namoutheji 9eme .pdf



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‫*** ﺗﻘدﯾم ***‬
‫ﯾﺳﻌدﻧﺎ أن ﻧﻘدم إﻟﻰ أﺑﻧﺎﺋﻧﺎ اﻟﺗﻼﻣﯾذ ﻣن ﺳﻧوات اﻟﺗﺎﺳﻌﺔ أﺳﺎﺳﻲ ھذا اﻟﻛﺗﺎب اﻟﻣﺗﻌﻠق ﺑﻣﺎدة اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت وﻛﻠﻧﺎ‬
‫أﻣل أن ﻧﺳﺎﻋد أﺑﻧﺎﺋﻧﺎ ﻋﻠﻰ ﻓﮭم ھذه اﻟﻣﺎدة واﻟﺗﻣﻛن ﻣﻧﮭﺎ‪.‬‬

‫ﻟذﻟك ﺟﺎء ھذا اﻟﻛﺗﺎب اﻟذي ﯾﺗﺿﻣن ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن ﻓروض اﻟﻣراﻗﺑﺔ و اﻟﺗﺄﻟﯾﻔﻲ واﻟذي راﻋﯾﻧﺎ ﻓﯾﮭﺎ اﺧﺗﯾﺎر‬
‫ﺗﻣﺎرﯾن ﻣواﻓﻘﺔ ﻟﻠﺑراﻣﺞ اﻟرﺳﻣﯾﺔ و اﻟﻘواﻋد اﻟﺑﯾداﻏوﺟﯾﺔ ﻻﻧﺟﺎز اﻟﻔروض ﻣراﻋﯾن اﻟﺗﻧوﯾﻊ ﻓﻲ ﻣﺣﺗوى ّ‬
‫ﺣﺗﻰ ّﺗﺗم‬
‫اﻟﻔﺎﺋدة و ﯾﺣﺳن ﻣﺳﺗواه اﻟﻣﻌرﻓﻲ ﻓﻲ ّ‬
‫ﻣﺎدة اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت‪.‬‬

‫إﻧﻧﺎ ﻧوﺻﻲ أﺑﻧﺎﺋﻧﺎ اﻟﺗﻼﻣﯾذ ﺑﺎﻟﻌﻣل ﻋﻠﻰ ﻣراﺟﻌﺔ اﻟدروس ﺑﺷﻛل ﺟﯾد ّﺛم اﻧﺟﺎز اﻻﺧﺗﺑﺎرات و ذﻟك ﺑﻘراءة ﻛل‬
‫اﻟﺣل ﻗﺑل اﻻطﻼع ﻋﻠﻰ اﻹﺻﻼح‪ .‬ﻛﻣﺎ ﻧوﺻﻲ أﺑﻧﺎﺋﻧﺎ‬
‫ﺟﯾدة واﻟﻣﺣﺎوﻟﺔ اﻟﺟﺎدة ﻟﻠوﺻول إﻟﻰ‬
‫ّ‬
‫ﺗﻣرﯾن ﻗراءة ّ‬
‫ﺑﺗﻠﺧﯾص اﻟدروس ﻓﻲ ﺟذاذة ﺗﺳﺎﻋد ﻋﻠﻰ اﺳﺗﺣﺿﺎر اﻟﻘواﻋد ﻟﯾﺳﺗﻌﯾن ﺑﮭﺎ ّﺛم ﯾﻌﻣل ﻋﻠﻰ ﺗطﺑﯾﻘﮭﺎ‪.‬‬

‫ﻧﺄﻣل أن ﯾﺟد ﻛل ﻣﺗﻌﻠم ﻓﻲ ھذا اﻟﻛﺗﺎب ﻣﺎ ﯾﺳﺎﻋده ﻋﻠﻰ ﻓﮭم ھذه اﻟﻣﺎدة ﻓﻲ ھذا اﻟﻣﺳﺗوي‪.‬‬

‫وﷲ وﻟﻲ اﻟﺗوﻓﯾق‬
‫اﻟﻣؤﻟﻔون‬

‫‪-3-‬‬

-4-

‫اﻷول‬
‫ﻣﻠﺨﺺ ﻟﺪروس اﻟﺜﻼﺛﻲ ّ‬
‫اﻟﺘﻌﺪاد واﻟﺤﺴﺎب‬
‫* ﯾﻜﻮن ﻋﺪد ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪6‬إذا ﻛﺎن ھﺬا اﻟﻌﺪد ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 2‬و ‪3‬‬
‫* ﯾﻜﻮن ﻋﺪد ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪12‬إذا ﻛﺎن ھﺬا اﻟﻌﺪد ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 3‬و ‪4‬‬
‫* ﯾﻜﻮن ﻋﺪد ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪15‬إذا ﻛﺎن ھﺬا اﻟﻌﺪد ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 3‬و ‪5‬‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ ‪‬‬
‫*ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ ھﻲ اﺗﺤﺎد ﻣﺠﻤﻮﻋﺘﻲ اﻷﻋﺪاد اﻟﻜﺴﺮﯾﺔ اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ ‪ ‬واﻷﻋﺪاد اﻟﺼﻤﺎء ‪‬‬
‫*ﻟﻜﻞ ﻋﺪد ﻛﺴﺮي ﻧﺴﺒﻲ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﻋﺸﺮﯾﺔ دورﯾﺔ‪،‬وﻛﻞ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﻋﺸﺮﯾﺔ دورﯾﺔ ﺗﻤﺜﻞ ﻋﺪدا ﻛﺴﺮﯾﺎ وﺣﯿﺪا‬
‫*ﻛﻞ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﻋﺸﺮﯾﺔ ﻏﯿﺮ ﻣﺘﻨﺎھﯿﺔ وﻏﯿﺮ دورﯾﺔ ﺗﻤﺜﻞ ﻋﺪدا أﺻﻤﺎ‬
‫*اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻌﺪدي ھﻮ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﺪرج ﺑﻮاﺳﻄﺔ اﻻﻋﺪاد اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ ﺣﯿﺚ أن ﻛﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ﯾﻤﺜﻞ ﻓﺎﺻﻠﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦاﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬
‫وﻛﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﺗﻤﺜﻞ ﻋﺪدا ﺣﻘﯿﻘﯿﺎ‬
‫اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ﻓﻲ ‪‬‬
‫* ﻣﮭﻤﺎ ﯾﻜﻦ اﻟﻌﺪدان اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺎن ‪ a‬و ‪ b‬ﻓﺈن ‪a+b = b+a :‬‬
‫* ﻣﮭﻤﺎ ﯾﻜﻦ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ ‪ a‬ﻓﺈن ‪a+0 = 0+a = a :‬‬
‫* اﻟﻔﺮق ﺑﯿﻦ ‪a‬و ‪b‬ھﻮ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ ‪ d‬ﺣﯿﺚ ‪ a = d + b :‬وﻧﻜﺘﺐ ‪d = a – b‬‬
‫* ﻣﮭﻤﺎ ﯾﻜﻦ اﻟﻌﺪدان اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺎن ‪ a‬و ‪ b‬ﻓﺈن ‪- (a+b) = -a – b :‬‬
‫* ﻣﮭﻤﺎ ﯾﻜﻦ اﻟﻌﺪدان اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺎن ‪ a‬و ‪ b‬ﻓﺈن ‪ab=ba :‬‬
‫* ﻣﮭﻤﺎ ﺗﻜﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ ‪a‬و ‪ b‬و ‪ c‬ﻓﺈن ‪a(b-c) = ab – ac:‬‬
‫* ﻣﮭﻤﺎ ﯾﻜﻦ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ ‪a‬ﻓﺈن ‪a  (-1) = (-1)  a = (-a):‬‬
‫* ﻣﮭﻤﺎ ﯾﻜﻦ اﻟﻌﺪدان اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺎن ‪a‬و ‪ b‬ﻓﺈن ‪ ab = 0 :‬ﯾﻌﻨﻲ ‪a = 0‬أو ‪b = 0‬‬
‫* ﻣﮭﻤﺎ ﺗﻜﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ ‪a‬و ‪b‬و ‪ c‬ﻓﺈن ‪:‬‬
‫‪a + ( b + c) = (a + b) + c = a + b +c‬‬
‫* ﻣﮭﻤﺎ ﯾﻜﻦ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ ‪ a‬ﻓﺈن ‪a + (-a) = 0 :‬‬
‫* ﻣﮭﻤﺎ ﺗﻜﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ ‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬ﻓﺈن ‪a – ( b + c) = a – b – c , a – ( b – c) = a – b + c :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫* ﻛﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ‪ a‬ﻣﺨﺎﻟﻒ ﻟﻠﺼﻔﺮ ﻟﮫ ﻣﻘﻠﻮب‬
‫‪ ,‬ﻣﮭﻤﺎ ﯾﻜﻦ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ ‪a‬ﻣﺨﺎﻟﻒ ﻟﻠﺼﻔﺮ ﻓﺈن ‪a × = 1 :‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫* ‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺪرج )‪ (OI‬ﻓﺎﺻﻠﻨﮭﺎ ‪ x‬اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻤﻄﻠﻘﺔ ﻟـ ‪ x‬ھﻲ اﻟﺒﻌﺪ ‪ OM‬ﺣﯿﺚ ‪|x| = OM‬‬
‫* ‪ |x| = x‬إذا ﻛﺎن ‪ x‬ﻋﺪدا ﻣﻮﺟﺒﺎ‬
‫* ‪ |x| = - x‬إذا ﻛﺎن ‪ x‬ﻋﺪدا ﺳﺎﻟﺒﺎ‬
‫* ‪ |x| = 0‬ﯾﻌﻨﻲ ‪x = 0‬‬
‫* ﻣﮭﻤﺎ ﯾﻜﻦ اﻟﻌﺪدان اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺎن ‪ a‬و ‪ b‬ﻓﺈن ‪ |ab| = |a| .| b| :‬ﻛﺬﻟﻚ‬

‫* ﻣﮭﻤﺎ ﯾﻜﻦ اﻟﻌﺪدان اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺎن اﻟﻤﻮﺟﺒﺎن ‪ a‬و ‪ b‬ﻓﺈن ‪ab = a. b :‬‬

‫‪a‬‬

‫=‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬
‫‪b‬‬

‫ﺣﯿﺚ ‪ b‬ﻣﺨﺎﻟﻒ ﻟﺼﻔﺮ‬

‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫ﻛﺬﻟﻚ‬
‫=‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬

‫اﻟﺘﻌﯿﻦ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮي‬

‫ إذا ﻛﺎن ‪ A‬و ‪ B‬ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﺪرج ﺣﯿﺚ ﻓﺎﺻﻠﺘﮭﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ x A‬و ‪x B‬‬‫‪x  xB‬‬
‫ﻓﺈن ﻓﺎﺻﻠﺔ ‪ E‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ‪  AB‬ھﻲ ‪:‬‬
‫‪xE  A‬‬
‫ّ‬
‫‪2‬‬
‫ إذا ﻛﺎن ‪ Δ‬و '‪ Δ‬ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﻣﺘﻘﺎطﻌﯿﻦ و ‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮي‬‫ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ''‪ Δ‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ M‬و اﻟﻤﻮازي ﻟـ ‪ Δ‬ﯾﻘﻄﻊ '‪ Δ‬ﻓﻲ ''‪M‬‬
‫ّ‬
‫ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺴﻘﻂ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ '‪ Δ‬وﻓﻘﺎ ﻟﻤﻨﺤﻰ ‪Δ‬‬

‫‪-5-‬‬

‫ﺣﯿﺚ ‪ b‬ﻣﺨﺎﻟﻒ ﻟﺼﻔﺮ‬

‫‪ -‬إذا ﻛﺎن )‪ (O,I,J‬ﻣﻌﯿﻨﺎ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮي و‬

‫‪ A  x A ; yA ‬و ‪ّ B  x B ; yB ‬‬
‫ﻓﺈن إﺣﺪاﺛﯿﺎت ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ‪ AB‬‬

‫‪yA  yB‬‬
‫‪x  xB‬‬
‫‪ xI  A‬و‬
‫ھﻲ ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ إذا ﻛﺎن )‪ (O,I,J‬ﻣﻌﯿﻨﺎ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪا ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮي و ‪A  x; y ‬‬‫‪yI ‬‬

‫* ﻣﻨﺎظﺮﺗﮭﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ )‪ (OI‬ھﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪D  x;  y ‬‬
‫* ﻣﻨﺎظﺮﺗﮭﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ )‪ (OJ‬ھﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪B   x; y ‬‬
‫* ﻣﻨﺎظﺮﺗﮭﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ‪ O‬ھﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪C   x;  y ‬‬
‫ ﻧﻘﻄﺘﺎن ﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﻔﺎﺻﻠﺔ ﯾﻜﻮﻧﺎن ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎ ﻣﻮازي ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﺎت‬‫ ﻧﻘﻄﺘﺎن ﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﯾﻜﻮﻧﺎن ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎ ﻣﻮازي ﻟﻤﺤﻮر اﻟﻔﺎﺻﻼت‬‫ﻛﻞ ﻧﻘﺎط ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﻮازي ﻟﻤﺤﻮر اﻟﻔﺎﺻﻼت ﻟﮭﻢ ﻧﻔﺲ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ‬
‫ ّ‬‫ﻛﻞ ﻧﻘﺎط ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﻮازي ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺘﺮﺗﯿﺒﺎت ﻟﮭﻢ ﻧﻔﺲ اﻟﻔﺎﺻﻠﺔ‬
‫ ّ‬‫ﻣﺒﺮھﻨﺔ طﺎﻟﺲ و ﺗﻄﺒﯿﻘﺎﺗﮭﺎ‬
‫ ﻟﯿﻜﻦ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺜﺎ و ‪ D‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ‪  AB‬ﻣﺨﺎﻟﻔﺔ ﻟـ ‪A‬‬‫ﻓﺈن ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﻦ ‪ ADC‬و ‪ ABC‬ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺔ ﻣﻊ اﻟﺒﻌﺪﯾﻦ ‪ AD‬و ‪AB‬‬
‫ّ‬
‫‪S1 AD‬‬
‫ﺣﯿﺚ ‪ S1‬و ‪ S2‬ﻣﺴﺎﺣﺘﻲ اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﻦ ‪ ADC‬و ‪ABC‬‬
‫أي‬
‫=‬
‫‪S 2 AB‬‬

‫* ﻣﺒﺮھﻨﺔ طﺎﻟﺲ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ‪:‬‬
‫ﻓﺈن ‪:‬‬
‫ ﻟﯿﻜﻦ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺜﺎ و ‪ D‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ )‪ (AB‬و ‪ E‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ )‪ (AC‬ﺣﯿﺚ )‪ّ (DE) // (BC‬‬‫‪AD AE DE‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC BC‬‬

‫ﯾﻤﺮ ﻣﻦ ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻀﻠﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬
‫ﻛﻞ ﻣﺜﻠﺚ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺿﻠﻊ و اﻟﻤﻮازي ﻟﺤﺎﻣﻞ ﺿﻠﻊ اﺧﺮ ّ‬
‫ ﻓﻲ ّ‬‫ﻣﺜﺎل ‪:‬‬
‫إذا ﻛﺎن ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ و ‪ Δ‬ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﯾﻘﻄﻊ اﻟﻀﻠﻊ ‪  AB‬ﻓﻲ‬
‫ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ ‪ D‬و ﯾﻘﻄﻊ اﻟﻀﻠﻊ ‪  AC‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪E‬‬
‫ّ‬
‫ﻓﺈن اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ E‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ‪ AC‬‬

‫‪-6-‬‬

‫ﻛﻞ ﻣﺜﻠﺚ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ﻣﻨﺘﺼﻔﻲ ﺿﻠﻌﯿﻦ ّ‬
‫ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻮازي اﻟﻀﻠﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬
‫ ﻓﻲ ّ‬‫ﻣﺜﺎل ‪:‬‬
‫إذا ﻛﺎن ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ و ‪ D‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ‪  AB‬و ‪ E‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ‪ AC‬‬
‫‪BC‬‬
‫ﻓﺈن )‪ (DE) // (BC‬و‬
‫ّ‬
‫‪2‬‬

‫=‪DE‬‬

‫ إذا ﻛﺎن ‪ ABCD‬ﺷﺒﮫ ﻣﻨﺤﺮف ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ‪  AB‬و ‪ AC‬‬‫و ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ‪  AD‬و ‪ J‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ‪ BC‬‬
‫‪AB+CD‬‬
‫ﻓﺈن )‪ (IJ) // (AB‬و‬
‫ّ‬
‫‪2‬‬

‫=‪IJ‬‬

‫ ﻟﯿﻜﻦ ‪ Δ‬و ' ‪ Δ‬ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ و ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ﺛﻼث ﻧﻘﺎط ﻣﻦ ‪Δ‬‬‫إذا ﻛﺎن '‪ A‬و '‪ B‬و '‪ C‬ﻣﺴﺎﻗﻂ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ﻋﻠﻰ ‪ Δ‬وﻓﻘﺎ ﻟﻠﻤﻨﺤﻰ '‪Δ‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪BC‬‬
‫'‪AB A'B‬‬
‫و‬
‫ﻓﺈن‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫ّ‬
‫'‪A'B' A'C' B'C‬‬
‫'‪AC A'C‬‬

‫ﻓﺈن ﻣﺴﻘﻂ‬
‫ إذا ﻛﺎﻧﺖ '‪ A‬و '‪ B‬ﻣﺴﻘﻄﻲ ‪ A‬و ‪ B‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ‪ Δ‬وﻓﻘﺎ ﻟﻠﻤﻨﺤﻰ '‪ّ Δ‬‬‫ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ‪ Δ‬وﻓﻘﺎ ﻟﻠﻤﻨﺤﻰ '‪Δ‬‬

‫ھﻮ ﻣﻨﺘﺼﻒ ‪ AC‬‬

‫‪-7-‬‬

‫ﻣﻨﺘﺼﻒ ‪ AB‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬

‫ﻓﺮض ﻣﺮاﻗﺒﺔ ‪1‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫ﺿﻊ اﻟﻌﻼﻣﺔ )×( ﻓﻲ اﻟﺨﺎﻧﺔ اﻟﻤﻨﺎﺳﺒﺔ ‪) :‬إﺟﺎﺑﺔ واﺣﺪة ﺻﺤﯿﺤﺔ(‬
‫‪ (1‬ﻟﯿﻜﻦ )‪ (O ;I ;J‬ﻣﻌﯿﻨﺎ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺣﯿﺚ ) ‪ M (-3 ; 2‬و )‪ N(-3 ;-1‬ﻓﺈن ‪:‬‬
‫‪ M‬و ‪ N‬ﻣﺘﻨﺎظﺮﺗﺎن ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ ‪(MN)//(OI) , □ (MN)//(OJ) , □ O‬‬
‫‪ (O ;I ;J) (2‬ﻣﻌﯿﻨﺎ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ A(1 ;2‬ﻣﻨﺎظﺮﺗﮭﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ )‪ (OI‬ھﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪:‬‬
‫□‬
‫□ ‪A’(-1 ;-2) ,‬‬
‫□ ‪A’(-1 ;2) ,‬‬
‫)‪A’ (1 ;-2‬‬
‫‪ (3‬اﻟﻌﺪد ‪ 369 547 218‬ﻗﺎﺑﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪□ 15 , □ 6 , □ 12 :‬‬
‫‪15‬‬
‫‪ (4‬ﻋﺪد ﯾﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 24‬و ‪ 25‬ﯾﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪, □ 6 , □ 12 :‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 8 ) :‬ن (‬

‫□‬

‫□‬

‫‪ (1‬ﻟﯿﻜﻦ اﻟﻌﺪد ‪ F=1a3b‬ﺣﯿﺚ ‪ a‬و ‪ b‬رﻗﻤﺎن‬
‫أ‪-‬‬

‫أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ‪ a‬و ‪ b‬ﻟﯿﻜﻮن اﻟﻌﺪد ‪ F‬ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪12‬‬

‫ب‪ -‬أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ‪ a‬و ‪ b‬ﻟﯿﻜﻮن اﻟﻌﺪد ‪ F‬ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪. 15‬‬

‫)أﻋﻂ ﺟﻤﯿﻊ اﻟﺤﻠﻮل اﻟﻤﻤﻜﻨﺔ(‬

‫‪ (2‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺪد ‪a  277  439‬‬

‫أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪a  3  277‬‬
‫ب‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن اﻟﻌﺪد ‪ a‬ﯾﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪.6‬‬
‫ج‪ -‬ھﻞ أن اﻟﻌﺪد ‪ a‬ﯾﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 12‬؟ ﻋﻠﻞ ﺟﻮاﺑﻚ‬
‫‪ (3‬ﻛﻢ ﻋﺪد ﯾﺘﻜﻮن ﻣﻦ رﻗﻤﯿﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﯿﻦ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ اﻷرﻗﺎم ‪ 2‬و ‪ 3‬و ‪5‬؟ )اﺳﺘﻌﻤﻞ ﺷﺠﺮة اﻻﺧﺘﯿﺎر ﻓﻲ ﻛﻞ ﺣﺎﻟﺔ(‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 8 ) :‬ن (‬
‫‪ (1‬أرﺳﻢ )‪ (O,I,J‬ﻣﻌﯿﻨﺎ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪا ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺣﯿﺚ ‪OI = OJ = 2 cm‬‬
‫ﻋﯿّﻦ اﻟﻨﻘﺎط )‪D(-1 ;3) ; B(3 ;-2) ; C(-1 ;-1) ; A(3;2‬‬
‫‪ (2‬أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ‪ A‬و ‪ B‬ﻣﺘﻨﺎظﺮﺗﺎن ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ )‪(OI‬‬
‫ب‪ -‬ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻣﻨﺎظﺮة ‪ J‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ‪ , O‬أﺣﺴﺐ إﺣﺪاﺛﯿﺎت ‪M‬‬
‫‪ (3‬أ‪ -‬ﺑﯿﻦ أن )‪(AB) // (OJ‬‬
‫ب‪ -‬ﺑﯿﻦ أن )‪(CM) // (OI‬‬
‫ج‪ -‬ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ H‬ﺗﻘﺎطﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن )‪ (AB‬و )‪(CM‬‬
‫ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ H‬ذات اﻹﺣﺪاﺛﯿﺎت )‪(3 ;-1‬‬
‫‪ (4‬أ‪ -‬أﺣﺴﺐ إﺣﺪاﺛﯿﺎت ‪ F‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪[AC‬‬
‫ب‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ D‬و ‪ B‬ﻣﺘﻨﺎظﺮﺗﺎن ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ‪F‬‬
‫ج‪ -‬ﻣﺎ ھﻲ طﺒﯿﻌﺔ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ABCD‬‬
‫‪-8-‬‬

‫ﻓﺮض ﻣﺮاﻗﺒﺔ ‪1‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫اﺧﺘﺮ اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ اﻹﺟﺎﺑﺎت اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ﺑﻮﺿﻊ ﻋﻼﻣﺔ )×( ﻓﻲ اﻟﺨﺎﻧﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ‪:‬‬
‫‪ (1‬اﻟﻌﺪد ‪ 40994535072‬ﯾﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪12 :‬‬
‫أﺻﻢ‬
‫‪ (2‬اﻟﻌﺪد ‪ 107,3719‬ھﻮ ﻋﺪد ‪:‬‬
‫ّ‬

‫□‬

‫‪5‬‬
‫‪ (3‬اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﻌﺸﺮﯾﺔ اﻟﺪورﯾﺔ ﻟﻠﻌﺪد‬
‫‪11‬‬

‫ھﻲ ‪0, 45 :‬‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫‪5‬‬

‫‪,‬‬

‫ﻛﺴﺮي ﻋﺸﺮي‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪0, 45‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬

‫□‬
‫□ ‪ ,‬ﻛﺴﺮي ﻏﯿﺮ ﻋﺸﺮي □‬
‫□ ‪□ 0,454545 ,‬‬
‫‪,‬‬

‫‪6‬‬

‫□‬

‫‪ (4‬ﻓﻲ ﻣﻌﯿﻦ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ )‪ (O,I,J‬ﻟﺪﯾﻨﺎ )‪ K(-3; 5) ; G(2;- 5) ; F(2;- 3‬إذا ‪:‬‬

‫)‪□ (OI) //(FG‬‬
‫‪ (5‬اﻟﻌﺪد ‪5  ‬‬

‫‪ G ,‬و ‪ K‬ﻣﺘﻨﺎظﺮﺗﺎن ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ )‪(OJ‬‬

‫□‬

‫ﺗﺴﺎوي ‪5   :‬‬

‫‪,‬‬

‫‪5 ‬‬

‫□ ‪ F ,‬و ‪ G‬ﻣﺘﻨﺎظﺮﺗﺎن ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ )‪□ (OI‬‬
‫□ ‪□  5 ,‬‬

‫‪ (6‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ ABCD‬ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ﻣﺮﻛﺰه ‪ I‬إﺣﺪاﺛﯿﺎت اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ I‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﯿﻦ )‪ (C ;A ;D‬ھﻮ ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫) ;‪I(0‬‬
‫‪2‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪1 1‬‬
‫) ; (‪I‬‬
‫‪2 2‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫)‪I(1 ;1‬‬

‫□‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 8 ) :‬ن (‬
‫‪ (I‬ﻟﯿﻜﻦ اﻟﻌﺪد ‪ A=25x0y‬ﺣﯿﺚ ‪ x‬و ‪ y‬رﻗﻤﺎن‬
‫أ‪ -‬أوﺟﺪ ‪ x‬و ‪ y‬ﺣﯿﺚ ‪ A‬ﯾﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪6‬‬
‫ب‪ -‬أوﺟﺪ ‪ x‬و‪ y‬ﺣﯿﺚ ‪ A‬ﯾﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪15‬‬
‫‪ (II‬أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن اﻟﻌﺪد ‪ B=2530 +561‬ﻗﺎﺑﻞ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪15‬‬
‫‪8‬‬
‫‪14‬‬
‫ب‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن اﻟﻌﺪد ‪ C = 9 - 5×3‬ﻗﺎﺑﻞ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪12‬‬
‫‪ (III‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺪدﯾﻦ اﻟﻄﺒﯿﻌﯿﯿﻦ ‪ a=3p+1‬و ‪ b=5p+2‬ﺣﯿﺚ ‪ p‬ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ طﺒﯿﻌﻲ‬
‫‪ (1‬أﺣﺴﺐ ‪3b-5a‬‬
‫‪ (2‬ﻟﯿﻜﻦ اﻟﻌﺪد اﻟﺼﺤﯿﺢ اﻟﻄﺒﯿﻌﻲ ‪ d‬ﻗﺎﺳﻢ ﻣﺸﺘﺮك ﻟـ ‪ a‬و ‪b‬‬
‫ﺑﯿﻦ ّ‬
‫ّ‬
‫أن ‪ d‬ﻗﺎﺳﻢ ﻟـ ‪3b-5a‬‬
‫أ‪-‬‬
‫ب‪ -‬إﺳﺘﻨﺘﺞ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻌﺪد ‪d‬‬
‫ج‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ a‬و ‪ b‬أوﻟﯿّﺎن ﻓﯿﻤﺎ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 8 ) :‬ن (‬
‫‪ (1‬ﻟﯿﻜﻦ ∆ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﺪرج ﺣﺴﺐ اﻟﻤﻌﯿﻦ )‪ (O ;I‬و ‪OI=1cm‬‬
‫أ‪ -‬ﻋﯿّﻦ ﻋﻠﻰ ∆ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ‪ A‬و ‪ B‬ﺣﯿﺚ ‪ x A  2‬و ‪xB  5cm‬‬
‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ اﻟﺒﻌﺪ ‪AB‬‬
‫ج‪ -‬ﺟﺪ ﻓﺎﺻﻠﺔ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ G‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪[AB‬‬
‫د‪ -‬أوﺟﺪ ﻓﺎﺻﻠﺔ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ K‬ﻋﻠﻤﺎ ّ‬
‫أن ‪ AK=5‬و ‪x K > 0‬‬
‫‪ (2‬ﻟﯿﻜﻦ '∆ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ∆ ﻓﻲ ‪ O‬و ﻣﺪرج ﺣﺴﺐ اﻟﻤﻌﯿﻦ )‪ (O ;J‬ﺣﯿﺚ ‪OJ=1cm‬‬
‫أ‪ -‬ﻋﯿّﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ C(-2 ;3‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﯿﻦ )‪ (O ;I ;J‬و اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ E‬ﻣﻨﺎظﺮة ‪ C‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ )‪(OI‬‬
‫ب‪ -‬ﺣﺪد إﺣﺪاﺛﯿﺎت ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﺎط ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ E‬و ‪ G‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﯿﻦ )‪(O ;I ;J‬‬
‫ج‪ -‬أوﺟﺪ إﺣﺪاﺛﯿﺎت اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ F‬ﺣﯿﺚ ‪ EBFC‬ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع‬
‫د‪ -‬ﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﺎط )‪ M(x ; y‬ﺣﯿﺚ ‪ x = -2‬و ‪-3≤ y ≤3‬‬
‫‪-9-‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪3‬‬

‫ﻓﺮض ﻣﺮاﻗﺒﺔ ‪1‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫إﺧﺘﺮ اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ اﻹﺟﺎﺑﺎت اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ﺑﻮﺿﻊ ﻋﻼﻣﺔ )×( ﻓﻲ اﻟﺨﺎﻧﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ‪:‬‬
‫‪ (1‬ﻛﻢ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ D12‬ھﻮ ‪:‬‬

‫‪6‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫‪12‬‬

‫‪ (2‬اﻟﺮﻗﻢ اﻟﺬي رﺗﺒﺘﮫ ‪ 100‬ﺑﻌﺪ اﻟﻔﺎﺻﻞ ﻟﻠﻌﺪد ‪ 3, 02734‬ھﻮ ‪4 :‬‬
‫‪ (3‬ﻟﯿﻜﻦ )‪ (O ;I ;J‬ﻣﻌﯿﻨﺎ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪:‬‬
‫أ‪ -‬إذا ﻛﺎن ) ‪ A  (OJ‬ﻓﺈن ‪x A  0 :‬‬

‫□‬

‫ب‪ -‬إذا ﻛﺎن )‪ (EF)//(OI‬ﻓﺈن ‪xE  xF :‬‬

‫‪,‬‬

‫‪yA  0‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫ﻏﯿﺮ ﻣﺤﺪود‬

‫‪,‬‬

‫□‬
‫□‬

‫‪3 ,‬‬
‫‪,‬‬

‫‪xE   xF‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪7‬‬

‫□‬

‫□‬

‫‪x A  xJ‬‬

‫□‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪yE  yF‬‬

‫□‬

‫‪ (4‬اﻟﻌﺪد ‪ 6b870a‬ﺣﯿﺚ ‪ a‬و ‪ b‬رﻗﻤﺎن ﯾﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 12‬إذا ﻛﺎن ‪:‬‬

‫□‬

‫‪ a=2‬و ‪b=1‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪ 8 ) :‬ن (‬
‫‪ (1‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ I‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺼﻤﺎء ‪ :‬أﻛﻤﻞ ﺑـ ‪:‬‬
‫‪31‬‬
‫‪.......I‬‬
‫‪3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ a=9‬و ‪b=5‬‬

‫‪5;3,17; 3........‬‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪ a=4‬و ‪b=4‬‬

‫‪ ‬أو ‪ ‬أو ‪‬‬

‫أو‬

‫□‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬
‫‪25 ‬‬
‫;‪(7) 2 .......   , 3,14; π .......  + ,  7‬‬
‫‪ .......I ,‬‬
‫‪4 ‬‬
‫‪‬‬

‫‪ (2‬اوﺟﺪ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺎت اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪:‬‬
‫أ‪-‬‬
‫ج‪-‬‬

‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬

‫‪144‬‬
‫‪‬‬
‫‪; 3, 6‬‬
‫; ‪7;  3‬‬
‫‪25‬‬
‫‪‬‬

‫‪  ‬‬

‫;‬

‫‪  ‬‬

‫‪,‬‬
‫‪,‬‬

‫د‪-‬‬

‫ب‪-‬‬

‫‪169‬‬
‫‪ 27‬‬
‫‪‬‬
‫‪; (31); 3   ‬‬
‫‪ ; 4; ‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ 6‬‬
‫‪‬‬

‫‪  +‬‬

‫‪ (3‬ﻟﯿﻜﻦ اﻟﻌﺪد ‪ A  xxx 42‬ﺣﯿﺚ ‪ x‬ھﻮ رﻗﻢ ﻣﺨﺎﻟﻒ ﻟﺼﻔﺮ‪ .‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ A‬ﯾﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪6‬‬
‫‪ (4‬ﺑﯿﻦ أن ‪ 3250  3248‬ﻗﺎﺑﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪12‬‬
‫‪ (5‬أ‪ -‬ﻛﻢ ﻋﺪد ﯾﺘﻜﻮن ﻣﻦ ‪ 3‬أرﻗﺎم ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ؟‬
‫ب‪ -‬ﻛﻢ ﻋﺪد ﯾﺘﻜﻮن ﻣﻦ ‪ 3‬أرﻗﺎم زوﺟﯿﺔ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ؟‬
‫ج ‪ -‬ﻛﻢ ﻋﺪد ﯾﺘﻜﻮن ﻣﻦ ‪ 3‬أرﻗﺎم ﻓﺮدﯾﺔ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ؟‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 8 ) :‬ن (‬
‫ﻟﯿﻜﻦ اﻟﻤﻌﯿﻦ )‪ (O,I,J‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺑﺤﯿﺚ ‪OI = OJ =1cm‬‬
‫‪ (1‬ﻋﯿﻦ اﻟﻨﻘﺎط )‪ A(2 ;-5‬و )‪D(2 ;4‬‬
‫‪ (2‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن )‪(AD)//(OJ‬‬
‫‪ (3‬ﻋﯿّﻦ ‪ F‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [AD‬ﺛﻢ ﺣﺪد إﺣﺪاﺛﯿﺎﺗﮭﺎ ﺣﺴﺎﺑﯿﺎ‬
‫‪ (4‬ارﺳﻢ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ∆ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و اﻟﻤﻮازي ﻟـ )‪ (OJ‬و ‪ّ .   (OI )   E‬‬
‫ﺣﺪد إﺣﺪاﺛﯿﺎت اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪E‬‬
‫‪ (5‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪B(-2 ;-5‬‬
‫أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ D‬ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ∆‬
‫ب‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ B‬ھﻲ ﻣﻨﺎظﺮة ‪ A‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ )‪(OJ‬‬
‫‪ (6‬اﺑﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ C‬ﻣﻨﺎظﺮة ‪ A‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ ‪ O‬ﺛﻢ ﺟﺪ إﺣﺪاﺛﯿﺎﺗﮭﺎ‬
‫‪ (7‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن )‪(AD)//(BC‬‬
‫‪- 10 -‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪4‬‬

‫ﻓﺮض ﻣﺮاﻗﺒﺔ ‪1‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ 5 ) :‬ن (‬
‫ﺿﻊ اﻟﻌﻼﻣﺔ )×( أﻣﺎم اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ‬
‫‪ (1‬اﻟﻌﺪد ‪ 218  215‬ﯾﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ‪7 :‬‬

‫□‬

‫□‬

‫‪3 ,‬‬

‫‪ (2‬اﻟﻌﺪد ‪ 123456789 :‬ﯾﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪12 :‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪5‬‬

‫□‬

‫‪3‬‬

‫□‬
‫□‬

‫‪6 ,‬‬

‫‪ (3‬ﺗﻘﺎطﻊ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻻﻋﺪاد اﻟﻜﺴﺮﯾﺔ و ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﺼﻤﺎء ھﻮ‪:‬‬

‫□‬

‫اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪‬‬

‫اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻔﺎرﻏﺔ ‪‬‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪0‬‬

‫□‬

‫‪ (4‬ﻓﻲ اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﻌﺸﺮﯾﺔ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪ 12,1154 :‬اﻟﺮﻗﻢ اﻟﺬي اﻟﺮﺗﺒﺘﮫ ‪ 1257‬ﺑﻌﺪ اﻟﻔﺎﺻﻞ ھﻮ ‪:‬‬
‫‪1‬‬

‫□‬

‫‪4‬‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫‪5‬‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫‪ (5‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻻرﻗﺎم ‪ 6 , 4 , 2 , 0‬و ‪ 8‬ﻋﺪد اﻹﻣﻜﺎﻧﯿﺎت ﻟﺘﻜﻮﯾﻦ ﻋﺪد ﯾﺘﻜﻮن ﻣﻦ ‪ 4‬أرﻗﺎم ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ھﻮ ‪:‬‬
‫‪120‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪96‬‬

‫□‬

‫‪625‬‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 6 ) :‬ن (‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ A‬اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪:‬‬

‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3 70 π‬‬
‫‪ 7‬‬
‫‪‬‬
‫; ‪A= -‬‬
‫; ‪;-‬‬
‫;‬
‫; ‪; - 25 ; 0,75‬‬
‫‪;- 2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2 5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3‬‬

‫أﻛﺘﺐ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺎت اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ‪:‬‬
‫أ( ‪ B‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻋﻨﺎﺻﺮ ‪ A‬اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ‬
‫ب( ‪ C‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻋﻨﺎﺻﺮ ‪ A‬اﻟﻌﺸﺮﯾﺔ اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ‬
‫ج( ‪ D‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻋﻨﺎﺻﺮ ‪ A‬اﻟﻜﺴﺮﯾﺔ‬
‫د( ‪ E‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻋﻨﺎﺻﺮ ‪ A‬اﻟﺼﻤﺎء‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 9 ) :‬ن (‬
‫ﻟﯿﻜﻦ )‪ (O,I,J‬ﻣﻌﯿﻨﺎ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺣﯿﺚ ‪ OI = OJ =1cm‬و )‪(OI)  (OJ‬‬
‫‪ (1‬ﻋﯿﻦ اﻟﻨﻘﺎط اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪ C(-4,0) , B(-4,3) , A(4,3) :‬و )‪D(4,0‬‬
‫‪ (2‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن )‪ (OJ‬ﻣﻮﺳﻂ ﻋﻤﻮدي ﻟـ ]‪[AB‬‬
‫‪ (3‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ‪ OAB‬ﻣﺘﻘﺎﯾﺲ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ‬
‫‪ (4‬ﺑﯿّﻦ أّن ‪ O‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [CD‬ﺛﻢ أﺣﺴﺐ اﻟﺒﻌﺪ ]‪.[CD‬‬
‫‪ّ (5‬ﻋﯿﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ E‬ﻣﻨﺎظﺮة ‪ A‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ )‪(OI‬‬
‫‪ (6‬أ‪ّ -‬‬
‫ﺣﺪد إﺣﺪاﺛﯿﺎت ‪ E‬ﻣﻌﻠﻼ ﺟﻮاﺑﻚ‬
‫ب‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABE‬ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ‪.‬‬

‫‪- 11 -‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪5‬‬

‫ﻓﺮض ﻣﺮاﻗﺒﺔ ‪1‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ 6 ) :‬ن (‬
‫ﺿﻊ اﻟﻌﻼﻣﺔ )×( أﻣﺎم اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ‪:‬‬
‫‪ (1‬ﻛﻞ ﻋﺪد ﻟﮫ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﻋﺸﺮﯾﺔ دورﯾﺔ و ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﮭﯿﺔ ھﻮ ‪:‬‬
‫ﻋﺪد أﺻﻢ‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫ﻋﺪد ﻛﺴﺮي‬

‫‪ (2‬اﻟﻌﺪد ‪ ( 2)3‬ھﻮ ‪ :‬ﻋﺪد ﻛﺴﺮي‬

‫□‬

‫ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ طﺒﯿﻌﻲ‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫‪ ,‬ﻋﺪد أﺻﻢ‬

‫ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ طﺒﯿﻌﻲ‬

‫‪,‬‬

‫‪45‬‬
‫□ ‪,‬‬
‫□ ‪12 ,‬‬
‫‪ (3‬اﻟﻌﺪد ‪ 3172536‬ﯾﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪15 :‬‬
‫‪ (4‬ﻟﯿﻜﻦ )‪ (O,I,J‬ﻣﻌﯿﻨﺎ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺣﯿﺚ )‪ (OI‬و )‪ (OJ‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان و ‪OI = OJ = 1cm‬‬
‫و اﻟﻨﻘﺎط )‪ B(-2,4) , A(-2,-3‬و )‪C(2,-3‬‬
‫أ‪(AB)//(OI) -‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫)‪(AB)//(OJ‬‬

‫ب‪ -‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [AB‬ذات اﻹﺣﺪاﺛﯿﺎت ‪(- 4,7) :‬‬
‫ج‪ A -‬و ‪ C‬ﻣﺘﻨﺎظﺮﺗﺎن ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ ‪(OI) :‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 7,5 ) :‬ن (‬

‫□‬
‫□‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪,‬‬
‫‪,‬‬

‫□‬

‫) ‪(-2,‬‬
‫)‪(OJ‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪O‬‬

‫□‬

‫□‬

‫)‪(AB)  (IJ‬‬

‫‪,‬‬

‫□‬
‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪7‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬

‫‪(-1,‬‬

‫□‬

‫□‬

‫‪ (1‬أوﺟﺪ اﻟﺮﻗﻤﯿﻦ ‪ x‬و ‪ y‬ﻟﯿﻜﻮن اﻟﻌﺪد ‪ a  4 x6 y‬ﻗﺎﺑﻼ ﻟﻠﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪.15‬‬
‫‪ (2‬ﺑﯿﻦ أن اﻟﻌﺪد ‪ 3  821  9  430‬ﯾﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪15‬‬
‫‪8‬‬
‫‪25‬‬
‫‪ a‬و‬
‫‪ (3‬ﻟﯿﻜﻦ اﻟﻌﺪدﯾﻦ اﻟﻜﺴﺮﯾﯿﻦ‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬

‫‪.b ‬‬

‫أ‪ -‬أوﺟﺪ اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﻌﺸﺮﯾﺔ اﻟﺪورﯾﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﻟﻌﺪدﯾﻦ ‪ a‬و ‪ b‬ﺛﻢ ّ‬
‫ﺣﺪد دورھﺎ‪.‬‬
‫ب‪ -‬ﺣﺪد اﻟﺮﻗﻢ اﻟﺬي رﺗﺒﺘﮫ ‪ 113‬ﻓﻲ اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ ‪2, 27‬‬

‫ج‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪2, 27  0, 72  3 :‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 7,5 ) :‬ن (‬
‫ﻟﯿﻜﻦ )‪ (O,I,J‬ﻣﻌﯿﻨﺎ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪا ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺣﯿﺚ ‪OI=OJ=1cm‬‬
‫‪ (1‬ﻋﯿﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ )‪ M(1,5‬و )‪N(-3,5‬‬
‫‪ 2‬اﺑﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ P‬ﻣﻨﺎظﺮة ‪ M‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ ‪ّ O‬ﺛﻢ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ Q‬ﺣﯿﺚ ﯾﻜﻮن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ MNPQ‬ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ‪.‬‬
‫‪ (3‬أﺣﺴﺐ إﺣﺪاﺛﯿﺎت ﻛﻞ ﻣﻦ ‪ P‬و ‪Q‬‬
‫‪ (4‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ N‬و اﻟﻤﻮازي ﻟـ )‪ (PM‬ﯾﻘﻄﻊ )‪ (PQ‬ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ‪.L‬‬
‫أ‪ -‬ﺑﯿﻦ أن ‪ MNLP‬ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع‬
‫ب‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ‪ P‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪[LQ‬‬
‫ج‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ إﺣﺪاﺛﯿﺎت اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪L‬‬
‫‪ (5‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [ML‬ﯾﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﻔﺎﺻﻼت‪.‬‬
‫‪- 12 -‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬

‫ﻓﺮض ﻣﺮاﻗﺒﺔ ‪2‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫أﺟﺐ ﺑـ "ﺻﺤﯿﺢ " أو " ﺧﻄﺄ " ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (1‬إذا ﻛﺎن ‪ x‬و ‪ y‬ﻋﺪدان ﺣﻘﯿﻘﯿﺎن ﻣﺘﻘﺎﺑﻼن ﻓﺈن ‪............. xy  x‬‬
‫‪....................... 14  50  8 (2‬‬
‫‪ (3‬اﻹﺳﻘﺎط ﯾﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ اﻟﺒﻌﺪ ‪................‬‬
‫‪ (4‬إذا ﻛﺎن ‪ a‬و ‪ b‬ﻋﺪدان ﺣﻘﯿﻘﯿﺎن ﻓﺈن ‪ a² = b²‬ﯾﻌﻨﻲ ‪............... a = b‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 9 ) :‬ن (‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (I‬ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻌﺒﺎرﺗﯿﻦ ﺣﯿﺚ ‪A  5    3    2    5  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫و )‪ B   x   (  2  x)  ( 3  x)  (  2‬ﺣﯿﺚ ‪ x‬ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ‪.‬‬
‫‪2 4‬‬
‫‪4‬‬

‫‪ (1‬اﺧﺘﺼﺮ اﻟﻌﺒﺎرﺗﯿﻦ ‪ A‬و ‪B‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ (2‬أﺣﺴﺐ ‪+ A ; A ; A²‬‬
‫‪A‬‬

‫‪ (3‬أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ‪ x‬إذا ﻛﺎن ‪ A‬و ‪ B‬ﻣﺘﻘﺎﺑﻼن‬
‫‪ (4‬أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ‪ x‬إذا ﻛﺎن ‪ A‬و ‪ B‬ﻣﻘﻠﻮﺑﺎن‬
‫‪ (1 (II‬ﻓﻜﻚ إﻟﻰ ﺟﺬاء ﻋﻮاﻣﻞ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪ C  (x  2)(x  5)  3(x  5) :‬ﺣﯿﺚ ‪ x‬ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ‪.‬‬
‫‪ (2‬أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ‪ x‬إذا ﻛﺎن ‪C = 0‬‬
‫‪ (3‬أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ‪ x‬إذا ﻛﺎن ‪C  x  1‬‬
‫‪ (1(III‬أﻧﺸﺮ و إﺧﺘﺼﺮ اﻟﻌﺒﺎرﺗﯿﻦ اﻟﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ ﺣﯿﺚ ‪ x‬ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ‪.‬‬
‫‪2 9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪( x  3)  x ‬‬
‫‪3 8‬‬
‫‪4‬‬

‫‪D‬‬

‫) ‪E  (x  2)(3x  2)  2(x  2 2x‬‬

‫;‬

‫‪ (2‬ﻓﻜﻚ إﻟﻰ ﺟﺬاء اﻟﻌﺒﺎرﺗﯿﻦ ﺣﯿﺚ ‪ x‬و ‪ y‬ﻋﺪدان ﺣﻘﯿﻘﯿﺎن‬
‫‪; G  27x 3 y  15xy 2‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ‪ 7 ) :‬ن (‬
‫ﻟﯿﻜﻦ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﺣﯿﺚ ‪ AB = 4cm :‬و ‪ AC = 5cm‬و ‪BC = 6cm‬‬
‫‪ (1‬أ‪ -‬ﻋﯿّﻦ ﻋﻠﻰ )‪ [AB‬اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﺣﯿﺚ ‪AM=6cm‬‬
‫ﺛﻢ أرﺳﻢ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﻮازي ﻟـ )‪ (BC‬و اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ M‬و ﯾﻘﻄﻊ )‪ (AC‬ﻓﻲ ‪N‬‬
‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ ‪ MN‬و ‪AN‬‬
‫‪ (2‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ P‬ﻣﺴﻘﻂ ‪ B‬ﻋﻠﻰ )‪ (AC‬وﻓﻘﺎ ﻟﻤﻨﺤﻰ )‪(MC‬‬
‫) ‪H  x (x  5)  (x  1)(x 2  5x‬‬

‫‪AB‬‬
‫أ‪ -‬أﻛﺘﺐ ﻧﺴﺒﺘﯿﻦ ﻣﺴﺎوﯾﺘﯿﻦ ﻟـ‬
‫‪AM‬‬

‫ب‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ‪AC 2  AP  AN‬‬

‫ج‪ -‬أﺣﺴﺐ ‪AP‬‬
‫‪ (3‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ E‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ]‪ [AM‬ﺣﯿﺚ ‪ AE=3cm‬و ‪ F‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪[AN‬‬
‫ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن )‪ (EF)//(BC‬ﺛّﻢ أﺣﺴﺐ ‪EF‬‬
‫‪- 13 -‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬

‫ﻓﺮض ﻣﺮاﻗﺒﺔ ‪2‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫ﺿﻊ ﻋﻼﻣﺔ )×( ﻓﻲ اﻟﺨﺎﻧﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ‪:‬‬
‫‪ (11) 2 (1‬ﯾﺴﺎوي‪121 :‬‬
‫‪ 48 (2‬ﯾﺴﺎوي ‪:‬‬

‫□‬
‫□‬

‫‪4 3‬‬

‫ّ‬
‫‪ (3‬إذا ﻛﺎن ‪ x   x‬‬
‫ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪,‬‬
‫‪,‬‬

‫‪x ‬‬

‫□‬

‫‪-11‬‬

‫‪11‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪2 24‬‬

‫□‬

‫‪S  ‬‬

‫□‬

‫□‬

‫‪3 3‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x ‬‬

‫□‬

‫‪ (4‬اﻟﮭﺪف ﻣﻦ ﻧﻈﺮﯾﺔ طﺎﻟﺲ ھﻲ ‪ :‬إﯾﺠﺎد اﻷﺑﻌﺎد □ ‪ ,‬ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻮﺿﻌﯿﺎت اﻟﻨﺴﺒﯿﺔ □ ‪ ,‬ﺗﺤﺪﯾﺪ اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 8 ) :‬ن (‬
‫ﻟﯿﻜﻦ )‪ (O,I,J‬ﻣﻌﯿﻨﺎ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪا ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺣﯿﺚ ‪OI = OJ = 1cm‬‬
‫‪(1‬ﻋﯿﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ )‪ M(4 ; 0‬و )‪N(- 6 ; 0‬‬
‫‪ (2‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [MN‬إﺑﺤﺚ ﻋﻦ إﺣﺪاﺛﯿﺎت ‪A‬‬
‫‪ (3‬ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ B(4 ; 2‬ﺣﺪد إﺣﺪاﺛﯿﺎت اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ D‬ﻣﻨﺎظﺮة ‪ B‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ‪A‬‬
‫‪ (4‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن )‪ (BM) // (OJ‬ﺛﻢ ﺟﺪ اﻟﺒﻌﺪ ‪ BM‬و ‪MN‬‬
‫‪ (5‬ﻣﺎ ھﻲ طﺒﯿﻌﺔ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪MBND‬؟ ﻋﻠﻞ ﺟﻮاﺑﻚ‬
‫‪ (6‬ﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪MBND‬‬
‫‪ (7‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ K‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ]‪ [AB‬ﺣﯿﺚ )‪(OK)//(BM‬‬
‫‪OK 1‬‬
‫أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪‬‬
‫‪BM 5‬‬

‫ب‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ اﻟﺒﻌﺪ ‪OK‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 8 ) :‬ن (‬
‫‪ (1 (I‬اﺧﺘﺼﺮ اﻟﻌﺒﺎرات اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪A  1  [3  (1  5)] :‬‬

‫;‬

‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪B   (  2 3)  (  3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪C  2  [1  ( 3   )]  ( 5   )  1‬‬

‫‪ (2‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن اﻟﻤﺠﻤﻮع ‪ A+B+C‬ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ طﺒﯿﻌﻲ‪.‬‬
‫‪ (II‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺒﺎرﺗﯿﻦ ‪ C‬و ‪ D‬ﺣﯿﺚ ‪:‬‬
‫])‪C  ( 3  2)  [3  ( 2  3‬‬

‫و‬

‫‪ (1‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ C  3  2 2‬و ‪D  3  2 2‬‬
‫‪ (2‬أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ C‬و ‪ D‬ﻋﺪدان ﻣﻘﻠﻮﺑﺎن‬
‫‪1 1‬‬
‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ‬
‫‪‬‬
‫‪C D‬‬
‫ّ ‪D C‬‬
‫ج‪ -‬أﺣﺴﺐ ‪ D²‬و ‪ C²‬ﺛﻢ‬
‫‪‬‬
‫‪C D‬‬

‫‪- 14 -‬‬

‫)‪D  3( 2  1)  ( 2  2)( 2  1‬‬

‫□‬

‫ﻣﺜﺎل ‪3‬‬

‫ﻓﺮض ﻣﺮاﻗﺒﺔ ‪2‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ 5 ) :‬ن (‬
‫اﺧﺘﺮ اﻟﺠﻮاب اﻟﺼﺤﯿﺢ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ اﻷﺟﻮﺑﺔ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺔ ﺑﻮﺿﻊ اﻟﻌﻼﻣﺔ " × "‪:‬‬
‫‪ (1‬ﻣﻘﺎﺑﻞ ‪ 1  2‬ﯾﺴﺎوي ‪2  1 :‬‬
‫‪ (2‬اﻟﻌﺪد ‪2  8‬‬

‫□‬
‫□‬

‫ﯾﺴﺎوي ‪10 :‬‬

‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫ھﻮ ‪:‬‬
‫‪ (3‬ﻣﻘﻠﻮب اﻟﻌﺪد‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬

‫□‬

‫‪-‬‬

‫‪1  2‬‬

‫‪,‬‬
‫‪,‬‬

‫‪16‬‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫‪5‬‬

‫□‬
‫□‬

‫‪,‬‬

‫’‬

‫‪3 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪1 2‬‬

‫□‬

‫□‬
‫□‬

‫‪ (4‬ﻟﯿﻜﻦ )‪ A(- 4,3‬و )‪ B(2,- 1‬ﻧﻘﻄﺘﺎن ﻣﻦ ﻣﻌﯿﻦ )‪ّ (O,I,J‬‬
‫ﻓﺈن ‪:‬‬
‫)‪ M(-1,1‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪[AB‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫)‪ N(1,-1‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪□ [AB‬‬

‫‪ (5‬ﻧﻘﻄﺘﺎن ﻟﮭﻤﺎ إﺣﺪاﺛﯿﺎت ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺔ ﻣﺘﻨﺎظﺮﺗﺎن ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ ‪(OI) :‬‬

‫‪ H(1,1) ,‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪[AB‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫)‪(OJ‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪O‬‬

‫□‬
‫□‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 7 ) :‬ن (‬
‫‪1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ (1‬أ‪ -‬أﺧﺘﺼﺮ اﻟﻌﺒﺎرﺗﯿﻦ ‪ A‬و ‪ B‬ﺣﯿﺚ ‪ A    ( 2  1)  ( 2) :‬و )‪ (  4  5)  (  5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫ب‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ A‬و ‪ B‬ﻣﺘﻘﺎﺑﻼن‬
‫‪11‬‬
‫‪ (2‬اﺣﺴﺐ ‪:‬‬
‫‪4‬‬

‫‪9‬‬

‫;‬

‫‪27‬‬
‫‪75‬‬

‫‪3‬‬
‫)‪3 2  ( )  ( 2‬‬
‫‪2‬‬

‫;‬

‫‪ (3‬أوﺟﺪ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ ‪ x‬ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪ (  3) :‬و )‪ ( x  3‬ﻋﺪدان ﻣﺘﻘﺎﺑﻼن‬
‫‪ (4‬أﺧﺘﺼﺮ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ A‬اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪ A  x  2  ( x  2 2)  1  2 :‬ﺣﯿﺚ ‪x 1‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 8 ) :‬ن (‬
‫‪ (I‬ﻟﯿﻜﻦ ∆ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎ ﻣﺪرﺟﺎ ﺑﺎﻟﻤﻌﯿﻦ )‪(O ; E‬‬
‫‪ (1‬ﻋﯿّﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ G‬ﺣﯿﺚ ‪ّ xG  3‬ﺛﻢ أﺣﺴﺐ ‪EG‬‬
‫‪ (2‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ M‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [EG‬أﺣﺴﺐ ﻓﺎﺻﻠﺘﮭﺎ‬
‫‪ (II‬إﺑﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ )’∆( اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ O‬و اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ∆ و درﺟﮫ ﺑﺎﻟﻤﻌﯿﻦ )‪ (O,J‬ﺣﯿﺚ ‪OE = OJ‬‬
‫‪ (1‬ﺣﺪد إﺣﺪاﺛﯿﺎت اﻟﻨﻘﺎط ‪ E‬و ‪ G‬و ‪ M‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﯿﻦ )‪(O, E ,J‬‬
‫‪ (2‬ﻋﯿّﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ )‪ H(-1,3‬و )‪ K(-1,-3‬و ﺑﯿﻦ أن ‪ K‬و ‪ H‬ﻣﺘﻨﺎظﺮﺗﺎن ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ )‪(OE‬‬
‫‪ (3‬أﺛﺒﺖ ّ‬
‫أن ‪ M‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [HK‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻹﺣﺪاﺛﯿﺎت‪.‬‬
‫‪ (4‬أ( اﺳﺘﻨﺘﺞ طﺒﯿﻌﺔ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪EHGK‬‬
‫ب( اﺣﺴﺐ ‪ّ HK‬ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪EHGK‬‬
‫‪ّ (5‬‬
‫ﺣﺪد إﺣﺪاﺛﯿﺎت اﻟﻨﻘﺎط ‪ E‬و ‪ H‬و ‪ G‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﯿﻦ )‪(H , F , G‬‬
‫‪- 15 -‬‬

‫‪B‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪4‬‬

‫ﻓﺮض ﻣﺮاﻗﺒﺔ ‪2‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ 5 ) :‬ن ( إﺧﺘﺮ اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ‪:‬‬
‫أ‬

‫ب‬

‫ج‬

‫)‪  ( 13  5‬ﯾﺴﺎوي‬

‫‪ 13  5‬‬

‫‪13  5‬‬

‫‪13  5‬‬

‫ﻓﺈن‪:‬‬
‫‪ 2‬إذا ﻛﺎن ‪ّ a  b  3  3‬‬

‫‪ba  3 3‬‬

‫‪b  a  3  3‬‬

‫‪b  a  3 3‬‬

‫)‪ (O,I,J‬ﻣﻌﯿﻨﺎ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪا ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬
‫‪3‬‬
‫)‪ A(-5,3‬و )‪ B(3,3‬إذا‪:‬‬

‫)‪(AB)//(OI‬‬

‫)‪(AB)//(OJ‬‬

‫‪ A‬و ‪ B‬ﻣﺘﻨﺎظﺮﺗﺎن‬
‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪O‬‬

‫‪ A‬و‪ B‬و‪ E‬ﻧﻘﺎط ﻓﻲ ﻣﻌﯿﻦ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ )‪(O,I,J‬‬
‫‪ 4‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ xA‬و ‪ xB‬ﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺘﺎن ﻓﺈن‬

‫‪ E‬ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ‬
‫)‪(OJ‬‬

‫‪ E‬ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ )‪(OI‬‬

‫ﻓﺎﺻﻠﺔ ‪ E‬ﻣﺨﺎﻟﻔﺔ‬
‫ﻟﺼﻔﺮ‬

‫إذا ﻛﺎن اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ ‪ a‬ﻣﻘﻠﻮﺑﺎ ﻟﻠﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ‬
‫‪5‬‬
‫ﻓﺈن‪:‬‬
‫‪ّ b‬‬

‫‪a×b=1‬‬

‫‪a×b=0‬‬

‫‪a–b=0‬‬

‫‪1‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 6 ) :‬ن (‬

‫‪4 3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ (1‬أﺣﺴﺐ‪, a  2 2  ( 2) :‬‬
‫) ‪c  (3 2  )  ( 2  3 ‬‬
‫‪b 5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (2‬أ‪ -‬أﺧﺘﺼﺮ اﻟﻌﺒﺎرﺗﯿﻦ ‪ A‬و ‪ B‬اﻟﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ ﺣﯿﺚ ‪ x‬و ‪ y‬ﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﯿﻦ‪:‬‬
‫]‪B  ( x  3)  ( y  x  5)  [( y  5)  2] , A  (1  2)  [( 3  1)  2‬‬

‫ب‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ A‬و ‪ B‬ﻣﺘﻘﺎﺑﻼن‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ F‬اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ﺣﯿﺚ ‪ a‬و ‪ b‬ﻋﺪدان ﺣﻘﯿﻘﯿﺎن‪F   b  [( 3  a )  2]  [( 2  b )  (1  b )] :‬‬
‫‪ (1‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪F  b  a  3  1 :‬‬
‫‪ (2‬أﺣﺴﺐ ‪ F‬ﻋﻠﻤﺎ و أن ‪ a  2  1‬و ‪b  2‬‬
‫‪ (3‬أﺣﺴﺐ ‪ F‬إذا ﻛﺎن ‪ a‬و ‪ b‬ﻣﺘﻘﺎﺑﻼن و ‪a  3‬‬
‫‪ (4‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻗﯿﻤﺔ ‪ b - a‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪F  3‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺮاﺑﻊ ‪ 5 ) :‬ن ( ﻟﯿﻜﻦ )‪ (O,I,J‬ﻣﻌﯿﻨﺎ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪا ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺣﯿﺚ ‪OI = OJ = 1cm‬‬
‫‪ (1‬ﻋﯿ ّﻦ اﻟﻨﻘﺎط )‪ A(5, 2‬و )‪ B (3,  2‬و )‪ C (5,  2‬و )‪D (4, 2‬‬
‫‪ (2‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ ABCD‬ﺷﺒﮫ ﻣﻨﺤﺮف‬
‫‪ (3‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ E‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ A‬ﻋﻠﻰ )‪(BC‬‬
‫أ‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ إﺣﺪاﺛﯿﺎت اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪E‬‬
‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ اﻟﺒﻌﺪ ‪ AE‬ﺛﻢ اﻟﺒﻌﺪ ‪ BC‬ﻣﻌﻠﻼ ﺟﻮاﺑﻚ‬
‫‪ (4‬أﺣﺴﺐ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ABC‬‬
‫أن اﻟﻨﻘﺎط ‪ A‬و ‪ E‬و ‪ C‬ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﺪاﺋﺮة ّ‬
‫‪ (5‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫ﺣﺪد ﻣﺮﻛﺰھﺎ و ﺷﻌﺎﻋﮭﺎ‬
‫‪ (6‬ﻣﺎ ھﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﺎط ) ‪ M ( x, y‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ ‪ x  5 :‬و ‪ 2  y  2‬‬
‫‪- 16 -‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪5‬‬

‫ﻓﺮض ﻣﺮاﻗﺒﺔ ‪2‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫ﺿﻊ اﻟﻌﻼﻣﺔ )‪ (‬ﻓﻲ اﻟﺨﺎﻧﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ‪ ) :‬إﺟﺎﺑﺔ واﺣﺪة ﺻﺤﯿﺤﺔ (‬
‫ﻋﺪد ﻛﺴﺮي ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪45‬‬

‫اﻟﻌﺪد ‪3 ,28257‬‬
‫‪17‬‬
‫دور اﻟﻌﺪد‬
‫‪11‬‬
‫‪   ‬ﯾﺴﺎوي‬

‫ھﻮ‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ BC  //  DE ‬‬
‫‪AD AE‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB EC‬‬

‫‪‬‬

‫أﺻﻢ‬
‫ﻋﺪد‬
‫ّ‬
‫‪54‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫ﻋﺪد ﻋﺸﺮي‬
‫‪545‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪AD AE BC‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB CA DE‬‬

‫‪‬‬

‫‪AD DE‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB CB‬‬

‫‪‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫‪ (1‬ارﺳﻢ ]‪ [AB‬و ]‪ [CD‬ﺣﯿﺚ ‪ AB = 2 cm‬و ‪ ) CD = 5 cm‬ﻣﻊ اﻟﺘﻌﻠﯿﻞ طﺮﯾﻘﺔ اﻟﺮﺳﻢ(‬
‫‪ (2‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ ‬ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﺪرج وﻓﻖ اﻟﻤﻌﯿﻦ ) ‪ (O ; I‬ﺣﯿﺚ ‪OI = 1cm‬‬
‫اﺑﻦ اﻟﻨﻘﺎط اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ﻣﻦ ‪ M  2 2  : ‬و ‪N  -3 5 ‬‬

‫‪O‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ‪ 6 ) :‬ن (‬
‫‪ (1‬اﺧﺘﺼﺮ اﻟﻌﺒﺎرات اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪ :‬ﺣﯿﺚ ‪ x‬و ‪ y‬ﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﯿﻦ ‪.‬‬

‫‪‬‬
‫‪(2‬‬

‫‪‬‬

‫‪5-π‬‬

‫‪‬‬

‫‪3‬‬

‫‪7+‬‬

‫‪‬‬

‫أوﺟﺪ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ ‪ a‬ﻓﻲ ﻛﻞ ﺣﺎﻟﺔ ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫أ( ‪5 = 2‬‬

‫‪‬‬

‫‪2a - a +‬‬

‫‪,‬‬

‫ب(‬

‫‪‬‬

‫‪5 -  - y -  x + π  -‬‬

‫‪‬‬

‫‪11 ‬‬

‫‪3 )  +‬‬

‫‪‬‬

‫‪5 )- y - x +‬‬

‫‪A= ( x +‬‬

‫ ‪ 11 + 1  - - x +  - π‬‬‫‪C =  x - 2  -  y + x + 7  - - y + (x +‬‬

‫‪π+ 3 +a = 0‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺮاﺑﻊ‪ 6 ) :‬ن (‬
‫)وﺣﺪة اﻟﻘﯿﺲ ھﻲ اﻟﺼﻨﺘﻤﺘﺮ(‬
‫ﻻﺣﻆ اﻟﺮﺳﻢ ﺣﯿﺚ ‪  BC  //  HG ‬و ‪ AC  / /  GE ‬‬
‫‪AC = 4 ; AB= 6 ; BC = 6 ;AH = 2 ; EF = 2‬‬
‫* اﺣﺴﺐ ‪FG , HF , AF‬‬

‫‪- 17 -‬‬

‫‪B =1+  - y -‬‬

‫‪,‬‬

‫ج(‬

‫‪2 + 2a = a + π‬‬

‫ﻓﺮض ﺗﺄﻟﯿﻔﻲ ‪1‬‬
‫)‪4‬ن(‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ :‬ﺿﻊ اﻟﻌﻼﻣﺔ )×( ﻓﻲ اﻟﺨﺎﻧﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ‪:‬‬
‫‪ (1‬ﺑﻌﺪا ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ھﻤﺎ ‪ 3  5 5‬و ‪ 7  3 5‬إذا ﻧﺼﻒ ﻣﺤﯿﻄﮫ ﯾﺴﺎوي ‪:‬‬
‫‪10  2 5‬‬

‫□‬

‫‪ (2‬ﺟﺬاء اﻟﻌﺪدﯾﻦ ‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪12‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬
‫‪6 2‬‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫‪21  5‬‬

‫‪1 2‬‬
‫‪1 2‬‬
‫ﯾﺴﺎوي ‪:‬‬
‫و‬
‫‪2 2‬‬
‫‪1 2‬‬

‫ﯾﻌﻨﻲ ‪x  2 :‬‬

‫□‬

‫□‬

‫‪x 1‬‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫‪10  2 5‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬

‫‪22‬‬
‫‪1 2‬‬

‫□‬

‫‪x2 2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ (4‬ﻻﺣﻆ اﻟﺮﺳﻢ اﻟﺘﺎﻟﻲ ﺣﯿﺚ )‪ّ (MN)//(BC‬‬
‫ﻓﺈن ‪:‬‬
‫‪MN AN‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC AC‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪MN AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC AN‬‬

‫□‬

‫‪MN NC‬‬
‫‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪BC AN‬‬

‫□‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 5 ) :‬ن (‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺒﺎرﺗﯿﻦ ‪ A‬و ‪ B‬ﺣﯿﺚ ‪ x‬ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ‬
‫;‬
‫) ‪B  ( 2  x )(  x‬‬
‫‪A  x( 2   )  2   2‬‬
‫‪ (1‬أﺣﺴﺐ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ A‬إذا ﻛﺎن ‪x  2 2‬‬
‫‪ (2‬أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ) ‪A  ( 2  x)( 2  ‬‬
‫ب‪ّ -‬‬
‫ﻓﻜﻚ اﻟﻌﺒﺎرة ‪A + B‬‬
‫ج‪ -‬أوﺟﺪ اﻟﻌﺪد ‪ x‬إذا ﻛﺎن ‪ A‬و ‪ B‬ﻣﺘﻘﺎﺑﻼن‬
‫‪ (3‬أﺣﺴﺐ اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻌﺪدﯾﺔ ﻟـ ‪ A  B‬إذا ﻛﺎن ‪x  2‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 6 ) :‬ن (‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪a  ( 2   3)  (  2)  ( 3  3)  :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪c  ( 2  1)( 2  2)  (1  5 2) , b  ( 7  1) 7  (4  2 2  7‬‬

‫‪ (1‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ a  2 2  3‬و ‪ b  3  2 2‬و ‪c  3  2 2‬‬
‫‪ (2‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ a‬و ‪ b‬ﻣﺘﻘﺎﺑﻼن‬
‫‪ (3‬ھﻞ ‪ b‬و ‪ c‬ﻋﺪدان ﻣﻘﻠﻮﺑﺎن ؟ ﻋﻠﻞ ﺟﻮاﺑﻚ‬

‫‪1 1‬‬
‫‪ (4‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ‪ ac=-1‬و أن ‪  2c‬‬
‫‪b a‬‬
‫‪ (5‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن )‪ b(c  1)  c(b  1‬ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ طﺒﯿﻌﻲ‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺮاﺑﻊ ‪ 5 ) :‬ن (‬
‫‪ (1‬ارﺳﻢ ﻣﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﺑﺤﯿﺚ ‪ AB = 5cm‬و ‪ BC = 7cm‬و ‪AC = 8cm‬‬
‫‪ (2‬أ‪ -‬ﻋﯿّﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻣﻦ ]‪ [AB‬ﺣﯿﺚ ‪AM = 2cm‬‬
‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ M‬و اﻟﻤﻮازي ﻟـ )‪ (BC‬ﯾﻘﻄﻊ )‪ (AC‬ﻓﻲ ‪N‬‬
‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ ‪ AN‬و ‪MN‬‬
‫‪ (3‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [MB‬و ‪ J‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪[NC‬‬
‫أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن )‪(BC)//(IJ‬‬
‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ ‪IJ‬‬
‫‪ (4‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ I‬و اﻟﻤﻮازي ﻟـ )‪ (AC‬ﯾﻘﻄﻊ )‪ (BC‬ﻓﻲ ‪ . K‬أﺣﺴﺐ ‪BK‬‬
‫‪- 18 -‬‬

‫‪,‬‬

‫‪2 2‬‬
‫‪1 2‬‬

‫□‬

‫□‬

‫ﻓﺮض ﺗﺄﻟﯿﻔﻲ ‪1‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫ﺿﻊ اﻟﻌﻼﻣﺔ )×( ﻓﻲ اﻟﺨﺎﻧﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ﻓﻲ ﻛﻞ ﺣﺎﻟﺔ ‪) :‬إﺟﺎﺑﺔ واﺣﺪة ﺻﺤﯿﺤﺔ(‬
‫‪ (1‬ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪ّ A  8  2 :‬‬
‫ﻓﺈن ‪ A‬ﯾﺴﺎوي ‪2 2 :‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪3 2‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪4 2‬‬

‫□‬

‫‪ (2‬ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪ 3  x ²  2‬ﺣﯿﺚ ‪ x‬ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ﻓﺈن ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ھﻮ ‪:‬‬
‫‪1‬‬

‫‪ ,‬ﻏﯿﺮ ﻣﻤﻜﻦ‬

‫□‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫‪ 1‬أو‪-1‬‬

‫‪ ABC (3‬ﻣﺜﻠﺚ و ‪ E‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻀﻠﻊ ]‪ [AB‬و ‪ F‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻀﻠﻊ ]‪ [AC‬ﺣﯿﺚ ‪(EF)//(BC) :‬‬
‫و ‪ BC=12cm ; BE=2cm ; AE=6cm‬إذا ‪:‬‬
‫‪AE 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB 3‬‬

‫□‬

‫‪AE AF BC‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB AC EF‬‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪EF= 9cm‬‬

‫□‬

‫‪ ABC (4‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻘﺎﯾﺲ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ ﻗﻤﺘﮫ اﻟﺮﺋﯿﺴﯿﺔ ‪ E . A‬ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻀﻠﻊ ]‪ [AB‬و ‪ F‬ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻀﻠﻊ‬
‫‪BC‬‬
‫]‪ [BC‬إذا ‪:‬‬
‫‪2‬‬

‫‪EF ‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪AB‬‬
‫‪2‬‬

‫‪EF ‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫)‪(EF)//(BC‬‬

‫□‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ A‬ﺣﯿﺚ ‪ x‬ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ‪A  ( x  2)(2 x  3)  ( x  3)( x  2) :‬‬

‫‪ (1‬ﻓﻜﻚ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ A‬إﻟﻰ ﺟﺬاء ﻋﻮاﻣﻞ‬
‫‪ (2‬أﺣﺴﺐ ‪ A‬إذا ﻋﻠﻤﺖ أن ‪x  2‬‬
‫‪ (3‬ﺟﺪ اﻟﻌﺪد ‪ A‬ﺣﯿﺚ ‪x  5‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 6 ) :‬ن (‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺒﺎرﺗﯿﻦ اﻟﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ ‪F  98  50  3  32 , E  1  2.( 2  1)  ( 2  2).(1  2) :‬‬
‫‪ (1‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ E  3  2 2 :‬و ‪F  3  2 2‬‬
‫‪ (2‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ E‬و ‪ F‬ﻋﺪدان ﻣﻘﻠﻮﺑﺎن‬
‫‪1 1‬‬
‫‪ (3‬أﺣﺴﺐ ‪ E² :‬و ‪ F-E‬و‬
‫‪‬‬
‫‪E F‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺮاﺑﻊ ‪ 7 ) :‬ن (‬
‫ارﺳﻢ ﻣﺜﻠﺜﺎ ‪ ABC‬ﺑﺤﯿﺚ ‪ AC=12‬و ‪ AB=9‬و ‪ BC=5‬و ﻟﺘﻜﻦ ‪ M‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪[AC‬‬
‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ M‬و اﻟﻤﻮازي ﻟـ )‪ (BC‬ﯾﻘﻄﻊ ]‪ [AB‬ﻓﻲ ‪.N‬‬
‫‪ (1‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ N‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [AB‬ﺛّﻢ أﺣﺴﺐ ‪M N‬‬
‫‪ (2‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ E‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ]‪ [AM‬ﺑﺤﯿﺚ ‪ AE=4‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و اﻟﻤﻮازي ﻟـ )‪ (MN‬ﯾﻘﻄﻊ )‪ (NE‬ﻓﻲ‬
‫اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪P‬‬
‫‪EN NM 1‬‬
‫ب‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫‪‬‬
‫أن ‪ :‬‬
‫‪EP‬‬
‫‪AP 2‬‬

‫ب‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ‪AP‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪ (3‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ S1‬ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABE‬و ‪ S2‬ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ . ABC‬أﺣﺴﺐ‬
‫‪S2‬‬

‫‪- 19 -‬‬

‫ﻓﺮض ﺗﺄﻟﯿﻔﻲ ‪1‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫ﺿﻊ ﻋﻼﻣﺔ )×( ﻓﻲ اﻟﺨﺎﻧﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ﻓﻲ ﻛﻞ ﺣﺎﻟﺔ ‪) :‬إﺟﺎﺑﺔ واﺣﺪة ﺻﺤﯿﺤﺔ(‬
‫‪ (1‬ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪ A  (  3)  (  1) :‬ﻓﺈن ‪ A‬ﯾﺴﺎوي‪:‬‬
‫‪1 3‬‬
‫□ ‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫□‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ (2‬ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪ّ B  2( 3  2) :‬‬
‫ﻓﺈن ‪ B‬ﯾﺴﺎوي ‪:‬‬

‫‪2  3  1‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪3‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫‪ 3 1‬‬

‫‪2 5‬‬
‫‪2 5‬‬
‫□ ‪,‬‬
‫□ ‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪□ 2 6‬‬
‫‪ (3‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺜﺎ ﺣﯿﺚ ‪ M‬و ‪ N‬ﻣﻨﺘﺼﻔﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﻟـ ]‪ [AB‬و ]‪ [AC‬و ‪ MN=3cm‬إذا‪:‬‬
‫‪3 4‬‬

‫‪BC=7cm‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪AM MN 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪BC 2‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫)‪ (MN‬و )‪ (BC‬ﻣﺘﻘﺎطﻌﺎن‬

‫‪ (4‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ﻣﻨﺘﺼﻔﻲ ﺿﻠﻌﻲ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ھﻮ‪:‬‬
‫ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻀﻠﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ □ ‪ ,‬ﻗﺎطﻊ ﻟﻠﻀﻠﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ □ ‪ ,‬ﻣﻮازي ﻟﻠﻀﻠﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫ﻟﻨﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪ A  (x  3)(2x  1)  (x  3)(x  2) :‬ﺣﯿﺚ ‪ x‬ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ‬
‫‪ (1‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن )‪A  ( x  3)( x  1‬‬
‫‪ (2‬أوﺟﺪ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ ‪ x‬ﺣﯿﺚ ‪A = 0‬‬
‫‪ (3‬ﺟﺪ اﻟﻌﺪد ‪ A‬ﺣﯿﺚ ‪x  2‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 5 ) :‬ن (‬
‫ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻌﺒﺎرﺗﺎن ‪ a  25  5 24  2 96 :‬و )‪b  3 3( 2  5 3)  5 2(5 2  3‬‬
‫‪ (1‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪a  5  2 6 :‬‬
‫ﺑﯿﻦ ّ‬
‫‪ّ (2‬‬
‫أن ‪b  5  2 6 :‬‬
‫‪ (3‬أﺛﺒﺖ ّ‬
‫أن اﻟﻌﺪد ‪ a‬ﻣﻘﻠﻮب ‪b‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪ (4‬اﺣﺴﺐ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ E‬ﺣﯿﺚ ‪  ab :‬‬
‫‪a b‬‬

‫‪E‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺮاﺑﻊ ‪ 7 ) :‬ن (‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻣﺜﻠﺜﺎ ‪ ABC‬ﺑﺤﯿﺚ ‪ AB = 6‬و ‪ AC = 4‬و ‪BC = 5‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [AB‬و‪ J‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪[AC‬‬
‫‪ (1‬أﺣﺴﺐ ‪IJ‬‬
‫‪ (2‬ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻋﻠﻰ ]‪ [IB‬ﺣﯿﺚ ‪. I M = 1‬‬
‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ M‬و اﻟﻤﻮازي ﻟـ )‪ (BC‬ﯾﻘﻄﻊ ]‪ [AC‬ﻓﻲ ‪N‬‬
‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل ﻧﻈﺮﯾﺔ طﺎﻟﺲ اﺣﺴﺐ ‪ AN‬و ‪JN‬‬
‫‪ (3‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ )‪ (BJ‬ﯾﻘﻄﻊ ]‪ [MN‬ﻓﻲ ‪L‬‬
‫‪JL IM‬‬
‫أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن‬
‫=‬
‫‪JB IB‬‬

‫ب‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ‪JB=3JL‬‬
‫‪ (4‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ )‪ (AL‬ﯾﻘﻄﻊ )‪ (IJ‬ﻓﻲ ‪ K‬و )‪ (BC‬ﻓﻲ ‪. S‬أﺛﺒﺖ ّ‬
‫أن ‪ K‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪[AS‬‬
‫‪ (5‬أﺣﺴﺐ ‪MN‬‬
‫‪- 20 -‬‬

‫□‬
‫□‬

‫ﻓﺮض ﺗﺄﻟﯿﻔﻲ ‪1‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫اﺧﺘﺮ اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ‬

‫ﻣﺜﺎل ‪4‬‬

‫أ‬

‫ب‬

‫ج‬

‫‪ 13590 1‬ﯾﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫‪12‬‬

‫‪15‬‬

‫‪8‬‬

‫‪ 2‬ﻣﻘﻠﻮب اﻟﻌﺪد ‪ 2  5‬ھﻮ‬

‫‪1‬‬
‫‪2 5‬‬

‫‪2  5‬‬

‫‪2  5‬‬

‫‪ 50 3‬ﯾﺴﺎوي‬

‫‪10 5‬‬

‫‪5 2‬‬

‫‪2 5‬‬

‫ﻓﻲ اﻟﻤﻌﯿﻦ )‪ (O,I,J‬إذا ﻛﺎﻧﺖ )‪M ( 3; 2‬‬

‫‪ O‬ﻣﻨﺘﺼﻒ‬
‫]‪[MN‬‬

‫‪4‬‬
‫و )‪ّ N ( 3; 2‬‬
‫ﻓﺈن‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 6 ) :‬ن (‬

‫)‪(MN)//(OJ) (MN)//(OI‬‬

‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ (1‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ﺣﯿﺚ‪ a   :‬و ‪, b  ‬‬
‫‪A  (a  b  2)  [(a   b )  ( 2  a  b )] ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫ﺑﯿﻦ ّ‬
‫ّ‬
‫أن ‪A= a – b + 1 :‬‬
‫أ‪-‬‬
‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ ‪ A‬إذا ﻋﻠﻤﺖ أن ‪ a  2 3 :‬و ‪ b‬ﻣﻘﺎﺑﻞ ‪a‬‬
‫‪ (2‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺒﺎرﺗﯿﻦ ‪ B‬و ‪ C‬ﺣﯿﺚ ‪ B   20  4  45 :‬و )‪C  5  ( 5  1)  ( 5  2).( 5  2‬‬
‫ﺑﯿﻦ ّ‬
‫ّ‬
‫أن ‪ B  2  5‬و ‪C  5  2‬‬
‫أ‪-‬‬
‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ ‪ B×C‬ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻘﻠﻮب ‪5  2‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫‪ (1‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ B‬اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪ :‬ﺣﯿﺚ ‪ x‬ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ‪B  (x  5)(3x  2)  (x  5)(x  1) :‬‬
‫أ‪ -‬أﺛﺒﺖ ّ‬
‫أن )‪B  (x  5) (4x  3‬‬
‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻌﺪدﯾﺔ ﻟﻠﻌﺒﺎرة ‪ B‬إذا ﻋﻠﻤﺖ ّ‬
‫أن ‪x  2 :‬‬
‫‪ (2‬أوﺟﺪ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪ S‬ﻟﻸﻋﺪاد اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ ‪ x‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ ﻓﻲ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ‪:‬‬
‫أ‪B = 0 -‬‬
‫ب‪ B -‬و )‪ 2(4 x  3‬ﻣﺘﻘﺎﺑﻼن‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺮاﺑﻊ ‪ 6 ) :‬ن (‬
‫‪ ABC (I‬ﻣﺜﻠﺚ ﺣﯿﺚ ‪ BC = 6cm :‬و ‪ AB = 7cm‬و ‪AC = 5cm‬‬
‫‪ M‬و ‪ N‬ﻣﻨﺘﺼﻔﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ]‪ [AB‬و ]‪[AC‬‬
‫أن )‪ (BC)//(MN‬و ّ‬
‫‪ (1‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪MN = 3cm‬‬
‫‪ (2‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ P‬ﻣﻨﺎظﺮة ‪ M‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ ‪ B‬و اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ )‪ (NP‬ﯾﻘﻄﻊ )‪ (BC‬ﻓﻲ ‪Q‬‬
‫ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ Q‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [NP‬ﺛﻢ أﺣﺴﺐ ‪BQ‬‬
‫‪ ABC (II‬ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﻓﻲ ‪ A‬ﺣﯿﺚ ‪ AB = 3cm‬و ‪AC = 4cm‬‬
‫‪ (1‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ]‪ [BC‬ﺣﯿﺚ ‪ AB=MB :‬و ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ M‬ﻋﻠﻰ )‪(AB‬‬
‫‪BH‬‬
‫‪BM‬‬
‫و‬
‫‪ (2‬ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ‬
‫‪BA‬‬
‫‪BC‬‬

‫ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ‪AB² = BC × BH‬‬

‫‪ (3‬أﺣﺴﺐ ‪ BH‬و ‪ MH‬إذا ﻋﻠﻤﺖ أن ‪BC=5‬‬
‫‪ (4‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن )‪ (AM‬و )‪ (CH‬ﯾﺘﻘﺎطﻌﺎن ﻓﻲ ‪ O‬أﺣﺴﺐ ‪ OH‬إذا ﻋﻠﻤﺖ أن ‪OC=2,6‬‬
‫‪- 21 -‬‬

‫ﻓﺮض ﺗﺄﻟﯿﻔﻲ ‪1‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ 5 ) :‬ن (‬
‫ﺿﻊ اﻟﻌﻼﻣﺔ )×( أﻣﺎم اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ‬

‫ﻣﺜﺎل ‪5‬‬

‫‪ (1‬اﻟﻌﺪد ‪ 51425131578‬ﯾﻘﺒﻞ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪12 :‬‬

‫□‬

‫‪15 ,‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪6‬‬

‫□‬

‫‪ (2‬اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ ‪ x‬اﻟﺬي ﯾﺤﻘﻖ ‪ (x  5)2  2‬ھﻮ ‪:‬‬

‫□‬

‫‪ x  1‬أو ‪x  3‬‬

‫□‬

‫‪ x  3‬أو ‪x  7‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ x  0‬أو ‪x  1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪2 2 ,‬‬
‫□ ‪,‬‬
‫‪ ( 2  2)² (3‬ﯾﺴﺎوي ‪□ 2  2 :‬‬
‫‪ (4‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ :‬ﺣﯿﺚ ‪ AM = 4cm‬و ‪ AC = 6cm‬و ‪AB = 5cm‬‬
‫و )‪ّ (BC)//(MN‬‬
‫ﻓﺈن ‪ AN‬ﯾﺴﺎوي ‪:‬‬

‫‪2 2‬‬

‫‪4cm‬‬

‫□‬

‫‪5cm‬‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫‪4,8cm‬‬

‫‪,‬‬

‫□‬
‫□‬

‫□‬

‫‪ (5‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ ﺣﯿﺚ ‪ (AB) // (CD) :‬و ‪OC = 3cm‬‬
‫و ‪ OB = 5cm‬و ‪ AB = 7cm‬و ‪ CD  x‬و ‪ OD  y‬و ‪OA = 4cm‬‬
‫ّ‬
‫ﻓﺈن ‪ y  2, 4 :‬و ‪x  3,5‬‬

‫□‬

‫‪ y  2 ,‬و ‪x  4, 2‬‬

‫□‬

‫‪ y  2, 4 ,‬و ‪x  4, 2‬‬

‫□‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 5 ) :‬ن (‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺒﺎرﺗﯿﻦ ‪ a  2(3  3 3)  5 3  4 :‬و ‪b  2  2 12  27  8 3‬‬

‫‪ (1‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪a  2  3‬‬

‫و ‪b  2 3‬‬

‫‪ (2‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ a‬ﻣﻘﻠﻮب ‪b‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪ (3‬أﺣﺴﺐ ‪ :‬‬
‫‪a b‬‬

‫و‬

‫‪1 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪a b‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺒﺎرﺗﯿﻦ ‪ c‬و ‪ d‬اﻟﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ ‪ d  ( x  2)( x  2) :‬و ‪ c  8  2 x‬ﺣﯿﺚ ‪ x‬ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ‬
‫‪ (1‬أﺣﺴﺐ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ c‬ﺣﯿﺚ ‪x  2‬‬
‫‪ (2‬ﻓﻜﻚ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ c‬إﻟﻰ ﺟﺬاء ﻋﻮاﻣﻞ‬
‫‪ (3‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪d  c  ( x  2)( x  2 2) :‬‬
‫‪ (4‬أوﺟﺪ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ ‪ x‬ﺣﯿﺚ ‪( x  2)( x  2 2)  0‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺮاﺑﻊ ‪ 6 ) :‬ن (‬
‫ﻟﯿﻜﻦ ‪ ABCD‬ﻣﺴﺘﻄﯿﻼ ﻣﺮﻛﺰه ‪ O‬ﺣﯿﺚ ‪ AB = 3cm :‬و ‪AD = 2cm‬‬
‫و ‪ M‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [AB‬و اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ )‪ (MC‬ﯾﻘﻄﻊ )‪ (AD‬ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ‪E‬‬
‫‪ (1‬أﺣﺴﺐ ‪AE‬‬
‫‪ (2‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و اﻟﻤﻮازي ﻟـ )‪ (BD‬ﯾﻘﻄﻊ )‪ (BC‬ﻓﻲ ‪ F‬و )‪ (CD‬ﻓﻲ ‪G‬‬
‫أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ B‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [CF‬و ‪AF=2OB‬‬
‫ب‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ‪GF = 4OB‬‬
‫‪DO OI IB‬‬
‫‪ (3‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ )‪ (CE‬ﯾﻘﻄﻊ )‪ (BD‬ﻓﻲ ‪ I‬و )‪ (GF‬ﻓﻲ ‪ J‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪AG AJ JF‬‬

‫‪- 22 -‬‬

‫ﻓﺮض ﺗﺄﻟﯿﻔﻲ ‪1‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪6‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫ﺿﻊ اﻟﻌﻼﻣﺔ )×( أﻣﺎم اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ﻓﻲ ﻛﻞ ﺣﺎﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ‪:‬‬
‫‪IJ=2BC‬‬
‫‪1‬‬

‫‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ و ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [AB‬و ‪ J‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪[AC‬‬

‫‪2‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ a‬و ‪ b‬ﻋﺪدان ﺣﻘﯿﻘﯿﺎن ﻣﺨﺎﻟﻔﺎن ﻟﻠﺼﻔﺮ و ‪ a‬ﻣﻘﻠﻮب ‪ b‬ﻓﺈن‬

‫‪3‬‬

‫اﻟﻌﺪد ‪ 9  16‬ﯾﺴﺎوي‬

‫‪4‬‬

‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫ّ‬
‫ﻓﺈن‬
‫إذا ﻛﺎن ‪ x‬ﻋﺪدا ﺣﻘﯿﻘﯿﺎ ﺑﺤﯿﺚ‬
‫‪‬‬

‫‪BC 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪IJ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪BC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪IJ‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬

‫‪a=-b‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3+4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5 2‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x 2‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 5 ) :‬ن (‬
‫ﻟﯿﻜﻦ ‪ a‬و ‪ b‬ﻋﺪدان ﺣﻘﯿﻘﯿﺎن ﺣﯿﺚ ‪:‬‬

‫)‪a  3(3  2)  ( 3  1)(3  2)  2( 2  1‬‬

‫‪b  25  5 54  6 24  6‬‬

‫و‬
‫‪ (1‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ a  5  2 6‬و ‪b  5  2 6‬‬
‫‪ (2‬أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ أّن ‪ a‬ھﻮ ﻣﻘﻠﻮب ‪b‬‬
‫‪1 1‬‬
‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ E‬ﺣﯿﺚ ‪  7 ab :‬‬
‫‪a b‬‬

‫‪E‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 5 ) :‬ن (‬
‫‪ (1‬أ‪ -‬أﻧﺸﺮ و اﺧﺘﺼﺮ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ E  ( x  2)( x  1) :‬ﺣﯿﺚ ‪ x‬ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ‬
‫ب‪ -‬ﺟﺪ ﻗﯿﻢ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ ‪ x‬ﺑﺤﯿﺚ ‪E = 0‬‬
‫‪ (2‬أ‪ -‬ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻌﺒﺎرة )‪ , F  x 2  2 2  ( x  1  2)( x  2‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن )‪F  ( x  2)( x  1‬‬
‫ب‪ -‬ﺟﺪ ﻗﯿﻢ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ ‪ x‬ﺣﯿﺚ ‪E + F = 0‬‬

‫‪- 23 -‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺮاﺑﻊ ‪ 6 ) :‬ن (‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬
‫‪ ABCD‬ﺷﺒﮫ ﻣﻨﺤﺮف ﺣﯿﺚ ‪ AB = 8‬و ‪ BC = 7‬و ‪ CD = 10‬و ‪AD=7‬‬
‫‪15‬‬
‫‪ E‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ]‪ [DC‬ﺣﯿﺚ ‪ DE = 4‬و‬
‫‪2‬‬

‫=‪AE‬‬

‫‪ (1‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ M‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [AD‬و ‪ P‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪[BC‬‬
‫أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن )‪(MP)//(DC‬‬
‫ب‪ -‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ )‪ (MP‬ﯾﻘﻄﻊ )‪ (AE‬ﻓﻲ ‪ . N‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ N‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪[AE‬‬
‫ج‪ -‬أﺣﺴﺐ ‪MN‬‬
‫د‪ -‬أﺣﺴﺐ ‪NP‬‬
‫‪ (2‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ K‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ]‪ [AE‬ﺣﯿﺚ ‪AK = 5‬‬
‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ K‬و اﻟﻤﻮازي ﻟـ )‪ (DE‬ﯾﻘﻄﻊ )‪ (AD‬ﻓﻲ ‪ L‬و )‪ (BC‬ﻓﻲ ‪.F‬‬
‫أ‪ -‬اﺣﺴﺐ ‪ AL‬و ‪LK‬‬
‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ ‪BF‬‬

‫‪- 24 -‬‬

‫ﻓﺮض ﺗﺄﻟﯿﻔﻲ ‪1‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪7‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫ﺿﻊ ﻋﻼﻣﺔ )×( ﻓﻲ اﻟﻤﻜﺎن اﻟﻤﻨﺎﺳﺐ ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫أ‪ -‬ﻣﻘﻠﻮب اﻟﻌﺪد ‪ 2  5‬ھﻮ ‪:‬‬
‫‪2 5‬‬

‫ب‪ 50 -‬ﺗﺴﺎوي ‪:‬‬

‫□‬

‫□‬

‫‪10 5‬‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫‪2  5‬‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫‪5 2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪2  5‬‬

‫□‬

‫□‬

‫‪2 5‬‬

‫ج‪ -‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﯿﻦ )‪ (O,I,J‬إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن )‪ M ( 7; 2‬و )‪ N ( 7; 2‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫□‬

‫‪ O‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ] ‪[MN‬‬

‫‪,‬‬

‫)‪(MN)//(OI‬‬

‫□‬

‫)‪(MN)//(OJ‬‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫د‪ -‬ﺗﺄﻣﻞ اﻟﺮﺳﻢ اﻟﺘﺎﻟﻲ ﺣﯿﺚ ‪ AB=8‬و ‪. BD=3‬‬
‫إذا ‪:‬‬

‫‪S ACD 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪S ABC 8‬‬

‫□‬

‫‪S ACD 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪S ABC 7‬‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪S ACD 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪S ABC 8‬‬

‫□‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 6 ) :‬ن (‬
‫أﻛﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ‪ a b‬ﺣﯿﺚ ‪ a‬و ‪ b‬ﻋﺪدان ﺻﺤﯿﺤﺎن طﺒﯿﻌﯿﺎن ‪:‬‬

‫‪18‬‬

‫;‬

‫‪32‬‬

‫‪ (1‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺒﺎرات اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪:‬‬
‫])‪ A  2 2  [1  2  ( 3  1‬و ‪ B  3  32  18‬و‬
‫أن ‪ A  2  3‬و ّ‬
‫أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪B  3  2‬‬
‫ب‪ -‬إﺳﺘﻨﺘﺞ أن ‪ A‬و ‪ B‬ﻣﺘﻘﺎﺑﻼن‬
‫ﺑﯿﻦ ّ‬
‫‪ (2‬أ‪ّ -‬‬
‫أن ‪C  2  3‬‬
‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ ‪ ، B×C‬ﻣﺎذا ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ؟‬
‫‪1 1‬‬
‫ج‪ -‬أﺣﺴﺐ إذا ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪B C‬‬

‫‪B C ‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 3 ) :‬ن (‬
‫ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ T‬ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ‪T  x( x  2)   x   2 :‬‬

‫‪ (1‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ) ‪T  ( x  2)( x  ‬‬
‫‪ (2‬اﺳﺘﻨﺘﺞ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ ‪ x‬إذا ﻋﻠﻤﺖ أن ‪T = 0‬‬
‫‪- 25 -‬‬

‫)‪C  2(1  3)  3( 2  1‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺮاﺑﻊ ‪ 7 ) :‬ن (‬
‫ﻟﯿﻜﻦ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺜﺎ ﺣﯿﺚ ‪ AB = 4‬و ‪ AC = 6‬و ‪BC = 7‬‬
‫‪ (1‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ]‪ [AB‬ﺣﯿﺚ ‪ AM = 1‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ M‬و اﻟﻤﻮازي ﻟـ )‪ (AC‬ﯾﻘﻄﻊ )‪ (BC‬ﻓﻲ ‪N‬‬
‫أﺣﺴﺐ ‪ BN‬و ‪MN‬‬
‫‪ (2‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و اﻟﻤﻮازي ﻟـ )‪ (BC‬ﯾﻘﻄﻊ )‪ (CM‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. E‬‬
‫‪7‬‬
‫ﺑﺘﻄﺒﯿﻖ ﻣﺒﺮھﻨﺔ طﺎﻟﺲ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ , MBC‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن‬
‫‪3‬‬

‫‪AE ‬‬

‫‪ (3‬اﺑﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ F‬ﻣﺴﻘﻂ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ C‬ﻋﻠﻰ )‪ (AE‬وﻓﻘﺎ ﻟﻤﻨﺤﻰ )‪(AB‬‬
‫أ‪ -‬ﻣﺎ ھﻲ طﺒﯿﻌﺔ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ ABCF‬؟ ﻋﻠﻞ ﺟﻮاﺑﻚ‬
‫ب‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ‪EF‬‬

‫‪- 26 -‬‬

‫ﻣﻠﺨﺺ دروس اﻟﺜﻼﺛﻲ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬
‫اﻟﻘﻮى ﻓﻲ ‪‬‬
‫* إذا ﻛﺎن ‪ a‬و ‪ b‬ﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﻦ ﻣﺨﺎﻟﻔﯿﻦ ﻟﻠﺼﻔﺮ و ‪ n‬و ‪ p‬ﻋﺪدﯾﻦ ﺻﺤﯿﺤﯿﻦ ﻓﺈن ‪:‬‬
‫‪= an × bn‬‬

‫‪n‬‬

‫‪a × b ‬‬

‫‪= an p ,‬‬

‫‪p‬‬

‫‪ an ‬‬

‫‪n‬‬

‫‪1‬‬
‫‪, an × ap = an  p ,‬‬
‫‪n‬‬
‫‪a‬‬
‫‪n‬‬

‫‪-n‬‬

‫‪ a‬‬

‫= ‪an‬‬

‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪   = n‬و‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫ﻛﻞ ﻗﻮة ﻟﻌﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ﻣﻮﺟﺐ و ﻣﺨﺎﻟﻒ ﻟﺼﻔﺮ ھﻲ ﻣﻮﺟﺒﺔ‬
‫* ّ‬
‫ﻛﻞ ﻗﻮة ﻟﻌﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ﺳﺎﻟﺒﺔ و ﻣﺨﺎﻟﻒ ﻟﺼﻔﺮ دﻟﯿﻠﮭﺎ زوﺟﻲ ھﻲ ﻣﻮﺟﺒﺔ‬
‫* ّ‬
‫ﻛﻞ ﻗﻮة ﻟﻌﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ﺳﺎﻟﺒﺔ و ﻣﺨﺎﻟﻒ ﻟﺼﻔﺮ دﻟﯿﻠﮭﺎ ﻓﺮدي ھﻲ ﺳﺎﻟﺒﺔ‬
‫* ّ‬
‫اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ واﻟﻤﻘﺎرﻧﺔ ﻓﻲ ‪‬‬
‫‪n‬‬

‫‪b‬‬
‫‪= ‬‬
‫‪a‬‬

‫= ‪, a- n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪an n -p‬‬
‫‪a‬‬
‫‪=a‬‬
‫‪,  ‬‬
‫‪p‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬

‫ﻟﯿﻜﻦ ‪ a‬و ‪ b‬ﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﻦ ‪ a - b ≤ 0 :‬ﯾﻌﻨﻲ ‪ a ≤ b‬و ‪ a - b ≥ 0‬ﯾﻌﻨﻲ ‪a ≥ b‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ x‬و ‪ y‬و ‪ z‬أﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘﯿﺔ‪ a ≤ b :‬ﯾﻌﻨﻲ ‪a + c ≤ b + c‬‬
‫إذا ﻛﺎن ‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬و ‪ d‬أﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘﯿﺔ ‪ c ≤ d :‬و ‪ a ≤ b‬ﯾﻌﻨﻲ ‪a + c ≤ b +d‬‬
‫* ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ a‬و ‪ b‬ﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﻦ‬
‫ إذا ﻛﺎن ‪ c‬ﻋﺪدا ﻣﻮﺟﺒﺎ ﻗﻄﻌﺎ ﻓﺈن ‪ a ≤ b :‬ﯾﻌﻨﻲ ‪a c ≤ b c‬‬‫ إذا ﻛﺎن ‪ c‬ﻋﺪدا ﺳﺎﻟﺒﺎ ﻗﻄﻌﺎ ﻓﺈن ‪ a ≤ b :‬ﯾﻌﻨﻲ ‪a c ≥ b c‬‬‫ إذا ﻛﺎن ‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬و ‪ d‬أﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘﯿﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ‪ a ≤ b :‬و ‪ c ≤ d‬إذا ‪ac ≤ bd‬‬‫* إذا ﻛﺎن ‪ x‬و ‪ y‬ﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﻦ ﻣﻮﺟﺒﯿﻦ ‪ x ≤ y :‬ﯾﻌﻨﻲ ‪x2 ≤ y 2‬‬
‫* إذا ﻛﺎن ‪ x‬و ‪ y‬ﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﻦ ﺳﺎﻟﺒﯿﻦ ‪ x ≤ y :‬ﯾﻌﻨﻲ ‪x2 ≥ y 2‬‬
‫* ﻟﯿﻜﻦ ‪ x‬و ‪ y‬ﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﻦ ‪ |x|≤|y| :‬ﯾﻌﻨﻲ ‪x2 ≤ y 2‬‬
‫* ﻟﯿﻜﻦ ‪ x‬و ‪ y‬ﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﻦ ﻣﻮﺟﺒﯿﻦ ‪ x ≤ y :‬ﯾﻌﻨﻲ ‪x  y‬‬

‫‪1 1‬‬
‫ﻓﺈن ‪‬‬
‫* ‪ x‬و ‪ y‬ﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﻦ ﻣﺨﺎﻟﻔﯿﻦ ﻟﻠﺼﻔﺮ وﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﻌﻼﻣﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ّ x ≤ y‬‬
‫‪x y‬‬
‫اﻟﺠﺬاءات اﻟﻤﻌﺘﺒﺮة و اﻟﻌﺒﺎرات اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ‬
‫ﻓﺈن ‪:‬‬
‫* إذا ﻛﺎن ‪ a‬و ‪b‬ﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﻦ ّ‬

‫‪ a + b  = a 2 + 2ab + b 2‬‬
‫‪ a + b   a – b  = a2 – b2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪= a 2 - 2ab + b 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ a - b‬‬

‫* إذا ﻛﺎن ‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬و ‪ d‬أﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘﯿﺔ ﻓﺈّن ‪:‬‬
‫‪ a + b  c - d  = ac - ad + bc - bd ,  a + b  c + d  = ac + ad + bc + bd‬‬

‫‪= ac - ad - bc + bd‬‬

‫‪ a - b  c - d ‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ a - b  c + d  = ac + ad - bc - bd‬‬

‫ﻣﺒﺮھﻨﺔ طﺎﻟﺲ و ﺗﻄﺒﯿﻘﺎﺗﮭﺎ‬
‫ ﻟﺘﺠﺰﺋﺔ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ‪  AB‬إﻟﻰ ‪ m‬أﺟﺰاء ﻣﺘﻘﺎﯾﺴﺔ‪:‬‬‫* ﻧﺮﺳﻢ ﻧﺼﻒ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ‪  Ax ‬ﯾﺸﺘﺮك ﻣﻊ ‪  AB‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪A‬‬
‫* ﻧﺮﺳﻢ ﻋﻠﻰ ‪  Ax ‬ﻧﻘﺎط ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺔ و ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ اﻟﺒﻌﺪ ﻋﺪدھﺎ ‪ m‬ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻄﻼﻗﺎ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪A‬‬
‫ّﺛﻢ ﻧﺮﺳﻢ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ‪ّ Δ‬‬
‫ﯾﻤﺮ ﻣﻦ ‪ B‬و اﺧﺮ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ‪ Ax ‬‬
‫* ﻧﺮﺳﻢ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎت اﻟﻤﻮازﯾﺔ ﻟـ ‪ Δ‬و اﻟﻤﺎرة ﻣﻦ اﻟﻨﻘﺎط اﻟﻤﻌﯿﻨﺔ ﻋﻠﻰ ‪.  Ax ‬‬
‫ھﺬه اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎت ﺗﻘﻄﻊ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ‪  AB‬إﻟﻰ ‪ m‬أﺟﺰاء ﻣﺘﻘﺎﯾﺴﺔ‬
‫‪- 27 -‬‬

‫‪n‬‬
‫ ﻟﺒﻨﺎء ﻧﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻣﻦ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ‪  AB‬ﺣﯿﺚ ‪AB‬‬‫‪m‬‬
‫ﻧﺠﺰأ ‪  AB‬إﻟﻰ ‪ m‬أﺟﺰاء ﻣﺘﻘﺎﯾﺴﺔ ّﺛﻢ ﻧﻌﯿﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﺣﯿﺚ ‪ M‬ﺗﺒﻌﺪ ‪ n‬أﺟﺰاء ﻋﻦ ‪A‬‬

‫=‪ AM‬و ‪ n‬و ‪ m‬ﻋﺪدان ﺻﺤﯿﺤﺎن طﺒﯿﻌﯿﺎن )‪(n<m‬‬

‫ﻛﻞ ﻣﺜﻠﺚ ﯾﻜﻮن ﻣﻨﺘﺼﻒ أﺣﺪ أﺿﻼﻋﮫ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺒﻌﺪ ﻋﻦ رؤوﺳﮫ اﻟﺜﻼﺛﺔ ھﻮ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ وﺗﺮه اﻟﻀﻠﻊ اﻟﻤﺬﻛﻮر‬
‫ ّ‬‫‪BC‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪AB‬‬
‫و‬
‫و‬
‫ﻟـ‬
‫اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬
‫ﻋﻠﻰ‬
‫ﻣﻨﺼﻔﺎت‬
‫‪K‬‬
‫و‬
‫‪J‬‬
‫و‬
‫‪I‬‬
‫ﻧﻘﺎط‬
‫ﺛﻼﺛﺔ‬
‫و‬
‫ﻣﺜﻠﺜﺎ‬
‫‪ABC‬‬
‫ﻛﺎن‬
‫إذا‬
‫‬‫‪     ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ﻓﺈن ‪ AG= AK‬و ‪ BG= BJ‬و ‪CG= CI‬‬
‫و ‪ G‬ﻣﺮﻛﺰ ﺛﻘﻠﮫ ّ‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫و ‪ KG= AK‬و ‪ JG= BJ‬و ‪IG= CI‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫اﻟﻌﻼﻗﺎت اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ‬
‫ﻓﺈن ‪BC2 =AB 2 +AC2‬‬
‫ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﺑﯿﺘﺎﻏﻮر‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ّ A‬‬‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ ﻋﻜﺲ ﻧﻈﺮﯾﺔ ﺑﯿﺘﺎﻏﻮر‪ :‬إذا ﻛﺎن ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﺣﯿﺚ ‪ّ BC =AB +AC2‬‬‫ﻓﺈن ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ وﺗﺮه ‪ BC‬‬

‫ﻓﺈن طﻮل ﻗﻄﺮه ھﻮ ‪a 2‬‬
‫ﻣﺮﺑﻊ ّ‬
‫ إذا ﻛﺎن ‪ a‬ھﻮ طﻮل ﺿﻠﻊ ّ‬‫‪3‬‬
‫ﻓﺈن طﻮل أﺣﺪ ارﺗﻔﺎﻋﺎﺗﺔ ھﻮ‬
‫ إذا ﻛﺎن ‪ a‬ھﻮ طﻮل ﺿﻠﻊ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻘﺎﯾﺲ اﻷﺿﻼع ّ‬‫‪2‬‬
‫ﻓﺈن ‪:‬‬
‫ إذا ﻛﺎن ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ A‬و ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ A‬ﻋﻠﻰ اﻟﻮﺗﺮ ‪ّ  BC‬‬‫‪a‬‬

‫‪ AH×BC=AB×AC‬و ‪AH 2 =HB×HC‬‬

‫‪- 28 -‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬

‫ﻓﺮض ﻣﺮاﻗﺒﺔ ‪3‬‬
‫اﻷول‪ (1 :‬ﺿﻊ اﻟﻌﻼﻣﺔ "×" ﻓﻲ اﻟﺨﺎﻧﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ‪:‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ ّ‬

‫)‪6‬ن(‬
‫ﺻﺤﯿﺢ‬

‫ﺧﻄﺄ‬

‫‪ 5 -7  5 7‬‬
‫‪  =  - ‬‬
‫‪ 3 ‬‬
‫‪ 3 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ 6 6‬‬
‫‪ 3  2 16‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4 ‬‬
‫‪9‬‬

‫‪5‬‬
‫‪ 5  104‬‬
‫‪0,0001‬‬

‫‪ ABC (2‬ﻣﺜﻠﺚ ﺣﯿﺚ ‪ AI = IK = KB‬و )‪ّ (IJ) // (KL) // (BC‬‬
‫ﻓﺈن‪:‬‬
‫ﺻﺤﯿﺢ‬

‫‪A‬‬

‫ﺧﻄﺄ‬

‫‪2‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬
‫‪KL‬‬
‫‪IJ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AI‬‬
‫‪AJ‬‬
‫‪‬‬
‫‪KB LC‬‬
‫‪IJ  BC‬‬
‫‪KL ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AL ‬‬

‫‪I‬‬

‫‪J‬‬

‫‪K‬‬

‫‪L‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪ 7 ) :‬ن (‬

‫‪4‬‬

‫‪ (1‬اﺣﺴﺐ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪-4 - 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪-2‬‬
‫‪4 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪‬‬
‫‪, A  32 - 23 -  1  +‬‬
‫‪4 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪, B‬‬

‫‪1‬‬
‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪C ‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3 ‬‬

‫‪ (2‬اﻛﺘﺐ ﻓﻲ ﺻﯿﻐﺔ ﻗﻮة ﻟﻌﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ دﻟﯿﻠﮭﺎ ﻣﺨﺎﻟﻒ ﻟـ ‪:1‬‬
‫‪5‬‬

‫‪ 3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ 3‬‬
‫‪C   ‬‬
‫‪ 4 ‬‬

‫‪8‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ 2   2 ‬‬
‫‪D  ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ 3   3 ‬‬

‫‪0,001 ×10 5‬‬
‫‪‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10 ×100‬‬
‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪,‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ‪ 7 ) :‬ن ( ﻟﯿﻜﻦ ‪ ABCD‬ﺷﺒﮫ ﻣﻨﺤﺮف ﺣﯿﺚ ‪ BC = 10cm‬و ‪AD = 5cm‬‬
‫ﺑﯿﻦ ّ‬
‫‪ (1‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ I‬و ‪ J‬ﻣﻨﺘﺼﻔﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﻟــ ]‪ [AB‬و]‪ّ . [DC‬‬
‫أن )‪ّ (IJ) // (AD‬ﺛﻢ أﺣﺴﺐ ‪IJ‬‬
‫‪ (2‬ﺟﺰء اﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪ [BC‬إﻟﻰ ‪ 7‬أﺟﺰاء ﻣﺘﻘﺎﯾﺴﺔ‬
‫‪BP‬‬
‫‪PQ‬‬
‫‪ّ (3‬‬
‫‪‬‬
‫ﻋﯿﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ‪ P‬و ‪ Q‬ﻣﻦ ]‪ [BC‬ﺣﯿﺚ ‪ QC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ّ (4‬‬
‫ﻋﯿﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻣﻦ ]‪ [BC‬ﺣﯿﺚ ‪BM  BC‬‬
‫‪7‬‬

‫‪ (5‬اﺣﺴﺐ اﻷﺑﻌﺎد ‪ BM :‬و ‪PQ‬‬
‫‪- 29 -‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬

‫ﻓﺮض ﻣﺮاﻗﺒﺔ ‪3‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ :‬ﺿﻊ ﻋﻼﻣﺔ )×( ﻓﻲ اﻟﺨﺎﻧﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ‬

‫)‪4‬ن(‬

‫‪3‬‬

‫‪3 3‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪3‬‬

‫ﯾﺴﺎوي ‪ :‬أ( ‪3 3‬‬

‫□‬

‫‪ ( 11)5 (2‬ﯾﺴﺎوي ‪ :‬أ( ‪121 11‬‬

‫□‬

‫‪ ,‬ب( ‪3  1‬‬

‫□‬

‫‪ (3‬ﻣﺮﺑﻊ ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ ‪ 7cm²‬إذا ﻗﯿﺲ ﻗﻄﺮه ھﻮ ‪ :‬أ( ‪2 7‬‬

‫‪ ,‬ج(‬

‫□‬

‫‪ ,‬ب( ‪55‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪ ,‬ب(‬

‫‪(1‬أﺣﺴﺐ اﻟﻌﺒﺎرات اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪:‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪  2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪C    2‬‬
‫‪‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬
‫‪ 5‬‬
‫‪; A      ‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪1‬‬

‫;‬

‫‪ 1   4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪ (2‬أ‪ -‬أﻛﺘﺐ ﻓﻲ ﺻﯿﻐﺔ ﻗﻮة ﻟﻌﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ‪e  ( 5)7  ( 5)4 :‬‬
‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ ‪e.f‬‬
‫‪ (3‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺒﺎرﺗﯿﻦ اﻟﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ ‪ g  3  2 2 :‬و ‪k  3  2 2‬‬
‫أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ g‬و ‪ k‬ﻋﺪدﯾﻦ ﻣﻘﻠﻮﺑﯿﻦ‬
‫‪k3‬‬
‫‪1 1‬‬
‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ ‪ h  ‬ﺛﻢ‬
‫‪4‬‬
‫‪g‬‬
‫‪k g‬‬

‫ج( ‪11 11‬‬

‫□‬

‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2‬‬

‫□‬
‫□‬

‫‪14‬‬

‫‪ (4‬أطﻮال أﺿﻼع ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﺗﺤﻘﻖ ‪a² + b² = 8‬‬
‫ﺣﯿﺚ ‪ a‬و ‪ b‬ﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﯿﻦ ﻣﻮﺟﺒﯿﻦ ﻓﺈّن طﻮل اﻟﻮﺗﺮ ﯾﺴﺎوي ﻟـ ‪a :‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 8 ) :‬ن (‬
‫‪2‬‬

‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪b ,‬‬
‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫□‬

‫‪ ,‬ج( ‪7 2‬‬

‫□‬

‫□‬

‫‪2 2 ,‬‬

‫‪B 5‬‬

‫‪7‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬
‫‪D   ‬‬
‫‪ 3‬‬

‫;‬

‫‪f  [( 15)3 ]2  ( 15)9‬‬

‫‪L‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 8 ) :‬ن ( ﻻﺣﻆ اﻟﺮﺳﻢ اﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ :‬ﺣﯿﺚ ‪ AB = 9cm‬و ‪BC = 6cm‬‬
‫و ‪ AD =1,5cm‬و ‪ DE = 3cm‬و ‪ EF = FC = 4,5cm‬ﻛﺬﻟﻚ )‪(DM) // (EN) // (FP) // (CB‬‬

‫‪(1‬‬

‫‪MN NP PB‬‬
‫أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬

‫‪AM ‬‬

‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ ‪ AM‬و ‪ MN‬و ‪ NP‬و ‪ PB‬ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ ّ‬
‫أن ‪ P‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪[NB‬‬
‫‪ (2‬اﺑﺤﺚ ﻋﻦ اﻟﺒﻌﺪ ‪ EN‬ﺛّﻢ ﻋﻦ ‪FP‬‬
‫‪ (3‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ L‬ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎطﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ )‪ (FP‬و )‪(NC‬‬
‫أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ L‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ , [NC‬ب‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ اﻟﺒﻌﺪ ‪FL‬‬
‫‪ (4‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ H‬ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎطﻊ )‪ (EL‬و )‪ . (DM‬اﺑﺤﺚ ﻋﻦ اﻟﺒﻌﺪ ‪DH‬‬
‫‪- 30 -‬‬

‫□‬

‫ﻣﺜﺎل ‪3‬‬

‫ﻓﺮض ﻣﺮاﻗﺒﺔ ‪3‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ 8 ) :‬ن (‬
‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪    3 ‬‬
‫‪8 5‬‬
‫‪ 1 1‬‬
‫‪ (1(I‬أﻛﺘﺐ ﻓﻲ ﺻﯿﻐﺔ ﻗﻮة اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ ‪:‬‬
‫‪c  ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ ; b       ; a ‬‬
‫‪125 2‬‬
‫‪    ‬‬
‫‪ 3    ‬‬
‫‪0, 081 101‬‬
‫‪1, 2 10 5‬‬
‫‪3 5 1015‬‬
‫;‬
‫;‬
‫‪ (2‬اﺧﺘﺼﺮ اﻟﻌﺒﺎرات اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪:‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪f‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 109‬‬
‫‪3 10 4‬‬
‫‪15  1014‬‬
‫‪ (II‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺒﺎرﺗﯿﻦ اﻟﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ ﺣﯿﺚ‪b  3 27  2  2 75 , a   3  (5  2)  [3  (2 3  2)] :‬‬

‫‪(1‬‬

‫إﺧﺘﺼﺮ اﻟﻌﺒﺎرﺗﯿﻦ ‪ a‬و ‪b‬‬

‫‪(2‬‬

‫اﺣﺴﺐ ‪ a×b‬ﺛﻢ ‪a  b‬‬

‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫ﺛﻢ‬
‫‪‬‬
‫‪3a‬‬
‫‪b‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 8 ) :‬ن (‬
‫‪ (I‬ﻟﺘﻜﻦ ]‪ [AB‬ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺣﯿﺚ ‪AB=8cm‬‬
‫‪ (1‬ﺟﺰأ ]‪ [AB‬إﻟﻰ ‪ 6‬أﺟﺰاء ﻣﺘﻘﺎﯾﺴﺔ‬

‫‪AM MN‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (2‬ﻋﯿ ّﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ‪ M‬و ‪ N‬ﻣﻦ ]‪ [AB‬ﺣﯿﺚ ‪ NB‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬

‫‪ (3‬اﺑﺤﺚ ﻋﻦ ‪ AM‬و ‪ MN‬و ‪NB‬‬
‫‪(II‬ﻻﺣﻆ اﻟﺮﺳﻢ ﺣﯿﺚ ‪ AMCD‬و ‪ MBEF‬ﻣﺮﺑﻌﯿﻦ و ‪ MB=8cm‬و ‪AM=6cm‬‬

‫‪ (1‬أﺣﺴﺐ ﻛﻼ ﻣﻦ ‪ MD‬و ‪ ME‬و ‪ AF‬و ‪BC‬‬
‫‪ (2‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ )‪ (AC‬ﯾﻘﻄﻊ )‪ (BF‬ﻓﻲ ‪I‬‬
‫أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ IAB‬ﻣﺘﻘﺎﯾﺲ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ و ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪I‬‬
‫ب‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪AI  7 2‬‬
‫)‪4‬ن(‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ :‬ﺿﻊ اﻟﻌﻼﻣﺔ " × " ﻓﻲ اﻟﺨﺎﻧﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫□ ‪□ 2 2 ,‬‬
‫‪  2 (1‬ﯾﺴﺎوي ‪4 , □ - 4 :‬‬
‫‪5 1‬‬
‫□‬
‫□ ‪,‬‬
‫‪ ( 5  1)6  ( 5  1) 6 (2‬ﯾﺴﺎوي ‪1 :‬‬
‫‪ (3‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ x‬ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ‪ x n  x n .‬ﯾﺴﺎوي ‪:‬‬
‫‪108‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪72‬‬

‫ﯾﺴﺎوي ‪2 3 :‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪6‬‬
‫‪2‬‬

‫□‬

‫‪x 2n‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪- 31 -‬‬

‫‪,‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2x n‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪0‬‬

‫□‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪(2x )n‬‬

‫□‬

‫ﻣﺜﺎل ‪4‬‬

‫ﻓﺮض ﻣﺮاﻗﺒﺔ ‪3‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ 5 ) :‬ن (‬
‫أﻛﻤﻞ ﺑـ ‪ :‬ﺻﺤﯿﺢ أو ﺧﻄﺄ أﻣﺎم ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻌﺒﺎرات اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ‬
‫‪4‬‬

‫‪7 (1‬‬
‫‪10‬‬

‫‪(2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪21  3‬‬

‫‪..................‬‬
‫‪7‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ 2‬‬
‫‪ 2  2‬‬
‫‪................... ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4 ‬‬
‫‪ 4   4 ‬‬

‫‪5  15  5 3 (3‬‬

‫‪.....................‬‬

‫‪ (4‬ﻋﻤﻠﯿﺔ اﻹﺳﻘﺎط ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ وﻓﻘﺎ ﻟﻤﻨﺤﻰ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺗﺤﺎﻓﻆ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻨﺘﺼﻒ‪.....................‬‬

‫‪ (5‬ﻓﻲ ﺷﺒﮫ ﻣﻨﺤﺮف ‪ EFGH‬ﻗﺎﻋﺪﺗﺎه ]‪ [EF‬و ]‪ [GH‬ﺣﯿﺚ ‪ EF=12‬و ‪ GH=8‬و ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪[EH‬‬
‫و ‪ J‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ .[FG‬إذا ‪......................... IJ=10‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫‪ (1‬أﻛﺘﺐ ﻓﻲ ﺻﯿﻐﺔ ﻗﻮة ﻟﻌﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ‬
‫‪6‬‬

‫‪10‬‬

‫‪13‬‬

‫‪8‬‬

‫‪5   5   5 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3   3   3 ‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪A‬‬

‫;‬

‫‪ (2‬أﻛﺘﺐ ﻓﻲ ﺻﯿﻐﺔ ﻗﻮة ﻟﻠﻌﺪد ‪ 10‬اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ‪:‬‬

‫‪7‬‬

‫‪ 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪ 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪B‬‬

‫‪2‬‬
‫‪ 0, 0001 10 8‬‬

‫‪(0,00001) 5 10 7‬‬

‫;‬

‫‪5‬‬

‫‪2 ‬‬
‫‪5 ‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2 ‬‬
‫‪4 ‬‬

‫‪x ‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 5 ) :‬ن (‬
‫‪2‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪:‬‬

‫‪ x5 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪4‬‬

‫‪x3‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪A‬‬

‫‪ (1‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪A  2x ²‬‬
‫‪ (2‬أﺣﺴﺐ ‪ A‬إذا ﻋﻠﻤﺖ ّ‬
‫أن ‪x  5  2 6 :‬‬
‫‪ (3‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ y  5  2 6‬أﺣﺴﺐ )‪ y.(5  2 6‬ﻣﺎذا ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ؟‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺮاﺑﻊ ‪ 6 ) :‬ن (‬
‫‪ (1‬ارﺳﻢ ﻣﺜﻠﺜﺎ ‪ ABC‬ﺑﺤﯿﺚ ‪ AC = 8cm‬و ‪ BC = 10cm‬و ‪AB = 9cm‬‬
‫‪BD DC‬‬
‫‪ (2‬ﻋﯿّﻦ ﻋﻠﻰ ]‪ [BC‬اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ D‬ﺑﺤﯿﺚ‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬

‫‪ (3‬أﺣﺴﺐ ‪BD‬‬
‫‪CD CE ED‬‬
‫‪ (4‬اﻟﻤﻮازي ﻟـ )‪ (AB‬و اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ D‬ﯾﻘﻄﻊ )‪ (AC‬ﻓﻲ ‪ . E‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪CB CA AB‬‬

‫‪ (5‬أﺣﺴﺐ ‪ED‬‬
‫‪- 32 -‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪C‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪5‬‬

‫ﻓﺮض ﻣﺮاﻗﺒﺔ ‪3‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫ﺿﻊ اﻟﻌﻼﻣﺔ )×( أﻣﺎم اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ‬
‫‪ (1‬اﻟﻌﺪد ‪ 0,013‬ﯾﺴﺎوي‪13.103 :‬‬

‫‪1‬‬
‫‪ (2‬اﻟﻌﺪد ‪ ( 2) 2‬ﯾﺴﺎوي‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬

‫‪ (3‬اﻟﻌﺪد ‪2  23‬‬

‫□‬

‫□‬
‫‪1‬‬

‫‪ (4‬اﻟﻌﺪد ‪ 23  23‬ﯾﺴﺎوي‪26 :‬‬

‫‪,‬‬

‫‪(2) 1‬‬

‫‪,‬‬

‫ﯾﺴﺎوي‪2( 2 ) :‬‬

‫□‬

‫‪13.102‬‬

‫□‬

‫□‬
‫‪1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 6 ) :‬ن (‬

‫□‬

‫‪1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪(2) 1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪2 2 ‬‬
‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪,‬‬

‫‪13‬‬
‫‪10000‬‬

‫□‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬

‫□‬
‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪2 2‬‬

‫□‬

‫□‬

‫ﻟﯿﻜﻦ ‪ a‬و ‪ b‬ﻋﺪدان ﺣﻘﯿﻘﯿﺎن ﺣﯿﺚ ‪a ≥ b‬‬
‫‪ (1‬ﺑﺮھﻦ أن ‪ 3a + b ≥ 4b‬و ‪4a ≥ 3a + b‬‬
‫‪ (2‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن‬

‫‪3a  b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪4‬‬

‫‪b‬‬

‫‪ (3‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ a‬و ‪ b‬ﻋﺪدان ﺣﻘﯿﻘﯿﺎن ﺣﯿﺚ ‪a ≤ b‬‬
‫أ‪ -‬ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ ‪  2a‬و ‪  2b‬ﺛّﻢ ﺑﯿﻦ ‪  2a  1‬و ‪ 2b  1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫ب‪ -‬ﻟﯿﻜﻦ اﻟﻌﺪدﯾﻦ ‪ x‬و ‪ y‬ﺣﯿﺚ ‪ x   a  b :‬و ‪ . y  a  b‬ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ ‪ x‬و ‪y‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫ﻟﯿﻜﻦ اﻟﻌﺪدﯾﻦ ‪ E‬و ‪ F‬اﻟﺘﺎﻟﯿﯿﻦ ‪ E  2  1 :‬و )‪F  3 8  ( 50  1‬‬

‫أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ F  2  1‬ﺛﻢ أﺣﺴﺐ ‪ E×F‬ﻣﺎذا ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ‬
‫ب‪ -‬اﺣﺴﺐ ‪ E²‬و ‪ F²‬ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯿﻦ ‪ 2 2‬و ‪3‬‬
‫ج‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ اﻟﻌﺪد ‪E  F 1  F  E 1 :‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺮاﺑﻊ ‪ 6 ) :‬ن (‬
‫ﻟﯿﻜﻦ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﻓﻲ ‪ A‬ﺣﯿﺚ ‪ AB = 4 :‬و ‪AC = 3‬‬
‫‪ (1‬اﺣﺴﺐ ‪BC‬‬
‫‪ (2‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ A‬ﻋﻠﻰ )‪(BC‬‬
‫أ‪ -‬أﺣﺴﺐ ‪ AH‬و ‪CH‬‬
‫‪CH AH‬‬
‫ب‪ -‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ B‬و اﻟﻤﻮازي ﻟـ )‪ (AH‬ﯾﻘﻄﻊ )‪ (AC‬ﻓﻲ ‪ .D‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن‬
‫‪‬‬
‫‪CB BD‬‬

‫ج‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ‪ BD‬و ‪AD‬‬
‫‪- 33 -‬‬

‫ﻣﺜﺎل‪1‬‬

‫ﻓﺮض ﻣﺮاﻗﺒﺔ ‪4‬‬
‫اﻷول ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ ّ‬
‫ﺿﻊ اﻟﻌﻼﻣﺔ ) × ( ﻓﻲ اﻟﺨﺎﻧﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ‪:‬‬

‫ﺻﺤﯿﺢ‬

‫‪11‬‬
‫‪17‬‬
‫‪‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪16‬‬
‫‪16‬‬
‫‪2 5  6  2 3  6 (2‬‬
‫‪‬‬

‫‪ 7  10   13  7 (3‬‬

‫‪ (4‬إذا ﻛﺎن ‪ّ x≥y‬‬
‫ﻓﺈن ‪– x + 5 ≤ - y + 5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (5‬إذا ﻛﺎن ‪ x≥y>0‬ﻓﺈن ‪x ≤ y‬‬
‫‪(6‬‬

‫‪3 3‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪25‬‬
‫‪26‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 8 ) :‬ن (‬

‫‪ (1‬ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ اﻟﻌﺪدﯾﻦ ‪ 5 7‬و ‪7 5‬‬
‫‪ (2‬ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ اﻟﻌﺪدﯾﻦ ‪ 5 7  2‬و ‪7 5  3‬‬
‫‪ 5‬‬
‫‪ 5‬‬
‫و‬
‫‪ (3‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯿﻦ‬
‫‪7 5 3 5 7 2‬‬

‫‪ (4‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ x‬و ‪ y‬ﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﯿﻦ ﺣﯿﺚ ‪ x  5 7  11‬و ‪y  7 5  6‬‬

‫ﺑﯿﻦ ّ‬
‫أ( ّ‬
‫أن ‪ x‬و ‪ y‬ﻋﺪدﯾﻦ ﻣﻮﺟﺒﯿﻦ ّﺛﻢ ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ ‪ x‬و ‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫و‬
‫ب( اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯿﻦ‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫ج( ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ اﻟﻌﺪدﯾﻦ ‪  y 2  x‬و ‪x 2  y‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 8 ) :‬ن (‬
‫ﻟﯿﻜﻦ ‪ IAC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻘﺎﯾﺲ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ ﻗﻤﺘﮫ اﻟﺮﺋﯿﺴﯿﺔ ‪ I‬ﺣﯿﺚ ‪ AI = 5cm‬و ‪AC = 6cm‬‬
‫‪ (1‬اﺑﻦ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ّ IAC‬ﺛﻢ ارﺳﻢ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ B‬ﻣﻨﺎظﺮة ‪ A‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ ‪I‬‬
‫ﺑﯿﻦ ّ‬
‫‪ّ (2‬‬
‫أن ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪C‬‬
‫ﺑﯿﻦ ّ‬
‫‪ّ (3‬‬
‫أن ‪BC = 8 cm‬‬
‫‪ (4‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ J‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [AC‬و ‪ G‬ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎطﻊ ]‪ [BJ‬و ]‪[CI‬‬
‫أ( اﺑﺤﺚ ﻋﻦ اﻟﺒﻌﺪ ‪IJ‬‬
‫ب( اﺑﺤﺚ ﻋﻦ اﻟﺒﻌﺪ ‪BJ‬‬
‫ج( ﻣﺎذا ﺗﻤﺜﻞ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ G‬ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬؟‬
‫د( اﺑﺤﺚ ﻋﻦ اﻟﺒﻌﺪ ‪CG‬‬
‫‪- 34 -‬‬

‫ﺧﻄﺄ‬

‫ﻣﺜﺎل ‪2‬‬

‫ﻓﺮض ﻣﺮاﻗﺒﺔ ‪4‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫أﺟﺐ ﺑﺼﻮاب أو ﺧﻄﺄ‬
‫أ( ‪  a 2bc 3 ‬ﺗﺴﺎوي ‪..................... a 8b 4c 12 :‬‬
‫‪4‬‬

‫ب( ‪.......................  5  11  7  7‬‬
‫‪1 5 1 5‬‬
‫ج(‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬

‫‪1‬‬
‫د(‬
‫‪9‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬
‫‪4 5‬‬

‫‪......................‬‬

‫‪.......................‬‬

‫ھـ( ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ A‬و ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ A‬ﻋﻠﻰ ‪ BC‬إذا ‪................... AB × AC = BH × BC :‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫‪ (1‬ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ ‪ 7‬و ‪ 4 3‬ﺛﻢ ﺑﯿﻦ ‪ 7‬و ‪5 2‬‬
‫‪ (2‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ﺗﺮﺗﯿﺒﺎ ﻟﻸﻋﺪاد ‪ 7‬و ‪ 4 3‬و ‪5 2‬‬

‫‪ (3‬ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ ‪ 4 3  7 :‬و ‪14‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 6 ) :‬ن (‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺪدﯾﻦ ‪ a  3  2 3  3  2‬و ‪b   108  5 3  2‬‬

‫‪ (1‬ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ ‪ 2 3‬و ‪ 3‬و ﺑﯿﻦ ‪ 3‬و ‪2‬‬
‫‪ (2‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ّ‬
‫أن ‪a  3  1 :‬‬
‫‪ (3‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪b  2  3 :‬‬
‫‪ (4‬ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ ‪ a‬و ‪b‬‬
‫‪32‬‬
‫‪ (5‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯿﻦ ‪:‬‬
‫‪b‬‬

‫‪32‬‬
‫و‬
‫‪a‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺮاﺑﻊ ‪ 6 ) :‬ن (‬
‫‪ (1‬اﺑﻦ ﻣﺜﻠﺜﺎ ‪ BCN‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ B‬ﺣﯿﺚ ‪ BC=2‬و ‪BN=1‬‬
‫‪ (2‬أﺣﺴﺐ ‪CN‬‬
‫‪ (3‬ﻋﯿ ّﻦ ﻋﻠﻰ )‪ [NC‬اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ P‬ﺣﯿﺚ ‪NP  3 5‬‬

‫‪ (4‬اﺑﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﺣﯿﺚ ‪ MN=6 :‬و ‪MP=3‬‬
‫‪ (5‬أ ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ M NP‬ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ‬
‫ب‪ -‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ M‬ﻋﻠﻰ ]‪ [NP‬أﺣﺴﺐ ‪MH‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ (6‬أﺣﺴﺐ ‪ NH‬ﺛّﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ ّ‬
‫أن‬
‫‪5‬‬

‫‪PH ‬‬

‫‪- 35 -‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪3‬‬

‫ﻓﺮض ﻣﺮاﻗﺒﺔ ‪4‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ :‬ﺿﻊ ﻋﻼﻣﺔ )×( ﻓﻲ اﻟﺨﺎﻧﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ) ‪ x‬و ‪ y‬ﻋﺪدان ﺣﻘﯿﻘﯿﺎن(‬
‫ﺻﺤﯿﺢ‬

‫)‪6‬ن(‬
‫ﺧﻄﺄ‬

‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪‬‬
‫‪3 2 3 5‬‬

‫‪‬‬

‫‪1 2 1 2‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬

‫‪ 5  11   6  6 (4‬‬
‫‪18  17  18  13 (5‬‬

‫‪ (6‬إذا ﻛﺎن ‪ّ x  y‬‬
‫ﻓﺈن ‪x  3  y  5‬‬
‫‪ (7‬إذا ﻛﺎن ‪ّ x  y‬‬
‫ﻓﺈن ‪x  7  y  2‬‬
‫‪ (8‬إذا ﻛﺎن ‪ x  y‬ﻓﺈّن ‪ x   y‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 8 ) :‬ن (‬
‫‪ (1‬ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ اﻟﻌﺪدﯾﻦ اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﯿﻦ ‪ 3 2‬و ‪2 3‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫و‬
‫‪ (2‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻟﻠﻌﺪدﯾﻦ‬
‫‪2 3 7‬‬
‫‪3 2 7‬‬
‫‪ (3‬ﻟﯿﻜﻦ اﻟﻌﺪدﯾﻦ ‪ x‬و ‪ y‬ﺣﯿﺚ ‪ x  3 2  5‬و ‪y  2 3  6‬‬
‫أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ x‬و ‪ y‬ﻋﺪدﯾﻦ ﻣﻮﺟﺒﯿﻦ‬

‫ب‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪x  y‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫و‬
‫ج‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯿﻦ‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬

‫ﺛّﻢ ﺑﯿﻦ ‪ 2 x  4 5‬و ‪2 y  4 5‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ‪ 6):‬ن ( اﻧﻈﺮ اﻟﺮﺳﻢ اﻟﺘﺎﻟﻲ ﺣﯿﺚ ‪ AC = 4cm‬و ‪ AB = 3cm‬و ‪ BC = DB‬و ‪AE = 2cm‬‬

‫‪(1‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪(4‬‬

‫ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن اﻟﺒﻌﺪ ‪BC=5cm‬‬
‫أﺣﺴﺐ اﻟﺒﻌﺪ ‪ EC‬ﺛﻢ اﻟﺒﻌﺪ ‪DC‬‬
‫ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ DEC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪C‬‬
‫ﻟﯿﻜﻦ ‪ H‬ﻣﺴﻘﻂ ﻋﻤﻮدي ﻟـ ‪ A‬ﻋﻠﻰ )‪ . (DC‬أﺣﺴﺐ ‪AH‬‬
‫‪- 36 -‬‬

‫ﻓﺮض ﻣﺮاﻗﺒﺔ ‪4‬‬
‫)‪5‬ن(‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ :‬ﺿﻊ اﻟﻌﻼﻣﺔ )×( أﻣﺎم اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ‬
‫‪ a (1‬و ‪ b‬ﻋﺪدان ﻟﮭﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﻌﻼﻣﺔ ﺣﯿﺚ ‪ّ a < b‬‬
‫ﻓﺈن‪:‬‬
‫‪-a–1=-b-1 ,‬‬
‫‪□ -a-1>-b-1‬‬
‫‪, □ - a - 1< - b - 1‬‬
‫‪ 5 ,‬‬
‫□‬
‫□‬
‫‪-1‬‬
‫□ ‪,‬‬
‫‪ ( 2  3)  ( 3  2) (2‬ﺗﺴﺎوي ‪1 :‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬
‫‪ (1  2)² (3‬ﺗﺴﺎوي ‪□ 1  2 :‬‬
‫‪ (4‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ ABCD‬ﻣﺮﺑﻌﺎ ﻣﺮﻛﺰه ‪ O‬ﺣﯿﺚ ‪ AB=4‬إذا ‪ OA‬ﯾﺴﺎوي ‪:‬‬
‫‪1  2 2‬‬

‫‪2 3‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪4 2‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪AB  AD‬‬
‫‪BD‬‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫‪2 1‬‬

‫□‬

‫‪ a (5‬و ‪ b‬ﻋﺪدان ﺣﻘﯿﻘﯿﺎن ﻣﺨﺎﻟﻔﺎن ﻟﻠﺼﻔﺮ و ﻣﻮﺟﺒﺎن إذا ‪:‬‬

‫‪a b‬‬
‫‪a b‬‬
‫□ ‪,‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪b a‬‬
‫‪b a‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 4 ) :‬ن ( ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺪدﯾﻦ ‪ a‬و ‪ b‬اﻟﺘﺎﻟﯿﯿﻦ ‪ a  3  162  10 2 :‬و ‪b  3‬‬
‫أن ‪ a  3  2 :‬ﺛّﻢ ّ‬
‫‪ (1‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫ﺣﺪد ﻋﻼﻣﺔ اﻟﻌﺪد ‪a‬‬
‫‪ (2‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪a ²  b ²  2.(4  3 2) :‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪a ²  2ab  b ²‬‬

‫‪ (3‬ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ ‪ 4 :‬و ‪3 2‬‬

‫‪ (4‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ّ‬
‫أن ‪a < b :‬‬
‫‪b a‬‬
‫‪ (5‬رﺗﺐ ﺗﺼﺎﻋﺪﯾﺎ ‪, :‬‬
‫‪a b‬‬

‫و‪1‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 6 ) :‬ن (‬
‫‪ (1‬ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ A‬اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪ A  ( x  1)²  4‬ﺣﯿﺚ ‪ x‬ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ‬
‫أ‪ -‬أﺣﺴﺐ ‪ A‬ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ‪x  0 :‬‬
‫ب‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪A  ( x  3)( x  1) :‬‬
‫ج‪ -‬ﺟﺪ اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ ‪ x‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ ‪A=0‬‬
‫‪ (2‬ﻟﻨﻔﺘﺮض اﻟﻌﺒﺎرﺗﯿﻦ ‪ B‬و ‪ C‬اﻟﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ ﺣﯿﺚ ‪ B  x ²  4 :‬و ‪C  (3 x  2)²  4 x ²‬‬
‫أ‪ -‬أﻧﺸﺮ و اﺧﺘﺼﺮ اﻟﻌﺒﺎرة ‪C‬‬
‫ب‪ -‬ﻓﻜﻚ إﻟﻰ ﺟﺬاء ﻋﻮاﻣﻞ اﻟﻌﺒﺎرة ‪B‬‬
‫ج‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن )‪C  ( x  2)(5 x  2‬‬
‫د‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪B  C  4(x  2) (1  x ) :‬‬
‫‪ (3‬ﺟﺪ اﻟﻌﺪد ‪ x‬إذا ﻋﻠﻤﺖ أن ‪B=C‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺮاﺑﻊ ‪ 5 ) :‬ن (‬
‫ﻟﯿﻜﻦ )‪ (O,I,J‬ﻣﻌﯿﻨﺎ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺑﺤﯿﺚ ‪ OI = OJ = 1‬و )‪(OI)  (OJ‬‬
‫‪ (1‬ﻋﯿّﻦ اﻟﻨﻘﺎط )‪ A(4,3‬و )‪ B(4,-5‬و )‪C(-2,-5‬‬
‫‪ (2‬أﺣﺴﺐ ‪ AB‬و ‪BC‬‬
‫‪ (3‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﺛّﻢ أﺣﺴﺐ ‪AC‬‬
‫‪ (4‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ B‬ﻋﻠﻰ ]‪ . [AC‬أﺣﺴﺐ ‪BH‬‬
‫‪ (5‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ M‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪[AC‬‬
‫أ‪ -‬ﻣﺎذا ﺗﻤﺜﻞ ‪ M‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ‪ABC‬‬
‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ ‪BM‬‬
‫‪ (6‬أﺣﺴﺐ ‪MH‬‬
‫‪- 37 -‬‬

‫□‬

‫ﻣﺜﺎل ‪4‬‬

‫□‬

‫ﻓﺮض ﻣﺮاﻗﺒﺔ ‪4‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫ﯾﻠﻲ ﻛﻞ ﺳﺆال ﻣﻦ اﻷﺳﺌﻠﺔ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ﺛﻼث إﺟﺎﺑﺎت إﺣﺪاھﺎ ﻓﻘﻂ ﺻﺤﯿﺤﺔ ﺿﻊ اﻟﻌﻼﻣﺔ )×( أﻣﺎﻣﮭﺎ ‪:‬‬
‫‪ A (1‬و ‪ B‬و ‪ C‬ﺛﻼث ﻧﻘﺎط ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻣﺪرج ﻓﻮاﺻﻠﮭﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ھﻲ ‪ 4‬و ‪  3‬و ‪  2‬إذا ‪:‬‬
‫‪A   BC ‬‬

‫□‬

‫‪C   BA‬‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪B   AC ‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪5‬‬

‫□‬

‫‪ (2‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ a‬و ‪ b‬ﻋﺪدان ﺣﻘﯿﻘﯿﺎن ﺣﯿﺚ ‪ ab   3‬و ‪ a < b‬إذا ‪:‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪a b‬‬

‫□‬

‫‪1 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪a b‬‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ab‬‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫‪ (3‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ a‬و ‪ b‬ﻋﺪدان ﺣﻘﯿﻘﯿﺎن ﺣﯿﺚ ‪ a > 2‬و ‪ b < 3‬إذا ‪:‬‬

‫□‬

‫‪a–2<b–3‬‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫‪a–2> b–3‬‬

‫‪,‬‬

‫‪a 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪b 3‬‬

‫□‬

‫‪ (4‬ﻣﺮﺑﻊ ﻗﯿﺲ طﻮل ﻗﻄﺮه ‪ 10cm‬إذا ﻗﯿﺲ طﻮل ﺿﻠﻌﮫ ﯾﺴﺎوي ‪:‬‬
‫‪10 2 cm‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪5 2 cm‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪10 cm‬‬

‫□‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 8 ) :‬ن (‬
‫‪1‬‬
‫‪ (1‬ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ اﻟﻌﺪدﯾﻦ ‪ 2 2‬و‬
‫‪3‬‬

‫‪ (2‬ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ اﻟﻌﺪدﯾﻦ ‪ 2 2‬و ‪3 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ (3‬ﻟﯿﻜﻦ اﻟﻌﺪدﯾﻦ ‪ a   2 2‬و ‪b  5  3 3‬‬
‫‪3‬‬

‫أ‪-‬‬
‫ب‪-‬‬
‫ج‪-‬‬
‫د‪-‬‬

‫ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪a > b‬‬
‫ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ a‬ﺳﺎﻟﺒﺎ ﻗﻄﻌﺎ‬
‫ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ ‪ a²‬و ‪b²‬‬
‫ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪a 3  b3‬‬

‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ (4‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن‬
‫‪ 2‬‬
‫‪b 5 a  3‬‬
‫‪2‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 8 ) :‬ن (‬
‫ﻟﯿﻜﻦ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﺣﯿﺚ ‪ BC  4 10‬و ‪ AB  4 2‬و ‪AC  8 2‬‬
‫‪ (1‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ّﺛﻢ ارﺳﻤﮫ‬
‫‪ (2‬ﻋﯿّﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ . [AC‬أﺣﺴﺐ ‪OB‬‬
‫‪ (3‬اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ I‬ھﻲ ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [BC‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن )‪ (AI‬و )‪ (OB‬ﯾﺘﻘﺎطﻌﺎن ﻓﻲ ‪G‬‬
‫أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ G‬ﻣﺮﻛﺰ ﺛﻘﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ABC‬‬
‫‪8‬‬
‫ب‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن‬
‫‪3‬‬

‫‪OG ‬‬

‫‪ (4‬أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن )‪ (OI‬ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )‪(AC‬‬
‫‪64‬‬
‫ب ‪ -‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ G‬و اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ )‪ (OG‬ﯾﻘﻄﻊ )‪ (AC‬ﻓﻲ ‪ N‬و )‪ (OI‬ﻓﻲ ‪ . M‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن‬
‫‪9‬‬
‫‪- 38 -‬‬

‫‪GN  GM ‬‬

‫ﻓﺮض ﺗﺄﻟﯿﻔﻲ ‪2‬‬
‫اﻷول ‪ :‬ﺿﻊ ﻋﻼﻣﺔ ) × ( ﻓﻲ اﻟﺨﺎﻧﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ﻓﻲ ّ‬
‫ﻛﻞ ﺣﺎﻟﺔ ‪ x ) :‬و ‪ y‬ﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﯿﻦ (‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ ّ‬
‫ﺧﻄﺄ‬
‫ﺻﺤﯿﺢ‬
‫‪43  6  31  42 (1‬‬

‫ﻓﺈن ‪x  y‬‬
‫ّ‬
‫‪ (2‬إذا ﻛﺎن ‪0  x  y‬‬

‫‪ (3‬إذا ﻛﺎن ‪ x  y‬ﻓﺈن ‪ 2 x  3   2 y  3‬‬
‫‪2 (4‬‬
‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫ھﻮ ﻣﻘﻠﻮب ‪2‬‬

‫‪2‬‬
‫‪2  3 (5‬‬

‫‪‬‬

‫‪5 2 6 ‬‬

‫‪) (6‬اﻟﻮﺣﺪة ‪( cm‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪ :‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ a‬و ‪ b‬ﻋﺪدان ﺣﻘﯿﻘﯿﺎن ﺳـﺎﻟﺒﺎن و ‪a  b‬‬
‫ﺑﯿﻦ أﻧّﮫ إذا ﻛﺎن ‪ّ a  4‬‬
‫ﻓﺈن ‪ 2 a  1  7‬‬
‫‪ّ (1‬‬
‫‪ (2‬أ( ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ ‪ 2 5‬و ‪ 5 2‬ﻛﺬﻟﻚ ﺑﯿﻦ ‪ b2‬و ‪a2‬‬
‫ب( اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯿﻦ ‪ 2b 2  5 2‬و ‪2a 2  2 5‬‬

‫)‪4‬ن(‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫و‬
‫‪ (3‬ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ‬
‫‪a 2‬‬
‫‪b 2‬‬
‫‪ (4‬ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ ‪ 3 b 1‬و ‪3 a 1‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 5 ) :‬ن (‬

‫ﻟﻨﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺒﺎرﺗﯿﻦ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪ A   x  2 2  25 :‬و ‪ B  x 2  9‬ﺣﯿﺚ ‪ x‬ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ‬
‫‪ (1‬اﺣﺴﺐ ‪ A‬إذا ﻛﺎن ‪x = - 4‬‬
‫‪ (2‬اﻧﺸﺮ و اﺧﺘﺼﺮ اﻟﻌﺒﺎرة ‪A‬‬
‫ﺑﯿﻦ ّ‬
‫‪ّ (3‬‬
‫أن ‪A   x  3   x  7 ‬‬
‫‪ّ (4‬‬
‫ﻓﻜﻚ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ّ B‬ﺛﻢ اﻟﻌﺒﺎرة ‪A – B‬‬
‫‪ّ (5‬‬
‫ﺣﻞ ﻓﻲ ‪ ‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪A – B = 0 :‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺮاﺑـﻊ ‪ 6 ) :‬ن (‬
‫‪ (1‬ارﺳﻢ ﻣﺴﺘﻄﯿﻼ ‪ ABCD‬ﺣﯿﺚ ‪ AB  4 3 cm‬و ‪AD = 3cm‬‬
‫ّﺛﻢ ّ‬
‫ﻋﯿﻦ ‪ E‬ﻣﻦ ‪ AB‬ﺣﯿﺚ ‪CE = 6cm‬‬
‫‪ (2‬اﺣﺴﺐ اﻷﺑﻌﺎد ‪ BE‬و ‪ AE‬و ‪DE‬‬
‫أن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ECD‬ﻗﺎﺋﻢ ‪ّ .‬‬
‫ﺑﯿﻦ ّ‬
‫‪ّ (3‬‬
‫ﺣﺪد وﺗﺮه‬
‫‪ (4‬أ( ارﺳﻢ اﻻرﺗﻔﺎع ‪ EH‬اﻟﺼﺎدر ﻣﻦ ‪ B‬ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ‪ECB‬‬
‫ب( اﺣﺴﺐ اﻟﺒﻌﺪﯾﻦ ‪ BH‬و ‪EH‬‬
‫‪EF‬‬
‫ّﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻗﯿﺲ اﻟﺒﻌﺪ ‪EF‬‬
‫‪ (5‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ )‪ (CE‬ﯾﻘﻄﻊ )‪ (AD‬ﻓﻲ ‪ . F‬اﺣﺴﺐ‬
‫‪EC‬‬

‫‪- 39 -‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬
‫)‪5‬ن(‬

‫ﻓﺮض ﺗﺄﻟﯿﻔﻲ ‪2‬‬
‫اﻷول ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ ّ‬
‫ﺿﻊ ﻋﻼﻣﺔ ) × ( ﻓﻲ اﻟﺨﺎﻧﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ﻓﻲ ّ‬
‫ﻛﻞ ﺣﺎﻟﺔ‪) :‬إﺟﺎﺑﺔ واﺣﺪة ﺻﺤﯿﺤﺔ(‬
‫‪ ABC (1‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻘﺎﯾﺲ اﻷﺿﻼع ﻗﯿﺲ ﺿﻠﻌﮫ ‪ 3 cm‬و ]‪ [AH‬اﻻرﺗﻔﺎع اﻟﺼﺎدر ﻣﻦ ‪: A‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AH  3 ‬‬
‫‪, □ AH  3 ‬‬
‫□ ‪,‬‬
‫‪AH  3 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ab2‬‬
‫‪ a (2‬و ‪ b‬ﻋﺪدان ﺣﻘﯿﻘﯿﺎن ﺣﯿﺚ ‪ a > 0‬و ‪ّ , b < 0‬‬
‫ﯾﺴﺎوي ‪:‬‬
‫ﻓﺈن‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪□ b a‬‬
‫‪, □  a‬‬
‫□ ‪,‬‬
‫‪8 6‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪ 7‬‬

‫‪ a  b ‬إذا‪a < b :‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪a>b‬‬

‫ﻣﺮﺑﻌﺎ ﺣﯿﺚ ‪ّ AC = 4‬‬
‫‪ (4‬إذا ﻛﺎن ‪ّ ABCD‬‬
‫ﻓﺈن ‪ AB‬ﯾﺴﺎوي‪2 2 :‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪ 9 ) :‬ن (‬
‫‪ (1( I‬ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ ‪ 2 13‬و ‪3 5‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫‪2 ,‬‬

‫‪ (2‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺪدﯾﻦ ‪ a  3  2 5‬و ‪b  13  4‬‬
‫أ ‪ -‬أﺛﺒﺖ ّ‬
‫أن ‪ a‬و ‪ b‬ﻋﺪدان ﺳﺎﻟﺒﺎن‬
‫ﺑﯿﻦ ّ‬
‫أن ‪ a 2  29  12 5 :‬و ‪b 2  29  8 13‬‬
‫ب‪ّ -‬‬

‫ج ‪ -‬أﺛﺒﺖ ّ‬
‫أن‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪a 2  b 2  4 2 13  3 5‬‬

‫د ‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻌﺪدﯾﻦ ‪ a‬و ‪b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (II‬ﻟﻨﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪ A   x  3  16 :‬ﺣﯿﺚ ‪ x‬ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ‬
‫‪ (1‬اﺣﺴﺐ ‪ A‬إذا ﻋﻠﻤﺖ أن ‪x  2‬‬

‫‪ (2‬اﻧﺸﺮ و اﺧﺘﺼﺮ اﻟﻌﺒﺎرة ‪A‬‬
‫ﺑﯿﻦ ّ‬
‫‪ّ (3‬‬
‫أن ‪A   x  1   x  7 ‬‬
‫‪ّ (4‬‬
‫ﺣﻞ ﻓﻲ ‪ IR‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪A = 0 :‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪) :‬وﺣﺪة اﻟﻘﯿﺲ ھﻲ اﻟﺼﻨﺘﯿﻤﺘﺮ( ) ‪ 7‬ن (‬
‫‪ ABCD‬ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ﺣﯿﺚ ‪ AB = 9‬و ‪ BC = 4‬و اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ I‬ﻣﻦ ‪  AB‬ﺣﯿﺚ ‪CI = 5‬‬
‫ﺑﯿﻦ ّ‬
‫أن ‪ BI = 3‬و ‪DI = 52‬‬
‫‪ (1‬أ( ّ‬
‫ّ‬
‫ب( ھﻞ ّ‬
‫أن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ DCI‬ﻗﺎﺋﻢ ؟ ﻋﻠﻞ ﺟﻮاﺑﻚ‬
‫‪ (2‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ B‬ﻋﻠﻰ )‪(IC‬‬
‫‪12‬‬
‫ﺑﯿﻦ ّ‬
‫أ( ّ‬
‫أن‬
‫‪5‬‬
‫‪16‬‬
‫ﺑﯿﻦ ّ‬
‫ب( ّ‬
‫= ‪ّ CH‬ﺛﻢ اﺣﺴﺐ اﻟﺒﻌﺪ ‪HI‬‬
‫أن‬
‫‪5‬‬
‫= ‪BH‬‬

‫‪ (3‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ )‪ (BH‬ﯾﻘﻄﻊ )‪ (DC‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪K‬‬
‫‪CK 16‬‬
‫ﺑﯿﻦ ّ‬
‫أ( ّ‬
‫أن‬
‫=‬
‫‪BI‬‬
‫‪9‬‬

‫ب( اﺑﺤﺚ ﻋﻦ اﻟﺒﻌﺪ ‪CK‬‬
‫‪- 40 -‬‬

‫‪a=b‬‬

‫‪□4‬‬

‫ﻣﺜﺎل‪2‬‬

‫□‬

‫□‬

‫‪3 2 ,‬‬

‫□‬

‫ﻓﺮض ﺗﺄﻟﯿﻔﻲ ‪2‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫ﻟﯿﻜﻦ ‪ A  x3  3x :‬و ‪ B  4 x ²  43‬و ‪ C  x ²  2 3x  3‬و ‪ D  (2 x  3)²  (1  x)²‬ﺣﯿﺚ ‪ x‬ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ‬
‫‪ (1‬أﺣﺴﺐ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ A‬إذا ﻋﻠﻤﺖ أن ‪x   3‬‬
‫‪ (2‬أﻧﺸﺮ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ D‬ﺛﻢ اﺧﺘﺼﺮ‬
‫‪ (3‬ﻓﻜﻚ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬و ‪D‬‬
‫‪ّ (4‬‬
‫ﺣﻞ ﻓﻲ ‪ ‬اﻟﻤﻌﺎدﻻت ‪D = 0 ; C = 0 ; B = 0 ; A = 0 :‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 5 ) :‬ن (‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ ‪ a‬ﺣﯿﺚ ‪a  108  48  4 :‬‬
‫‪ (1‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ a  2 3  4‬ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻋﻼﻣﺔ ‪a‬‬
‫‪ (2‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ a  3  1‬و ‪a ²  28  16 3‬‬

‫ﻣﺜﺎل‪3‬‬

‫‪ (3‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ ‪ b‬ﺣﯿﺚ ‪b  10  72  18‬‬

‫أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ b  10  3 2‬ﺛّﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻋﻼﻣﺔ ‪b‬‬
‫ب‪ -‬ﺑﯿ ّﻦ أّن ‪b ²  28  12 5‬‬
‫‪ (4‬ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ ‪ 3 5‬و ‪4 3‬‬
‫‪ (5‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ّ‬
‫أن ‪a > b‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 7 ) :‬ن (‬
‫‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ A‬ﺑﺤﯿﺚ ‪AB = AC = 6cm‬‬
‫‪ (1‬أﺣﺴﺐ اﻟﺒﻌﺪ ‪BC‬‬
‫‪ D (2‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ )‪ [ CA‬ﺣﯿﺚ ‪ CD = 8cm‬أﺣﺴﺐ ‪BD‬‬
‫‪ (3‬اﻟﺪاﺋﺮة ‪ C‬اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰھﺎ ‪ O‬و ﻗﻄﺮھﺎ ]‪ [AB‬ﺗﻘﻄﻊ )‪ (BC‬ﻓﻲ ‪ E‬و ﺗﻘﻄﻊ )‪ (BD‬ﻓﻲ ‪F‬‬
‫أ‪ -‬أﺣﺴﺐ ‪AF‬‬
‫ب‪ -‬ﺑﯿّﻦ أّن ‪ E‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [BC‬ﻛﺬﻟﻚ اﺣﺴﺐ اﻟﺒﻌﺪ ‪AE‬‬
‫‪ (4‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن )‪(OE)//(DC‬‬
‫‪ (5‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ )‪ (OE‬ﯾﻘﻄﻊ )‪ (BD‬ﻓﻲ ‪ .K‬أﺣﺴﺐ ‪EK‬‬
‫‪ (6‬أﺣﺴﺐ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪BDC‬‬
‫‪ H (7‬ھﻲ ﻣﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ D‬ﻋﻠﻰ )‪ . (BC‬أﺣﺴﺐ اﻟﺒﻌﺪ ‪DH‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺮاﺑﻊ ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫ﺿﻊ اﻟﻌﻼﻣﺔ )×( ﻓﻲ اﻟﺨﺎﻧﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ‪:‬‬
‫‪ (1‬إذا ﻛﺎن ‪ MNPQ‬ﻣﺮﺑﻌﺎ ﺣﯿﺚ ‪ّ MP = 6‬‬
‫ﻓﺈن ‪ MN‬ﺗﺴﺎوي ‪3 , □ 6 2 , □ 3 2 :‬‬
‫‪ ABC (2‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻘﺎﯾﺲ اﻷﺿﻼع و ]‪ [AH‬اﻻرﺗﻔﺎع اﻟﺼﺎدر ﻣﻦ ‪ A‬ﺣﯿﺚ ‪ّ AH = 6‬‬
‫ﻓﺈن ‪:‬‬
‫‪AB  3 3‬‬
‫‪AB  2 3‬‬
‫□ ‪,‬‬
‫‪ (3‬إذا ﻛﺎن ‪ّ 0  x  y‬‬
‫ﻓﺈن ‪□ 1  1 :‬‬
‫‪x y‬‬

‫‪ (4‬اﻟﻌﺪد ‪ 22  12 2‬ﯾﺴﺎوي ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪11  2 ‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬
‫‪x y‬‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪- 41 -‬‬

‫‪2‬‬

‫□‬

‫‪AB  4 3‬‬

‫□‬

‫‪2  3 2 ‬‬

‫‪x  y‬‬

‫‪,‬‬

‫□‬

‫□‬

‫‪,‬‬

‫‪2‬‬

‫‪11 2 ‬‬

‫□‬
‫□‬

‫ﻓﺮض ﺗﺄﻟﯿﻔﻲ ‪2‬‬
‫)‪4‬ن(‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ :‬أﺟﺐ ﺑﺼﻮاب أو ﺧﻄﺄ‬
‫‪ ABCD (1‬ﻣﺮﺑﻌﺎ ﺣﯿﺚ ‪ّ AC  18 cm :‬‬
‫ﻓﺈن ﻣﺴﺎﺣﺘﮫ ﺗﺴﺎوي ‪...................... 9cm²‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ ABC (2‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻘﺎﯾﺲ اﻻﺿﻼع طﻮل ﺿﻠﻌﮫ ‪ 5cm‬ﻓﺈن طﻮل ارﺗﻔﺎﻋﮫ‬
‫‪4‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪4‬‬

‫‪.................... 5‬‬

‫‪ (3‬إذا ﻛﺎن ‪ a‬و ‪ b‬ﻋﺪدان ﺣﻘﯿﻘﯿﺎن ﺣﯿﺚ ‪ a + b = 7‬و ‪ a . b = 11‬ﻓﺈن ‪......................... a² + b² = 27‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ (4‬اﻟﻌﺪد‬

‫‪8001  7999‬‬
‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫ﯾﺴﺎوي ‪..................... 8‬‬

‫‪4,10‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 3n  3 n   3n  3 n ‬‬
‫‪ ‬ﯾﺴﺎوي ‪...................... 0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ (5‬اﻟﻌﺪد ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2   2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 22‬‬
‫)‪2 3  2  2( 3  1‬‬
‫‪ a‬و‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 4 ) :‬ن ( ‪ (1‬اﺧﺘﺰل اﻟﻌﺒﺎرﺗﯿﻦ اﻟﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ ‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬

‫‪ (2‬اﺣﺴﺐ ‪ a . b‬ﺛّﻢ ‪b  a‬‬
‫‪7‬‬

‫‪ (3‬أﺣﺴﺐ‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪7 3‬‬

‫‪7‬‬

‫‪‬و ‪‬‬
‫‪2‬‬

‫‪13  3‬‬

‫‪ (4‬ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ ‪ 6 7‬و ‪2 39‬‬
‫‪ (5‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯿﻦ ‪3  13‬‬

‫‪‬‬

‫و ‪7 3‬‬
‫‪2‬‬

‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 5 ) :‬ن ( ‪ (1‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ A‬اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ﺣﯿﺚ ‪A   x    2x : x  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪A  x  x ‬‬
‫‪4‬‬

‫ب‪ّ -‬‬
‫ﻓﻜﻚ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ A‬إﻟﻰ ﺟﺬاء ﻋﻮاﻣﻞ‬
‫‪1‬‬
‫ج‪ -‬أﺣﺴﺐ اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻌﺪدﯾﺔ ﻟﻠﻌﺒﺎرة ‪ A‬ﺣﯿﺚ‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (2‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ B‬اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪B  4x :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪A  B   (x  ) (3x  ) :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ب‪ -‬أوﺟﺪ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ ‪ x‬ﺣﯿﺚ ‪A 2 + B2 = 2AB :‬‬
‫أن إذا ﻛﺎن ‪ّ x  1  17‬‬
‫‪ (3‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫ﻓﺈن ‪B  4 x  16‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺮاﺑﻊ ‪ 7 ) :‬ن (‬
‫‪ (1‬ارﺳﻢ ﺷﺒﮫ ﻣﻨﺤﺮف ‪ ABCD‬ﻗﺎﺋﻤﺎ ﻓﻲ ‪ A‬و ‪ D‬ﺣﯿﺚ ‪AB = AD = 4 cm :‬‬
‫و ‪ CD = 7 cm‬ﺛﻢ ارﺳﻢ اﻻرﺗﻔﺎع ]‪ [AH‬اﻟﺼﺎدر ﻣﻦ ‪ A‬ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ‪.ABD‬‬
‫‪ (2‬أﺣﺴﺐ ‪ BD‬ﺛّﻢ ‪AH‬‬
‫‪ (3‬ﻋﯿّﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ E‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ B‬ﻋﻠﻰ )‪ . (CD‬ﻣﺎ ھﻲ طﺒﯿﻌﺔ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ABED‬؟‬
‫‪ (4‬اﺳﺘﻨﺘﺞ اﻷﺑﻌﺎد‪CE ; DE ; BE :‬‬
‫‪ (5‬أﺣﺴﺐ ‪BC‬‬
‫‪ (6‬ﻋﯿّﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ F‬ﻣﻦ ﻗﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ]‪ [AD‬ﺣﯿﺚ ‪ AF = 3 cm‬ﺛﻢ أﺣﺴﺐ ‪ BF‬و ‪CF‬‬
‫‪ (7‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ BCF‬ﻣﺘﻘﺎﯾﺲ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ و ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﻓﻲ ‪.B‬‬
‫‪ (8‬أ‪ -‬ﻋﯿّﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ O‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ , [CF‬ب‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ OBD‬ﻣﺘﻘﺎﯾﺲ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ‪.‬‬
‫‪- 42 -‬‬

‫ﻓﺮض ﺗﺄﻟﯿﻔﻲ ‪2‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫اﺧﺘﺮ اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ‪:‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪5‬‬

‫‪ (1‬ﻧﺸﺮ اﻟﻌﺒﺎرة )‪ (2  2‬ﯾﺴﺎوي‪:‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫أ‬

‫ب‬

‫ج‬

‫‪44 2‬‬

‫‪64 2‬‬

‫‪46 2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫)‪(2x  4‬‬

‫)‪(2 x  4)(2 x  4‬‬

‫)‪(2 x  1)(2 x  16‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (2‬اﻟﻌﺪد ‪  3     3  ‬ﯾﺴﺎوي‪:‬‬
‫‪3  3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (3‬ﺗﻔﻜﯿﻚ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ 4x  16‬ﯾﺴﺎوي‪:‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ ABC (4‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻘﺎﯾﺲ اﻷﺿﻼع طﻮل‬
‫‪4‬‬
‫ﻓﺈن ﻗﯿﺲ ارﺗﻔﺎﻋﮫ ﯾﺴﺎوي‪:‬‬
‫ﺿﻠﻌﮫ‬
‫ّ‬
‫‪3‬‬
‫‪ ABC (5‬ﻣﺜﻠﺚ ﺣﯿﺚ ‪BC² = AB² - AC²‬‬
‫ﻓﺈن ‪ ABC‬ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﻓﻲ‪:‬‬
‫ّ‬

‫‪2‬‬

‫‪2 3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 5 ) :‬ن (‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺒﺎرﺗﯿﻦ ‪ A‬و ‪ B‬ﺣﯿﺚ ‪ x‬ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ‪ A   3x  x  2‬و ‪B   x  6x  7‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ (1‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن )‪A  (2  3x )(x  1‬‬
‫‪ (2‬أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ) ‪B  16  (3  x‬‬
‫‪2‬‬

‫ب‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ﺗﻔﻜﯿﻜﺎ ﻟﻠﻌﺒﺎرة ‪B‬‬
‫‪ (3‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪A  B  (x  1) (9  4x ) :‬‬
‫‪ (4‬أوﺟﺪ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ ‪ x‬إذا ﻛﺎن ‪ A‬و ‪ B‬ﻣﺘﻘﺎﺑﻼن‬
‫‪ (5‬أﺣﺴﺐ اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻌﺪدﯾﺔ ّ‬
‫ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ‪ A‬و ‪ B‬إذا ﻛﺎن ‪x  2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ (6‬ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ ‪A :‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ ‬و ‪ B‬ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ‪x  2‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 5 ) :‬ن (‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺪدﯾﻦ اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﯿﻦ‪ a  2 3  ( 3  2)  1 :‬و ‪b  3a ²  4‬‬
‫‪ (1‬أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪a  7  4 3‬‬
‫ب‪ -‬أﻛﻨﺐ ‪ a‬ﻓﻲ ﺷﻜﻞ ﺟﺬاء ﻣﻌﺘﺒﺮ‬
‫ج‪ّ -‬‬
‫ﻓﻜﻚ ‪ b‬إﻟﻰ ﺟﺬاء ﻋﻮاﻣﻞ‬
‫‪ (2‬ﻟﯿﻜﻦ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ ‪c  7  108  300‬‬
‫أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪c  7  4 3‬‬
‫ب‪ -‬ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ ‪ 7‬و ‪ 4 3‬ﺛﻢ ﺣﺪد ﻋﻼﻣﺔ اﻟﻌﺪد ‪c‬‬
‫‪ (3‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ a‬ھﻮ ﻣﻘﻠﻮب اﻟﻌﺪد ‪c‬‬
‫‪ (4‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ ‪ d‬ﺣﯿﺚ ‪d = a² + c²‬‬
‫أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ d = (a + c)² - 2‬ﺛﻢ اﺣﺴﺐ اﻟﻌﺪد ‪d‬‬

‫‪- 43 -‬‬

‫‪2‬‬

‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫ب‪ -‬ﻟﯿﻜﻦ اﻟﻌﺪد‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬

‫‪ , e ‬أﺣﺴﺐ ‪ّ e 2‬ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ ‪e‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺮاﺑﻊ ‪ 6 ) :‬ن (‬
‫‪ (1‬أ‪ -‬ارﺳﻢ ﻣﺮﺑﻌﺎ ‪ ABCD‬ﻗﯿﺲ ﺿﻠﻌﮫ ‪ 6‬ﺛّﻢ ّ‬
‫ﻋﯿﻦ ﻣﺮﻛﺰه ‪O‬‬
‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ اﻟﺒﻌﺪ ‪AC‬‬
‫‪ (2‬ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪[BC‬‬
‫ﺑﯿﻦ ّ‬
‫أ‪ّ -‬‬
‫أن ‪DI = 3 5‬‬
‫ﺑﯿﻦ ّ‬
‫ب‪ -‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن )‪ (AC‬و )‪ (DI‬ﯾﺘﻘﺎطﻌﺎن ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ّ . J‬‬
‫أن اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ J‬ھﻲ ﻣﺮﻛﺰ ﺛﻘﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪BCD‬‬
‫ج‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ّ‬
‫أن ‪DJ = 2 5‬‬
‫‪ (3‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ C‬داﺋﺮة ﻗﻄﺮھﺎ ]‪ [BI‬ﺗﻘﻄﻊ )‪ (BD‬ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﺛﺎﻧﯿﺔ ‪K‬‬
‫أ‪ -‬ﻣﺎ ھﻲ طﺒﯿﻌﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪KBI‬‬
‫ﺑﯿﻦ ّ‬
‫ب‪ّ -‬‬
‫أن ‪ IK  //  AC ‬‬
‫ج‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ّ‬
‫أن ‪ K‬ﻣﻨﺼﻒ ]‪[BO‬‬
‫‪ (4‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن )‪ (IK‬و )‪ (CD‬ﯾﺘﻘﺎطﻌﺎن ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪H‬‬
‫‪DH DI‬‬
‫ﺑﯿﻦ ّ‬
‫أ‪ّ -‬‬
‫أن‬
‫=‬
‫‪DC DJ‬‬

‫ب‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻗﯿﺲ اﻟﺒﻌﺪ ‪DH‬‬
‫ﺑﯿﻦ ّ‬
‫ج‪ّ -‬‬
‫أن ‪ H‬ھﻮ اﻟﻤﺮﻛﺰ اﻟﻘﺎﺋﻢ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ‪DBI‬‬

‫‪- 44 -‬‬

‫ﻓﺮض ﺗﺄﻟﯿﻔﻲ ‪2‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪6‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ :‬ﺣﺪد اﻹﺟﺎﺑﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ﻣﻦ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﻘﺘﺮﺣﺎت اﻟﻤﻘﺪﻣﺔ ﻟﻜﻞ ﺳﺆال ‪:‬‬

‫)‪4‬ن(‬

‫اﻟﻤﻘﺘﺮح ‪a‬‬

‫اﻟﻤﻘﺘﺮح ‪b‬‬

‫اﻟﻤﻘﺘﺮح ‪c‬‬

‫‪ (1‬إذا ﻛﺎن ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺜﺎ ﻣﺘﻘﺎﯾﺲ اﻷﺿﻼع ﻗﯿﺲ طﻮل‬
‫ﻓﺈن ﻗﯿﺲ طﻮل أﺣﺪ ارﺗﻔﺎﻋﺎﺗﮫ ﯾﺴﺎوي‪:‬‬
‫ﺿﻠﻌﮫ ‪ّ 4 3‬‬

‫‪12‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2 6‬‬

‫‪ (2‬إذا ﻛﺎن ‪ ABCD‬ﻣﺮﺑﻊ ﺑﺤﯿﺚ ‪AC = 2‬‬
‫ﻓﺈن ‪ AB‬ﯾﺴﺎوي‬

‫‪2‬‬

‫‪2 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ (3‬ﻓﻲ ﻣﺜﻠﺚ ‪ ABC‬إذا ﻛﺎن ‪AB2 = AC2 – BC2‬‬
‫ﻓﺈن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﻓﻲ ‪:‬‬
‫ّ‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ (4‬ﺷﺒﮫ ﻣﻨﺤﺮف ‪ ABCD‬ﻗﺎﻋﺪﺗﺎه ]‪ [AB‬و ]‪[CD‬‬
‫و ‪ I‬و‪ J‬ﻣﻨﺘﺼﻔﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﻟـ ]‪ [AD‬و ]‪[BC‬‬
‫و ‪ IJ = 10‬و ‪ AB = 8‬إذا ‪ CD‬ﯾﺴﺎوي‪:‬‬
‫‪2‬‬

‫‪(5‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ x  2‬ﯾﺴﺎوي‪:‬‬

‫‪12‬‬

‫‪9‬‬

‫‪14‬‬

‫‪x  2x  2‬‬

‫‪x 2‬‬

‫‪x  2 2x  2‬‬

‫‪b² > a²‬‬

‫‪b² < a²‬‬

‫‪a² = b²‬‬

‫‪1‬‬
‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬
‫‪8‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ a < b (6‬و ‪ a‬و ‪ b‬ﺳﺎﻟﺒﺎن ﯾﻌﻨﻲ ‪:‬‬
‫‪(7‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 2‬‬

‫‪ 2‬ﯾﺴﺎوي ‪:‬‬

‫‪ (8‬إذا ﻛﺎن ‪ ABC‬ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﻓﻲ ‪B‬‬
‫ﻓﺈن‪:‬‬
‫و ]‪ [BH‬ارﺗﻔﺎﻋﮫ اﻟﻤﻮاﻓﻖ ﻟﻮﺗﺮه ]‪ّ [AC‬‬

‫‪AC. AB‬‬
‫‪BC‬‬

‫‪BH ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪AC.BC‬‬
‫‪AB‬‬

‫‪BH ‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫‪ (1‬ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ ‪ 2‬و ‪5‬‬

‫ﺛﻢ ﺑﯿﻦ ‪2‬‬

‫و ‪7‬‬

‫‪1‬‬
‫‪ (2‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ a‬و ‪ b‬ﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﯿﻦ ﺣﯿﺚ ‪320‬‬
‫‪2‬‬

‫‪b  2  7 ; a  2  45 ‬‬

‫أ‪ -‬أﺛﺒﺖ ّ‬
‫أن ‪a  2  5‬‬
‫ب‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ّ‬
‫أن ‪ a‬و ‪ b‬ﻋﺪدان ﺣﻘﯿﻘﯿﺎن ﺳﺎﻟﺒﺎن‬
‫‪ (3‬أ‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪ a  9  4 5‬و ‪b  9  2 14‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫ب‪ -‬ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ ‪  4 5‬و ‪2 14‬‬

‫ج‪ -‬ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ ‪ a²‬و ‪b²‬‬
‫د‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺑﯿﻦ ‪ a‬و ‪b‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ 4 ) :‬ن (‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ E  x  2x  1‬و ‪ F  x  2x  3‬ﺣﯿﺚ ‪ x‬ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪- 45 -‬‬

‫‪2‬‬

‫‪BC . AB‬‬
‫‪AC‬‬

‫‪BH ‬‬

‫‪2‬‬
‫‪ (1‬أﺣﺴﺐ اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻌﺪدﯾﺔ ﻟﻠﻌﺒﺎرة ‪ E‬إذا ﻛﺎن‬
‫‪2‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪ّ (2‬‬
‫ﻓﻜﻚ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ E‬إﻟﻰ ﺟﺬاء ﻋﻮاﻣﻞ‬
‫‪ (3‬أ‪ -‬أﻧﺸﺮ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ (x  1)  4‬ﻣﺎذا ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ ؟‬
‫‪2‬‬

‫ب‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ﺗﻔﻜﯿﻜﺎ ﻟﻠﻌﺒﺎرة ‪F‬‬
‫‪ (4‬أﺛﺒﺖ ّ‬
‫أن )‪E  F  ( x  1)(2 x  2‬‬
‫‪ (5‬أوﺟﺪ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﯿﻘﻲ ‪ x‬ﺣﯿﺚ ‪E + F = 0‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺮاﺑﻊ ‪) :‬وﺣﺪة ﻗﯿﺲ اﻟﻄﻮل ھﻲ اﻟﺼﻢ (‬

‫) ‪ 6,5‬ن (‬

‫‪ (1‬أ‪ -‬ارﺳﻢ ﻣﺴﺘﻄﯿﻼ ‪ ABCD‬ﺣﯿﺚ ‪ AB = 6‬و ‪ AD = 4‬ﺛﻢ أرﺳﻢ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ K‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪B‬‬
‫ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ )‪(AC‬‬
‫‪12 3‬‬
‫أن ‪ AC  2 13‬و ّ‬
‫ب‪ -‬أﺛﺒﺖ ّ‬
‫أن‬
‫‪13‬‬

‫‪BK ‬‬

‫‪ (2‬أ‪ -‬ﻋﯿﻦ ﻋﻠﻰ ﻧﺼﻒ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ )‪ [AD‬اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ E‬ﺑﺤﯿﺚ ‪DE=9‬‬
‫ب‪ -‬أﺛﺒﺖ ّ‬
‫أن ‪CE  3 13‬‬
‫ج‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ACE‬ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪C‬‬
‫‪ (3‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن )‪ (BK‬و )‪ (AE‬ﯾﺘﻘﺎطﻌﺎن ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪.F‬‬
‫أ‪ -‬أﺛﺒﺖ أن ‪ BFEC‬ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع‬
‫ب‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ اﻟﺒﻌﺪﯾﻦ ‪ BF‬و ‪FE‬‬
‫‪ (4‬أ‪ -‬ﻋﯿّﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ‪ O‬و ‪ H‬ﺣﯿﺚ ‪ O‬ﻣﺮﻛﺰ ﻣﺘﻮازي اﻻﺿﻼع ‪ BFEC‬و ‪ H‬ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪[BF‬‬
‫ب‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن )‪(BC)//(OH‬‬
‫ج‪ -‬أﺣﺴﺐ ‪OH‬‬
‫‪ (5‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎن )‪ (BO‬و )‪ (CH‬ﯾﺘﻘﺎطﻌﺎن ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪G‬‬
‫أ‪ -‬ﻣﺎذا ﺗﻤﺜﻞ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ G‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ‪ BFC‬؟ ﻋﻠّﻞ ﺟﻮاﺑﻚ‬
‫‪BE‬‬
‫ب‪ -‬أﺛﺒﺖ ّ‬
‫أن‬
‫‪3‬‬

‫‪BG ‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺨﺎﻣﺲ ‪ 1,5 ) :‬ن (‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻗﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ]‪ [AB‬ﺣﯿﺚ ‪AB = 7 cm‬‬
‫‪MA MB‬‬
‫ﻋﯿّﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻣﻦ ]‪ [AB‬ﺣﯿﺚ‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬

‫ﺛّﻢ أﺣﺴﺐ ‪MA‬‬
‫‪- 46 -‬‬

‫ﻓﺮض ﺗﺄﻟﯿﻔﻲ ‪2‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول ‪ 5 ) :‬ن (‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻌﺒﺎرﺗﺎن ‪ A‬و ‪ B‬ﺣﯿﺚ ‪ x‬ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ‪ A   x  2   25 :‬و ‪B   x  7    x  7  x  1‬‬
‫‪ (1‬أﻧﺸﺮ ﺛﻢ اﺧﺘﺼﺮ اﻟﻌﺒﺎرة ‪A‬‬
‫‪ (2‬أﺣﺴﺐ اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻌﺪدﯾﺔ ﻟـ ‪ A‬إذا ﻋﻠﻤﺖ ّ‬
‫أن ‪x  2  1‬‬
‫‪ (3‬أ‪ -‬ﻓﻜﻚ ﻛﻼ ﻣﻦ ‪ A‬و ‪ B‬إﻟﻰ ﺟﺬاء ﻋﻮاﻣﻞ‪.‬‬
‫ب‪ -‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن )‪A  B  ( x  7)( x  5‬‬
‫‪ (4‬أوﺟﺪ ‪ x‬إذا ﻋﻠﻤﺖ ّ‬
‫أن ‪A + B = 0‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪7‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ ‬‬
‫‪a c ‬‬
‫‪3 1‬‬

‫‪1 2‬‬

‫‪b a bc‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ :‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻌﺒﺎرة‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪E‬‬

‫)‪3‬ن(‬

‫‪b‬‬

‫‪1 3 3‬‬

‫‪ (1‬ﺑﯿّﻦ ّ‬
‫أن ‪E  a b c‬‬
‫‪ (2‬اﺣﺴﺐ ‪ E‬إذا ﻋﻠﻤﺖ ّ‬
‫أن ‪ a = 2 :‬و ‪ b  2‬و ‪c   2‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪ a :‬ھﻮ ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ﺣﯿﺚ ‪a ≥ 5‬‬

‫)‪4‬ن(‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ (1‬ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ و‬
‫‪a3 8‬‬

‫‪3‬‬
‫‪ (2‬ﻗﺎرن ﺑﯿﻦ ‪  3‬و ‪a‬‬
‫‪5‬‬

‫‪‬‬

‫‪3‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ (3‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﻟـ ‪a‬‬
‫‪ 5‬و ‪ 3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬

‫)‪8‬ن(‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺮاﺑﻊ ‪) :‬وﺣﺪة اﻟﻘﯿﺲ ھﻲ اﻟﺼﻢ(‬
‫‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ A‬ﺣﯿﺚ ‪ AB = AC = 6‬و ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ [BC‬و ‪ J‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪[AC‬‬
‫و ﻟﺘﻜﻦ ‪ G‬ﺗﻘﺎطﻊ )‪ (AI‬و )‪(BJ‬‬
‫‪ (1‬اﺛﺒﺖ ّ‬
‫أن ‪ G‬ھﻮ ﻣﺮﻛﺰ ﺛﻘﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ABC‬‬
‫‪ (2‬أﺣﺴﺐ ‪IJ‬‬
‫‪ (3‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ K‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪ . [AB‬ﺑﯿّﻦ أّن اﻟﻨﻘﺎط ‪ C‬و ‪ G‬و ‪ K‬ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﺔ واﺣﺪة‪.‬‬
‫‪ (4‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ J‬و اﻟﻤﻮازي ﻟـ )‪ (AI‬ﯾﻘﻄﻊ )‪ (AB‬ﻓﻲ ‪ E‬و )‪ (BC‬ﻓﻲ ‪.F‬‬
‫أﺛﺒﺖ ّ‬
‫أن ‪ AIJE‬ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع‬
‫‪BA BI 2‬‬
‫‪(5‬أﺛﺒﺖ ّ‬
‫‪‬‬
‫أن ‪‬‬
‫‪BE BF 3‬‬

‫‪ (6‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ O‬ﻣﺮﻛﺰ ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ‪AIJE‬‬
‫أ‪ -‬أﺣﺴﺐ ‪OJ‬‬
‫ب‪ -‬أﺛﺒﺖ ّ‬
‫أن ‪ J‬ﻣﺮﻛﺰ ﺛﻘﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ICE‬‬
‫ج‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ‪FI=FC‬‬
‫‪ (7‬أ‪ -‬أﺛﺒﺖ ّ‬
‫أن )‪(BC)  (AI‬‬
‫ب‪ -‬أﺛﺒﺖ ّ‬
‫أن ‪ J‬ھﻲ اﻟﻤﺮﻛﺰ اﻟﻘﺎﺋﻢ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ‪.BCE‬‬
‫‪- 47 -‬‬

‫ﻣﻠﺨﺺ دروس اﻟﺜﻼﺛﻲ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬
‫اﻟﺤﺼﺮ و اﻟﻤﺠﺎﻻت‬

‫‪ (1‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ a‬و ‪ b‬ﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﯿﻦ ﺣﯿﺚ ‪a ≤ b‬‬
‫ﻓﺈن ‪ x  a ,b ‬و ‪ b – a‬ھﻮ ﻣﺪى اﻟﺤﺼﺮ‬
‫إذا ﻛﺎن ‪ x‬ﯾﺤﻘﻖ ‪ّ a ≤ x ≤ b‬‬
‫‪ (2‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬و ‪ d‬أرﺑﻌﺔ أﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘﯿﺔ ﺣﯿﺚ ‪ a ≤ b‬و ‪c ≤ d‬‬
‫ﻓﺈن ‪a + c ≤ x + y ≤ b + d‬‬
‫إذا ﻛﺎن ‪ a ≤ x ≤ b‬و ‪ّ c ≤ y ≤ d‬‬
‫≤‬
‫‪d‬‬
‫≤‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬و‬
‫‪ (3‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬و ‪ d‬أرﺑﻌﺔ أﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘﯿﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﺣﯿﺚ‬
‫ﻓﺈن ‪a c ≤ x y ≤ b d‬‬
‫إذا ﻛﺎن ‪ a ≤ x ≤ b‬و ‪ّ c ≤ y ≤ d‬‬
‫‪ (4‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ a‬و ‪ b‬ﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﯿﻦ ﺣﯿﺚ ‪a ≤ b‬‬
‫ﻓﺈن ‪x  a ,b‬‬
‫‪ -‬إذا ﻛﺎن ‪ x‬ﯾﺤﻘﻖ ‪ّ a < x < b‬‬

‫ﻓﺈن ‪x  a ,b‬‬
‫ إذا ﻛﺎن ‪ x‬ﯾﺤﻘﻖ ‪ّ a ≤ x < b‬‬‫ﻓﺈن ‪x  a ,b ‬‬
‫ إذا ﻛﺎن ‪ x‬ﯾﺤﻘﻖ ‪ّ a < x ≤ b‬‬‫ﻓﺈن ‪x  a ,+ ‬‬
‫‪ -‬إذا ﻛﺎن ‪ x‬ﯾﺤﻘﻖ ‪ّ a ≤ x‬‬

‫ﻓﺈن ‪x  a ,+ ‬‬
‫ إذا ﻛﺎن ‪ x‬ﯾﺤﻘﻖ ‪ّ a < x‬‬‫ﻓﺈن ‪x  -  , b ‬‬
‫‪ -‬إذا ﻛﺎن ‪ x‬ﯾﺤﻘﻖ ‪ّ x ≤ b‬‬

‫ﻓﺈن ‪x  -  , b‬‬
‫ إذا ﻛﺎن ‪ x‬ﯾﺤﻘﻖ ‪ّ x < b‬‬‫‪ (5‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ a‬ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ ﻣﻮﺟﺐ‬
‫ﻓﺈن ‪x   - a ,a ‬‬
‫ إذا ﻛﺎن ‪ x‬ﯾﺤﻘﻖ ‪ّ x  a‬‬‫ﻓﺈن ‪x  - a ,a‬‬
‫‪ -‬إذا ﻛﺎن ‪ x‬ﯾﺤﻘﻖ ‪ّ x  a‬‬

‫ﻓﺈن ‪x  -  , - a   a , + ‬‬
‫ إذا ﻛﺎن ‪ x‬ﯾﺤﻘﻖ ‪ّ x  a‬‬‫ﻓﺈن ‪x -  , - a  a , + ‬‬
‫ إذا ﻛﺎن ‪ x‬ﯾﺤﻘﻖ ‪ّ x > a‬‬‫ﻛﻞ ﻋﺒﺎرة ﺗﺆول ﻛﺘﺎﺑﺘﮭﺎ إﻟﻰ ﺷﻜﻞ ‪ ax = b‬ﺣﯿﺚ ‪ a‬و ‪ b‬ﻋﺪدﯾﻦ ﺣﻘﯿﻘﯿﯿﻦ ﻣﻌﻠﻮﻣﺎن و ‪ a ≠ 0‬و ‪ x‬ﻋﺪد ﺣﻘﯿﻘﻲ‬
‫‪ّ (5‬‬
‫‪b‬‬
‫ﻣﺠﮭﻮل ﺗﺴﻤﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻦ درﺟﺔ أوﻟﻰ ذات ﻣﺠﮭﻮل واﺣﺪ ﻓﻲ ‪ ‬و ّ‬
‫ﺣﻠﮭﺎ ھﻮ‬
‫=‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫اﻹﺣﺼﺎء ﻓﻲ ﺳﻠﺴﻠﺔ إﺣﺼﺎﺋﯿﺔ ﻣﺴﺘﺮﺳﻠﺔ‬
‫ اﻟﺘﻜﺮار ﺗﺮاﻛﻤﻲ ﺻﺎﻋﺪ اﻟﻤﻮاﻓﻖ ﻟﻔﺌﺔ ﻣﺎ ‪ ,‬ھﻮ ﻣﺠﻤﻮع ﺗﻜﺮارات اﻟﻘﯿﻢ اﻷﺻﻐﺮ ﻗﻄﻌﺎ ﻣﻦ طﺮﻓﮭﺎ اﻷﻛﺒﺮ‬‫ اﻟﺘﻜﺮار ﺗﺮاﻛﻤﻲ ﻧﺎزل اﻟﻤﻮاﻓﻖ ﻟﻔﺌﺔ ﻣﺎ ‪ ,‬ھﻮ ﻣﺠﻤﻮع ﺗﻜﺮارات اﻟﻘﯿﻢ اﻷﻛﺒﺮ ﻗﻄﻌﺎ ﻣﻦ طﺮﻓﮭﺎ اﻷﺻﻐﺮ‬‫ اﻟﺘﻮاﺗﺮ اﻟﺘﺮاﻛﻤﻲ ھﻮ ﻧﺎﺗﺞ ﻗﺴﻤﺔ اﻟﺘﻜﺮار ﺗﺮاﻛﻤﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻜﺮار اﻟﺠﻤﻠﻲ‬‫ ﻣﻮﺳﻂ ﺳﻠﺴﻠﺔ إﺣﺼﺎﺋﯿﺔ ﻣﺴﺘﺮﺳﻠﺔ ﺗﻜﺮارھﺎ اﻟﺠﻤﻠﻲ ‪ N‬ھﻮ ﻓﺎﺻﻠﺔ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ﻣﻀﻠﻊ اﻟﺘﻜﺮار ﺗﺮاﻛﻤﻲ‬‫‪N+1‬‬
‫‪N‬‬
‫إذا ﻛﺎن ‪ N‬ﻋﺪدا ﻓﺮدﯾﺎ‬
‫إذا ﻛﺎن ‪ N‬ﻋﺪدا زوﺟﯿﺎ أو‬
‫و اﻟﺘﻲ ﺗﺮﺗﯿﺒﮭﺎ‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ ﻣﻮﺳﻂ ﺳﻠﺴﻠﺔ إﺣﺼﺎﺋﯿﺔ ﻣﺴﺘﺮﺳﻠﺔ ھﻮ ﻓﺎﺻﻠﺔ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ﻣﻀﻠﻊ اﻟﺘﻮاﺗﺮات اﻟﺘﺮاﻛﻤﻲ و اﻟﺘﻲ‬‫ﺗﺮﺗﯿﺒﮭﺎ ‪ ) 0,5‬أو ‪ 50 %‬إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺘﻮاﺗﺮات ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﻤﺎﺋﻮﯾﺔ (‬
‫ﻣﺜﺎل ﻟﺘﻜﻮﯾﻦ ﺟﺪول اﻟﺘﻜﺮار ﺗﺮاﻛﻤﻲ ﺻﺎﻋﺪ أو ﻧﺎزل ﻟﺴﻠﺴﻠﺔ إﺣﺼﺎﺋﯿﺔ ﻣﺴﺘﺮﺳﻠﺔ ﺣﯿﺚ اﻟﺘﻜﺮار اﻟﺠﻤﻠﻲ ‪N = 20‬‬

‫‪- 48 -‬‬

‫اﻟﺘﻜﺮار ﺗﺮاﻛﻤﻲ‬
‫ﻧﺎزل‬
‫‪20‬‬

‫اﻟﺘﻜﺮار‬

‫اﻟﻔﺌﺔ‬

‫‪3‬‬

‫‪20-3=17‬‬

‫‪2‬‬

‫‪17-2=15‬‬

‫‪8‬‬

‫‪15-8=7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪7-5=2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0,1‬‬
‫‪1,2‬‬
‫‪ 2,3‬‬
‫‪ 3,4‬‬
‫‪4,5‬‬

‫‪N=20‬‬

‫اﻟﺘﻜﺮار ﺗﺮاﻛﻤﻲ‬
‫ﺻﺎﻋﺪ‬
‫‪3‬‬

‫اﻟﺘﻜﺮار‬

‫اﻟﻔﺌﺔ‬

‫‪3‬‬

‫‪3+2=5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5+8=13‬‬

‫‪8‬‬

‫‪13+5=18‬‬

‫‪5‬‬

‫‪18+2=20‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0,1‬‬
‫‪1,2‬‬
‫‪ 2,3‬‬
‫‪ 3,4‬‬
‫‪4,5‬‬

‫‪N=20‬‬
‫اﻟﺘﻌﺎﻣﺪ و اﻟﺘﻮازي‬
‫ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮي ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ھﻮ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻛﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺎت ھﺬا اﻟﻤﺴﺘﻮي اﻟﻤﺎرة ﻣﻦ ھﺬه اﻟﻨﻘﻄﺔ‬‫‪ -‬ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻋﻤﻮدي ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ ﻣﺘﻘﺎطﻌﯿﻦ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻮي ھﻮ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ھﺬا اﻟﻤﺴﺘﻮي‪.‬‬

‫ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻋﻤﻮدﯾﺎن ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺴﺘﻮي ھﻤﺎ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺎن‬‫ ﻣﺴﺘﻮﯾﺎن ﻋﻤﻮدﯾﺎن ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ھﻤﺎ ﻣﺴﺘﻮﯾﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺎن‬‫‪- 49 -‬‬

‫‪ P  Δ‬و ’‪ P  Δ‬إذا '‪Δ // Δ‬‬
‫‪ P  Δ‬و ‪ Q  Δ‬إذا ‪Q // P‬‬
‫ﻛﻞ اﻷﻗﻄﺎر ]‪ [DF‬و ]‪ [AG‬و ]‪ [HB‬و ]‪ [EC‬ﻣﺘﻘﺎﯾﺴﺔ‬
‫ ﻓﻲ ﻣﺘﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻼت ‪ّ ABCDEFGH‬‬‫‪2‬‬
‫و ﻗﯿﺲ طﻮل ﻛﻞ ﻗﻄﺮ ﯾﺴﺎوي ‪AB +AE 2 +AD2‬‬
‫ اﻟﮭﺮم اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ ھﻮ ھﺮم ﻗﺎﻋﺪﺗﮫ ﻣﻀﻠﻊ ﻣﺤﺪب ﺣﯿﺚ ﯾﻨﺘﻤﻲ رأﺳﮫ إﻟﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬‫اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮي اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻓﻲ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺤﯿﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﻀﻠﻊ‬
‫ ﻓﻲ اﻟﮭﺮم اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ اﻷوﺟﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ﺗﻤﺜﻞ ﻣﺜﻠﺜﺎت ﻣﺘﻘﺎﯾﺴﺔ و ﻛﻞ ﻣﻨﮭﺎ ﻣﺜﻠﺚ‬‫ﻣﺘﻘﺎﯾﺲ اﻟﻀﻠﻌﯿﻦ ﻗﻤﺘﮫ اﻟﺮﺋﯿﺴﯿﺔ رأس اﻟﮭﺮم‬
‫اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻤﺤﯿﻄﺔ ﺑﻘﺎﻋﺪﺗﮫ‬
‫ ﻓﻲ اﻟﮭﺮم اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ إذا ﻛﺎن ‪ h‬ارﺗﻔﺎﻋﮫ و ‪ R‬ﺷﻌﺎع ّ‬‫ﻓﺈن ﻗﯿﺲ طﻮل ﻛﻞ ﺣﺮف ﻣﻦ أﺣﺮﻓﮫ اﻟﺠﺎﻧﺒﯿﺔ ھﻮ‪h 2 +R 2 :‬‬
‫ّ‬

‫‪- 50 -‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪1‬‬

‫ﻓـﺮض ﻣﺮاﻗـﺒﺔ ‪5‬‬
‫اﻷول‪ 4 ) :‬ن (‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ ّ‬
‫ﺿﻊ اﻟﻌﻼﻣﺔ "×" ﻓﻲ اﻟﺨﺎﻧﺔ اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ ‪:‬‬
‫ﺻﺤﯿﺢ‬

‫ﺧﻄﺄ‬

‫‪ّ (1‬‬
‫ﻛﻞ رﺑﺎﻋﻲ ﻟﮫ زاوﯾﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ ھﻮ ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ‬
‫ّ‬
‫‪ّ (2‬‬
‫ﻣﻌﯿﻦ‬
‫ﻛﻞ رﺑﺎﻋﻲ ﻣﺤﺪب ﻗﻄﺮاه ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان ھﻮ‬

‫‪3‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪4‬‬

‫‪ x  1 ‬ﯾﻌﻨﻲ‬

‫‪5‬‬
‫‪4‬‬

‫‪x‬‬

‫‪11‬‬
‫‪15  3‬‬
‫ﯾﻌﻨﻲ‬
‫‪x  0 (4‬‬
‫‪11‬‬
‫‪15  3‬‬

‫‪x‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ 9 ) :‬ن (‬

‫‪ (1‬ﺣﻞ ﻓﻲ ‪ ‬اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ‪ :‬أ( ‪1  x  3  2x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫ج( ‪ x  1   4‬‬

‫‪3 x 1 1 2 3 x‬‬

‫‪ ,‬ب(‬
‫‪,‬‬

‫د( ‪x  2  5 x   5  x 2  2 ‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ (2‬ﻟﻔﻼح أرض أراد ﺗﻘﺴﯿﻤﮭﺎ ﻋﻠﻰ أﺑﻨﺎﺋﮫ اﻷرﺑﻌﺔ ‪ .‬ﻓﻜﺎﻧﺖ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻛﺎﻷﺗﻲ ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫اﻷول ﯾﻤﺜﻞ‬
‫‪ ‬ﻧﺼﯿﺐ ّ‬
‫‪3‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻷرض‬

‫‪ ‬ﻧﺼﯿﺐ اﻟﺜﺎﻧﻲ ﯾﻤﺜﻞ رﺑﻊ ﻧﺼﯿﺐ اﻷول‬
‫‪ ‬ﻧﺼﯿﺐ اﻟﺜﺎﻟﺚ ﯾﻔﻮق ﻧﺼﯿﺐ اﻟﺜﺎﻧﻲ ﺑــ ‪ 15‬ھﻜﺘﺎرا‬
‫‪ ‬ﻧﺼﯿﺐ اﻟﺮاﺑﻊ ھﻮ ‪ 21‬ھﻜﺘﺎرا‬
‫أ( ﻣﺎ ھﻲ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻷرض ؟‬
‫ب( ﻣﺎ ھﻮ ﻧﺼﯿﺐ ﻛﻞ واﺣﺪ ؟‬
‫‪ (3‬اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ھﻮ ﺷﺒﮫ اﻟﻤﻨﺤﺮف ﻗﺎﺋﻢ‬
‫‪2‬‬
‫أوﺟﺪ ‪ x‬ﺑﺤﯿﺚ ﺗﻜﻮن ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺸﻜﻞ ‪108 cm‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ‪ 7 ) :‬ن (‬
‫ﻻﺣﻆ اﻟﺮﺳﻢ اﻟﺘﺎﻟﻲ ﺣﯿﺚ ‪ AB = 4 cm‬و ‪AC = 8 cm‬‬

‫‪2x-8‬‬

‫‪3x+3‬‬

‫‪x+5‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪ (1‬اﺣﺴﺐ اﻟﺒﻌﺪ ‪ BC‬؟‬
‫‪ (2‬ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪[AC‬‬
‫أ( ارﺳﻢ اﻟﺪاﺋﺮة ‪ C‬اﻟﻤﺤﯿﻄﺔ ﺑﺎﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﺛّﻢ اذﻛﺮ ﻣﺮﻛﺰھﺎ‬
‫ب( ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ H‬ﻣﺴﻘﻂ ﻋﻤﻮدي ﻟـ ‪ B‬ﻋﻠﻰ )‪ .(AC‬اﺣﺴﺐ ‪ HB‬و ‪AH‬‬
‫‪ (3‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ )‪ (BH‬ﯾﻘﻄﻊ اﻟﺪاﺋﺮة ‪ C‬ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﺛﺎﻧﯿﺔ ‪ . F‬ﺑﺮھﻦ ّ‬
‫أن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ ABIF‬ھﻮ ّ‬
‫ﻣﻌﯿﻦ ؟‬
‫‪- 51 -‬‬



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