Géométrie dans l'espace Bac Sc exp Copie .pdf


Nom original: Géométrie dans l'espace Bac Sc exp - Copie.pdfTitre: D:\mathmouf(résumés de cours 4MAuteur: ZOUHAIER

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Lycée pilote Médenine

Géométrie dans l'espace

Hadj Salem Habib

I / RAPPELS SUR LES PRODUIT SCALAIRE
Définition : Produit scalaire

Géometrie dans l'espace

A, B et C sont trois points de l’espace.
Si

AB

O ou AC

O

alors

AB. AC

0

Si

AB

O et AC

O

alors

AB. AC

AB. AC. cos BAC

u, v et w sont trois vecteurs de l’espace.

Proprietés

1/ u. v

v. u

2/ u. v

w

u. v

3/ au . bv

ab

u. w
IR 2

u. v avec a, b

4/ B est une base orthonormée de l’espace.
x
Si u

a u. v

x
et v

y
z

alors

y
z

B

b

x2

u

c u v

B

xx

yy

zz

y2

z2 .

xx yy zz 0.

II/ Produit vectoriel
Définition : Produit vectoriel

u et v sont deux vecteurs.
Si
Si

u et v sont colinéaires
u et v sont colinéaires
u

v

alors
alors

u
u

v O
v est le vecteur tel que

AB. AC. sin BAC avec u AB. et v

u

AC

C

v
v

u, v, u

v

est une base orthogonale directe
A

u

B

Proprietés
u, v et w sont trois vecteurs.
u

v
u

v

u.

v

u

. u

v .w

u. v

v pour tout

w

w

i, j, k
i

j
u

k, i

k

j et j

v

k

i

a
et v

b
c

u

u .v

est une base orthonormée directe.

a
si

de IR 2 .

(Produit vectoriel dans un R.O.N.D.)

Théo rème
B

,

c

B

b

b’

c

c’

Hadj Salem Habib

alors

b

i

B

a

a’

c

c’

j

a

a’

b

b’

Bac Sc exp

k

Lycée pilote Médenine

Lycée pilote Médenine

Géométrie dans l'espace

Hadj Salem Habib

(Aire d’un parallélogramme - d’un triangle)

Théo rème

Aire du parallélogramme ABCD est
Aire du triangle ABD est 1 AB
2

AB

C

D

AD

AD
A

B

(Volume : parallélépipède - tétraèdre)

Théo rème

H
G

Le volume V du parallélépipède ABCDEFGH est
V

AB

AD . AE

dét AB, AD, AE

E

Le volume V’ du tétraèdre ABDE est
1 AB AD . AE 1 dét AB, AD, AE
V
6
6

III/ Droies - Plans - Sphères

F
D
C
A
B

Rappel (Distance d’un point à un plan)
Le plan P est muni d’un repère orthonormé.
Soit un plan P : ax
a, b, c; d

by

cz

IR 4 et a, b, c

d

M

0 où

0, 0, 0 .

H

On a, par définition : pour tout M x M ; y M ; z M
d M; P

ax M

by M
a2

d(M,P)

b2

cz M
c2

d

.

P

Sphère et plans:
Sphère S de centre A et de rayon R : M  S  AM = R .
l’équation x² + y² + z² + ax + by + cz + d = 0 et on pose h = (a² + b² + c² - 4d ) / 4 .
a b c
si h < 0 l’ensemble est le vide , si h = 0 l’ensemble est un point A(  ,  ,  ) et si h  0 l’ensemble est la
2 2 2
sphère de centre A et rayon h .
Equation cartésienne d’une sphère de centre A ( x0 , y0 , z0 ) et de rayon R .
( x – x0 )² + ( y – y0 )² + ( z – z0 )² = R²
Théorème Soit S une sphère de rayon R et de centre A . Soit un plan P , d la distance de A à P et H le projeté
orthogonal de A sur P . si d  R l’intersection est le vide , si d = R l’intersection est le singleton  H  et si
d < R l’intersection est un cercle de centre H et de rayon r =

Hadj Salem Habib

R² - d² .

Bac Sc exp

Lycée pilote Médenine


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