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University of Science and Technology of ORAN
Faculty of Mathematics and Computer Science
Departement of Mathematics
Module : English scientic

Project title :

Translate the first chapter in English of
scientific computing

Realized by :

Berached

Hbib

Sifedinne

????

Douaifia

Redouane

1

Contents

1 General Introduction :

3

2 Discrete approximation (method of least squares) :

3

1.1 Problem formulation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Denion : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 Linear case : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Nonlinear case : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

3
3

4
4

1

General Introduction :

T he purpose of the approximation is to replace a given f unction (f ) by another
appropriate f unction (φ) there are two cases :
Contunous approximation :
f ∈ C([a ; b])
Discrete approximation :
f is known only on a set of pairs of values .
1.1

Problem formulation :

In both cases the principale is to look f or a f unction φ(x, c) = φ(x, c0 , c1 , . . . , cp )

such as

E(c)=kf (x) − φ(x, c)k be as small as possible .

1.1.1 Denion :
T he approximation is said to be linear if it has the f ollowing f orm :
φ(x, c) = c0 φ0 (x) + c1 φ1 (x) + · · · + cp φp (x)
otherwise the approximation φ(x, c) is called : nonlinear .
Examples :

φ(x, c1 , c2 ) = c1 + c2 e2x
φ(x, c1 , c2 ) = sin(c1 x) + ln(c2 )

2

(linear)
(nonlinear)

Discrete approximation (method of least squares) :

Lets
(xi , P
yi = f (xi ))
i = 0, n
Let
φ(x, c) = pi=0 ci φi (x)
φi (x) are given f unctions .
it is clear that φ(x, c) is a linear approximation .

3

2.1

Linear case :

Goal :
F ind ci , i = 0, p such as :
E(c) = kf (x) − φ(x, c)k2
n
X
=
(f (xk − φ(xk , c)))2
k=0
n
X

=

(f (xk −

p
X

ci φi (xk )))2

i=0

k=0

be as small as possible .

E(c) as small as possible ⇒

(F)

∂E(c)
∂c0

=0

∂E(c)
∂c1

=0

j = 0, p

=0

(F) ⇔ AC = B ⇒ C = A−1 B
2.2

=0

a system of (p+1) equations and (p+1) unknowns .

..
.
∂E(c)
∂cp

∂E(c)
∂cj

(A inversible ⇔ |A| =
6 0)

Nonlinear case :

Lets

(xi , yi = f (xi ))

, i = 0, n
(n + 1) given points .
φ(x, c) = φ(x, c0 , c1 , . . . , cp ) nonlinear approximation .

Goal :
F indPc0 , c1 , . . . , cp such as :
E(c) = ni=0 (f (xi − φ(xi , c)))2 be as small as possible .
In this case we assume that : c = c∗ + α .
c∗ : appreciation parameter .

4

α : unknown uncertainty .

φ(x, c) = φ(x, c ) +

p
X
∂φ(xi , c∗ )

∂ci

k=0
p

= φ(x, c∗ ) +

X ∂φ(xi , c∗ )
∂ck

k=0

(ck − c∗k )
(αk )

we put βi = f (xi ) − φ(xi , c)
i = 0, n
Pp ∂φ(xi ,c∗ )

βi = φ(xi , c ) + k=0 ∂ck (αk )
i = 0, n

If we put :

Y =

f (x0 ) − φ(x0 , c∗ )

..
.

β0

 
β =  ... 
βn

f (xn ) − φ(xn , c )

A=

∂φ(x0 ,c∗ )
∂c0

...

..
.

...

∂φ(xn ,c∗ )
∂c0

...

α0

 
α =  ... 
αn
∂φ(x0 ,c∗ )
∂cp

..
.

∂φ(xn ,c∗ )
∂cp

we nd that β = Y − Aα
or E(c) = β t β

theref ore

E(c) = (Y − Aα)t (Y − Aα)

Goal :
F ind the value of α .
∂E(c)
=0
∂α
⇒ 2At Aα − 2At Y = 0
⇒ At Aα = At Y

E(c) be minimal ⇒

if |At A| =
6 0

we f ind

α = (At A)−1 At Y

5

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