𝐹⃗ �� = 𝐹ℎ = 𝐹 ∙ 𝑂𝐴 ∙ sin 𝜑 = 𝐹 ∙ 𝑟 ∙ sin 𝜑 = �𝑟⃗ ∧ 𝐹⃗ �
�𝑀

(2.3)

��⃗𝑜 �𝐹⃗ �� = �𝑟⃗ ∧ 𝐹⃗ �
�𝑀

(2.4)

18

���⃗o �F
�⃗� est égal en module à l’aire du parallélogramme construit sur les
Le vecteur moment M
�����⃗ et �F⃗. Il est perpendiculaire au plan de ces deux vecteurs.
vecteurs r⃗ où OA

���⃗o �F
�⃗� par rapport à un point O est un vecteur lié en O, qui
Ainsi, le vecteur moment d’une force M
s’écrit :
��⃗𝑜 �𝐹⃗ � = 𝑟⃗ ∧ 𝐹⃗
𝑀

(2.5)

Le moment étant un vecteur il doit être donc défini par les mêmes quatre paramètres qu’une
force :
-

2.3.

Un point d’application (point O) ;
Une direction (perpendiculaire au plan OAB) ;
Un sens ;
Une intensité.

Torseurs des forces extérieures

Les actions mécaniques exercées sur un solide sont rarement modélisable uniquement par une
résultante ou par un moment. Elles sont souvent une combinaison des deux.
Les torseurs sont des outils de modélisation, analogues aux vecteurs, permettant de représenter
ces actions mécaniques.
Les efforts appliqués sur un système matériel peuvent être représentés mathématiquement par un
torseur, appelé torseur d'action, qui s'écrit en un point O :
𝐹⃗
[𝐹]𝑜 = � �
��⃗𝑜
𝑀

(2.6)

�⃗ représente la résultante des forces extérieures appliquées R
�⃗ et M
���⃗o le moment de la force F
�⃗
Où F
par rapport au point O.

Les efforts extérieurs à un système matériel (S) sont les efforts exercés sur (S) par d'autres
��⃗i , le torseur des efforts
systèmes extérieurs. Si (S) est soumis à des forces �F⃗i et des couples �M
extérieurs exercés sur (S) en un point O, s'écrit :
𝑅�⃗ = � 𝐹⃗𝑖
𝐹⃗𝑒
[𝐹𝑒 ]𝑜 = �
�=�

��⃗𝑜 (𝐹𝑒 )
𝑀
������⃗

� 𝑂𝑀𝑖 ∧ 𝐹𝑖

𝐹⃗1

𝐹⃗5

𝐹⃗𝑛

𝑜

𝐹⃗2

𝐹⃗4

𝐹⃗3



𝑅�⃗

𝑜

(2.7)

��⃗𝑜 �𝐹⃗𝑖 �
𝑀

Figure 2.2. Equivalence des efforts appliqués à un système

19

2.4.

Condition d’équilibre statique

2.4.1. Cas Général
Un solide (S) est en équilibre par rapport à un repère fixe (R) si chaque point de (S) reste fixe
dans le temps par rapport à (R). En conséquence, le torseur des forces extérieurs est en tout point O,
où :
𝑅�⃗ = 𝐹⃗𝑒
�⃗
[𝐹𝑒 ]𝑜 = (0) = �
� = �0�
��⃗𝑜 (𝐹𝑒 )
�0⃗
𝑀

(2.8)

Pour que le système de forces appliquées à un solide soit en équilibre, il faut et il suffit que la
résultante générale du système et le moment résultant par rapport à un centre de réduction
quelconque soient égaux à zéro, où :
��⃗𝑜 (𝐹𝑖 ) = �0⃗
𝑅�⃗ = �0⃗, 𝑀

(2.9)

2.4.2. Condition d’équilibre analytique

La condition d’équilibre analytique d’un corps solide est la projection des éléments du torseur
des forces extérieurs nulle. Cette projection sur les axes d’un repère orthonormé R(O, x, y, z) permet
d’obtenir en général six équations :
Trois équations liées à la résultante des forces extérieures :
𝑛

⎧𝑅�⃗ = � 𝐹⃗ = �0⃗
𝑥
𝑖𝑥

𝑖=1

𝑛



�⃗
�⃗
𝑅 = 0 ⟹ 𝑅𝑦 = � 𝐹⃗𝑖𝑦 = �0⃗

𝑖=1
𝑛


⎪ 𝑅�⃗𝑧 = � 𝐹⃗𝑖𝑧 = �⃗
0

𝑖=1

(2.10)

Et trois équations liées au moment des forces par rapport aux axes du repère :
𝑛

⎧𝑀
��⃗𝑜𝑥 = � 𝑀
��⃗𝑖𝑥 �𝐹⃗𝑖 � = �0⃗

𝑖=1

𝑛



��⃗

��⃗
��⃗𝑖𝑦 �𝐹⃗𝑖 � = �0⃗
𝑀𝑜 �𝐹𝑖 � = 0 ⟹ 𝑀𝑜𝑦 = � 𝑀

𝑖=1
𝑛


��⃗𝑜𝑧 = � 𝑀
��⃗𝑖𝑧 �𝐹⃗𝑖 � = �⃗
⎪𝑀
0

𝑖=1

(2.11)

Dans le cas d’un problème plan (par exemple X et Y), on aura trois équations d'équilibre.
Deux équations liées à la résultante statique :

20

𝑛

𝑅�⃗ = �0⃗ ⟹

⎧𝑅�⃗ = � 𝐹⃗ = �⃗
0
𝑖𝑥
⎪ 𝑥
𝑖=1
𝑛

(2.12)


⎪𝑅�⃗𝑦 = � 𝐹⃗𝑖𝑦 = �0⃗

𝑖=1

Et une équation pour le moment des forces par rapport au centre O :
��⃗𝑜 �𝐹⃗𝑖 � = �⃗
𝑀
0

(2.13)

Dans le cas d'un système de forces concourantes au centre O, le moment sera nul par rapport à O,
il reste seulement trois équations pour la projection de la résultante:
𝑛

2.5.

⎧𝑅�⃗ = � 𝐹⃗ = �0⃗
𝑥
𝑖𝑥

𝑖=1

𝑛

𝑅�⃗ = �0⃗ ⟹ 𝑅�⃗𝑦 = � 𝐹⃗𝑖𝑦 = �0⃗

𝑖=1
𝑛


⎪ 𝑅�⃗𝑧 = � 𝐹⃗𝑖𝑧 = �0⃗

𝑖=1

(2.14)

Les liaisons et les réactions

2.5.1. Définition
La modélisation des liaisons mécaniques passe par un modèle de référence théorique qui
suppose la liaison sans dimension, sans masse, sans frottement, sans jeux, en bref parfaite. Il faut
donc que les dimensions de la liaison soient petites devant les dimensions du système mécanique
étudié.
2.5.2. Axiome des liaisons
Pour tout corps solide lié, il est possible de supprimer les liaisons en les remplaçant par les
réactions et de lui considérer comme un corps solide libre soumis à l’action des forces données et
des réactions de liaisons.
𝐵
𝑚

𝐴

𝐷

𝐶

𝑅�⃗𝐴𝑥

��⃗𝐴
𝑀

Figure 2.3. Equivalence des liaisons

�⃗𝐵
𝑇

𝑅�⃗𝐶

𝑅�⃗𝐴𝑦

21

2.5.3. Différents types des liaisons et de réactions
Les liaisons peuvent être matérialisées soit par des appuis, articulations, encastrements, etc.
Dans les cas énumérés sont confectionnées à partir d’un matériau absolument rigide, et que le
frottement, aux points de contact avec les solides considérés, est négligeable.
Toutes les liaisons que nous décrivons ci-dessous sont supposées parfaites. Chacune est
caractérisée par :
-

Sa définition mathématique
Ses mobilités : mouvements relatifs que la liaison autorise
Le torseur des actions de contact de la liaison

Dans le tableau ci-dessous sont représentés quelques types de liaisons :
Tableau 2.1. Quelques types de liaisons
Liaison

Mobilités

Equivalence

3 Rotations sur 𝑥, 𝑦 et 𝑧
Rotule

Linéaire annulaire

Appui ponctuel

Pivot glissant

Appui linéique

3 Rotations sur 𝑥, 𝑦 et 𝑧
1 Translation suivant 𝑥

3 Rotations sur 𝑥, 𝑦 et 𝑧
2 Translations suivant 𝑥 et 𝑦

1 Rotation sur 𝑥
1 Translation suivant 𝑧

2 Rotations sur 𝑥 et 𝑧
2 Translations suivant 𝑥 et 𝑦

22

1 Rotation sur 𝑧
2 Translations suivant 𝑥 et 𝑦

Appui plan

1 Rotation sur 𝑧

1 Translation suivant 𝑧
Glissière

2.6.

Quelques opérations sur les forces

2.6.1. Résultante de deux forces concourantes
Ce sont des forces dont les droites d’action passent par le même point.
La résultante de forces concourantes est représentée vectoriellement par la diagonale du
parallélogramme construit sur les vecteurs figurant ces forces.
�⃗1 et �F⃗2 appliquées à un point O du solide. Pour la détermination de leur
Soient deux forces F
�⃗2 . Le module et la direction de la
résultante �R⃗, on construit un parallélogramme sur �F⃗1 et F
�⃗ sont déterminés par la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux forces.
résultante R
𝐹⃗1

𝑜

𝜑1
𝜑2

𝑅�⃗

𝜑
𝐹⃗2

Figure 2.4. Parallélogramme de deux forces
On écrit :

Et son module s'obtient :

𝑅�⃗ = 𝐹⃗1 + 𝐹⃗2

(2.15)

23

Et sa direction se détermine :

�𝑅�⃗ � = �𝐹12 + 𝐹22 − 2𝐹1 𝐹2 cos 𝜑

(2.16)

𝐹1
𝐹2
𝑅
𝑅
=
=
=
sin 𝜑2 sin 𝜑1 sin(𝜋 − 𝜑) sin 𝜑

(2.17)

Les formules précédentes définissent le module, la direction et le sens de la résultante des deux
forces appliquées au même point et faisant un angle φ entre elles.
2.6.2. Résultante de plusieurs forces concourantes

2.6.2.1. Méthode du parallélogramme des forces
On peut faire la somme de forces concourantes, en faisant leur composition suivant la règle du
parallélogramme. Composer les forces �F⃗1 et �F⃗2 , trouver leur résultante �R⃗1 , puis composer cette
�⃗3 , construire un parallélogramme sur R
�⃗1 et �F⃗3 , trouver la résultante �R⃗ 2 , et ainsi
dernière et la force F
�⃗.
de suite, jusqu'à obtention de la résultante finale R

𝐹⃗3

𝑜

𝐹⃗4
𝐹⃗𝑛

𝐹⃗2

𝐹⃗1

𝑅�⃗3

𝐹⃗3
𝐹⃗4

𝑅�⃗

𝑜

𝐹⃗2

𝑅�⃗2
𝐹⃗1

𝑅�⃗1

𝐹⃗𝑛

Figure 2.5. Parallélogramme des forces

2.6.2.2. Règle du polygone des forces
Pour la construction du polygone des forces, on respecte le sens et la direction de chaque force.
�⃗3 à
D’abord, on place l’origine du vecteur �F⃗2 à l’extrémité B de �F⃗1 . puis de placer l’origine F
�⃗2 , etc…En joignant le point A d’application des forces et l’extrémité de F
�⃗n , on
l’extrémité C de F
�⃗. La méthode porte le nom : La règle du polygone des forces.
obtient la résultante R
La ligne brisée ABDCEF s’appelle polygone des forces et le segment AF, vecteur fermant le
polygone s’appelle la résultante des forces.

24

𝐹⃗4

𝐷

𝐹⃗3
𝑜

𝐹⃗4

𝐹⃗2

𝐹⃗𝑛

𝐹⃗1

𝐹⃗𝑛

𝐸

𝑅�⃗

𝐶

𝐴

𝐹⃗1

𝑜

𝐹⃗3

𝐵

𝐹⃗2

Figure 2.5. Polygone des forces

�⃗ est appliquée en O, et
S’il y a n forces �F⃗1 , �F⃗2 , …, �F⃗n concourantes en O, leur résultante unique R
vaut la somme géométrique des vecteurs forces :
𝑛

𝑅�⃗ = 𝐹⃗1 + 𝐹⃗2 + ⋯ + 𝐹⃗𝑛 = � 𝐹⃗𝑖

(2.18)

𝑖=1

2.6.2.3. Condition d’équilibre géométrique

Pour que le système de forces concourantes soit en équilibre, il faut et il suffit que le polygone
des forces soit fermé.
2.6.3. Décomposition géométrique d’une force
2.6.3.1. Décomposition suivant deux directions
Décomposer une force revient à trouver les forces, appelées composantes, qui sont appliquées au
même point, et produiront un effet équivalent à celui de la fore décomposée.

𝐴

𝐹⃗

𝐵
(𝑚)

(𝑛)

(𝑛)

𝐶

𝐹⃗𝑛

𝐴

𝐹⃗

𝐵
𝐹⃗𝑚

𝐷

(𝑚)

Figure 2.6. Décomposition d’une force suivant deux directions
La décomposition de la force �F⃗ est valable lorsque les directions (m) et (n) des composantes
cherchées sont connues. Pour déterminer ces composantes, il suffit de mener par le point
�⃗ et par l’extrémité B de �F⃗ deux droites parallèles à (m) et (n) : les
d’application A de la force F
25

�⃗ est la diagonale
points d’intersections définissent un parallélogramme ADBC dans lequel la force F
et les cotés AD et AC sont les composantes �F⃗m et �F⃗n . Soit :
𝐹⃗ = 𝐹⃗𝑚 + 𝐹⃗𝑛

(2.19)

2.6.3.2. Décomposition suivant trois directions
On peut décomposer une force d’une façon unique, suivant trois directions arbitraires non
parallèles à un plan. La solution conduit à un parallélépipède dont les arêtes ont les directions
�⃗ est égale à la
données et dont la diagonale AB est constituée par la force décomposée. La force F
somme des composantes cherchées et sera écrite :
𝐹⃗ = 𝐹⃗𝑚 + 𝐹⃗𝑛 + 𝐹⃗𝑝

(𝑛)
𝐴

(2.20)

(𝑛)

𝐹⃗

𝐵
(𝑝)

𝐹⃗𝑛

(𝑚)

𝐴

𝐹⃗𝑚

𝐹⃗𝑝

𝐹⃗

𝐵

(𝑝)

(𝑚)

Figure 2.7. Décomposition d’une force suivant trois directions
La force �F⃗ fait les angles θx , θy , θz respectivement avec les axes x, y, et z du système de
coordonnées cartésiennes orthogonales Oxyz. Pour décomposer �F⃗ suivant les trois axes,
�⃗ sera une diagonale.
construisons un parallélépipède dans lequel F
𝑧

𝐹⃗𝑧
𝐴

𝜃𝑧
𝐹⃗𝑥


𝜃𝑦 𝐹

𝜃𝑥 𝐹⃗𝑦

𝑁(𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧)
𝑦

𝑥

Figure 2.8. Représentation d’une force dans un système cartésien

26

Le vecteur de la force �F⃗ s’écrit :

𝐹⃗ = 𝐹⃗𝑥 + 𝐹⃗𝑦 + 𝐹⃗𝑧 = 𝐹𝑥 𝑥⃗ + 𝐹𝑦 𝑦⃗ + 𝐹𝑧 𝑧⃗

(2.21)

Tel que Fx , Fy et Fz sont les composantes de la force �F⃗ et dont les modules sont :
𝐹𝑥 = �𝐹⃗ � cos 𝜃𝑥 ; 𝐹𝑦 = �𝐹⃗ � cos 𝜃𝑦 ; 𝐹𝑧 = �𝐹⃗ � cos 𝜃𝑧

(2.22)

D’où le module de la force �F⃗ :

�𝐹⃗ � = �𝐹𝑥2 + 𝐹𝑦2 + 𝐹𝑧2

(2.23)

Les cosinus directeurs s'obtiennent :
cos 𝜃𝑥 =

𝐹𝑦
𝐹𝑥
𝐹𝑧
; cos 𝜃𝑦 =
; cos 𝜃𝑧 =
�𝐹⃗ �
�𝐹⃗ �
�𝐹⃗ �

�⃗, peut s’exprimer autrement, en utilisant les cosinus directeurs :
Le module de la force F
�𝐹⃗ � =

𝐹𝑦
𝐹𝑥
𝐹𝑧
=
=
cos 𝜃𝑥 cos 𝜃𝑦 cos 𝜃𝑧

(2.24)

(2.25)

2.6.3.3. Décomposition d'une force si un point de la ligne d’action est connu
Si le point 𝑁 de coordonnées 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 et 𝑑𝑧 appartenant à la ligne d’action de la force 𝐹⃗ est
connu. Le vecteur ������⃗
𝑂𝑁 forme les angles 𝜃𝑥 , 𝜃𝑦 et 𝜃𝑧 avec les axes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 et d son module, nous
pouvons écrire :

Il vient :

𝑑𝑥 = 𝑑 cos 𝜃𝑥 ; 𝑑𝑦 = 𝑑 cos 𝜃𝑦 ; 𝑑𝑧 = 𝑑 cos 𝜃𝑧

(2.26)

������⃗ � = 𝑑 = �(𝑑𝑥)2 + (𝑑𝑦)2 + (𝑑𝑧)2
�𝑂𝑁

(2.27)

Comme, on peut l’exprimer par la relation ; en introduisant les cosinus directeurs :
𝑑=

𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
=
cos 𝜃𝑥 cos 𝜃𝑦 cos 𝜃𝑧

(2.28)

Divisons membre à membre les relations (1.12) et (1.13), nous obtenons :
𝐹𝑦
𝐹 𝐹𝑥
𝐹𝑧
=
=
=
𝑑 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

(2.29)

27

2.6.4. Décomposition analytique d’une force
�⃗ appliquée à l’origine O du système de coordonnées orthogonales x, y, z.
Considérons la force F
Pour définir la direction de �F⃗, nous traçons le plan vertical OBAC contenant �F⃗, tel qu’indique la
figure 1.18a.

Le plan OBAC contient l’axe vertical z, l’orientation de ce plan peut être définie par l’angle φ
qu’il forme avec l’axe y dans le plan (x, y), tandis que l’orientation de la force �F⃗ dans le plan
OBAC est donnée par l’angle θz qu’elle fait avec l’axe z.
𝑧

𝐵

𝑥

𝑜

𝑧

𝑧

𝜃𝑧

𝐹⃗

𝜑

𝐴
𝐶

𝐵

𝐹⃗𝑧

𝑦
𝑥

𝑜

𝜃𝑧
𝐹⃗ℎ

𝐹⃗

𝜑

𝐴

𝐵

𝑦

𝐶

𝑥

𝐹⃗𝑧
𝐹⃗𝑥

𝑜

𝜃𝑧
𝐹⃗ℎ

𝐹⃗
𝜑

𝐴

𝐹⃗𝑦

𝑦

𝐶

Figure 2.9. Décomposition analytique d’une force
�⃗ en ces composantes F
�⃗z et F
�⃗h . Cette dernière (Fh ) étant
Nous décomposons d’abord la force F
contenue en plan (x, y). Les composantes scalaires de �F⃗ sont alors :
𝐹𝑧 = 𝐹 cos 𝜃𝑧 ; 𝐹ℎ = 𝐹 cos 𝜃𝑧

(2.30)

𝐹𝑥 = 𝐹ℎ sin 𝜑 = 𝐹 sin 𝜃𝑧 sin 𝜑

(2.31)

Ensuite, la composante �F⃗h peut se décomposer, en �F⃗x et �F⃗y suivant les directions x et y. nous
aurons alors les composantes scalaires :

𝐹𝑦 = 𝐹ℎ cos 𝜑 = 𝐹 sin 𝜃𝑧 cos 𝜑

(2.32)

2.6.5. Cas général du moment d’une force

2.6.5.1. Moment d’une force par rapport à un axe
Considérons la force �F⃗ dans le repère (Oxyz) et r⃗ le vecteur de position du point d’application de
�⃗ à l’origine O. La force �F⃗ s’écrit :
la force F
𝐹⃗ = 𝐹⃗𝑥 + 𝐹⃗𝑦 + 𝐹⃗𝑧 = 𝐹𝑥 𝑥⃗ + 𝐹𝑦 𝑦⃗ + 𝐹𝑧 𝑧⃗

(2.33)

�⃗x , F
�⃗y et F
�⃗z sont les projections de �F⃗ sur les axes Ox, Oy et Oz.
Où F
28

Ainsi le vecteur de position r⃗ dans le même repère s’écrit :

𝑟⃗ = 𝑟⃗𝑥 + 𝑟⃗𝑦 + 𝑟⃗𝑧 = 𝑟𝑥 𝑥⃗ + 𝑟𝑦 𝑦⃗ + 𝑟𝑧 𝑧⃗

(2.34)

Où r⃗x , r⃗y et r⃗z sont les projections de r⃗ sur les axes Ox, Oy et Oz.
𝑧

𝐹⃗𝑧

𝑟⃗𝑧
𝑜

𝑟⃗

𝑟⃗𝑦

𝑟⃗𝑥

𝐴

𝐹⃗𝑥

𝐹⃗𝑦

𝐹⃗

𝑦

𝑥

Figure 2.10. Moment d’une force par rapport à un axe
��⃗o �F
�⃗� par rapport au point O s’écrit :
Le vecteur moment d’une force �M
𝑥⃗
��⃗𝑜 �𝐹⃗ � = 𝑟⃗ ∧ 𝐹⃗ = � 𝑟𝑥
𝑀
𝐹𝑥



𝑦⃗
𝑟𝑦
𝐹𝑦

𝑧⃗
𝑟𝑧 �
𝐹𝑧

(2.35)

��⃗𝑜 �𝐹⃗ � = �𝑟𝑦 𝐹𝑧 − 𝑟𝑧 𝐹𝑦 �𝑥⃗ + (𝑟𝑧 𝐹𝑥 − 𝑟𝑥 𝐹𝑧 )𝑦⃗ + �𝑟𝑥 𝐹𝑦 − 𝑟𝑦 𝐹𝑥 �𝑧⃗
𝑀

(2.36)

��⃗𝑜 �𝐹⃗ � = 𝑀𝑜𝑥 �𝐹⃗ �𝑥⃗ + 𝑀𝑜𝑦 �𝐹⃗ �𝑦⃗ + 𝑀𝑜𝑧 �𝐹⃗ �𝑧⃗
𝑀

(2.37)

�⃗�, Moy �F
�⃗� et Moz �F
�⃗�, sont les moments par rapport
Les composantes du vecteur moment Mox �F
aux axes Ox, Oy et Oz respectivement dans le point O, et sont exprimés comme suivant :
��⃗𝑜 �𝐹⃗ ��
�𝑀

𝑜𝑥

��⃗𝑜 �𝐹⃗ ��
�𝑀

𝑜𝑦

��⃗𝑜 �𝐹⃗ ��
�𝑀

𝑜𝑧

= 𝑀𝑜𝑥 �𝐹⃗ � = 𝑟𝑦 𝐹𝑧 − 𝑟𝑧 𝐹𝑦
= 𝑀𝑜𝑦 �𝐹⃗ � = 𝑟𝑧 𝐹𝑥 − 𝑟𝑥 𝐹𝑧

= 𝑀𝑜𝑧 �𝐹⃗ � = 𝑟𝑥 𝐹𝑦 − 𝑟𝑦 𝐹𝑥

(2.38)
(2.39)
(2.40)

Les cas où le moment d’une force non nulle par rapport à un axe est égal à zéro sont les suivant :
-

la direction de la force rencontre l’axe ( h = 0)
la force est parallèle à l’axe (la projection de 𝐹⃗ sur un plan h à l’axe sera nulle).
29

2.6.5.2. Théorème de VARIGNON
�⃗, le moment de cette résultante par
Si un système de forces plan admet une résultante unique R
rapport à un point quelconque est égal à la somme algébrique des moments de toutes les forces de
ce système par rapport à ce même point.
𝑦

𝑜

𝑅�⃗

𝐹⃗2

ℎ2

ℎ1


𝐹⃗1
𝑥

Figure 2.11. Théorème de Varignon

Soit :

2.7.

��⃗𝑜 �𝑅�⃗ � = � 𝑀𝑜 �𝐹⃗𝑖 �
𝑀

(2.41)

��⃗𝑜 �𝑅�⃗ � = 𝑀𝑜 �𝐹⃗1 � + 𝑀𝑜 �𝐹⃗2 �
𝑀

(2.42)

𝑅 ∙ ℎ = 𝐹1 ℎ1 + 𝐹2 ℎ2

(2.43)

Équilibre des solides en présence du frottement

2.7.1. Frottement de glissement
On appelle frottement de glissement la résistance qui s’oppose au glissement de deux solides à
paroi rugueuse en contact.
Soit un solide de poids �P⃗ qui repose sur une surface horizontale. Appliquons à ce solide une
force horizontale �T⃗.

�⃗
𝑁
𝑃�⃗

�⃗
𝑇

�⃗
𝑁
𝐹⃗𝑡𝑟

𝑃�⃗

�⃗
𝑇

𝐹⃗𝑚𝑎𝑥
𝐹⃗𝑡𝑟

Mi − chemin

Mouvement

�⃗1
𝑇
30

Figure 2.12. Frottement d’un solide
1er cas : Surfaces en contact polies
�⃗. Dans ce cas, aucune force ne s’oppose à la
La force du poids �P⃗ est équilibrée par la réaction �N
�⃗. Le solide est en mouvement.
force motrice T
2ème cas : Surfaces en contact rugueuses

�⃗ est équilibrée par la réaction N
��⃗. Le solide peut rester au repos, dans ce cas, il
La force du poids P
existe une autre force qui s’oppose au mouvement du solide de même direction et de sens opposée
à �T⃗. On appellera cette force, force de frottement de glissement �F⃗fr .
�⃗. Tant que le solide reste au repos, la force F
�⃗fr équilibre
Augmentons progressivement la force T
�⃗, dans ce cas la force �F⃗fr augmente avec elle jusqu’à une valeur
à chaque instant la force motrice T
�⃗max
maximale Fmax (Ffr ≤ Fmax ) où le corps solide est en mouvement. La force maximale F
correspond au cas limite de l’équilibre du solide, c’est à dire à l’instant où celui-ci est à mi-chemin
(dans la zone de transition) entre le repos et le mouvement.

2.7.1.1. Force de frottement statique
La force de frottement de glissement est une force résistante qui agit dans le plan tangent aux
deux surfaces de contact dans le sens opposé à la force motrice et de direction parallèle aux
surfaces de contact.
La force de frottement qui agit lorsque le corps se trouve avant le mouvement (immobile)
s’appelle force de frottement de repos ou force de frottement statique.

𝐹⃗𝑚𝑎𝑥 = 𝐹⃗𝑠

�⃗
𝑁
𝑃�⃗

�⃗
𝑇

Figure 2.13. Frottement statique
D’après la loi d’Amontons – Coulomb, la valeur maximale du module de la force de frottement
de repos où statique �F⃗max ou �F⃗s est proportionnelle à la pression normale du solide sur la surface
d’appui :
�⃗
𝐹⃗𝑚𝑎𝑥 = 𝑓𝑠 𝑁

(2.44)

où fs est le coefficient de frottement de glissement, sans dimension, qui est en fonction des
matériaux des surfaces en contact et de l’état de ces surfaces.
2.7.1.2. Force de frottement cinématique

La force de frottement qui agit quand un solide se déplace sur l’autre, est la force de frottement
cinématique Fk . Elle est aussi proportionnelle à la réaction normale :

31

�⃗
𝐹⃗𝑘 = 𝑓𝑘 𝑁

(2.45)

où fk est le coefficient de frottement de glissement en mouvement. Il est fonction de la vitesse de
mouvement. Il reste toujours inférieur au coefficient de frottement au repos (fk < fs ).
2.7.2. Angle de frottement
𝑅�⃗

𝛽

�⃗
𝑁

𝐹⃗𝑡𝑟

𝑃�⃗

𝑅�⃗

�⃗
𝑇

�⃗
𝜑>𝛽 𝑁
𝐹⃗𝑚𝑎𝑥

�⃗
𝑇

𝑃�⃗

Figure 2.14. Angle de frottement
�⃗, compte tenue
Lorsque le corps solide est au repos, la réaction totale d’une surface rugueuse R
du frottement, est déterminée en module et en direction par la diagonale du rectangle formé par la
�⃗ et la force de frottement �F⃗fr :
réaction normale �N
�⃗ + 𝐹⃗𝑓𝑟
𝑅�⃗ = 𝑁

(2.46)

�⃗ du coté opposé à �T⃗. Dans ce cas, plus �T⃗ est grand, plus
La direction de �R⃗ fait un angle β avec �N
�⃗ s’écarte de la normale. L’écart maximal est constaté lorsque Ffr = Fmax . La valeur
la direction de R
maximale de l’angle d’écart β s’appelle angle de frottement φ, et est exprimée par :
tan 𝜑 =

2.7.3. Frottement de roulement

𝐹𝑚𝑎𝑥
= 𝑓𝑠 ⟹ 𝜑 = arctg𝑓𝑠
𝑁

(2.47)

Par frottement de roulement, on entend la résistance qui a lieu quand un solide roule sur un
�⃗, de rayon R, reposant sur une surface horizontale, et
autre. Soit un rouleau cylindrique de poids P
�⃗.
sollicité en son centre de gravité par une force motrice T
Sens du mouvement

𝑦

𝑦

𝑜

𝑃�⃗

𝐴

�⃗
𝑇

𝑥

𝐹⃗𝑓𝑟

Figure 2.15. Frottement de roulement

𝑜

�⃗
𝑇

𝑃�⃗

𝐴

�⃗
𝑁

𝑓𝑟

𝑥

𝐶

32

La surface d’appui se déforme sous l’action du poids du rouleau, c'est-à-dire, le point
��⃗ et la force de frottement �F⃗fr se déplace de A vers le point C. Les
d’application des réactions N
équations d’équilibre du rouleau sont :
𝑛

(2.48)

𝑖=1
𝑛

� 𝐹⃗𝑖𝑦 = �⃗
0⟹𝑁−𝑃 =0

(2.49)

𝐹𝑓𝑟 = 𝑇 et 𝑁 = 𝑃

(2.50)

𝑚𝑟 = 𝑀𝐴 (𝑁)

(2.51)

� 𝑀𝐴 (𝐹) = 𝑀𝐴 (𝑁) − 𝑇𝑅 = 0

(2.52)

𝑚𝑟 = 𝑇𝑅

(2.53)

(𝑚𝑟 )𝑚𝑎𝑥 = 𝑓𝑟 𝑁

(2.54)

𝑚𝑟 ≤ (𝑚𝑟 )𝑚𝑎𝑥

(2.55)

� 𝐹⃗𝑖𝑥 = �0⃗ ⟹ 𝑇 − 𝐹𝑓𝑟 = 0
𝑖=1

d’où :

Le couple (Ffr , T) tend à mettre le rouleau en mouvement, tandis que le couple (N, P) s’oppose
au mouvement et tend à mettre le rouleau au repos. Ce dernier couple s’appelle moment de
résistance au roulement, mr , il est égal au moment de la force N par rapport au point A.

d'où :

A l’instant où le solide se met en mouvement, le moment résistant atteint sa valeur maximale.
Les expériences montrent que cette valeur est proportionnelle à la réaction normale.

Le coefficient de proportionnalité fr , dit coefficient de frottement de roulement, est mesuré en
unité de longueur.
Au repos, on a :

𝑇𝑅 ≤ 𝑓𝑟 𝑁

d'où :

f

𝑇≤

𝑓𝑟
𝑁
𝑅

(2.56)

(2.57)

En général Rr est beaucoup plus petit que le coefficient de frottement de glissement fs ; c’est
pourquoi, quand le repos est perturbé, le rouleau se met à rouler sur la surface d’appui sans glisser
sur cette dernière.

33

2.7.4. Frottement d’un câble sur une poulie
𝛽

Sens du mouvement

𝑟

�⃗2
𝑇

𝑥

𝑜
𝐴

�⃗1
𝑇

Figure 2.16. Frottement d’un câble

La relation qui lie les deux tensions T1 et T2 d’un câble sur une surface cylindrique rugueuse,
s’écrit sous la forme :
𝑇1
= 𝑒 𝑓𝑠 𝛽
𝑇2

(2.58)

où β est l’angle d’arc de contact du câble sur la surface cylindrique, fs est le coefficient de
frottement statique et T1 est toujours supérieure à T2 (T1 > T2 ) selon le sens du mouvement.
La résultante de la force de frottement entre le câble et la surface cylindrique, s’écrit :

2.8.

Exercices

𝐹 = 𝑇1 − 𝑇2

(2.59)

A. Déterminer les tensions des câbles dans les figures suivantes :

B. Une barre homogène pesant 80 N est liée par une articulation cylindrique en son extrémité
A à un mur. Elle est retenue sous un angle de 60° avec la verticale par un câble inextensible
de masse négligeable à l’autre extrémité B. Le câble fait un angle de 30° avec la barre.
Déterminer la tension dans le câble et la réaction au point A.

34

C. On maintient une poutre en équilibre statique à l’aide d’une charge P suspendue à un câble
inextensible de masse négligeable, passant par une poulie comme indiqué sur la figure. La
poutre a une longueur de 8m et une masse de 50 Kg et fait un angle de 45° avec
l’horizontale et 30° avec le câble.
Déterminer la tension dans le câble ainsi que la grandeur de la réaction en A ainsi que sa
direction par rapport à l’horizontale.

D. La barre AB=L est liée en A par une articulation cylindrique et à son extrémité B, elle repose
sur un appui rouleau. Une force de 200 N agit en son milieu sous un angle de 45° dans le
plan vertical. La barre a un poids de 50 N.
Déterminer les réactions aux extrémités A et B.
E. Une échelle de longueur 20 m pesant 400 N est appuyée contre un mur parfaitement lisse en
un point situé à 16 m du sol. Son centre de gravité est situé à 1/3 de sa longueur à partir du
bas. Un homme pesant 700 N grimpe jusqu’au milieu de l’échelle et s’arrête. On suppose
que le sol est rugueux et que le système reste en équilibre statique.
Déterminer les réactions aux points de contact de l’échelle avec le mur et le sol.
F. On applique trois forces sur une poutre de masse négligeable et encastrée au point A.
Déterminer la réaction à l’encastrement.

35

Chapitre III
GEOMETRIE DES MASSES

36

3. GEOMETRIE DES MASSES
3.1 Introduction
Afin de préparer les concepts cinétiques et dynamiques, on doit étudier la répartition
géométrique des masses dans un système matériel. Pour comprendre et décrire le mouvement des
systèmes matériel, il est indispensable de connaitre un certain nombre de données sur la répartition
des masses des systèmes, notamment la localisation du centre de masses et la détermination des
moments d’inertie et produits d’inertie

3.2 Masse d’un système matériel
La masse mesure la quantité de matière contenue dans un volume donné. Elle est invariable au
cours du temps (en mécanique Newtonienne) et possédant la propriété d’additivité. La masse est
une grandeur scalaire positive.
Un système matériel est un ensemble discret ou continu de points matériels.
3.2.1

Système discret

La masse d’un système formé de n points matériels de masse mi est la somme des masses :
𝑛

3.2.2

Système continu

𝑚 = � 𝑚𝑖

(3.1)

𝑖=1

La masse d’un système constitué d’un ensemble continu de masses s’écrit sous la forme :
On appelle masse d’un système matériel continu, la grandeur scalaire :
𝑚 = � 𝜌(𝑃)𝑑𝑣

(3.2)

𝑣

où dv est un élément de volume et ρ(P) est la masse volumique du corps au point P.
Pour un système homogène, la masse volumique est constante et m = ρv.
Si le corps (S) a une surface S, le cas d’une plaque par exemple :
𝑚 = � 𝜎(𝑃)𝑑𝑠

(3.3)

𝑠

où ds est un élément de surface et σ(P) est la densité surfacique au point P.
Si le corps (S) a une courbe l (le cas d’une ligne matérielle) :
𝑚 = � 𝜆(𝑃)𝑑𝑙

(3.4)

𝑙

où dl est un élément de longueur et λ(P) est la densité linéique au point P.

37

3.3 Centre d’inertie
3.3.1

Définition

On appelle centre d’inertie où centre des masses G du solide le barycentre des différents centres
P des éléments de volume dv :
� �����⃗
𝐺𝑃𝑑𝑚(𝑃) = 0

(3.5)

�����⃗𝑑𝑚(𝑃) = � �𝐺𝑂
�����⃗ + 𝑂𝑃
�����⃗�𝑑𝑚(𝑃) = �0⃗
� 𝐺𝑃

(3.6)

𝑣

Si O étant un point arbitraire de l’espace :
𝑣

d’où :

𝑣

�����⃗
𝑂𝐺 =

1

� �����⃗
𝑂𝑃𝑑𝑚 =

∫𝑣 𝑑𝑚 𝑣

1
� �����⃗
𝑂𝑃𝑑𝑚
𝑚

(3.7)

𝑣

Si nous rapportons l’espace à un repère orthonormé R(O, x�⃗, y
�⃗, z⃗ ) d’origine O, nous pouvons
écrire :

Et :

�����⃗
𝑂𝐺 = 𝑥𝐺 𝑥⃗ + 𝑦𝐺 𝑦⃗ + 𝑧𝐺 𝑧⃗

(3.8)

�����⃗
𝑂𝑃 = 𝑥𝑥⃗ + 𝑦𝑦⃗ + 𝑧𝑧⃗

(3.9)

Les coordonnées du centre d’inertie d’un système matériel G sont donc exprimées par :

3.3.2

𝑥𝐺 =

1
1
1
� 𝑥𝑑𝑚 ; 𝑦𝐺 = � 𝑦𝑑𝑚 ; 𝑧𝐺 = � 𝑧𝑑𝑚
𝑚
𝑚
𝑚

Symétries matérielles

𝑣

𝑣

(3.10)

𝑣

Le centre d’inertie d’un système matériel possédant des éléments de symétrie matérielle est situé
sur ces éléments de symétrie.
Si le système matériel peut être décomposé en une somme de systèmes matériels simples, le
centre d’inertie global s’obtiendra en recherchant le barycentre des centres d’inertie partiels.
3.3.3

Théorèmes de Guldin

Si le système considéré est homogène, on peut considérer les deux théorèmes suivants :
3.3.3.1. Centre d'inertie d'une courbe plane
Considérons une courbe plane Γ, de longueur l, de densité linéique λ, tournant autour d’un axe
fixe de son plan. La rotation de l’arc engendre une surface de révolution dont l’aire latérale est
égale a :

38

𝑠Γ = 𝑙Γ ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅𝐺

(3.11)

Où R G est le rayon du cercle décrit par le centre G.
𝑦⃗

𝑆𝑦

𝑅𝐺

𝐴

Γ

𝐺
+

𝐵

𝑜

Figure 3.1. Arc plan

𝑥⃗

Suivant l’axe x, pour dm = λdl, on écrit :

∫Γ 𝜆𝑥𝑑𝑙
𝑚
Si λ est constant et l est la longueur de Γ, on peut écrire pour (R G = xG ) :
𝑥𝐺 =

𝑙𝑥𝐺 = � 𝑥𝑑𝑙 ⟺ 2𝜋 ∙ 𝑙𝑥𝐺 = 2𝜋 ∙ � 𝑥𝑑𝑙 = � 2𝜋𝑥𝑑𝑙 ⟺ 2𝜋𝑙𝑥𝐺 = 𝑠𝑦
Γ

Γ

(3.12)

(3.13)

Γ

Où sy représente l’aire de la surface engendrée par la rotation de la courbe Γ autour de l’axe Oy.
On a donc :
𝑥𝐺 =

𝑠𝑦
2𝜋𝑙

𝑦𝐺 =

𝑠𝑥
2𝜋𝑙

Lorsque la courbe tourne autour de l'axe x, elle engendre la surface Sx , d'où :

(3.14)

(3.15)

3.3.3.2. Centre d'inertie d'une surface plane
Ce théorème est analogue au précédent. Considérons une surface plane homogène s, tournant
autour d’un axe fixe de son plan sans le rencontrer. Cette surface engendre un volume intérieur v
égal a :
𝑣 = 𝐴𝑆 ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅𝐺

(3.16)

Si vy et vx sont les volumes engendrés par la rotation de la surface S autour des axes Ox et Oy.
Les coordonnées du centre d’inertie s’expriment par :

39

𝑥𝐺 =

𝑉𝑦
𝑉𝑥
; 𝑦𝐺 =
2𝜋𝐴𝑆
2𝜋𝐴𝑆
𝑦⃗

𝐴

𝑉𝑦

𝑜
Figure 3.2. Plaque plane

(3.17)

S
𝐵

𝑥⃗

3.4 Moment d’inertie, opérateur d’inertie
3.4.1

Définition

On appelle moment d’inertie d’un système discret (formé de n points matériels Pi de masse mi )
par rapport à un axe ∆, la quantité :
𝑛

𝐼∆ = � 𝑚𝑖 𝑟𝑖2

(3.18)

𝐼∆ = � 𝑟 2 𝑑𝑚 = � 𝜌𝑟 2 𝑑𝑉

(3.19)

Où ri est la distance du point Pi à l’axe ∆.

𝑖=1

Pour un système continu, on a :

2

𝑣

𝑣

On peut aussi écrire I∆ = mR , ou m est la masse totale du système et R le rayon de giration.

3.4.2 Matrice d’inertie

Pour un solide (S) donné, un point O appartenant à (S) et un repère orthonormé R(O, x�⃗, y
�⃗, z⃗ ), on
appelle tenseur d’inertie de (S), en O, relativement au repère considéré, noté IO , la matrice
symétrique :

Où :

𝐼𝑥𝑥
𝐼𝑜 = �−𝐼𝑦𝑥
−𝐼𝑧𝑥

−𝐼𝑥𝑦
𝐼𝑦𝑦
−𝐼𝑧𝑦

−𝐼𝑥𝑧
−𝐼𝑦𝑧 �
𝐼𝑧𝑧

(3.20)

Ixx = ∫v (y 2 + z 2 )dm : Moment d’inertie par rapport à l’axe des x.

Iyy = ∫v (x 2 + z 2 )dm : Moment d’inertie par rapport à l’axe des y.
40

Izz = ∫v (x 2 + y 2 )dm : Moment d’inertie par rapport à l’axe des z.
Ixy = ∫v (xy)dm : Produit d’inertie par rapport aux axes Ox et Oy.
Ixz = ∫v (xz)dm : Produit d’inertie par rapport aux axes Ox et Oz.

Iyz = ∫v (yz)dm : Produit d’inertie par rapport aux axes Oy et Oz.

3.4.3. Cas particuliers
3.4.2.1

Le système présente certains plans de symétrie

Si Oxy est un plan de symétrie : à tout point M1 de côte z, on peut associer le point M2 de côté
–z :
𝑧⃗
𝑥⃗

𝑜

𝑦⃗

.
.

𝑀1 (𝑧)
𝑀2 (−𝑧)

Figure 3.3. 𝑂𝑥𝑦 plan de symétrie

Ixz = ∫v xzdm = 0 et Iyz = ∫v yzdm = 0 car zG = 0

Si Oyz est plan de symétrie : à tout point M1 de côte x, on peut associer le point M2 de côté – x :
𝑥⃗
𝑜

𝑦⃗
𝑧⃗

.
.

𝑀1 (𝑥)
𝑀2 (−𝑥)

Figure 3.4. 𝑂𝑥𝑧 plan de symétrie

Iyx = ∫v yxdm = 0 et Izx = ∫v zxdm = 0 car xG = 0

De même, Si Oxz est plan de symétrie : à tout point M1 de côte y, on peut associer le point M2
de côté – y :

41

𝑦⃗

𝑥⃗

𝑜

𝑧⃗

.
.

𝑀1 (𝑦)
𝑀2 (−𝑦)

Figure 3.5. 𝑂𝑥𝑧 plan de symétrie

Iyz = ∫v yzdm = 0 et Ixy = ∫v xydm = 0 car yG = 0

3.4.2.2

Le système est un corps de révolution autour de l'axe Oz

Tout plan contenant l’axe Oz est un plan de symétrie ; en particulier les plans Oxz et Oyz, donc :
Ixy = Ixz = Iyz = 0

Ixx = Iyy (Ox et Oy ont le même rôle).

3.4.4. Axes principaux d’inertie

�⃗1 � dans
La matrice d’inertie Io est diagonalisable, il existe une base orthonormée �ı⃗1 , ⃗ȷ1 , k
laquelle elle est diagonale :
𝐼𝑜𝑥1
𝐼𝑜 = � 0
0

0

𝐼𝑜𝑦1
0

0
0 �

(3.21)

𝐼𝑜𝑧1

Il est donc possible de trouver, par changement de base, un système d’axes orthonormés tel que
les produits d’inertie soient nuls.
Cette base est appelée base principale d’inertie, ses axes, axes principaux d’inertie, la matrice,
matrice principale d’inertie et les termes diagonaux, moments principaux d’inertie.
3.4.5. Théorème de Huygens
Connaissant le moment d’inertie par rapport à un axe (∆) passant par le centre d’inertie O, le
�⃗ parallèle à
théorème de Huygens permet de calculer le moment d’inertie par rapport à tout axe Au
Ou
�⃗.

42

𝑧⃗

𝑧

𝑥

𝑥⃗

.

𝑢
�⃗

𝑃
𝑦

𝑜

𝑑

𝑑2

𝐻
𝑢
�⃗

𝑑1

𝑦⃗

Figure 3.6. Théorème de Huygens

Soit le repère R(O, x�⃗, �y⃗, z⃗ ) et soit :

�����⃗
𝑂𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ; ������⃗
𝑂𝐻 = (𝑑1 , 𝑑2 , 𝑧)

(3.22)

������⃗
𝐻𝑃 = (𝑥 − 𝑑1 , 𝑦 − 𝑑2 , 0)

(3.23)

𝐼𝐴𝑢�⃗ = � ((𝑥 − 𝑑1 )2 + (𝑦 − 𝑑2 )2 )𝑑𝑚

(3.24)

𝐼𝐴𝑢�⃗ = � (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑚 + � (𝑑12 + 𝑑22 )𝑑𝑚 − 2 � (𝑥𝑑1 + 𝑦𝑑2 )𝑑𝑚

(3.25)

𝐼𝐴𝑢�⃗ = 𝐼𝑂𝑢�⃗ + 𝑚𝑑 2 − 2𝑑1 � 𝑥𝑑𝑚 − 2𝑑2 � 𝑦𝑑𝑚

(3.26)

On a alors :

D’où :

𝑉

𝑉

Où d est la distance entre Ou
�⃗ et Au
�⃗.

𝑉

𝑉

𝑉

𝑉

Or par définition, ∫V xdm = ∫V ydm = 0 car O est le centre d’inertie. On a donc :
𝐼𝐴𝑢�⃗ = 𝐼𝑂𝑢�⃗ + 𝑚𝑑 2

(3.27)

Le théorème de Huygens stipule que le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe Au
�⃗ est
égal au moment d’inertie de ce corps par rapport à un axe parallèle à Ou
�⃗ passant par le centre de
masse du solide augmenté du produit de la masse de ce solide par le carré de la distance du centre
de masse à Ox.

Ce théorème s’applique uniquement à partir du moment d’inertie par rapport à un axe passant
par le centre de masse.

43

3.4.6. Moment d’inertie par rapport à une droite quelconque (∆)

Soit n
�⃗ le vecteur directeur unitaire de l’axe (∆). Le moment d’inertie par rapport à cette droite
est défini par :
𝐼∆ = � 𝑟 2 𝑑𝑚

(3.28)

𝑣

Où r représente la distance de l’élément matériel P à la droite (∆) ;

Si Io est le tenseur d’inertie en O, le moment d’inertie par rapport à la droite ∆, passant par O et
de direction n� , est :
𝐼∆ = 𝑛�𝑡 ∙ 𝐼𝑜 ∙ 𝑛�

(3.29)

Où n� t est le transposé du vecteur directeur unitaire de la droite (∆) ;

Donc le moment d’inertie du système (S) par rapport à la droite (∆, n� ) est le produit doublement
contracté du tenseur d’inertie Io par le vecteur unitaire n� .
𝑧⃗

(𝑆)
𝑥⃗

𝑜

.
𝑛�⃗

𝑃

𝐻

(∆)

𝑦⃗

Figure 3.7. Moment d’ inertie par rapport à une droite
3.4.7. Produit d’inertie par rapport à deux droites perpendiculaires
Le produit d’inertie noté Int est défini par :

𝐼𝑛𝑡 = � 𝑥𝑛 𝑥𝑡 𝑑𝑚

(3.30)

𝑥𝑛 = �����⃗
𝑂𝑃𝑛�⃗ ; 𝑥𝑡 = �����⃗
𝑂𝑃𝑡⃗

(3.31)

𝑣

Avec xn et xt sont les coordonnées de P sur les axes (∆) et (∆′ )

Le tenseur d’inertie étant connu en Io , le produit d’inertie par rapport aux droites
perpendiculaires ∆(O, n
�⃗) et ∆′ �O, ⃗t� (figure 2.12) est :
𝑡

𝐼𝑛𝑡 = −�𝑡⃗� ∙ 𝐼𝑜 ∙ 𝑛�⃗

(3.32)

44

t

Où n
�⃗ est le vecteur directeur unitaire de la droite (∆) passant par O et �t⃗� la transposé du
vecteur directeur unitaire t⃗ de la droite (∆′ ) perpendiculaire avec (∆) en O.
Le produit d’inertie d’un système par rapport à deux droites perpendiculaires (O, n
�⃗) et �O, t⃗� est
égal à l'opposé du produit doublement contracté du tenseur d’inertie par les vecteurs n
�⃗ et t⃗.
(∆′ )

𝑥⃗

𝑧⃗

𝑡⃗

𝑜

.
𝑛�⃗

𝑃

𝐻

(𝑆)

(∆)

𝑦⃗

Figure 3.8. Produit d’inertie

3.5 Centres et matrices d’inertie pour quelques solides
Dans le tableau suivant sont rassemblés quelques résultats utiles pour des solides simples.
Tableau 3.1. Centre d’inertie pour quelques solides
Solides homogènes de masse M
𝑥
𝑜
𝑦

𝑅

𝑧

Centres d’inertie

Centre

Cylindre plein
𝑥
𝑜
𝑦

𝑅

𝑧

Centre

Cylindre creux
𝑏

𝑧
𝑜
𝑥

𝑦

𝑎

𝑐

Centre

Parrallèlépipède rectangle
𝑧
𝑜
𝑥

𝑅

𝑦

Sphère pleine

Centre

Moments et produits d’inertie en 𝑶
𝑀𝑅 2 𝑀𝐿2
+
4
12
𝑀𝑅 2
𝐼𝑧 =
2

𝐼𝑥 = 𝐼𝑥 =

𝑀𝑅 2 𝑀𝐿2
𝐼𝑥 = 𝐼𝑥 =
+
2
12
𝐼𝑧 = 𝑀𝑅 2
𝑀(𝑏 2 + 𝑐 2 )
12
𝑀(𝑎2 + 𝑐 2 )
𝐼𝑦 =
12
𝑀(𝑎2 + 𝑏 2 )
𝐼𝑧 =
12
𝐼𝑥 =

𝐼𝑥 = 𝐼𝑦 = 𝐼𝑧 =

2
𝑀𝑅 2
5

45

𝑧
𝑜
𝑥

𝑅

𝑦

𝐼𝑥 = 𝐼𝑦 = 𝐼𝑧 =

Centre

Sphère creuse
𝑧

𝑅

𝑜
𝑥

𝑦



𝑧𝐺 =

𝑀𝑅 2 𝑀ℎ2
+
4
4
𝑀𝑅 2
𝐼𝑧 =
2

𝐼𝑥 = 𝐼𝑦 =

2ℎ
3

Cône creux
𝑧

𝑅

𝑜
𝑥

𝑦



𝑧𝐺 =

3𝑀𝑅 2 3𝑀ℎ2
+
20
5
3𝑀𝑅 2
𝐼𝑧 =
10

𝐼𝑥 = 𝐼𝑦 =

3ℎ
4

Cône plein
𝑦

𝑜

𝑧

𝑅

𝑥

𝑥𝐺 = 𝑦𝐺 =

2𝑅
𝜋

𝑀𝑅 2
2
𝐼𝑧𝑧 = 𝑀𝑅 2
𝑀𝑅 2
𝐼𝑥𝑦 =
𝜋

𝐼𝑥𝑥 = 𝐼𝑦𝑦 =

Quart de cercle matériel
𝑦

𝑏

𝑜

𝑎 𝑥

𝑧

Quart de plaque elliptique
𝑦

𝑜

𝑧

𝑅
𝛼

𝑥

Secteur circulaire

4𝑎
3𝜋
4𝑏
𝑦𝐺 =
3𝜋

𝑥𝐺 =

𝑥𝐺 =

2
𝑀𝑅 2
3

2 sin 𝛼
𝑅
3
𝛼

𝑀𝑏 2
𝑀𝑎2
𝐼𝑥𝑥 =
; 𝐼𝑦𝑦 =
4
4
𝑀(𝑎2 + 𝑏 2 )
𝐼𝑧𝑧 =
4
𝑀𝑎𝑏
𝐼𝑥𝑦 =
2𝜋
𝑀𝑅 2
sin 2𝛼
�1 −

4
𝛼
𝑀𝑅 2
sin 2𝛼
𝐼𝑦 =
�1 +

4
𝛼
𝑀𝑅 2
𝐼𝑧 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 =
2
𝐼𝑥 =

46

3.6 Exercices
A. Déterminer le centre d’inertie des corps solides homogènes suivants :
- Un demi-cercle matériel de rayon R ;
- Un demi disque matériel de rayon R ;
- Une demi sphère matérielle creuse de rayon R ;
- Une demi sphère matérielle pleine de rayon R.
B. Déterminer, par intégration et par le théorème de Guldin, les coordonnées des centres
d’inertie des corps surfaciques homogènes suivants :

C. Déterminer le centre d’inertie du disque homogène après avoir percé un trou de rayon r ,
comme indiqué sur la figure.

D. Déterminer les tenseurs d’inertie en O relativement au repère orthonormé des solides
homogènes (S) suivants :
- Une barre AB de longueur L, de milieu O, portée par l’axe Oy ;
- Un cercle de centre O, de rayon R, d’axe Oz ;
- un disque de centre O, de rayon R, d’axe Oz ;
- une sphère creuse de centre O, de rayon R ;
- une sphère pleine de centre O, de rayon R ;
- une plaque rectangulaire de dimension a x b de centre de gravité O, l’axe Oz est
perpendiculaire à la plaque ;
- un parallélépipède plein de dimension 2a x 2b x 2c et le centre du repère est en O
milieu du côté 2a.

47

Chapitre IV
CINEMATIQUE

48

4. CINEMATIQUE
4.1.

Introduction

La cinématique est l’étude des mouvements en fonction du temps, indépendamment des causes
qui les provoquent. Cela ne peut être fait que par rapport à un référentiel où l’on pourrait
déterminer la position du corps mobile.

4.2.

Cinématique du point

On rappel ici les définition de la position, de la vitesse et de l’accélération d’un point M par
rapport à un repère R(O, x�⃗, y
�⃗, z⃗ ).

4.2.1. Trajectoire

Soit un point M repéré dans un référentiel R(O, x�⃗, y
�⃗, z⃗ ) fixe. Sa position est déterminée par le
vecteur position à l'instant t :
𝑥(𝑡)
������⃗
𝑟⃗ = 𝑟⃗(𝑡) = 𝑂𝑀(𝑡) = �𝑦(𝑡)
𝑧(𝑡)

(4.1)

Où x(t), y(t) et z(t) sont les coordonnées du point M à l'instant t. M(t) est la position du point
M à l'instant t. M ′ (t + ∆t) est la position du point M à l'instant (t + ∆t). ���������⃗
MM ′ est le vecteur
déplacement du point M.
L’ensemble des positions du point M au cours du temps s’appelle trajectoire (Γ).
-

Si (Γ) est une droite, le mouvement du point est rectiligne;
Si (Γ) est une courbe, le mouvement du point est curviligne.
(Γ)

𝑧⃗

𝑥⃗

𝑟⃗(𝑡)
𝑜

𝑀(𝑡)
Δ𝑟⃗

𝑀(𝑡 + Δ𝑡)

𝑟⃗(𝑡 + ∆𝑡)

Figure 4.1. Trajectoire d’un point

𝑦⃗

4.2.2. Vecteur vitesse
La vitesse du point M par rapport au repère R, à l’instant t, est la dérivée du vecteur position r⃗(t)
par rapport à t dans R :
�⃗ =
𝑉

𝑑 𝑅 𝑟⃗
𝑑𝑡

(4.2)

Le vecteur vitesse du point M à l’instant t est tangent à la trajectoire en M(t).
49


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