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Université du Maine - Faculté des Sciences

CHIM 305 A Semaine 3
Correction - TD n°1 - Chromatographie

TD 1 : Chromatographie
Correction
1- Grandeurs caractéristiques de la chromatographie
a) Nombre de plateaux théoriques
Nous savons que le nombre de plateaux théoriques d’une colonne peut être calculé d’après les relations suivantes :
t2
t2
N = 2 = 5,54 R2 = 16 R2 .
σ
δ
ω
Nous disposons ici de tR et de ω exprimés dans les mêmes unités (en min.). On peut donc calculer N pour A, B, C et D.

t2R

Application numérique : A : N= 2775

B : N = 2472

b) Hauteur équivalente à un plateau théorique
L
Définition : HEPT =
N
c) Facteur de rétention
€
t'R t R - t 0
Définition : k =
=
t0
t0

C : N = 2364

D : N = 2523

Moyenne : N = 2534

Application numérique : H = 9,75*10-3 cm

Application numérique : Pour le composé A, k =

d) Coefficient de distribution
CS
VS
VM
€
Définition : K =
mais on peut également relier k et K : k = K ∗
, d’où K = k ∗
CM
VM
VS
1,37
= 6,2
Application numérique : Pour le composé A, K = 0,74 ∗
0,164
€
€
€
Facteur de résolution
t R 2 − t R1
Définition : R = 2 ∗
ω1 + ω 2

5, 4 - 3,1
= 0,74
3,1

€

e)

€

Application numérique : R = 2 ∗

14,1 − 13,3
= 0,72
(1,07 + 1,16)

La résolution est insuffisante (R < 1,5) pour considérer que l’on a une bonne séparation de B et C.

€ f)

€

Longueur de colonne

Dans les conditions actuelles, R1 = 0,72 pour N1 = 2534.
R1
N1
L
On veut obtenir R2 = 1,5. D’après la relation
, on en déduit que N2 = 10 998. Comme HEPT = , on a
=
R2
N2
N
L2 = H 2 ∗ N 2.
Application numérique : L 2 = 9, 75.10 −3 ∗ 10 998 = 107 cm

€

g) Temps requis pour séparer B et€C
€
R1
t R1
t R1
Nous savons que :
. Pour R1 = 0,72 et R2 = 1,5, nous obtenons que :
=
= 0,23 .
R2
t R2
t R2
14,1
Or, on sait que tR1 = 14,1 min. d’où tR2 =
= 61,3 min.
0,23

€

€

€

2- Séparation des isomères du tert-butylhydroxyanisole
€
a) Calcul du temps de rétention mort t0
Nous
t0 =

savons

que

v,

la

vitesse

linéaire

de

l’éluant

a

pour

formule :

L
25
=
= 186, 6 secondes ou 3,11 minutes.
v 0, 134

€
€

b) Calcul des facteurs de rétention k et du facteur de sélectivité α

v=

longueur de la colonne
t0

d’où

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Le facteur de rétention k a pour formule : k =

t'R t R - t 0
.
=
t0
t0

Le facteur de sélectivité α a pour formule : α =
Application numérique :

′
tR2
k 2-BHA
=
′
tR1
k 3-BHA

€
% propan-2-ol
€

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1

2

3

5

7

10

k2-BHA

29,87 8,87 4,53 2,44 1,64 1,19

k3-BHA

14,37 5,95 3,28 1,89 1,25 0,93

α

2,08 1,48 1,38 1,29 1,31 1,28

Pour les forts pourcentages en propan-2-ol, on peut considérer que α a une valeur constante.
c)

Calcul du nombre de plateaux théoriques
Nous disposons du facteur de résolution R dont la définition est : R = 2 ∗

Par approximation, on considère que : ω1 = ω2 d’où : R =
D’autre part, α =

t R 2 − t R1
ω

t R 2 − tR 1
ω1 + ω2

.

.

t
R
0,28 ∗t R1
t′R2
et R1 =
= 1,28 d’où R =
t′R1
ω 0,28
ω

t2
R2
Or, N = 16 R d’où N = 16
(0,28) 2
ω2
€
€

Application numérique :

N = 816 plateaux théoriques

Application numérique :

HEPT =

€

Calcul de la HEPT

L
Définition :€HEPT =
N

25
= 0,031cm
816

d) Calcul de la longueur de colonne nécessaire pour atteindre un facteur de résolution de 1,5
€
On sait que pour N1 = 816 plateaux théoriques, on a R1 = 2. D’après l’équation fournie, on peut calculer N2 pour atteindre
un facteur de résolution R2 = 1,5.

R1
=
R2

N1
N2

Comme €
HEPT =

e)

2

 R1 
 R1 
N1
d’ou   =
et N 2 = N1 ∗  
N2
 R2 
 R2 

2

L
, on €
en déduit que L = HEPT * N
N

Application numérique :

N2 = 459 plateaux théoriques

Application numérique :

L = 0,031 * 459 = 14,29 cms

Calcul du temps requis pour séparer 2-BHA et 3-BHA

Nous savons que :

t R1
t R2

N1

=

N2

Application numérique :

€

ou

t R1 N1
N2
d’où t R2 = t R1 ∗
=
t R2 N 2
N1

N1 = 816 plateaux théoriques et tR1 = 6,8 minutes
N2 = 459 plateaux
théoriques et tR2 = 3,825 minutes
€

€

3- Facteur de résolution R
a) Calcul de σ, l'écart-type des pics observés pour les deux composés n-octane et 2-méthyl heptane
Nous savons que : N =
Application numérique :
Pour tR = 200 s, σ = 3,33 s
Pour tR = 204 s, σ = 3,40 s

t2R

σ

2

d’où σ =

tR
N

d’où σmoyen = 3,36 s

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Correction - TD n°1 - Chromatographie

Calcul du facteur de résolution si on analyse dans les mêmes conditions un mélange équimolaire des deux produits
tR − t R 1
Nous savons que : R = 2 ∗ 2
avec ω = 4*σ
ω1 + ω2
d’où R =

2 ∗ (t R 2 − tR 1 )

Application numérique :

8σ

R=

2 ∗ (204 − 200)
= 0,3
8 ∗ 3,36

légende
Chromatogramme du n-octane seul
Chromatogramme du 2-méthyl heptane seul
Chromatogramme du mélange équimolaire

ω = 4*σ = 4*3,6 = 13,44
13,44
200

192

204

212

secondes

Tracer à main levée, mais avec quelques repères quantitatifs, l'allure du chromatogramme observé.
b) Calcul du facteur de résolution pour un mélange équimolaire des deux produits avec la nouvelle colonne
tR
204
= 1, 02 .
Nous savons que le rapport des temps d’élution des deux composés est resté inchangé d’où : 2 =
tR 1 200
D’autre part, comme dans la 1ère partie de l’exercice, R =
Nous en déduisons que : R =

1,02 ∗ tR 1 − tR 1
4 ∗σ

Pour déterminer R, il faut calculer le rapport
qui est de 40 000. En effet, N =
Nous en déduisons que : R =

t2R

σ

2

0,02
4

∗

d’où

=

2 ∗ (t R 2 − tR 1 )
8σ

=

tR 2 − t R 1
4σ

.

0,02 ∗ t R
.
4 ∗σ

tR
, ce qui est possible à partir du nombre de plateaux théoriques de la colonne,
σ

tR
=
σ

N.

N

Application numérique :

R=

0,02 ∗ 40 000
=1
4

légende
Chromatogramme du n-octane seul
Chromatogramme du 2-méthyl heptane seul
Chromatogramme du mélange équimolaire

secondes
Tracer à main levée, l'allure du chromatogramme observé.
c)

Déterminer les valeurs des paramètres de l'équation de Van Deemter pour cette colonne en précisant dans quelle
unité vous les exprimez.

Données : à v1 = 10 cm / s, N1 = 40 000

et

à v2 = 20 cm / s, N2 = 32 000

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L
B
= A + + C∗v .
N
v
D’autre part, il s’agit ici d’une colonne capillaire d’où : A = 0.
L B
L’équation de Van Deemter devient : H =
= +C∗ v .
N v
Nous avons donc un système de 2 équations à 2 inconnues à résoudre :
L
B
H1 =
=
+ C ∗ v1
N1 v1
L’équation de Van Deemter est : H =

H2 =

(1)

L
B
L
B
=
+ C ∗ v 2 ou H2 =
=
+ 2 ∗ C ∗ v1 puisque v2 = 2* v1.
N2 v2
N2 2 ∗ v1

(2)

Résolution du système :
B
H1 =
+ C ∗ v1
v1

H2 − 2 ∗ H1 =
H1 =

(1)

B
B −3 ∗ B
−2 ∗
=
2 ∗ v1
v1 2 ∗ v1

(3) = (2) – 2*(1)

B
+ C ∗ v1
v1

(1)

2∗ v

1
(3)
3
On peut ainsi calculer B. L’unité de la vitesse étant en cm / s, il faut exprimer les hauteurs de plateaux théoriques en cm
B = - (H 2 − 2∗ H1) ∗

également.
Application numérique :
2 000
2 000
2∗10
d’où
B = -(
− 2∗
)∗
32 000
40 000
3

B = 0,25cm2 /s

On reporte la valeur de B dans l’équation (1) d’où C =

1
B
1
2 000 0, 25
∗ (H1 −
)=
∗(
−
).
v1
v1
10 40 000 10

C = 2,5.10-3 s
2

-3

Les valeurs des paramètres de l’équation de Van Deemter sont : A = 0 cm, B = 0,25cm /s et C = 2,5.10 s .

4- Equation de Van Deemter
a) Calcul de la vitesse linéaire moyenne du gaz vecteur pour chaque expérience.
Pour déterminer la vitesse du gaz vecteur, il suffit de connaître le temps mis par ce gaz pour traverser la colonne de 30
mètres. Or, ce temps correspond au temps mort t0 que l’on peut calculer à partir de k.
t′
t −t
t
t
k = R = R 0 = R − 1 d’où t0 = R
Application numérique :
t0
t0
t0
k +1
Le gaz vecteur met 90,9 s pour traverser la colonne de 30 mètres d’où : v1 =

3000
= 33cm/s
90,9

Pour la deuxième analyse, on suit le même raisonnement que précédemment.
400
Application numérique : t0 =
= 181,81 s
1,2 + 1
Le gaz vecteur met 181,81 s pour traverser la colonne de 30 mètres d’où : v2 =

Calcul des paramètres de l’équation de Van Deemter pour cette colonne.
Données :

à v1 = 33 cm / s, N1 = 20 000
à v2 = 16,5 cm / s, N2 = 30 000

3000
= 16,5 cm/s
181,81

t0 =

200
= 90,9 s
1,2 + 1

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L’équation de Van Deemter est : H =

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L
B
= A + + C∗v .
N
v

D’autre part, il s’agit ici d’une colonne capillaire d’où : A = 0.
L B
L’équation de Van Deemter devient : H =
= +C∗ v .
N v
Nous avons donc un système de 2 équations à 2 inconnues à résoudre :
L
B
L
B
H1 =
=
+ C ∗ v1 ou H1 =
=
+ 2 ∗ C ∗ v 2 puisque v1 = 2* v2.
N1 v1
N1 2 ∗ v 2

H2 =

(1)

L
B
=
+ C ∗ v2
N2 v2

(2)

Résolution du système :
L
B
H2 =
=
+ C ∗ v2
N2 v2

H1 − 2 ∗ H2 =
H2 =

(2)

B
B −3 ∗ B
−2 ∗
=
2 ∗ v2
v 2 2 ∗ v2

(3) = (1) – 2*(2)

L
B
=
+ C ∗ v2
N2 v2

B = - (H1 − 2∗ H 2) ∗

(2)

2∗ v
3

2

(3)

On peut ainsi calculer B. L’unité de la vitesse étant en cm/s, il faut exprimer les hauteurs de plateaux théoriques en cm
également.
Application numérique :
3 000
3000
2∗16,5
d’où
B = -(
− 2∗
)∗
20 000
30 000
3

B = 0,55cm2 /s

On reporte la valeur de B dans l’équation (2) d’où C =

1
B
1
3000 0,55
∗ (H 2 −
)=
∗(
−
).
v2
v2
16,5 30 000 16,5

C = 4,04.10-3 s
2

-3

Les valeurs des paramètres de l’équation de Van Deemter sont : A = 0 cm, B = 0,55cm /s et C = 4,04.10 s .

b) Quels sont les débits de gaz dans chaque cas et quel débit permettrait d’obtenir le nombre optimum de plateaux
théoriques ?
On connaît le temps mis par le gaz pour traverser la colonne. Il suffit de déterminer le volume de la colonne.

Vcolonne = π ∗ r 2 ∗ L
−1 2

3

Application numérique : Vcolonne = π ∗ (0,1.10 ) ∗ 3000 = 0,9425 cm
0,942
0,942
3
−3
3
= 0,0104 cm /s et D2 =
= 5,181.10 cm /s
D’où D1 =
90,9
181,81

Débit optimum : dans la courbe de Van Deemter, le débit le plus efficace est atteint lorsque la vitesse est la plus efficace c’està-dire lorsque la courbe associée à l’équation de Van Deemter présente un minimum (cf cours).
dHEPT
Quand HEPT est minimum alors
= 0.
dv
B
B
− 2 + C = 0 et v =
C
v
Application numérique :

voptimum = 11,66 cm/s
Débitoptimum = 11,66 ∗ π ∗ (0,01) 2 = 3,66.10−3 cm3 /s

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5- Analyse quantitative
Il s’agit d’une analyse quantitative par étalonnage interne. On détermine, dans un premier temps, le coefficient de réponse
relatif vis-à-vis de la colonne du produit A par rapport à l’étalon interne E grâce aux relations :

mA = K A ∗ A A

K A/E =

K A mA ∗ A E C A ∗ A E
=
=
K E mE ∗ A A C E ∗ A A

mE = K E ∗ A E
Calcul de KA/E d’après les données :
Étalon n°

1

2

3

4

5

6

7

8

CA (g/L)

0,1

0,2

0,4

0,5

0,6

0,8

1

1,2

CE (g/L)

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

*

50,5

99,5

201

251

298

399

501

598,5

SE*

225

225

224,5

225

225,5

225

225

225,5

KA/E

0,891

0,905

0,894

0,897

0,908

0,902

0,898

0,904

SA

* unités arbitraires

d’où K A/E (moyen) = 0,8999 .

Dans un deuxième temps, on effectue l’analyse chromatographique sur les échantillons à doser. Les conditions opératoires
étant identiques à la manipulation précédente, on peut écrire :

K A/E =
c’est-à-dire

C ′A ∗ A ′E
C ′E ∗ A ′A

C E′ = K A/E ∗

C ′E ∗ A ′A
A′E

A′E et A′E sont connus. La concentration de l’étalon interne (le propan-1-ol) C ′E est calculée d’après les informations fournies.
5 ∗1
Application numérique : C E′ =
= 0, 5 g/L
10
On peut maintenant calculer C ′E qui correspond à la concentration de l’échantillon analysé pour les quatre conducteurs. Pour
atteindre la concentration d’alcool dans le sang de chaque conducteur, on multiplie par 2 (ne pas oublier la dilution effectuée
lors de la préparation des différents échantillons).
Rappel : les échantillons sont préparés par mélange de 5 µL d’une solution de 1-propanol à 1 g.L-1 et de 5 µL de plasma
(provenant de la prise de sang du conducteur).
Échantillon n°

1

2

3

4

S A*

287

124,5

378

28

SE*

225

225,5

225

226

C’E (g/L)

0,5

0,5

0,5

0,5

C’A (g/L)

0,5739

0,2844

0,7559

0,0557

C (g/L)
dans le sang

1,1479

0,4968

1,5118

0,1115

* unités arbitraires