EPM TD5 Correction .pdf



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Université Abdelhamid Ben Badis
Faculté des Sciences Exactes et de l’Informatique
Département de Mathématiques
Matière : Equations de la Physique Mathématique
Responsable : S. M. Bahri
Série de TD N 5
Equation de Di¤usion
01/12/2016

Solution 1 D’aprés le principe du maximum, u(x; t) = 1 x2 2kt atteind le
maximum au bas ou aux deux côtés.
Quand t = 0; 1 x2 2kt = 1 x2 atteind le maximum en x = 0, i.e.,
1 x2 = 1.
Quand x = 0; 1 x2 2kt = 1 2kt atteind le maximum 1 dans l’intervalle
0 t T.
Quand x = 1; 1 x2 2kt = 2kt atteind le maximum 0 dans l’intervalle
0 t T.
Donc le maximum de u est 1 dans le rectangle fermé f0 x 1; 0 t T g.
Solution 2 (A) Sur les deux côtés latéraux et sur le fond, le minimum et le
maximum de u sont 0 et 1=4, respectivement. Ainsi, par le principe du
maximum, 0 < u(x; t) < 1.
(B) Comme les deux fonctions u(x; t) et u(1 x; t) satisfont l’équation ut =
kuxx et les deux conditions latérales et la condition initiale. Par le théorème
d’unicité de l’équation de di¤ usion,
u(x; t) = u(1
(C) Soit

Nous la di¤ érencions en t,

Donc E(t) décroit pour l’argument t.
1

x; t):

Solution 3 (A) On a ut =

2x et uxx =

2 et donc ut = xuxx .

(B) Pour trouver le max et le min, on doit trouver les points critiques :
ut = 0 = ux ;
ce qui donne x = 0; t = 0. Appliquons la dérivée seconde :
uxx =

2 < 0;

et

Donc t = 0; x = 0 est un point de selle. Il n’y a aucun autre point critique
ainsi les maxima et les minima de u sur le rectangle fermé doivent se
produire sur la frontière.
Solution 4 La solution u satisfait que

pour la première intégrale

De manière similaire, la seconde intégrale égale

2

Donc

Solution 5 Idem que l’exo précédent.
Solution 6 Puisque uxxx (t; x) satisfait la même équation avec la condition initiale 0, l’unicité des solutions signi…e que
uxxx (t; x) = 0:
L’intégration par rapport à x donne alors
u(t; x) = A(t)x2 + B(t)x + C(t):
L’insertion de cette forme dans l’équation de di¤ usion donne

La correspondance des coe¢ cients de puissance de x donne

En particulier A(t) = A et B(t) = B sont des constantes, et

Maintenant, soit t = 0. Nous avons

donc
Cela donne …nalement

Solution 7 (a) La formule générale donne

Utilisons le changement de variables

3

pour avoir

Nous savons déjà que le coe¢ cient intégral de x2 est 1. Puisque l’intégrale
dans le second terme à droite est impair, l’intégrale est 0. Ainsi

(b) On trouve

donc

Solution 8 Nous proposons la substitution

Le remplacement de cette forme de u dans l’équation donne

c’est à dire

Ainsi, v véri…e l’équation de di¤ usion. En posant t = 0, nous trouvons que

En…n, nous avons

4


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