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UNIVERSITE GRENOBLE ALPES (UGA)
L3 Physique – U.E. Optique Cohérente
Feuille TD 4: Réseaux de diffraction - Optique de Fourier

EXERCICE 1) Fonction de Transmission et transformée de Fourier
En utilisant uniquement la fonction porte
fonction de Dirac δ

(Π a (x )) définie par :

Π a (x) = 1 pour x ≤

a
et 0 à ailleurs ;
2

+∞

(x )

caractérisée par:

∫ δ (x )dx = 1;

et le produit de convolution

la

⊗ défini par :

−∞

f (x ) ⊗ g (x ) =

+∞

∫ f ( y )g (x − y )dy .

−∞

Donner l’expression analytique de la fonction de transmission en amplitude
1) Objets à 1D
- Une fente simple de largeur a et de hauteur infinie. REPONSE :

t(x, y) des objets suivants:

t(x, y) = Π a ( x )

- Une fente double (largeur des fentes a, hauteur des fentes infinie, distances entre le centre des deux fentes b).
REPONSE :

t(x, y) = Π a ( x − b / 2 ) + Π a ( x + b / 2 ) = Π a ( x ) ⊗ δ ( x − b / 2 ) + Π a ( x ) ⊗ δ ( x + b / 2 )
= Π a ( x ) ⊗ ⎡⎣δ ( x − b / 2 ) + δ ( x − b / 2 ) ⎤⎦

- Une ouverture triangulaire de largeur 2L, définie par :
REPONSE :

t(x, y) =

t(x, y) = 1−

x
pour x ≤ L et τ ( x, y ) = 0 ailleurs.
L

1
⎡Π L ( x ) ⊗ Π L ( x ) ⎤⎦
L⎣

2) Objets à 2D
- Une fente rectangulaire de largeur a et de hauteur b. REPONSE :

t(x, y) = Π a ( x ) .Π b ( y )
- Un cache rectangulaire de largeur a et de hauteur b. REPONSE : t(x, y) = 1− Π a ( x ) .Π b ( y )
- Un motif composé d’une ouverture carrée de côté a et d’un cache central carré de côté b avec b < a.
REPONSE : t(x, y) = Π a ( x ) .Π a ( y ) − Π b ( x ) .Π b ( y )
- Un motif composé d’une ouverture rectangulaire de largeur a et de hauteur b dont la moitié droite de la largeur est
recouverte par une lame de phase introduisant un déphasage ΔΦ .
REPONSE : t(x, y) = Π a ( x − a / 4 ) .Π b ( y ) .exp ( jΔΦ ) + Π a ( x + a / 4 ) .Π b ( y )
2

2

3) Amplitude complexe - Onde transmise
On éclaire une fente simple de largeur a et de hauteur infinie avec un faisceau laser de section carrée de côté b. Dans le
plan x, y où se situe la fente, la section carrée du faisceau laser est assimilé une onde plane harmonique ψ 0

(

)

d’amplitude

A0

harmonique juste avant la

b<a.

Φ 0 constantes. Donner l’expression analytique de l’amplitude complexe de l’onde
fente ψ 0 (x, y ), puis juste après la fente ψ τ (x, y ), dans les deux cas suivant: b > a et

et de phase

REPONSE : Avant la fente : ψ 0

(x, y ) = A0. exp( jΦ0 ).Πb (x ).Πb ( y ).



Après la fente : ψ t ( x, y ) = t ( x, y ) .ψ 0 ( x, y ) =


si b > a , on obtient: ψ t ( x, y ) =

A0 .exp ( jΦ 0 ) .Π b ( x ) .Π b ( y ) .Π a ( x )

A0 .exp ( jΦ 0 ) .Π a ( x ) Π b ( y )

O. Jacquin, P. Segonds et P. Brulard – UJF 2013/2014

1

si b < a , on obtient: ψ t ( x, y ) =

A0 .exp ( jΦ 0 ) .Π b ( x ) .Π b ( y )

4) Transformée de Fourrier optique (Question de cours)
On éclaire un objet de fonction de transmission en amplitude
d’amplitude

A0

et de phase

Φ 0 constantes dans le plan (x, y ) .

t(x, y) avec une onde plane harmonique ψ 0 ,

- Donner l’expression analytique de l’amplitude complexe de l’onde harmonique juste derrière l’objet ψ τ

(x, y ).

REPONSE : L’amplitude complexe de l’onde harmonique juste derrière l’objet :

ψ τ ( x, y ) = A0 .exp ( jΦ 0 ) .t ( x, y )

- Donner l’expression de l’onde diffractée dans un plan (X,Y) située à une distance D de l’objet (principe de Huygens
Fresnel).
REPONSE : Principe de Huygens Fresnel :
+
A0 exp ( jΦ 0 ) .t ( x, y )
1
⎛ 2π
ψ D ( X,Y ) =
.exp ⎜ j

2
2
⎝ λ
jλ − D 2 + ( x − X ) + ( y − Y )

2
2⎞
D 2 + ( x − X ) + ( y − Y ) ⎟ dx dy


- Dans l’approximation de Fraunhofer, démontrer que l’onde diffractée est proportionnelle à la transformée de Fourrier
(TF) de l’onde transmise ψ D ( X,Y ) ∝ TFν ,µ ⎡⎣ψ t ( x, y ) ⎤⎦ .



⎛ 2π x 2 + y 2 ⎞ ⎤
⎜ j λ 2 D ⎟⎟ ≈ 1⎥ :

⎠ ⎦

REPONSE : Approximation de Fraunhofer ⎢exp⎜





ψ D (X , Y ) ≈


⎛ 2π X 2 + Y 2 ⎞ +
1

⎛ 2π ⎞

⎟⎟ ∫ A0 . exp( jΦ 0 ).τ (x, y )exp⎜ − j
(xX + yY )⎞⎟dxdy
exp⎜ j
D ⎟ exp⎜⎜ j
jλD
2D ⎠ −
λD
⎝ λ ⎠


⎝ λ
+



Y ⎞⎞
⎛ X
+y
⎟ ⎟dxdy
λD ⎠ ⎟⎠
⎝ λD

ψ D ( X , Y ) ∝ ∫ A0 . exp( jΦ 0 ).τ (x, y )exp⎜⎜ − j 2π ⎜ x



+

ψ D ( X,Y ) ∝ ∫ A0 .exp ( jΦ 0 ) .t ( x, y ) exp ( − j2π ( xν + yµ )) dx dy = TFν ,µ ⎡⎣ψ t ( x, y ) ⎤⎦


- Donner le lien entre les fréquences spatiales (ν et
les variables physiques (X, Y, D et

X
Y
REPONSE : ν =
et µ =
λD
λD

λ ).

µ ) qui sont des variables mathématiques s’exprimant en m −1

et

- Que deviennent ces expressions, si l’observation ne se fait plus à la distance D, mais se fait dans le plan focal d’une
lentille de focale f.
REPONSE :ν

=

X
λf

et µ

=

Y
λf

EXERCICE 2) Diffraction par la méthode de Fourier.
On assimile un réseau à un ensemble de N fentes fines (largeur a), parallèles et équidistantes. Le pas du réseau est noté
b. L’observation se fait dans le plan focale image d’une lentille convergente de focale f. On considère que l’onde
incidente plan et se propage dans une direction perpendiculaire au plan du réseau (incidence normale).
1) Soit un réseau formé par une infinité de fentes parallèles dans la direction horizontale (ox) (N = ∞) et infiniment
longue dans la direction verticale (oy). Donner l’expression analytique de la fonction de transmission t(x, y) de ce
réseau, puis en utilisant la transformation de Fourier donner l'amplitude et l'intensité de l'onde diffractée.
REPONSE : La fonction de transmission d’une fente de largeur a est notée t ( x, y ) = Π a ( x ) .
O. Jacquin, P. Segonds et P. Brulard – UJF 2013/2014

2

La fonction de transmission du réseau infini est donc :

t ∞ ( x, y ) = ......+ Π a ( x − 2b ) + Π a ( x − b ) + Π a ( x ) + Π a ( x + b ) + ........
t ∞ ( x, y ) = ......+ Π a ( x ) ⊗ δ ( x − 2b ) + Π a ( x ) ⊗ δ ( x − b ) + Π a ( x ) ⊗ δ ( x ) + Π a ( x ) ⊗ δ ( x + b ) ........

Et donc t ∞ ( x, y ) = Π a ( x ) ⊗

n=+∞

∑ δ ( x − nb )

n=−∞

L’amplitude de l’onde à la sortie du réseau est donc ψ τ ( x, y ) =

A0 .t ( x, y ) . D’après les résultats de l’exercice

précédent, on sait que l’amplitude de l’onde diffractée est dans le cas de l’approximation de Fraunhofer la
transformée de Fourier de l’onde en z=0, c’est à dire dans notre cas le TF de la fonction de transmission t ( x, y ) soit :

⎡ n=+∞

ψ f (ν , µ ) ∝ A0TFν , µ ⎡⎣t ( x, y )⎤⎦ = A0TF ⎡⎣Π a ( x )⎤⎦.TF ⎢ ∑ δ ( x − nb )⎥.TF [1]
⎣ n=−∞

On suppose que les portes sont très espacées par rapport à leur largeur de sorte
qu'elles ne se recouvrent pas, on peut donc faire l'approximation suivante

a 1 m=+∞ ⎛
1⎞⎤
ψ f (ν , µ ) ∝ A0 ⎢ asin c(2πν ). ∑ δ ⎜ ν − m ⎟ ⎥.δ ( µ )
2 b m=−∞ ⎝
b⎠ ⎦

On observe dans l'espace de Fourier une série de pics de dirac dont les
amplitudes suivent l'enveloppe d'un sinus cardinal.

Avec en physique:






1⎞
b⎠

δ ⎜ν − m ⎟ = 1 pour ν m = m
















1
b

(i.e. X m = m

1⎞

et δ ⎜ν − m ⎟ = 0 ailleurs
b⎠

(
)
δ µ = 1 pour µ = 0 (i.e. Y = 0)

et δ (µ ) = 0 ailleurs

λf
b

)
,



On observe donc une série de point lumineux positionnés en (

Xm = m

λf
b

,

0) et d’intensité

2

⎡a
X a ⎤
I ( X m ,0) ∝ A0 ⎢ sin c(2π m )⎥
λf 2 ⎦
⎣b
2


Ces points lumineux sont donc équidistants de λf/b et reparties sur un segment dont la longueur caractéristique vaut:
λf/a
2) Soit un réseau formé par un nombre N fini de fentes. La longueur du réseau est L = Nb. Donner l’expression
analytique de la fonction de transmission τ ( x, y ) de ce réseau, puis donner l'amplitude et l'intensité de l'onde
diffractée. Conclusion.
n=+∞
⎡⎛


Π
x

δ ( x − nb )⎟ .Π L=Nb ( x ) ⎥
(
)

⎢⎜ a

n=−∞
⎣⎝

L’amplitude de l’onde diffractée est la transformée de Fourier de la fonction de transmission t ( x, y ) soit :

REPONSE: La fonction de transmission du réseau est donc : t ( x, y ) =



O. Jacquin, P. Segonds et P. Brulard – UJF 2013/2014

3

⎧⎪ ⎡
⎫⎪
⎡ n=+∞
⎤⎤
ψ f (ν , µ ) ∝ A0TFν ,µ ⎡⎣τ ( x, y ) ⎤⎦ = A0 ⎨ ⎢TF ⎡⎣Π a ( x ) ⎤⎦ .TF ⎢ ∑ δ ( x − nb ) ⎥ ⎥ ⊗ TF ⎡⎣Π L ( x ) ⎤⎦ ⎬ .TF [1]
⎣ n=−∞
⎦⎦
⎪⎩ ⎣
⎪⎭
⎧⎡
a 1 m=+∞ ⎛
1⎞ ⎤
L ⎫
ψ f (ν , µ ) ∝ A0 ⎨ ⎢ asin c(2πν ). ∑ δ ⎜ ν − m ⎟ ⎥ ⊗ L sin c(2πν ) ⎬ .δ ( µ )
2 b m=−∞ ⎝
b⎠ ⎦
2 ⎭
⎩⎣




En utilisant les propriétés et définitions suivantes du produit de convolution et de la fonction de Dirac:
+∞



f (x ) ⊗ g (x ) =

∫ f ( y )g (x − y )dy et



f (x ) ⊗ δ (x − x0 ) = f (x − x0 )

−∞

+∞



∫ f (x )δ (x − x )dx = f (x )
0

0

−∞

On peut faire l’approximation suivante pour l’amplitude de l’onde diffractée :

a L ⎡ m=+∞
a
m⎞ L⎞ ⎤
⎛ ⎛
sin c(2π ν ) sin c ⎜ 2π ⎜ ν − ⎟ ⎟ ⎥ .


⎝ ⎝
b ⎣ m=−∞
2
b ⎠ 2⎠⎦
m
λf
On a donc des maxima pour : ν m =
(i.e. X m = m )
b
b
a⎞
a⎞


avec une amplitude donnée par : sin c ⎜ 2π ν ⎟ = sin c ⎜ 2π ν ⎟



2
2⎠

ψ f (ν , µ ) ∝ A0

L’intensité de l’onde diffractée est:

ψ f (ν , µ )

2

2

m=+∞
a
m⎞ L⎞ ⎤
⎛ ⎛
⎡ aL⎤ ⎡
∝ ⎢ A0
sin c(2π ν ) sin c ⎜ 2π ⎜ ν − ⎟ ⎟ ⎥



⎝ ⎝
b ⎦ ⎣ m=−∞
2
b ⎠ 2⎠⎦

2

Ou l’on a négligé les doubles produits car les différents sinus cardinaux ne se recouvrent pratiquement pas

ψ f (ν , µ )

2

⎡ a L⎤
≈ ⎢ A0
b ⎥⎦


2 m = +∞

2

2

m2 a ⎤
m⎞ L⎞
⎛ ⎛

sin
c
(
2
π
)
sin
c
2
π
ν



⎟ ⎟



b 2 ⎥⎦
b ⎠ 2 ⎟⎠
m = −∞ ⎣
⎝ ⎝

La figure de diffraction est donc constituée de taches lumineuses équidistantes (distance λf/b) et d’intensité
différente. La dimension de chacune des taches lumineuses est donnée par : λf/L
Les taches lumineuses sont réparties sur un segment de longueur caractéristique : λf/a

EXERCICE 3) Caractérisation d’un réseau de diffraction.
Soit un réseau de diffraction constitué de N fentes parallèles, de largeur a espacées de b, éclairé par une source
lumineuse de longueur d’onde moyenne : λ=500nm. On rappelle (cf. cours), que dans le plan focal d’une lentille
convergente de focale f, l’intensité diffractée par ce réseau est donnée dans l’ approximation de Fraunhofer par:

⎡ ⎛ 2π X Nb ⎞⎤
⎟⎥
2 ⎢sin ⎜

⎛ 2π X a ⎞⎤ ⎣ ⎝ λ f 2 ⎠⎦
I ( X , Y ) ∝ ⎢sin c⎜⎜
⎟⎟⎥
2
⎝ λ f 2 ⎠⎦ ⎡ ⎛ 2π X b ⎞⎤

⎟⎥
⎢sin⎜
⎣ ⎝ λ f 2 ⎠⎦

2

Démonstration de la formule ci dessus (qui n’est pas demandée) :

O. Jacquin, P. Segonds et P. Brulard – UJF 2013/2014

4

ψ f ( X , Y ) = A0

+a / 2

( N −1) b + a / 2

b+a / 2




2π X ⎞
2π X ⎞
2π X ⎞
exp⎜⎜ − j
x ⎟⎟dx + A0 ∫ exp⎜⎜ − j
x ⎟⎟dx + ... + A0
exp⎜⎜ − j
x ⎟⎟dx


λ
f
λ
f
λ
f






−a / 2
b−a / 2
( N −1) b − a / 2



⎛ 2π X a ⎞

⎛ 2π X a ⎞
2π X ⎞
b ⎟⎟ sin c⎜⎜
⎟⎟ + A0 exp⎜⎜ − j
⎟⎟ + ...
λ f ⎠
⎝ λ f 2⎠

⎝ λ f 2⎠

ψ f ( X , Y ) = A0 sin c⎜⎜


2π X
(N − 1)b ⎞⎟⎟ sin c⎛⎜⎜ 2π
+ A0 exp⎜⎜ − j
λ f


⎝ λ
⎛ 2π X a ⎞ ⎡


ψ f ( X , Y ) = A0 sin c⎜⎜
⎟⎟ × ⎢1 + exp⎜⎜ − j
λ
⎝ λ f 2 ⎠ ⎢⎣


X a⎞

f 2 ⎟⎠

X
f



2

⎡ ⎛
⎞ ⎡ ⎛
2π X ⎞⎤
2π X ⎞⎤
b ⎟⎟ + ⎢exp⎜⎜ − j
b ⎟⎟⎥ + ... + ⎢exp⎜⎜ − j
b ⎟⎥
λ f ⎠⎦
λ f ⎟⎠⎦
⎠ ⎣ ⎝
⎣ ⎝





( N −1)



⎥⎦

⎛ 2π X ⎞⎤
j
b ⎟⎟⎥ Dont la somme
⎝ λ f ⎠⎦

Il s’agit de la somme des N premier termes d’une suite géométrique de raison : ⎢exp⎜⎜



donne :


N
⎡ ⎡ ⎛

2π X ⎞⎤ ⎤

⎞⎤
2π X
⎢1 − ⎢exp⎜ − j
b ⎟⎥ ⎥
1 − exp⎜ − j
Nb ⎟ ⎥

λ f ⎠⎦ ⎥
λ f
⎛ 2π X a ⎞ ⎢ ⎣ ⎝
⎛ 2π X a ⎞ ⎢

⎠⎥
ψ f ( X , Y ) = A0 sin c⎜⎜
==
A
sin
c
×
⎟⎟ × ⎢


0



⎝ λ f 2 ⎠ ⎢ 1 − exp⎛⎜ − j 2π X b ⎞⎟ ⎥
⎝ λ f 2 ⎠ ⎢ 1 − exp⎛⎜ − j 2π X b ⎞⎟ ⎥

λ f ⎠ ⎥
λ f ⎠ ⎥⎦









⎛ 2π
exp⎜ j
⎛ 2π X a ⎞
⎝ λ
ψ f ( X , Y ) = A0 sin c⎜⎜
⎟⎟ ×
⎝ λ f 2 ⎠ exp⎛⎜ j 2π
⎝ λ



X
f
X
f


2π X Nb ⎞
Nb ⎞ ⎡ ⎛
⎟ − exp⎜ +
⎟ ⎢exp⎜ − j
λ f 2 ⎠
2 ⎠ ⎣ ⎝

×
⎡ ⎛
Nb ⎞

2π X b ⎞

exp⎜ − j
⎟ − exp⎜ +

2 ⎠
λ f 2⎠

⎣ ⎝

2π X Nb ⎞⎤

λ f 2 ⎠⎥⎦

2π X b ⎞⎤
j

λ f 2 ⎠⎥⎦
j


⎛ 2π X Nb ⎞⎤
⎟⎥
⎢− 2 j sin⎜
⎛ 2π X a ⎞
⎛ 2π X (N − 1)b ⎞ ⎣
⎝ λ f 2 ⎠⎦
ψ f ( X , Y ) = A0 sin c⎜⎜
⎟⎟ × exp⎜⎜ j
⎟×
2 ⎟⎠ ⎡
⎛ 2π X b ⎞⎤
⎝ λ f 2⎠
⎝ λ f
⎟⎥
⎢− 2 j sin⎜
⎝ λ f 2 ⎠⎦

2

⎡ ⎛ 2π X Nb ⎞⎤
⎟⎥
2 ⎢sin ⎜

2
⎛ 2π X a ⎞⎤ ⎣ ⎝ λ f 2 ⎠⎦
et finalement : I ( X , Y ) ∝ ψ f ( X , Y ) ∝ ⎢sin c⎜⎜

⎟⎟⎥
2
⎝ λ f 2 ⎠⎦ ⎡ ⎛ 2π X b ⎞⎤

⎟⎥
⎢sin ⎜
⎣ ⎝ λ f 2 ⎠⎦

1) Représenter graphiquement I ( X ,0) en précisant clairement, l’effet de chacun des trois paramètres N, b et a sur
la répartition d’intensité.
Réponse : (attention le role de a et b est inversé dans cet exercice par rapport au cours)

O. Jacquin, P. Segonds et P. Brulard – UJF 2013/2014

5

I(X,O)

λf/Nb

100

λ. f
N. b

80

( y( Xv ) )

2

2 2
( ya( Xv ) ) . N

λf/b

60

40

2λf/b

20

0.05

0.045

0.04

0.035

0.03

0.025

0.02

0.02

0.01

0.005

0

0.005

0.01

0.01

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.065

0.07

0.075

Xv

λf/a

X

2) L’observation de la diffraction se fait à l’aide une camera 1D (barrette de photodiode dans la direction horizontale),
placée dans le plan focal image d’une lentille de focale f=100 mm. Les mesures sont données ci-dessous. Déduire de ces
mesures, les valeurs numériques des paramètres N, b et a.
Xjmax 1

X0 = 39.999 mm

XXXjmax 1

XXX0 = 0.2 mm

XXjmax 1

XX0 = 5 mm

40 mm
Profil d’intensité mesuré

I

5 mm
Zoom sur la tache central

II

0.2 mm
Zoom sur l’un des pic de la tache central

III

Réponse :

λf



8



10



4

a

λf
b

λf

Nb

8 λ f 8 * 0.5 *100
=
= 10 µm ;
40
40
10 λ f 10 * 0.5 *100
=
= 100 µm ;
= 5 mm donc b =
5
5
4 λ f 4 * 0.5 *100
=
= 10traits .
= 0.2 mm donc N =
0.2b
0.2 *100

= 40 mm donc a =

3) On veut utiliser un réseau pour faire de la spectroscopie. Quel ordre de diffraction vaut t-il mieux regarder (avantage
et inconvénient).

mλf

b
mf
On a donc une position différente selon la longueur d’onde considérée avec : ΔX m =
Δλ
b
Réponse : Il est important de noter que la position Xm des maxima dépend de λ : X m

O. Jacquin, P. Segonds et P. Brulard – UJF 2013/2014

=

6

On remarque que la variation de la position d’un maxima avec la longueur d’onde est d’autant plus importante que
l’ordre observé est grand (i.e. que m est grand). On doit donc regarder l’ordre le plus grand possible pour lequel on a
encore assez de luminosité pour faire une mesure.
4) Donner la résolution spectrale que l’on peut avoir avec l’ordre m de diffraction, en fonction du nombre N de traits
éclairés.
Réponse:
Tous les maxima principaux ont une largeur à mi-hauteur donnée par:

ΔX 1 / 2 =

λf

Nb

, et c’est cette largeur qui va

définir la résolution, c'est-à-dire la plus petite variation de longueur d’onde mesurable ( Δλmin ). Deux longueurs
d’onde pourront être discernées, si elles sont décalées l’une par rapport à l’autre si :
donc ΔX m , min

ΔX m ≥ ΔX 1 / 2

et

= ΔX 1 / 2

ce qui conduit à Δλmin

=

λf

b
λ
=
Nb mf mN
×

et finalement au pouvoir de résolution: R

=

,

λ
= mN
Δλmin

ou N est le nombre de traits du réseau.

5) Quelles caractéristiques doit avoir au minimum un réseau si l’on veut résoudre le doublet du Sodium (589nm,
589,6nm) dans l’ordre 2 de diffraction ?
Réponse : Avec Δλsodium

= 0,6 nm ≥ Δλmin =

Pour l’ordre 2 ( m = 2 ), on obtient : N min

λ

on obtient : N

≥ N min =

mN
589,3 nm
=
= 491 traits
2 × 0,6 nm

λ

m × 0,6 nm

.

6) On veut faire de la spectroscopie dans le visible λ=0,5µm avec un réseau et constitué de 200 motifs par mm. La
partie éclairée de ce réseau a une largeur d=5mm. Quel est le pouvoir de résolution que l’on va alors avoir.
Réponse : Pour ce réseau on a N

= 200 × 5 = 1000 motifs

et donc un pouvoir de résolution :

500 nm

Δλmin
0.5 nm
où m l’ordre de diffraction du réseau.
=
m

R = m × 1000 =
et donc Δλmin

EXERCICE 4) Diffraction par un réseau blazé
On considère un réseau de phase de pas a, constitué de petits prismes d’angle au sommet α (supposé petit). Le prisme
est constitué d’un matériau transparent et d’indice n. L’observation se fait dans un plan (X,Y) situé à une distance D du
réseau. Ce réseau est représenté ci dessous :

O. Jacquin, P. Segonds et P. Brulard – UJF 2013/2014

7

X

O
x

α

O

I

a
n

J

a

x
Z

x

La fonction de transmission d’un motif de ce réseau est donnée par :
et

t1 (x, y) = e

D

j


(n−1) α x
λ

pour 0 ≤ x ≤ a

t(x, y) = 0 ailleurs. On se placera dans l’approximation de Fraunhofer.

1) Donner alors l'expression de l'amplitude et de l’intensité de l’onde diffractée par un motif du réseau (prisme de
largeur a).
Réponse :
j


(n−1) α x
λ

On va déjà démontrer l’expression de t1 (x, y) = e
pour 0 ≤ x ≤ a
Rappel lame d’épaisseur e constante (lame à faces parallèles) :


δ=
e
λ
λ


Pour la lame d’indice n, le déphasage est ϕ = λ δ = λ ne

Pour la lame d’air (n = 1), le déphasage induit est ϕ =

j (ϕ ne −ϕ e )
=e
La fonction de transmission de la lame d’épaisseur e est donc par rapport à l’air t1 (x, y) = e

Maintenant pour le prisme on a tan(α ) =

j


(n−1)e
λ


j
(n−1) α x
e
pour 0 ≤ x ≤ a
≅ α pour 0 ≤ x ≤ a et e ≅ α x donc t1 (x, y) = e λ
x

a
+∞
a
2 π Yy

−j
eiϕ j 2λπ (n−1) α x − j 2λπ Xx
eiϕ ⎡ j 2λπ (n−1) α x − j 2λπ Xx
D
λ D
D
ψ D ( X,Y ) ∝ A0
e
e
dx ∫ e
dy = A0
e
dx ⎥ .δ (Y )
⎢∫ e

D 0
D ⎣0

−∞
a

eiϕ j λ2πD [(n−1) α D ]a2 − j 2λπDX a2 ⎡ j 2λπ (n−1) α ( x−a/2) − j 2λπ X ( x−a/2)
D
= A0
e
e
e
dx ⎥ .δ (Y )
⎢∫ e
D
⎣0

a/2

2 π X (u )

j
(n−1) α (u ) − j
eiϕ j λ2πD [(n−1) α D ]a2 − j 2λπDX a2 ⎡
λ
λ D
= A0
e
e
e
e
du ⎥ .δ (Y )
⎢ ∫
D
⎣ − a/2


= A0
A0



+∞

2 π Xu

j
(n−1) α u − j
eiϕ − j λ2πD [ X−(n−1) α D ]a2 ⎡
λ
λ D
e
(x)
e
e
du ⎥ .δ (Y )
⎢ ∫ ∏a
D
⎣ −∞



j
(n−1) α u ⎤
eiϕ j λ2πD [(n−1) α D ]a2 − j 2λπDX a2 ⎡
e
e
TF ⎢ ∏ a (x).e λ
⎥ .δ (Y )
D




X2 +Y 2 ⎞
avec ϕ = ⎜ −ω t + kD + k

2D ⎟⎠


O. Jacquin, P. Segonds et E. Lacot – UJF 2013/2014

8

L’amplitude complexe de l’onde diffractée est donc:

eiϕ − j λ2πD[ X −(n−1) α D]a2
⎛ 2π X a ⎞
⎛ X (n −1) α D ⎞
ψ D ( X,Y ) = A0 e
asin c ⎜
⊗δ ⎜


⎟⎠ .δ (Y )
⎝ λD 2 ⎠
⎝ λD
D
λD
eiϕ − j λ2πD[ X −(n−1) α D]a2
a⎞
⎛ 2π
ψ D ( X,Y ) = A0 e
asin c ⎜
X − (n −1) α D ) ⎟ .δ (Y )
(
⎝ λD
D
2⎠




L’intensité de l’onde diffractée est donc:

∝ ψ D ( X,Y )

2

A 2a2
= 0 2
( D)

2

a⎞ ⎤

⎛ 2π
⎢sin c ⎜⎝ λ D ( X − (n − 1) α D ) 2 ⎟⎠ ⎥ .δ (Y )



On a donc un sinus cardinal avec un maximum en
cardinal sont en :


X min = (n − 1)αD ± m

λD

X = (n − 1)αD et de demi largeur : λD/a, les minimum du sinus

avec m = 1,2,3,...

a

La distance entre ces min est donc de: λD/a.
Rq : le prisme a donc dévié la figure de diffraction d’un angle θ

=

X
= α (n − 1) par rapport à l’axe z (axe de
D

propagation de l’onde incidente). Cet angle de déviation est compatibles avec les lois de Snell – Descartes. En effet
aux petits angles on a à l’intérieur de prismes: α ' = nα .
Et comme α ' = α

+ θ ,on obtient : θ = α '−α = α (n − 1). La fonction de transmission initialement choisie

t a ( x, y ) = exp ( j ( n − 1)α x ) est donc compatible la réfraction de Snell-Descartes.

2) On considère un réseau constitué d'un nombre illimité de prismes de largeur a (figure ci dessus). Exprimer la fonction
de transmission t ∞ ( x, y ) de ce réseau de prismes en fonction de t1 ( x, y ) .

n=+∞
n=+∞
j
(n−1) α x


λ
Réponse : t ∞ ( x, y ) = ⎜ t a ( x, y ) ⊗ ∑ δ ( x − na )⎟ = e
⊗ ∑ δ ( x − na )


n=−∞
n=−∞

3) En déduire l'expression ψ D

(X , Y ) de l'amplitude de l’onde diffractée par un réseau de prismes.
⎡ n=+∞



⎣ n=−∞



Réponse : ψ D (ν , µ ) ∝ TFν ,µ ⎡⎣ t ∞ ( x, y ) ⎤⎦ = TF ⎡⎣ t a ( x, y ) ⎤⎦ .TF ⎢

∑ δ ( x − na )⎥ .TF [1]



L’amplitude de l’onde diffractée est :
m = +∞
⎡ A0 iφ − j λ2Dπ [ X −( n −1)αD ]a2

⎛ 2π
(X − (n − 1)αD ) a ⎞⎟. ∑ δ ⎛⎜ν − m ⎞⎟⎥δ (µ )
ψ D (ν , µ ) ∝ ⎢ e ae
sin c⎜
2 ⎠ m = −∞ ⎝
a ⎠⎦
⎝ λD
⎣D




On a une enveloppe : A0 a sin c⎜ (k x





a⎞
(n − 1)α ) ⎟ , échantillonnée par un peigne de Dirac.
λ
2⎠

O. Jacquin, P. Segonds et E. Lacot – UJF 2013/2014

9

4) Calculer l'intensité de l’onde diffractée. Représenter graphiquement cette fonction en fonction de l’abscisse X du
plan d’observation. Indiquer clairement l'abscisse des pics d'intensité. Pour la fonction enveloppe, préciser l'abscisse du
maximum principal ainsi que l'abscisse de plusieurs minima nuls.
Réponse :
L’intensité de l’onde diffractée est :

ψ D (ν , µ )

2

m = +∞
⎡⎛ A0 ⎞2 2 ⎛ 2π

( X − (n − 1)αD ) a ⎞⎟⎡⎢. ∑ δ ⎛⎜ν − m ⎞⎟⎤⎥⎥δ (µ )
∝ ⎢⎜ a ⎟ sin c⎜
2 ⎠ ⎣ m = −∞ ⎝
a ⎠⎦ ⎦⎥
⎝ λD
⎣⎢⎝ D ⎠


2

A

a⎞
2⎛
On a une enveloppe : 0 a sin c ⎜ ( k x −
( n − 1)α ) ⎟ échantillonnée par un peigne de Dirac. La position
D
λ
2⎠

λD
mDλ
des Dirac est : X m =
. La demi-largeur à la base de l’enveloppe est :

a
a
5) Pour quelle valeur particulière de la longueur d’onde λ , tous les pics d'intensité de la figure de diffraction (sauf un)
coïncident avec les minima de la fonction enveloppe. Le réseau est alors dit blazé à la longueur d’onde λ. Quel est
l’intérêt de ce type de réseau par comparaison avec des réseaux plus conventionnels utilisant simplement des fentes ou
des traits.
Réponse : On remarque que la distance entre deux pic du peigne de Dirac et la distance entre deux zéro de
l’enveloppe est la même. Donc si un ordre du peigne de Dirac est centré sur le max du sinus cardinal alors tous les
autres ordres sont centrés sur un zéro de l’enveloppe. Ce qui correspond à :

(n − 1)αD = m

λD
a

soit λm =

(n − 1)αa

m

On peut aussi le faire graphiquement. Le pic de l’enveloppe est centré en X =( n − 1)αD Si la totalité de
l'intensité de diffraction se trouve donc concentrée dans un seul pic on doit alors avoir :

Xm =

mDλ
= (n − 1)αD On obtient alors le même résultat que précédemment.
a

L’objectif du réseau blazé est d’avoir qu’un seul ordre de diffraction et que cet ordre ne soit pas l’ordre zéro. Ce qui
permet d’avoir toute l’énergie sur un seul ordre qui est n’est pas achromatique. Il faut pour cela que les ordres de
diffraction coïncident avec les zéros de l’enveloppe c'est-à-dire que le pas du réseau soit de la même dimension
que le motif. Il faut également que le pic central de l’enveloppe ne coïncide pas avec l’ordre zéro ce qui implique
que le motif élémentaire dévie l’onde incidente.

2

A0

a ⎞ m = +∞ ⎛
m 2π

a sin c 2 ⎜ ( k x − ( n − 1)α ) ⎟ ∑ δ ⎜ k x −
D
λ
2 ⎠ m = −∞ ⎝
a


2

π
⎞ A0


a sin c 2 ⎜ mπ − ( n − 1)αa ⎟
⎟=
λ
⎠ d



6) Démontrer pourquoi, la fonction de transmission d’un motif de ce réseau (i.e. d’un prisme) peut écrire sous la forme :

τ 1 ( x, y ) = e

j



λ

( n −1)α x

. Voir le début d’exercice on peut aussi utiliser la réponse ci-dessous

Réponse : Ici, le motif considéré est transparent, on a donc une fonction de transmission qui va être un terme de
phase. Ce terme de phase doit décrire l’action du prisme sur l’onde arrivant sur le prisme. On peut traiter le
problème de façon. Si on a un objet en z=0, et onde incidente plane d’amplitude A0 qui arrive en z=0 avec une
incidence nulle et que juste après l’objet on une onde d’expression : ψ

O. Jacquin, P. Segonds et E. Lacot – UJF 2013/2014

τ

( x, y ) = A( x, y ) exp(iϕ ( x, y ) )

10

Alors la fonction de transmission de l’objet est : t(x, y) =

De plus on sait que dans l’approximation de Fraunhofer ( e
∞ +∞

− jk
eiφ
ψ D ( X , Y , D) =
ψ τ ( x, y )e


jλD − ∞− ∞

( xX + yY )
D

ψ τ (x, y) A(x, y)exp ( iφ (x, y))

=
A0
A0
+j

(

2π 2
x + y2
λD

)

≈ 1 ), l’amplitude de l’onde en z=D est :

∞ +∞

− jk
eiφ
dxdy =
A( x, y ) exp(iϕ ( x, y ) )e


jλD − ∞− ∞

( xX + yY )
D

dxdy




X 2 +Y 2 ⎞

avec φ = ⎜⎜ − ωt + kD + k
2 D ⎟⎠

∞ +∞

On a donc ψ D ( X , Y , D ) =

∫ ∫ dψ ( x, y, X , Y , D)



− ∞− ∞

avec : dψ ( x, y, X , Y , D) =

− jk
eiφ
ψ τ ( x, y ) e
jλD

( xX + yY )

dxdy

D



a) Pour trouver cette fonction de transmission on peut appliquer le principe de Huygens en sortie du prisme, c'està-dire considérer en sortie du prisme une collection de sources secondaires émettant des ondes sphériques

déphasées les unes par rapport aux autres et calculer ψ D ( X , Y , D) et en déduire ψ τ ( x, y ) puis par identification

τ ( x, y ) . Le champ à la cote (X,Y,z=D) d’un plan situé à une distance D de la face d’entrée du prisme correspondant

à une source secondaire situé à cote (x,y,z=αx) s’écrit alors :

dψ ( x, y, X , Y , D) =

A0
exp( j (knαx + kr ))exp(− iωt )dxdy
jλD

r est la distance entre la source secondaire et le point X,Y situé dans le plan d’observation. La première
exponentielle correspond au déphasage engendré par le prisme. Il faut expliciter kr, dans le cadre de
l’approximation de Fraunhofer :

r=

(D − αx )2 + ( X − x )2 + (Y − y )2

r ≈ D − αx −

= D 1+

Xx X 2 + Y 2 x 2 + y 2
+
+
D
2D
2D

( X − x )2 + (Y − y )2 + (αx )2 − 2 Dαx
D2

D2

D2

D2


+j

(

2π 2
x + y2
λD

)

≈ 1 ):
A
X 2 +Y 2
Xx + Yy
dψ ( x, y, X , Y , D) = 0 exp(− iωt )exp(ikD )exp(ik
) exp(ik (n − 1)αx )exp( −ik
)dxdy
jλD
2D
D

On a donc dans l’approximation de Fraunhofer ( e

dψ ( X , Y , d , t ) = A0

exp( jφ )
Xx + Yy
exp(ik (n − 1)αx )exp( −ik
)dxdy
jλD
D

En comparant avec : dψ ( x, y ) =



( xX + yY )
−j
eiφ
ψ τ ( x, y )e λD
dxdy , on obtient :
jλD

ψ τ ( x, y ) = A0 exp(ik (n − 1)αx ) et donc τ ( x, y ) =
O. Jacquin, P. Segonds et E. Lacot – UJF 2013/2014

ψ τ ( x, y )
A0

= exp(ik (n − 1)αx )
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