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Nom original: Cours 7 et 8-2016.pdf
Titre: Cours 7 et 8
Auteur: olivier

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Optique de Fourier
(application de la diffraction
à des objets "complexes")

1

Diffraction de Fraunhofer et TF
Nous avons vu l’effet de la diffraction crée par des objets simples: ouverture
rectangulaire et circulaire. Nous allons maintenant nous intéresser à des cas un peu
plus compliqués.
• Effet sur la figure de diffraction d’une translation de l’objet diffractant
• Diffraction par des objets opaques plutôt que des ouvertures
• Diffraction par une collection d’objet identiques (fentes Young, réseau)
La détermination de la figure de diffraction dans ces différent cas peut être
grandement facilité en remarquant que:
• Dans les conditions de Fraunhofer
• L’approximation paraxiale
• Pour un éclairage cohérent collimaté selon z
L’amplitude de l’onde diffractée est proportionnelle
à la transformée de Fourier de la fonction de
transmission t(x,y) de l’objet diffractant.
2

Diffraction = TF de l’objet








ψ ( X , Y ) ∝ ∫ t ( x, y )exp  −i  2π

Dans ces conditions on a:

(

X
Y 
x + 2π
y   dxdy
λf
λ f  

)

ψ (k x , k y ) ∝ ∫ t ( x, y )exp −i ( k x x + k y y ) dxdy






ψ (α x ,α y ) ∝ ∫ t ( x, y )exp  −i  2π


αy
αx
x + 2π
λ
λ


y   dxdy



Vous avez vu en math que la transformée de Fourier 1D d’une fonction f(x) est :
F (u ) = ∫ f ( x) exp(− i 2πux )dx = TF [ f ( x)]


−∞

La transformée de Fourier 2D d’une fonction f(x,y) est :
F (u, v) = ∫∫ f ( x) exp(− i 2πux ) exp(− i 2πvy )dxdy = TF [ f ( x, y )]

On a alors :

ψ (u , v) ∝ ∫∫ t ( x, y ) exp(− i (2πux + 2πvy ))dxdy =TF (t ( x, y )) = T (u , v)
Avec : u =

αx X
=
λ λZ

et

v=

αy Y
=
λ λZ

3

Transformé de Fourier 1D
On utilisera principalement l’expression suivante:








ψ (α x , α y ) ∝ ∫∫ t ( x, y ) exp − i 2π

αy
αx
x + 2π
λ
λ


α αy
y  dxdy = TF (t ( x, y )) = T ( x , )
λ λ


Dans ces conditions, la vibration Ψ sur l’écran d’observation est transformée de
Fourier spatiale de la fonction de transmission de l’objet diffractant. La vibration Ψ
est une somme d’ondes planes, chaque onde plane étant défini par une direction de
propagation (αx,αy) et une amplitude.
Le problème du calcul de la figure de diffraction d’un objet diffractant se
ramène à déterminer la fonction de transmission t(x,y) de cet objet à partir de
fonction dont on connait la transformée de Fourier
On rappelle que la transformée de Fourier inverse d’une fonction f(x) est:
TF −1 [ f ( x)] = ∫ f ( x) exp(2πux )dx


−∞

TF −1 [F (u )] = ∫ F (u ) exp(2πux )du = f(x)


−∞

4

Motif composé
Soit le motif suivant:

y
d

ba

x

c
La fonction mathématique qui va nous permettre
de décrire ce motif est la fonction porte:
a
2
a
Π a (x) = 0 pour x >
2

Π a (x) = 1 pour x <

La fonction de transmission est donc :
t ( x, y ) = Π c ( x ).Π d ( y ) − Π a ( x ).Π b ( y )
5

Motif à variable séparables
Les motifs auxquels on va s’intéresser sont des motifs à variables séparables (x et y
indépendants): t(x,y)=tx(x).ty(y) ou t’(x,y)=tx1(x).ty1(y)- tx2(x).ty2(y)

Si t(x,y)=tx(x).ty(y) on a alors:

T(


αx αy
, )=∫
−∞
λ λ

 αy
 αx 
−i
t
(
x
,
y
)
exp
i
x
exp



∫−∞
λ   λ


T(


 α
αx αy
 α  ∞
, ) = ∫ t x ( x) exp − i x x dx ∫ t y ( y ) exp − i y
−∞
λ λ
λ  −∞
λ






y dxdy = TF [t ( x, y )]


[


y dy = TF [t x ( x)].TF t y ( y )


On traite séparément les dimensions x et y. I(αx, αy) = Ix(αx) .Iy(αy)

6

]

Translation et répétition d’un motif
On va donner les outils mathématiques qui permettent décrire la translation ou la répétition de
motifs. On s’intéresse essentiellement aux outils dont on connaît la transformée de Fourier.
a
t( x)
f (x )
b
Ces sont le produit de convolution et la fonction « Dirac ». Le produit de convolution de 2


fonctions f(x) et g(x) est égale à: f * g ( x ) = ∫− ∞ f ( x ' ) g ( x − x ' )dx'
Conv.gif

C’est l’aire du recouvrement entre f et g en translatant l’une par rapport à l’autre.
La fonction de Dirac δ(x) est une fonction nulle partout sauf dans un tout petit intervalle
autour de 0 ou elle égale à 1 pour le physicien:





−∞

δ ( x )dx = 1 et





−∞

f ( x )δ ( x )dx = f (0) d' où : f * δ ( x ) =

Si on pose δx0(x)=δ(x-x0) on a: f * δ ( x − x0 ) =





−∞





−∞

f ( x ' )δ ( x − x ' )dx = f ( x )

f ( x ' )δ ( x − x0 − x ' )dx = f ( x − x0 )
N

On en déduit l’expression de t(x) pour une répétition quelconque: t(x) = f * δ ( x − x )7
n

n =1

Répétition périodique d’un motif
a

t( x)

f (x )
b
Dans le cas d’une répétition périodique, on utilise alors une somme de Dirac équidistant,
espacé de a. cette fonction s’appelle « peigne de Dirac »
∏ ∏ a ( x) =

p = +∞

a

∑ δ ( x − pa )

p = −∞

p = +∞

Le peigne de Dirac est de dimension infini donc: t ( x ) = t * ∑ δ ( x − pa ) est de dimension
p = −∞
infini.
Pour décrire une répétition fini du motif on doit borné le peigne de Dirac par une fonction
« porte Πb», tel que : Π b ( x ) = 1 pour x <

b
2

et Π b ( x ) = 0 pour x >

b
2

p = +∞


On en déduit l’expression de t(x): t ( x ) =  f * ∑ δ ( x − pa ) Π b ( x )

p = −∞


8

TF usuelles
La Transformée de Fourier du produit de convolution de 2 fonction est égale au produit des
transformées de fourrier de chacune des fonctions:

TF [ f * g ( x)] = TF [ f ]TF [g ] = F (u )G (u )
La Transformée de Fourier d’un Dirac est une exponentielle complexe:

TF [δ ( x − x0 )] = exp(−i 2πux0 ) = exp(−i 2π

αx
x)
λ 0

On une fonction de «dimension infinie» dans l’espace de Fourier
La Transformée de Fourier d’un peigne de Dirac est un peigne de Dirac de pas inversement
proportionnel:
m = +∞
m = +∞

TF (∏ ∏ a ( x)) =

α m
1
m
1
α
δ (u − ) = ∏ ∏ 1 ( x ) = ∑ δ ( x − )

a
a m = −∞ λ a
a m = −∞
a λ

La Transformée de Fourier d’une fonction « porte Πb» est un sinus cardinal de largeur
inversement proportionnelle:

TF (∏ b ( x)) = b sin c(πub) = b sin c(π

αx
X b

b) = b sin c(k
) largeur =
λ
Z 2
b

9

TF usuelles
La Transformée de Fourier d’une gaussienne est une gaussienne de largeur inversement
proportionnelle:
 x2 
1
exp − 2 
f ( x) =
2
πσ
 σ 

(

TF [ f ( x)] = exp − π u σ
2

2

2

)

2


2 αx

= exp − π 2 σ 2 
λ



La Transformée de Fourier d’une fonction « disque» est un Bessel cardinal de largeur
inversement proportionnelle:

Soit D( ρ ) = 1 si ρ = x 2 + y 2 < r et

D( ρ ) = 0 si ρ = x 2 + y 2 > r

 θ 
J1  2π r 
J (k r )
J (2πur )
λ 
= 2πr 2 
avec kθ = k x + k y
TF [D( ρ )] = 2πr 2 1
= 2πr 2 1 θ
θ
k
r
2πur
θ
2π r

λ

La Transformée de Fourier d’une amplitude constante est un Dirac:

f ( x) = A
α 
TF [ f ( x)] = Aδ (u ) = Aδ  x  = Aδ (α x )
λ 

10

Application: translation de l’objet diffractant
Soit un objet diffractant de fonction de transmission t(x,y), éclairé par une onde plane en
incidence normale. Dans les conditions de Fraunhofer, l’onde diffractée est donné par:



αx

ψ (α x , α y ) ∝ ∫ t ( x, y ) exp − i


λ

x+

αy
λ


α αy
y  dxdy = TF [t ( x, y )] = T ( x , )
λ λ


α α
L’intensité lumineuse est donné par : I (α x , α y )α ψ (α x , α y ) = TF [t ( x, y )] = T ( x , y )
λ λ
2

2

2

Si on translate l’objet de x0 selon x, on a : t ' ( x, y ) = t ' ( x, y ) * δ ( x − x0 )
l’onde diffractée est donné par:



αx

ψ ' (α x , α y ) ∝ ∫ t ' ( x, y ) exp − i


λ

x+

αy
λ


y  dxdy = TF [t ' ( x, y )]


ψ ' (α x , α y ) ∝ TF [t ( x, y )]TF [δ ( x − x0 )] = T (

α
αx αy
, ) exp(−i 2π x x0 )
λ
λ λ

L’intensité lumineuse est :

α
α αy
I ' (α x , α y ) ∝ ψ ' (α x , α y ) = TF [t ( x, y )]exp(−i 2π x x0 ) = T ( x , )
λ
λ λ
2

2

2

11

La répartition d’intensité I(αx, αy) n’est pas modifiée

Application: Théorème de Babinet
Soit une ouverture percée dans un écran, de fonction de transmission t(x,y), éclairée par une
onde plane en incidence normale. Dans les conditions de Fraunhofer, on a :

α α
α α
ψ (α x , α y )α T ( x , y ) et I = T ( x , y )
λ λ
λ λ

2

Considérons un obstacle opaque de la forme que l’ouverture de fonction de transmission
t’(x,y): t ' ( x, y ) = 1 − t ( x, y )
L’amplitude l’onde diffractée est donné par:

ψ ' (α x , α y ) ∝ TF [t ' ( x, y )] = TF [1 − t ( x, y )]
ψ ' (α x , α y ) ∝ δ (

αx αy
α αy
)δ ( ) − T ( x , )
λ
λ
λ λ

L’intensité lumineuse est :

αy
αy
α
α αy
α αy
α
I ' (α x , α y ) ∝ ψ ' (α x , α y ) = δ ( x )δ ( ) − T ( x , ) = T ( x , ) + δ ( x )δ ( ) − 2 T (0,0)
λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ
2

2

2

La répartition d’intensité identique à I(αx, αy) avec une intensité
différente en (αx =0, αy =0)

12

Application: Théorème de Babinet

 2πX 
I (X, Y) ∝ a sin c
 δ (Y )
 λD 
2

2

 2πX 
I ' (X, Y) ∝ a sin c
 δ (Y ) + δ ( X )δ (Y ) − a
 λD 
2

2

13

Diffraction de 2 fentes
Soit deux fentes infini de largeur b (axe ox),séparée de distance a, éclairée par une onde
plane en incidence normale de dimension c selon l’axe oy. On travaille dans les conditions
de Fraunhofer.
y
Pour une fente centrée en O, l’onde diffractée est égale à
x

c
b


ψ (α x , α y ) ∝ (bc )sin c kα x .sinc kα y  (résultat Chap.3) :
2
2


Transformée de Fourier T(αx, α y) d’un ouverture rectangulaire t(x,y)

o
a

La fonction de transmission t’(x,y) du système de fente est égale à:
a
a
t ' ( x, y ) = t ( x, y ) * δ ( x − ) + t ( x, y ) * δ ( x + )
2
2
L’onde diffractée est égale à:





a 

a 

ψ ' (k x , k y ) ∝ TF [t ' ( x, y )] = TF [t ( x, y )]TF δ ( x − ) + TF [t ( x, y )]TF δ ( x − )
2 
2 


a
2




a
2

a
2

ψ ' (α x , α y ) ∝ T (α x , α y ) exp(−ikα x ) + T (α x , α y ) exp(−ikα x ) = 2T (α x , α y ) cos kα x 
2

2

c
b
a
L’intensité est égale:I (α x , α y ) ∝ 4(bc ) sin c kα x  .sinc kα y  cos kα x 
2
2
2



2

2

14

Diffraction de 2 fentes, cas limites
On a donc la répartition d’intensité suivante:
2

b


2
I (α x , α y ) ∝ 4(cb ) sin c kα x  .sinc kα y
2




2

a
c

 cos kα x 
2
2


y
x
o

≈2

2

λ

a

c

2

b
c 
2


 2π

I (α x ,α y ) ∝ 2 ( bc ) sin c  kα x  .sinc  kα y  1 + cos 
Xa  
2
2 


 λD


 2π
  avec I0 la répartition d'intensité d'une fente
I (α x ,α y ) = 2 I 0 1 + cos 
Xa  
 λD
  observée individuellement


Si a tend vers zéro et b vers l’infini, on retrouve la figure d’interférence « classique »
des fentes de Young.

15

Réseau de diffraction
Les réseaux de diffraction sont des objets constitués de N motifs identiques
disposés périodiquement. Ce type de structure éclairée par une onde plane génère
plusieurs faisceaux lumineux qui vont se propager dans des directions de
propagation bien particulières.
Ces directions vont dépendent de la période de répétition des motifs et de la
longueur d’onde de l’onde incidente. Le nombre de faisceaux généré dépend
du motif répété.
Si un réseau de diffraction est éclairé par une vibration lumineuse
polychromatique, il en résulte alors une séparation des composantes spectrale
de la vibration lumineuse.
Un réseau de diffraction est donc un outil intéressant pour faire de la
spectrométrie. La plupart des spectromètres optiques que l’on trouve dans le
commerce utilise un réseau de diffraction.
Les réseaux sont faciles à fabriquer et présente une grande souplesse dans le
choix de leurs caractéristiques.
16

2

Réseau: onde diffractée
Afin de simplifier les écritures, on va se placer dans un cas unidimensionnel. Soit un réseau
dont le motif a une fonction de transmission f(x). La largeur d’un motif est c . La période du
réseau est a avec a>c. Ce réseau est éclairé en incidence normale sur une largeur b.
a

t( x)
f (x )

c

b

p = +∞


La fonction de transmission de ce réseau est égale à: t ( x ) =  f * ∑ δ ( x − pa ) Π b ( x )
p = −∞



Dans les conditions de Fraunhofer l’onde diffractée est égale à :

 p = +∞

ψ (k x ) ∝ TF [t ( x)] = TF [ f ( x)]TF  ∑ δ ( x − pa ) * TF [Π b ( x)]
 p = −∞

1 m = +∞ α
m 
α

ψ (α x ) ∝ TF [ f ( x)] ∑ δ ( x − ) * b sin c(π x b)
a m = −∞ λ a 
λ

b
ψ (α x ) ∝
a

 α x  m = +∞ α x m 
αx
 F  λ  ∑ δ ( λ − a ) * sin c(π λ b)
   m = −∞


α 
avec F  x  = TF [ f ( x)]
λ

17

Représentation de l’amplitude de l’onde diffractée
On rappelle que plus une fonction est large et plus sa transformée de Fourrier est étroite. Dans
notre cas b>a>c et on a l’amplitude:

1
a

1
c
sin c(π

b
ψ (α x ) ∝
a

 α x  m = +∞ α x m 
αx
 F  λ  ∑ δ ( λ − a ) * sin c(π λ b)

   m = −∞

 α x  m = +∞ α x m 
 F  λ  ∑ δ ( λ − a )

   m = −∞

αx
λ

αx
λ
ψ (θ x )

αx
b)
λ
αx
λ

1
  α x m  
b   α x  m = +∞
b
− b18
On peut alors faire l’approximation suivante: ψ (α x ) ∝  F   ∑ sin c π 
λ
a  
a   λ  m = −∞



αx
λ

Intensité diffractée
On a donc une amplitude qui est un sinus cardinal convolué par un peigne de Dirac dont
l’amplitude est F(kx). Le module au carré de cette amplitude donne:

 2πb  α x 
I (α x ) ∝ ψ (α x ) ∝ 
 F 
 a  λ 
2

2

2

2
m = +∞
  αx m   
− b  
 ∑ sin c π 
λ
a   


m = −∞

si les sinc ne se superposent pas
Pic d’intensité de largeur αx :


b

Pic d’intensité équidistant de αx :

λ
I (α x )

a

λ
a

λ


b

c

19

αx

Intensité diffractée sur un écran
Si on observe l’intensité sur un écran situé à la distance focale f d’une lentille. On a:

 2πb 
2
I ( X ) ∝ ψ (X) ∝ 
 F [X ]
 a 
2

2

m = +∞
π
 ∑ sin c
m = −∞
 λf

mλf  

b 
X −
a
 


2





Pic d’intensité de largeur λf
b
mλ f
Position des pics: X m =
a
La position Xm dépend de λ

λf

Possibilité de séparer des longueurs d’onde

I (k x )

a

La différence de position de 2 λ:
dX m =

mf
∆λ
a

Ordre m=0 achromatique
Dispersion augmente avec m

λf
c

2

λf
b

X
20

Spectromètre
La dispersion des réseaux de diffraction est mis à profit dans les spectromètres. Pour les ordres
autre que l’ordre 0 (m=0), la position Xm des pics d’intensité dépend de la longueur d’onde.
La mesure de la position Xm permet donc de mesure une longueur d’onde.
mλ f
Xm =


et

mf
dX m =
∆λ


I (X)
λf
a

2

λf

X

b
On pourra séparer deux longueurs d’onde, si on peut distinguer les taches lumineuse. Comme
pour le critère de Rayleigh on considéra: Deux longueurs d’onde seront distinguables si

le centre des spots images est séparé au moins d’une distance égale au « rayon » de
chacun des spots.
m

f
λf
∆λ
a
1
∆λ =

=
=
avec N = nombre de motifs éclairés
a
b
λ
mb mN

21



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