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Lycée pilote Médenine

Similitudes

Hadj Salem Habib

Définition
Soient
P et
IR . L’homothétie de centre et de rapport k
est l’application de P dans P qui à tout point M associe le point M
tel que M
k M
L’homothétie de centre

et de rapport k est généralement noté h

,k

.

Remarques
Soit h

,k

l’homothétie de centre

1/ M

P\

M h

,k

et M h
M

,k

et de rapport k.

M

M h

MN

plan d’images respectives M et N
N
,k

M

M

2/ Soient M et N deux points du

par h

,k

, M et M sont alignés.

. On a : M N

k MN.

N h

,k

k MN
N

Théorème
Le plan complexe P est muni d’un repère orthonormé direct O; u; v .
Soit l’application f : P P; M z
Mz .
Si f est l’homothétie de centre z 0 et de rapport k IR \ 1 alors
z
kz 1 k z 0 .
Si z
az b et a IR \ 1 alors f est l’homothétie de rapport a et
de centre d’affixe b .
1 a

Théorème
Toute homothétie conserve les mesures des angles orientés.

Théorème
Soient h et h deux homothéties de rapport respectifs k et k avec
k, k
IR 2 . On a :
Si k k
1 alors h h est une translation.
Si k k
1 alors h h est une homothétie de rapport k k .

Conséquences
Soit h I,k une homothétie de centre I et de rapport k
IR . On a:
1/ h I,k est une application bijective et sa bijection réciproque est h

I,

1
k

.

2/ h I,k conserve le milieu,le barycentre,le parallélisme et l’orthogonalité
3/ Soient A et B deux points du plan et r un réel strictement positif.
Désignons par A
h I,k A et B
h I,k B . On a:
AB ,
h I,k AB
A B , h I,k C A,r C A ,|k|r
h I,k AB

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Bac Maths

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Définition Soient k

IR et l’application : P
P. On a par définition :
est une similitude de rapport k )
P2; M N

M, N

k MN

avec M

M et N

N

Remarques 1/ est une isométrie

est une similitude de rapport 1.
h est une similitude
2/ h est une homothétie de rapport (
IR
de rapport | |.

Théorème

f est une similitude de rapport k

Si

g est une similitude de rapport k

alors gof est une similitude

de rapport k k

Théorème Soit f une similitude. On a :
Il existe une homothétie h et une isométrie

telles que f

h

.

Conséquences

Soit f une similitude de rapport k
IR . On a :
1) f est une application bijective et sa bijection réciproque f 1
similitude de rapport 1 .
est une
k
2) f conserve le milieu, le barycentre et le parallélisme,
l’orthogonalité et le contact.
3) Soient A et B deux points du plan et r un réel strictement positif.
Désignons par A
f A et B
f B . On a:
f AB
AB ,
f AB
AB ,
f C A,r C A ,kr
Théorème Soit f une similitude de rapport k
IR .
Si

k

1

alors

f admet un seul point fixe appelé centre de f.

Définition Soit f une similitude et f

h
l’une des décompositions de f en la
composée d’une homothétie et d’une isométrie.
1) On dit que f est une similitude directe lorsque est un déplacement.
2) On dit que f est une similitude indirecte lorsque est un antidéplacement.

Théorème

Une similitude directe conserve les mesures des angles orientés.
Une similitude indirecte change les mesures des angles orientés en
leurs opposées.

Conséquences
1/ La composée de deux similitudes directes est une similitude directe.
2/ La composée de deux similitudes indirectes est une similitude directe.
3/ La composée d’une similitude directe et d’une similitude indirecte est
une similitude indirecte.
4/ L’application réciproque d’une similitude directe est une similitude directe.
5/ L’application réciproque d’une similitude indirecte est une similitude indirecte.

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Théorème

et Définition

Si f est une similitude directe alors il existe un nombre réel , appelé angle
de la similitude, vérifiant : MN; M N

2

pour tous points M et

N distincts, d’images respectives M et N par f.
Notation: Soit f une similitude directe de centre A, de rapport k et d’angle .
On note f s A, k, .

Remarques

P;
1/ r

Théorème
Soit
P; ,
s ,k,
1/ s , k,
2/ s

1
, k,

s

,

IR et
s

;

IR

, 1,

2/ Si

IR alors h

Si

IR alors h

IR 2 et k, k
s ,kk,

IR

2

s

,

s

,

, ,0
,

,

.

.

.

1
,
k

Théorème

Définition

Toute similitude directe de centre , d’angle et de rapport k 1 se
décompose d’une manière unique sous la forme f h r r h où h
est l’homothétie de centre et de rapport k et r est la rotation de centre
et d’angle .
Cette décomposition est appelée forme réduite de la similitude directe f.

M

M s
M h
M r

M1

M
M2

M
M1
M2

,k,
,k
,

M1 r
M2 h

,
,k

M
M

Théorème Si AB et A B sont deux vecteurs non nuls, alors il existe une unique
similitude directe qui envoie A sur A et B sur B .

Corollaire

Deux similitudes directes qui coïncident en deux points distincts sont égales.

Théorème Soit f : P
1/ Si

2/ Si

f

P; M z
s

z

z

, k,

az

b

\ 1

a
b
1

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a

M z
alors

z

az

b

avec

a

ke i

b

1

a z

alors f est la similitude directe de centre d’affixe

, de rapport k

|a| et d’angle

Bac Maths

arg a

2 .

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Corollaire
Soient h une homothétie de centre et
Si
alors h S
S h.

Théorème

une droite. On a:

Définition

Toute similitude indirecte de centre et de rapport k IR \ 1 , se
décompose de manière unique sous la forme
f h S
S h
où h est l’homothétie de centre et de rapport k, et S est une
symétrie orthogonale d’axe passant par A.
Cette décomposition est appelée forme réduite de la similitude
indirecte.
M
M1

fM
M
M h ,k M 1
S M2
M

M
M2

M1 S M
M 2 h ,k M

Remarques
f est une similitude indirecte de centre , de rapport k et d’axe
1/ est le bissectrice intérieure de
M; M avec M
fM
2/ f f h ,k 2 .

Théorème
L’axe d’une similitude indirecte f de centre A et de rapport k est
l’ensemble des points M du plan tels que AM

k AM où M

fM .

Corollaire
Deux similitudes indirectes qui coïncident en deux points distincts sont
égales.

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