Série Bijections Bac Math et sc exp .pdf

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Mr :Khammour.K

Série n°6 : « Bijections »

4èmeMath et Sc-exp

Novembre 2015

Exercice n°1 :
Soit la fonction f définie sur IR+ par : f  x  

1
.
1 x

1) a) Dresser le tableau de variation de f.
b) Montrer que f réalise une bijection de IR+ sur un intervalle J à déterminer.
c) Déterminer f 1  x  pour tout x J .
1 
2) Montrer que l’équation f(x) = x admet une solution unique 𝛼 dans IR+ et que    ,1 .
2 

3) On considère la suite U définie sur IN par : {

U0  1

Un1  f  Un  pour tout n  IN

1
 Un  1 .
2
2
1 
b) Montrer que pour tout x et y dans  ,1 , f  x   f  y  
x y .
2
2 

a) Montrer que pour tout n  IN

c) En déduire que pour tout n  IN, U n 1   

2
Un   .
2
n

 2
Un   .
d) Prouver que pour tout n  IN, U n    
 U 0   . En déduire nlim

 2 
Exercice n°2 :
1
Soit f la fonction définie sur 0,  par : f  x   2 
.
1  x2
1) Montrer que f réalise une bijection de 0,  sur un intervalle J à préciser. Tracer Cf.

2) Déterminer f 1  x  pour tout x J .Tracer Cf-1.

3) a) Montrer que l’équation f(x) = x admet une solution unique 𝛼 dans 0,  .Vérifier que   1, 2 .
4) b) En déduire la position relative de Cf par rapport à  : y  x .
5) Soit la suite  Un  définie sur IN par : {

U0  0

Un1  f  Un  pour tout n  IN

a) Montrer que pour tout n  IN 0  U n   .

b) Montrer que pour tout n de IN  Un  est croissante.
c) En déduire que  Un  est convergente et déterminer sa limite.
Exercice n°3 :
sin 2 x
 
On considère la fonction f définie sur  0,  par : f  x  
.
sin x
 2

1) Etudier la dérivabilité à gauche en
.
2
 
 
2) Montrer que f dérivable sur  0,  et calculer f’(x) pour tout x   0,  .
 2
 2

 
3) Montrer que f réalise une bijection de  0,  à un intervalle J à préciser.
 2
4 x
4) Montrer que f-1 dérivable sur J et que pour tout x  J f 1  x  
.
4  x4
 1 
5) Pour tout x>0 on pose g ( x)  f 1 2 x  f 1 
.
 x



a) Calculer f 1



 2 .

b) Montrer que g est dérivable sur J et calculer g’(x).

c) Montrer que pour tout x  J g ( x)  .
2
Exercice n°4 :
x
Soit la fonction f définie sur 1,1 par : f ( x) 
1  x2
1) a) Montrer que f réalise une bijection de 1,1 sur IR.
2) b) Tracer  Cf  et  Cf 1  .

3) a) Montrer que pour tout x  0,1 f ( x)  x .

4) b) En déduire que pour tout x 0,  f 1 ( x)  x .
5) Soit la suite  Un  définie sur IN par : {

U0  0

Un1  g 1  Un  pour tout n  IN

Avec g est la restriction de f sur ]0,1[.
a) Montrer que pour tout n  IN 0  U n 

3
.
4

b) Montrer que U est décroissante.
c) En déduire que U est divergente et calculer sa limite.
4) Expliciter g 1 ( x) pour tout x  IR
Exercice n°5 :
2x 1
Soit la fonction f définie sur I=]0,1[ par : f  x  
. On désigne par  Cf  la courbe représentative de f dans
x  x2





un repère O,i,j .
1) a) Montrer que f est dérivable sur I et que pour tout x de I f '  x  

2



1
xx

2



3

.

b) Dresser le tableau de variation de f.
2) a) Déterminer f “(x) et montrer que  Cf  admet un point d’inflexion I au point d’abscisse
b) Ecrire l’équation de la tangente T à  Cf  au point I.
c) Tracer  Cf  et T.
3) a) Montrer que f réalise une bijection de I sur un intervalle J à préciser.
b) Tracer la courbe (C’) de f-1.
1
 
4) Soit h la fonction définie sur  0,  par : h  x   f  cos2 x  .
2
 2

1
.
2

 
5) a) Montrer que pour tout x   0,  ; h  x   cotan  2 x  .
 2
 
b) Montrer que h réalise une bijection de  0,  sur IR.
 2
6) a) Soit ψ la fonction réciproque de h . Calculer ψ  0  ;ψ 1 et lim ψ( x) .
x 

b) Montrer que ψ est dérivable sur IR et que pour tout x de IR ; ψ '( x)  

1
.
2 1  x 2 

1 
c) Montrer que pour tout x>0 , ψ  x   ψ    .
 x 4

7) On considère la suite V définie sur IN* par : Vn 

1 n  1 
ψ
.
n  1 k 0  n  k 

a) Montrer que pour tout n  IN* et pour tout k 0, n : ψ(2n)  ψ(n+k)  ψ(n) .





 ψ(n)  Vn 



 ψ(2n)
4
4
c) Montrer que V est converge et déterminer sa limite.
Exercice n°6 :
2x  4
On considère l’application f définie sur 0, 4 par: f ( x) 
, on désigne par Cf sa courbe dans un repère
4x  x2

b) En déduire que



orthonormé O,i,j .
1) a) Etudier les variations de f.
b) Montrer que f est une bijection de ]0,4[ sur IR.
c) Soit g la fonction réciproque de f. Montrer que pour tout x de IR g ( x)  2 

2x
x2  4

.

2) Montrer que l’équation f(x)=x admet dans ]0,4[ une solution unique 𝛼 > 2
3) a) Déterminer une équation de la tangente T à Cf au point d’abscisse 2.
b) Etudier la position de Cf par rapport à T. Tracer Cf , T et la courbe C’ représentant g.
U0  
4) On considère la suite (Un) définie sur IN par : {
Un1  g  Un  pour tout n  IN
a)
b)
c)
d)

Démontrer que pour tout n  IN U n   .
Déterminer graphiquement le signe de g(x)-x.
En déduire le sens de variation de (Un).
Montrer que la suite (Un) admet une limite l que l’on précisera.

2
  
  1
5) Soit la fonction h définie sur un intervalle E=   ,  par : h( x) 
; h   .
g  2tg  x  
 2 2
 2 2
1
  
a) Montrer que pour tout x    ,  , h( x) 
.
1  sin x
 2 2





b) Montrer que h réalise une bijection de E sur un intervalle J à préciser. Déterminer h 1  2  et h 1 2  2 .
-1

c) Etudier la dérivabilité de h sur J puis déterminé sa fonction dérivée .



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