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Transmath cahier3e ldp complet .pdf



Nom original: Transmath_cahier3e_ldp_complet.pdf
Titre: Le cahier Transmath 3e

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Le cahier

Joël Malaval
Annie Plantiveau
Frédéric Puigredo

Le papier de cet ouvrage est composé de fibres naturelles,
renouvelables, fabriquées à partir de bois provenant
de forêts gérées de manière responsable.

3
Nouveau
programme

2016

Sommaire
Nombres et calculs

5 Calculer des probabilités

1 Effectuer des calculs numériques
1. Règles de calcul sur les puissances ................... 6
2. Calculs avec des puissances de 10 .................... 7
3. Notation scientifique ........................................... 8
4. Objectif Brevet ..................................................... 9
5. Perfectionnement ...............................................11

2 Utiliser le calcul littéral pour résoudre
ou démontrer
6. Développer, factoriser ....................................... 12
7. Identités remarquables ...................................... 13
8. Équations du 1er degré à une inconnue........... 14
9. Inéquations du 1er degré à une inconnue........ 15
10. Résoudre des problèmes du 1er degré .......... 16
11. Résoudre des problèmes se ramenant

25. Probabilité d’un événement ........................... 34
26. Événements particuliers ................................. 35
27. Expériences à deux épreuves ......................... 36
28. Avec une calculatrice, avec un tableur .......... 37
29. Objectif Brevet ................................................. 38
30. Perfectionnement ............................................ 40

6 Comprendre et utiliser la notion de fonction
31. Vocabulaire des fonctions et notations .......... 41
32. Définir une fonction avec un graphique........ 42
33. Définir une fonction avec une formule.......... 43
34. Objectif Brevet ................................................. 44
35. Perfectionnement ............................................ 46

7 Relier proportionnalité et fonction linéaire

au 1er degré ...................................................... 17

36. Reconnaître une fonction linéaire .................. 47

12. Objectif Brevet ................................................. 18

37. Calculer une image ou un antécédent ........... 48

13. Perfectionnement ............................................ 20

38. Représenter graphiquement une fonction

3 Découvrir et utiliser les nombres premiers
14. Critères de divisibilité ..................................... 21
15. Nombres premiers .......................................... 22
16. Décomposition en produit de facteurs

premiers ........................................................... 23

linéaire .............................................................. 49

39. Déterminer une fonction linéaire ................... 50
40. Objectif Brevet ................................................. 51
41. Perfectionnement ............................................ 53

8 Connaître les fonctions affines

17. Fraction irréductible ......................................... 24

42. Reconnaître une fonction affine ..................... 54

18. Objectif Brevet ................................................. 25

43. Calculer une image ou un antécédent........... 55

19. Perfectionnement ............................................ 27

44. Représenter graphiquement une fonction

affine ................................................................. 56

45. Coefficient directeur – Ordonnée à l’origine .... 57

orGaNIsatIoN et GestIoN De DoNNÉes
FoNctIoNs

4 Calculer et interpréter des caractéristiques
20. Moyenne, médiane et étendue ...................... 28
21. Interpréter des caractéristiques d’une série.... 29
22. Comparer deux séries statistiques ................ 30

46. Objectif Brevet ................................................. 58
47. Perfectionnement............................................. 60

9 Faire le point sur la proportionnalité
48. Proportionnalité et fonction linéaire .............. 61
49. Proportionnalité et géométrie ........................ 62
50. Proportionnalité, pourcentages et

fonctions linéaires ........................................... 63

23. Objectif Brevet ................................................. 31

51. Objectif Brevet ................................................. 64

24. Perfectionnement ............................................ 33

52. Perfectionnement ............................................ 66

La photocopie de cet ouvrage en tout ou partie n’est pas autorisée
par les Éditions NATHAN. Pour mémoire, la photocopie non
autorisée est un délit punissable par la Loi.
© Éditions Nathan 2016 – ISBN : 978-2-09-171925-2

2

Sommaire
GraNDeurs et mesures

10 Étudier l’effet d’un agrandissementréduction

14 Utiliser la trigonométrie du triangle rectangle
75. Cosinus, sinus, tangente d’un angle aigu ..... 93
76. Cosinus, sinus, tangente : calculs

de longueurs .................................................... 94

53. Agrandissement – réduction .......................... 67

77. Cosinus et sinus : mesures d’angles .............. 95

54. Effets sur les longueurs et les angles ............ 68

78. Utiliser la trigonométrie ................................. 96

55. Effets sur les aires et les volumes.................. 69

79. Objectif Brevet ................................................. 97

56. Objectif Brevet ................................................. 70

80. Perfectionnement ............................................ 99

57. Perfectionnement............................................. 72

esPace et GÉomÉtrIe

11 Utiliser le théorème de Thalès

alGorItHmIQue et ProGrammatIoN

15 Étudier la logique algorithmique
d’un programme

58. Homothéties .................................................... 73

81. Programmer une course ............................... 100

59. Théorème de Thalès......................................... 74

82. Programmer un jeu de tir ..............................101

60. Théorème de Thalès (suite) ............................. 75

83. Programmer une construction

61. Réciproque du théorème de Thalès................ 76
62. Objectif Brevet ................................................. 77
63. Perfectionnement ............................................ 79

géométrique................................................... 102

84. Répéter la simulation d’une expérience

aléatoire.......................................................... 103

85. Perfectionnement .......................................... 104

12 Modéliser une situation spatiale
64. Section d’un prisme droit, d’un cylindre

par un plan ....................................................... 80

65. Section d’un cône, d’une pyramide

par un plan ....................................................... 81

66. Représenter une section de solide

avec GeoGebra ................................................ 82

67. Calculer le volume d’un solide réduit ............ 83
68. Objectif Brevet ................................................. 84

Je me PrÉPare au breVet
La nouvelle épreuve écrite de mathématiques ... 105
Sujet 1 ................................................................... 106
Sujet 2 ................................................................... 109
Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 112

69. Perfectionnement ............................................ 86

13 Connaître et utiliser les triangles semblables
70. Triangles semblables et angles ...................... 87
71. Triangles semblables et longueurs ................. 88
72. Utiliser des triangles semblables................... 89
73. Objectif Brevet ................................................. 90
74. Perfectionnement ............................................ 92

3

Je découvre mon cahier
15 chapitres comprenant 5 à 8 fiches d’exercices

Entraînement
Des exercices
et
avec rappels de cours

• Un espace calcul mental permettant
une pratique régulière en classe.

Objectif brevet
Un QCM et une sélection
de sujets de Brevet

Perfectionnement
Des exercices

Des espaces réservés
aux élèves pour :
• calculer ;
• faire des constructions ;
• rédiger des réponses.

À la fin de chacune
des trois parties,
des pages
consacrées au
socle commun

+

« Je me prépare au brevet »

➤ Pour valider
ses compétences

Présentation de l’épreuve et conseils
● 2 sujets de Brevet


À la fin du cahier
10 tâches
complexes
➤ Pour aborder des
résolutions de problèmes

Effectuer des calculs
numériques

CHAPITRE

FICHE

1

CALCUL
MENTAL

● ..... . . . . . . . . .

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

1 Règles de calcul sur les puissances


a désigne un nombre relatif et n un nombre entier positif.

1
(a ≠ 0)
an
n facteurs
● Pour calculer des expressions comprenant des puissances, on revient à la définition.
Néanmoins, petit à petit, on peut mémoriser les propriétés ci-dessous.
a, b désignent des nombres relatifs et m, n des nombres entiers relatifs.

an = a
×a×
× a (n 2)
…


am × an = am + n

a1 = a

a0 = 1 (a ≠ 0)

a m = am – n (a ≠ 0)
an

a– n =

(a × b)m = am × bm

(am)n = am × n

Priorités opératoires
Pour calculer une expression numérique sans parenthèses, on effectue d’abord les puissances, puis les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions.



1

a. 53 = 5 × 5 × 5 = 125

2

6

b. 5– 2 =

1
1
2 = 25
5

b. 72 × 7 × 73 = 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7

= 37
= 76

Compléter.
56 ........................................
5 5 5 5 5 5
..
=
= 52
5 5 5 5
..
54 ........................................

a.

A = 20 – 3 × 8
A = 20 – 24
A = –4

Compléter.

a. 35 × 32 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3

3

A = 20 – 3 × 23
Calculer A et B à la main.

Compléter.

B = (5 + 9) × 10
B = 14 × 10
B = 140

7

C = 3 × 52 + 4
D = (3 × 5)2 + 4
2
E = 3 × (5 + 4)
F = 3 × (4 + 5)2
Calculer C, D, E et F à la main.
Contrôler à la calculatrice.

2 2
1
22 ........................................
..
b. 5 =
=
= 2– 3
2 2 2 2 2
........................................
. . 23
2

4

B = (5 + 32) × 10

Compléter.

C = 3 × 25 + 4
C = 75 + 4
C = 79

D = 152 + 4
D = 225 + 4
D = 229

E = 3 × (25 + 4)
E = 3 × 29
E = 87

F = 3 × 92
F = 3 × 81
F = 243

a. 43 × 53 = 4 × 4 × 4 × 5 × 5 × 5
43 × 53 = ( 4 × 5 )3 c’est-à-dire que 43 × 53 = 203
43 × 53 = 8 000
b. (7 × 6)4 = ( 7 × 6 ) × ( 7 × 6 ) × ( 7 × 6 ) × ( 7 × 6 )
(7 × 6)4 = 7 × 7 × 7 × 7 × 6 × 6 × 6 × 6
(7 × 6)4 = 74 × 64

5

Compléter.

a. (53)2 = 53 × 53 = 53 + 3 = 56
b. (25)3 = 25 × 25 × 25 = 25 + 5 + 5 = 215

6

8

Écrire avec une seule puissance de 2.

a. 215 × 211 = 215 + 11 = 226 b. 25 × 2– 7 = 25 + (– 7) = 2–2
2
28
c. 14 = 28 – 14 = 2–6
d. −5 = 21– (–5) = 26
2
2
e. (27)2 = 27 × 2 = 214
f. 85 = (23)5 = 23 × 5 = 215

9

Entourer les nombres égaux à 620.
• 619 × 6
613
• 6– 7

• 210 × 310
• (65)4

• 220 + 320
619 × 65

64

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

FICHE

CALCUL
MENTAL

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

2 Calculs avec des puissances de 10


n désigne un nombre entier (n 1).

10n = 10 × 10 × … × 10 = 10 … 0
n facteurs



1

10–n =

n zéros

n chiffres

m et n désignent deux nombres entiers relatifs.
10m
10m × 10n = 10m + n

= 10m – n
10n



1 L d’air pèse environ 1,3 g.
La masse moyenne d’une des molécules qui le
constituent est environ 25 × 10– 24 g.
Calculer le nombre N de molécules contenues
dans un litre d’air.

Écrire sous la forme d’une puissance de 10.

a. Cent mille : 105

N=

b. Un dix-millième : 10– 4

3

Une formule 1 met 13,4 × 10– 3 s
pour parcourir 1 m.
Un escargot met
7,2 × 104 s pour
parcourir 100 m.
Donner l’écriture
décimale de ces durées.

• 13,4 × 10– 3 s = 0,013 4 s
• 7,2 × 104 s = 72 000 s
Compléter avec une puissance de 10.

a. 1 cm = 10– 5 km

b. 1 hm = 103 dm

c. 1 dm2 = 10– 2 m2

d. 1 m2 = 104 cm2

e. 1 m3 = 103

f. 1 cm3 = 10– 6 m3

dm3

5

Écrire sous la forme 10p où p est un nombre
entier relatif.

1,3
1,3
=
× 10 24
25 × 10– 24 25

N = 0,052 × 1024 = 52 × 10– 3 × 1024
N = 52 × 10– 3 + 24 = 52 × 1021
Il y a 52 × 1021 molécules dans 1 L d’air.

c. Un centième : 10– 2 d. Un million : 106

4

(10m)n = 10m × n

6

Compléter.

a. 104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000
1
1
=
b. 10–3 =
= 0,001
10 3 1 000

2

1
= 0,0 … 01
10n

7

L’épaisseur d’une feuille de papier est
100 micromètres (1 micromètre = 1 µm = 10– 6 m).
a. Calculer la hauteur h, en m, d’une pile de
500 de ces feuilles.
b. Une pile de ces feuilles a une hauteur de 80 cm.
Combien contient-elle de feuilles ?

a. 100 µm = 100 × 10– 6 m = 102 × 10– 6 m
Donc 100 µm = 102 + (– 6) m = 10– 4 m
h = 500 × 10– 4 m = 5 × 102 × 10– 4 m
h = 5 × 102 + (– 4) m = 5 × 10–2 m ou h = 0,05 m
La hauteur de la pile est 0,05 m.
b. 80 cm = 0,8 m
0,8
= 0,8 × 104 = 8 × 10– 1 × 104
10– 4
0,8
Donc – 4 = 8 × 10– 1 + 4 = 8 × 103
10
La pile contient 8 000 feuilles.

a. 103 × 102 = 103 + 2 = 105
b. 1 000 × 10– 5 = 103 × 10– 5 = 103 + (– 5) = 10– 2
c. 0,01 × 109 = 10– 2 × 109 = 10– 2 + 9 = 107
100 102
d. 7 =
=102 –7 = 10– 5
107
10
10–2
e.
= 10– 2– (– 3) =101 = 10
10–3
f. (10– 3)2 = 10– 3 × 2 =10– 6
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

8

Donner l’écriture décimale de A =

4,8 × 1014
.
(108 × 4)2

4,8 × 1014
4,8 × 1014
=
8
2
2
(10 ) × 4
108 × 2 × 16
4,8 × 1014 4,8 1014
A=
=
×
= 0,3 × 1014 – 16
1016 × 16 16 1016

A=

A = 0,3 × 10– 2

Donc A = 0,003.

Chapitre 1 ● Effectuer des calculs numériques

7

FICHE

CALCUL
MENTAL

● ..... . . . . . . . . .

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

3 Notation scientifique
La notation scientifique d’un nombre décimal différent de 0 est la seule écriture de la forme
a × 10n où :



• a est un nombre décimal écrit avec un seul chiffre autre que 0 avant la virgule ;
• n est un nombre entier relatif.
14 300 = 1,430 0 × 104 soit 14 300 = 1,43 × 104

1

Donner la notation scientifique du nombre.

a. 8 193,4 = 8,193 4 × 103
b. 0,000 82 = 8,2 × 10– 4

2

A = 0,047 3 × 106

B = 735 × 10– 4

a. Donner les écritures décimales de A et B.

A = 47 300

B = 0,073 5

b. En déduire les notations scientifiques de A et B.

A = 4,73 × 104

B = 7,35 × 10– 2

3

C = 42 × 106
D = 2 350 × 10– 9
On se propose de donner la notation scientifique
de C et de D. Compléter.
C = 4,2 × 101 × 106

D = 2,350 × 103 × 10– 9

C = 4,2 × 101 + 6

D = 2,350 × 103

C = 4,2 × 107

D = 2,350 × 10– 6

+ (– 9)

4

On estime qu’en 2015
les 0,735 × 1010 êtres humains
ont envoyé 4 200 × 109 SMS.
Un SMS a donc été envoyé
toutes les 751 × 10– 8 s.
Donner la notation scientifique
de chaque nombre écrit en gras.

• 0,735 × 1010 = 7,35 × 10– 1 × 1010 = 7,35 × 109 
• 4 200 × 109 = 4,2 × 103 × 109 = 4,2 × 1012
• 751 × 10– 8 = 7,51 × 102 × 10– 8 = 7,51 × 10– 6

5

On compte 745,6 millions d’Européens.

1. Compléter l’écriture de ce nombre.
a. 745,6 × 106

b. 7,456 × 108

c. 74 560 × 104

d. 0,074 56 × 1010

2. Entourer la notation scientifique.

8

0,075 = 007,5 × 10– 2 soit 0,075 = 7,5 × 10– 2

6

Voici les diamètres de deux
types de bactéries et de deux virus.
• Bactérie typique : 0,2 × 10– 7 m ;
• Nano bactérie : 50 × 10– 9 m ;
• Virus de la varicelle : 1 750 × 10– 10 m ;
• Virus de la gastroentérite : 0,017 × 10– 6 m.
Donner la notation scientifique de chaque diamètre,
puis ranger ces diamètres dans l’ordre croissant.

• 0,2 × 10– 7 = 2 × 10– 1 × 10– 7 = 2 × 10– 8
50 × 10– 9 = 5 × 101 × 10– 9 = 5 × 10– 8
1 750 × 10– 10 = 1,75 × 103 × 10– 10 = 1,75 × 10– 7
0,017 × 10– 6 = 1,7 × 10– 2 × 10– 6 = 1,7 × 10– 8
• Les diamètres sont exprimés avec la même unité.
Dans l’ordre croissant :
1,7 × 10– 8 < 2 × 10– 8 < 5 × 10– 8 < 1,75 × 10– 7

7

On considère les nombres :
A = 810,70 × 10– 9 et B = 5 127 × 105

a. Déterminer la notation scientifique de A, puis de B.
b. Encadrer A et B par deux puissances de 10
d’exposants consécutifs.

a. A = 8,107 × 102 × 10– 9 soit A = 8,107 × 10– 7
B = 5,127 × 103 × 105 soit B = 5,127 × 108
b. 10– 7 < A < 10– 6 et 108 < B < 109.

8

On estime qu’un grain de sable a
un volume de 0,18 mm3. Donner un
ordre de grandeur du nombre de grains
de sable que peut contenir le seau
d’Alix qui a une capacité de 1 L.

• 1 L = 1 dm3 = 1 000 000 mm3 = 106 mm3
0,18 mm3 ≈ 0,2 mm3 soit 0,18 mm3 ≈ 2 × 10– 1 mm3.
106
1 106

= ×
= 0,5 × 106 – (– 1) = 0,5 × 107
2 × 10– 1 2 10– 1
0,5 × 107 = 5 × 10– 1 × 107 = 5 × 106
Il y a environ 5 millions de grains de sable.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

4

Objectif brevet

Sélection de sujets de Brevet

Voici un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).

QCM

Bilan .. ... / 5

A

3– 2 × 33 – 3 = …

0

30

3– 5

B

28
(26)2 = …

20

2– 4

–16

77

125

227

7,852 × 10– 10

7,852 × 10– 6

7 852 × 10– 9

1017 < A < 1018

10– 9 < B < 10– 8

10– 8 < B < 10– 7

C

D
E

A = 2 + 3 × 52
A est égal à…
La notation scientifique de
785,2 × 10– 8 est…
A = 203 × 1015

B = 0,096 × 10– 6

Alors…

1 Comprendre une situation
Un candidat à un jeu gagne 3 € à la première
bonne réponse, puis son gain est triplé à chaque
bonne réponse suivante.
Au bout de combien de bonnes réponses son
gain dépassera-t-il 50 000 € ?

Avec la calculatrice, on obtient 39 = 19 683
et 310 = 59 049.
Donc son gain dépassera 50 000 € au bout de
10 bonnes réponses.

2 Étudier une égalité
a. L’égalité 105 + 10– 5 = 1 est-elle vraie ?
1017 + 3
b. L’égalité 1017 = 1 est-elle vraie ?

3 Gérer un calcul
131,2 – 2 × 43
52 – 32
Calculer A en détaillant les étapes de calcul.

A=

131,2 – 2 × 4 × 4 × 4
25 – 9
131,2 – 128
A=
25 – 9
3,2
A=
16
A = 0,2
A=

4 Donner la notation scientifique
Donner la notation scientifique de :
a. 65 100 000

b. 0,007 23

c. 102 × 21 × 10– 7

d. (4 × 107)2
D’après DNB

a. 105 + 10– 5 = 100 000 + 0,000 01
donc 105 + 10– 5 = 100 000,000 01
Donc l’égalité est fausse.
1017 + 3 1017
3
3
= 17 + 17 = 1 + 17
1017
10
10
10
3
1 + 17 ≠ 1.
10

b.

Donc l’égalité est fausse.

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

a. 6,51 × 107
b. 7,23 × 10– 3
c. 102 × 21 × 10– 7 = 21 × 102 + (– 7) = 21 × 10– 5
ou 2,1 × 101 × 10– 5 = 2,1 × 101 + (– 5) = 2,1 × 10– 4
La notation scientifique est 2,1 × 10– 4.
d. (4 × 107)2 = 42 × (107)2 = 16 × 107 x 2
16 × 1014 = 1,6 × 101 × 1014 = 1,6 × 101 + 14
soit 1,6 × 1015
La notation scientifique est 1,6 × 1015.

Chapitre 1 ● Effectuer des calculs numériques

9

Objectif brevet

5 Calculer avec des puissances de 10
Donner l’écriture décimale puis la notation
scientifique de A et de B.
6 × 10−3 × 28 × 10−2
15 − 9 × 10−3
B
=
A=
14 × 10−3
3 × 102
D’après DNB

•A=

15 0,009 14,991
=
= 0,049 97
300
300

L’écriture décimale est 0,049 97.
La notation scientifique est 4,997 × 10– 2.
6 28 10 3 10 2
•B=
14
10 3
6 2 14
•B=
× 10– 2 = 12 × 10– 2 = 0,12
14
L’écriture décimale est 0,12.
La notation scientifique est 1,2 × 10– 1.

6 Extraire l’information
Voici un article du site « Imagimath » :
En 2015, on estime que les 7,35 milliards d‛humains
ont consommé 4,851 × 1012 litres d‛eau (uniquement
pour se désaltérer).
Les eaux en bouteille représentaient environ 0,2 %
de cette consommation.

On donne : 1 To (téraoctet) = 1012 octets
et 1 Go (gigaoctet) = 109 octets.
On partage un disque dur de 1,5 To
en dossiers de 60 Go chacun.
Combien de dossiers obtient-on ?

D’après DNB

• 1,5 To = 1,5 × 1012 octets
1,5 To = 1,5 × 103 × 109 octets
1,5 To = 1 500 Go
La capacité du disque dur est 1 500 Go.
• 1 500 : 60 = 25.
Donc on obtient 25 dossiers de 60 Go.

8 Justifier un résultat
Voici trois calculs effectués à la calculatrice.
Détailler ces calculs afin de comprendre les
résultats donnés par la calculatrice.
a. 8 × 1015 + 2 × 1015 = 1016
– 34 + 2 × (2 – 11)
b.
= – 11
32
c. 0,000 78 × 10– 2 = 7,8 × 10– 6

a. 8 × 1015 + 2 × 1015 = (8 + 2) × 1015
(8 + 2) × 1015 = 10 × 1015 = 101 + 15 = 1016

a. Calculer la consommation
journalière moyenne d’une
personne en eau, pour se
désaltérer.

– 34 + 2 × (2 – 11) – 81 + 2 × (– 9)
=
32
9
– 81 + (– 18)
– 99
soit
=
= – 11
9
9

b. Quel volume d’eau en bouteille,
en m3, a été consommé en 2015 ?

c. 0,000 78 × 10– 2 = 7,8 × 10– 4 × 10– 2
soit 7,8 × 10– 4 + (– 2) = 7,8 × 10– 6.

a. 7,35 milliards = 7,35 × 109
4,851 × 1012 4,851 1012
=
×
= 0,66 × 1012 – 9
7,35 × 109
7,35
109
ou 0,66 × 103 = 660
Donc une personne boit en moyenne 660 litres
d’eau par an.
660
≈ 1,8.
365
Donc une personne boit en moyenne 1,8 litre d’eau
par jour.
b. • 4,851 × 1012 L = 4,851 × 109 m3.
0,2
• =
× 4,851 × 109= 0,009 702 × 109
100
• = 9,702 × 10– 3 × 109 = 9,702 × 106
Donc 9,702 millions de m3 d’eau en bouteille ont
été consommés en 2015.

10

7 Utiliser différentes unités

b.

9 Tester une expression littérale
E = – 3x2 – 5x + 4
a. Vérifier que pour x = 2 on obtient E = – 18.
b. Quel résultat trouve-t-on pour x = – 3 ?

a. E = – 3 × 22 – 5 × 2 + 4
E = – 3 × 4 – 10 + 4 = – 12 – 10 + 4 = – 22 + 4
E = – 18
b. E = – 3 × (– 3)2 – 5 × (– 3) + 4
E = – 3 × 9 +15 + 4 = – 27 + 15 + 4 = – 12 + 4
E = –8

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

FICHE

CALCUL
MENTAL

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

5 Perfectionnement
1

Le grossissement d’un microscope est 2 × 105.
Le plus grand virus à ADN jamais identifié, appelé
mimivirus, a un diamètre de 4 × 10 – 7 m.
Quel est le diamètre d de ce mimivirus lorsqu’on
l’observe au microscope ?

d = 2 × 105 × 4 × 10– 7 = 2 × 4 × 105 × 10– 7
d = 8 × 105 + (– 7) = 8 × 10–2 = 0,08
Le diamètre observé est 0,08 m soit 8 cm.

2

a. Sur cet écran d’ordinateur, la taille d’un
pixel est 435,6 ×10– 9 m2.
42,4 cm

3

Le Soleil est une étoile
de diamètre 1,4 × 106 km
et vieille de 4,6 × 109 années.
Avec ses 1,41 × 1018 km3
de volume, il pèse 2 × 1030 kg.
La température s’élève en son centre
à 15 × 106 °C.
La Terre et ses 6 × 1024 kg en est distante
de 150 × 106 km.

Combien de fois le Soleil est-il plus lourd que la
Terre ?

2 × 1030 2 1030 1
1
30 – 24 = × 106
3
6 × 1024 = 6 × 1024 = 3 × 10
1 000 000
soit environ 333 333.
c’est-à-dire
3
Donc le Soleil est environ 300 000 fois plus lourd
que la Terre.

31 cm

4

1. Un carré a pour périmètre 219 cm.
Exprimer sous la forme d’une puissance de 2 :
a. la longueur du côté de ce carré ;

Donner un ordre de grandeur du nombre
de pixels sur cet écran.
b. En prenant comme ordre de grandeur
le nombre de pixels trouvé précédemment,
donner un ordre de grandeur du nombre
de pixels des 41 × 107 écrans d’ordinateurs
vendus dans le monde en 2015.

a. • 42,4 cm × 31 cm = 1 314,4 cm2.
L’aire de l’écran est 1 314,4 cm2.
• 435,6 × 10– 9 m2 = 435,6 × 10– 9 × 104 cm2
ou 435,6 × 10– 9 + 4 = 435,6 × 10– 5 cm2
1314,4
1314,4

=
105
435,6 10 5 435,6
On trouve environ 3 × 105.
Donc il y a environ 300 000 pixels sur
cet écran.
b. 41 × 107 × 3 × 105 = 41 × 3 × 107 + 5
= 123 × 1012.
12
Cela fait 123 × 10 pixels, soit environ
123 000 milliards de pixels.

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

b. l’aire de ce carré.
2. Quelle est la longueur du côté d’un carré
d’aire 912 cm2 ?
3. Une arête d’un cube mesure 6 × 10– 9 m.
a. Quelle est l’aire d’une face ?
b. Quel est le volume de ce cube ?
4. Le volume d’un cube est 715 dm3.
Quelle est la longueur d’une arête ?

1. a.

219 219 19 – 2 17
=
=2
=2
4 22

La longueur du côté de ce carré est 217 cm.
b. (217)2 = 217 × 2 = 234
L’aire de ce carré est 234 cm2.
2. 912 = 96 × 2 = (96)2
Donc la longueur du côté est 96 cm.
3. a. (6 × 10– 9)2 = 62 × 102 × (– 9) = 36 × 10– 18
L’aire d’une face est 36 × 10– 18 m2.
b. = 36 × 10– 18 × 6 × 10– 9
= 36 × 6 × 10– 18 + (– 9) = 216 × 10– 27
Le volume du cube est 216 × 10– 27 m3.
4. 715 = 75 × 3 = (75)3
Donc la longueur d’une arête est 75 dm.
Chapitre 1 ● Effectuer des calculs numériques

11

Utiliser le calcul littéral
pour résoudre ou démontrer

CHAPITRE

FICHE

2

CALCUL
MENTAL

● ..... . . . . . . . . .

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

6 Développer, factoriser


Développer, c’est transformer un produit en une somme algébrique.
Produit

k (a + b) = ka + kb

• (a + b)(c + d ) = ac + ad + bc + bd


1

ka + kb = k (a + b)

b. 2(5 − 3x) = 2 ×

5 − 2 × 3x = 10 – 6x

c. 4y (5 – 2y) = 4y × 5

– 4y × 2y

b. Abdel affirme « Ce programme revient à
multiplier par 3. » Prouver qu’Abdel a raison.

C = 2x2 + 5x + 6x + 15
C = 2x2 + 11x + 15
b. Développer D = (x − 4)(x + 6).

a. • 4
•4+3=7
• 7 × 4 = 28
2
• 28 – 4 = 28 – 16 = 12
Si on choisit 4, on obtient 12.
b. On note x le nombre choisi.
•x
•x +3
• (x + 3) x
• (x + 3) x – x2
2
2
On obtient : N = (x + 3) x – x = x + 3x – x2
N = 3x
Donc Abdel a raison.

D= x×x+x×6–4×x–4×6
D =  x2 + 6x – 4x – 24
D =  x2 + 2x – 24

Compléter ces factorisations.
x +5× 3

= 5( x

+ 3 )

b. 7y2 – 2y = y × 7y – y × 2

= y( 7y – 2 )

c. a – 5a 2 = a × 1 – a × 5a

= a( 1 – 5a )

Dans chaque cas, factoriser l’expression.

a. 3x + x 2 = 3 × x + x

× x = x ( 3 + x)

b. 8y 2 – 5y = 8y × y – 5 × y = y (8y – 5)

5

A = 5x B = 9 + 6x C = 3(2x – 1) D = x2 – 3x

Entourer les expressions factorisées, puis
factoriser les autres expressions.

B = 3 × 3 + 3 × 2x = 3(3 + 2x)
D = x × x – 3 × x = x(x – 3)

Choisir un nombre.
Additionner 3.
● Multiplier par le nombre choisi.
● Soustraire le carré du nombre choisi.


a. Quel nombre obtient-on si l’on choisit 4 comme
nombre de départ ?

C = x × 2x + x × 5 + 3 × 2x + 3 × 5

4

Voici un programme de calcul.


= 20y – 8y2

a. Développer C = (x + 3)(2x + 5).

a. 5x + 15 = 5 ×

Produit

6

Compléter ces développements.

2x + 3 × 7 = 6x + 21

3

k, a et b nombres relatifs

a, b, c et d désignent des nombres relatifs

a. 3(2x + 7) = 3 ×

2

Somme algébrique

Factoriser, c’est transformer une somme algébrique en un produit.
Somme algébrique

12

● ..............

7

La somme des aires des deux rectangles cidessous est égale à l’aire d’un rectangle dont un
côté mesure 3a.
Calculer la deuxième dimension de ce rectangle.
3a
a
a+2

3

• Somme S des aires des deux rectangles.
S = 3a(a + 2) + 3a donc S = 3a2 + 6a + 3a
S = 3a2 + 9a. On factorise S.
S = 3a × a + 3a × 3 soit S = 3a(a + 3).
• La deuxième dimension du rectangle est a + 3.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

FICHE

CALCUL
MENTAL

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

7 Identités remarquables

1

Développement

Développement

Développement

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a + b)(a – b) = a2 – b2

Factorisation

Factorisation

Factorisation

6

Compléter ces développements.

(x + 6)2 = x
(a – 7)2 = a

2
2

Choisir un nombre

+ 2 × x × 6 + 6 2 = x2 + 12x + 36
–2× a × 7 + 7

2

Ajouter 4

= a2 – 14a + 49

(x – 3)(x + 3) = x 2 – 3 2 = x2 – 9

2

Sophie affirme : « Ce programme revient à
soustraire 16 au carré du nombre choisi. »
Sophie a-t-elle raison ?

)2 + 2 × 5y × 4 + 4

5y

2

(5y + 4)2 = 25y2 + 40y + 16
b. (3b – 5)2 = (

)2 – 2 × 3b × 5 + 5

3b

(3b – 5)2 = 9b2 – 30b + 25
c. (7 + 9x)(7 – 9x) = 7

2

7

On a découpé un petit
carré dans un carré vert
en carton.

Compléter ces factorisations.

b. x2 – 10x + 25 = ( x – 5 )2

d. 81 − y2 = 9

4

2

– y

= ( x + 6 )( x – 6 )
2

x+1
5

a. Exprimer l’aire du carton
vert restant sous la forme d’une
différence de deux carrés.

a. x2 + 6x + 9 = ( x + 3 )2

2

2

On note x le nombre choisi.
Le nombre N obtenu est
N = (x + 4)(x – 4) = x2 – 42 = x2 – 16
Donc Sophie a raison.

– ( 9x )2

(7 + 9x)(7 – 9x) = 49 – 81x2

c. x2 – 36 = x2 – 6

Soustraire 4

Multiplier ces deux nombres

Compléter ces développements.

a. (5y + 4)2 = (

3

Voici un programme de calcul :

= ( 9 + y )( 9 – y )

Retrouver les termes manquants.

b. Factoriser l’expression précédente pour
exprimer sous la forme d’un produit.

a. = (x +1)2 – 52
b. = (x + 1 + 5)(x + 1 – 5)
= (x + 6)(x – 4)

a. (x – 8 )(x + 8 ) = x2 – 64
b. (y – 6 )2 = y

2

– 12y + 36

8

Calculer 572 – 432 à l’aide d’une seule
multiplication.

c. ( 5x + 7 )2 = 25x2 + 70x + 49

5

Reconnaître une différence de deux carrés
puis factoriser.
D = (x – 2)2 – 9 donc D = (x – 2)2 –
D=( x – 2+

3

2

572 – 432 = (57 – 43)(57 + 43)
= 14 × 100
= 1 400

3 )( x – 2 – 3 )

D = ( x + 1 )( x – 5 )
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

Chapitre 2 ● Utiliser le calcul littéral pour résoudre ou démontrer

13

FICHE

CALCUL
MENTAL

● ..... . . . . . . . . .

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

8 Équations du 1er degré à une inconnue
● Une équation du premier degré à une inconnue ax + b = cx + d (avec a ≠ c) admet une solution
et une seule.

Résolution de l’équation 5x – 1 = x – 9.
5x – 1 = x – 9
On soustrait x à chaque membre : 5x – 1 – x = x – 9 – x
4x – 1 = – 9
On ajoute 1 à chaque membre : 4x – 1 + 1 = – 9 + 1
4x = – 8
4x – 8
=
On divise par 4 chaque membre :
4
4
x = –2
– 2 est la solution de l’équation 5x – 1 = x – 9.


1

4

Compléter.

a. Si x est un nombre tel que x + 4 = 3, alors
x + 4 – 4 = 3 – 4 c’est-à-dire x = – 1

.

b. Si x est un nombre tel que 4x = 3, alors
4x
3
=
c’est-à-dire x = 0,75
4
4
c. Si y est un nombre tel que y – 3 = 7, alors
y – 3 + 3 = 7 + 3 c’est-à-dire y = 10
1
d. Si y est un nombre tel que y = 5, alors
3
1
3 × y=
3×5
c’est-à-dire y = 15
3

2

Compléter ces deux méthodes de résolution
de l’équation 4t + 17 = 5.
Avec un schéma :
Algébriquement :
×4
+ 17
4t + 17 − 17 = 5 − 17

−3

5

−12
4

4t = − 12

−17

4t – 12
=
4
4

t = −3

3

Compléter la résolution de l’équation :
24 – t = – 7t.
24 – t + t = – 7t + t

24 = – 6t
24 – 6t
=
–6 –6

.

.

Résoudre l’équation 8x – 2 = 3x + 26.

8x – 2 = 3x + 26
8x – 2 – 3x = 3x + 26 – 3x
5x – 2 = 26
5x – 2 + 2 = 26 + 2
5x = 28
5x 28
=
5
5
x = 5,6
La solution de l’équation est 5,6.

.

5

Adam affirme : « Les équations 4x – 7 = 5x – 9
et 10y – 9 = 4y + 3 ont la même solution. »
A-t-il raison ? Justifier.

• Résolution de l’équation 4x – 7 = 5x – 9.
4x – 7 – 4x = 5x – 9 – 4x
–7 = x – 9
– 7 + 9 = x – 9 + 9
x=2
La solution de l’équation est 2.
• 2 est-il solution de l’équation 10y – 9 = 4y + 3 ?
On remplace y par 2 dans chaque membre :
10y – 9 = 10 × 2 – 9 = 20 – 9 = 11
4y + 3 = 4 × 2 + 3 = 8 + 3 = 11
L’égalité est vérifiée pour y = 2,
donc 2 est solution de l’équation 10y – 9 = 4y + 3.
• Les deux équations ont la même solution : 2.
Adam a raison.

t = –4

La solution de l’équation est – 4.

14

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

FICHE

CALCUL
MENTAL

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

9 Inéquations du 1er degré à une inconnue
Pour résoudre une inéquation du premier degré, on utilise les règles suivantes :


On additionne ou on soustrait un même nombre aux deux membres de l’inéquation.



On multiplie ou on divise les deux membres de l’inéquation :
● par un même nombre strictement positif
en conservant le sens de l’inégalité ;

1

x désigne un nombre relatif.
Dans chaque cas, lire silencieusement l’inégalité
et proposer deux valeurs de x qui conviennent.
a. x 3

b. x – 2

c. x 6

 5 ; 10 

 – 4 ; – 2 

 6 ; 7,5 

● par un même nombre strictement négatif
mais en changeant le sens de l’inégalité.

6

Compléter la résolution de l’inéquation :
3x + 6 7x.

3x – 3x + 6 7x – 3x

d. x – 3

6 4x

4x
6

4
4

 – 4 ; – 20 

x 1,5

2

a. Remplacer x par 8 pour montrer que 8 est
solution de l’inéquation 3x – 19 x – 7.


3x – 19 = 3 × 8 – 19 = 5



x – 7 = 8–7 = 1

5 1 donc 8 est solution de cette inéquation.

Les solutions sont les nombres

supérieurs à 1,5.

7

strictement

Résoudre l’inéquation : 13 + x 3 – 4x.

b. 2 est-il solution de l’inéquation 3x – 19 x – 7 ?

13 + x + 4x 3 – 4x + 4x
13 – 13 + 5x 3 – 13
5x – 10
x –2
Les solutions sont les nombres inférieurs
ou égaux à – 2.

Pour x = 2 :

• 3x – 19 = 3 × 2 – 19 = – 13
• x – 7 = 2 – 7 = –5
– 13 – 5 donc 2 n’est pas solution.

3

Dire si le nombre 0,8 est solution de
l’inéquation : 5 – 2x 1 + 3x.

8

Résoudre l’inéquation : 4(2x – 7) x.

Pour x = 0,8 :

• 5 – 2x = 5 – 2 × 0,8 = 3,4
• 1 + 3x = 1 + 3 × 0,8 = 3,4
3,4 3,4 donc 0,8 est solution.

4

Compléter.

a. x – 5 2 donc x – 5 + 5 2 + 5 soit x 7 .
3x
15
b. 3x 15 donc

soit x 5 .
3
3
– 4x
24

soit x – 6 .
c. – 4x 24 donc
–4
–4

5

4 (2x – 7) x
8x – 28 x
8x – x – 28 x – x
7x – 28 0
7x 28
x 4
Les solutions de l’inéquation sont les nombres
strictement inférieurs à 4.

x désigne un nombre relatif tel que 2x – 5 3

a. Ajouter 5 à chaque membre de cette inégalité.
On obtient une nouvelle inégalité : 2x 8
8
2x
b. Compléter :

c’est-à-dire x 4

2

2

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

9

Relier chaque inéquation à la représentation de
ses solutions sur une droite graduée (en rouge) :
x–1 2


0

3

– 5x – 15


0

3

7 x+4


0

3

Chapitre 2 ● Utiliser le calcul littéral pour résoudre ou démontrer

15

FICHE

CALCUL
MENTAL

● ..... . . . . . . . . .

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

10 Résoudre des problèmes du 1er degré
1

Nour achète un collier et un bracelet ; elle
paie 23,50 €. Le collier coûte 11,90 € de plus que
le bracelet. Quel est le prix du bracelet ?
1. Utiliser ce schéma pour répondre.
Bracelet
Collier

23,50
11,90

23,50 – 11,90 = 11,60 et 11,60 : 2 = 5,80
Le bracelet coûte 5,80 €.

2. a. Alma a écrit l’équation 2x + 11,9 = 23,5 pour
traduire cet exercice. Que représente x ?
b. Résoudre l’équation d’Alma puis conclure.

a. x représente le prix du bracelet.
b. 2x + 11,9 – 11,9 = 23,5 – 11,9
2x = 11,6
x = 5,8
Le bracelet coûte 5,80 €.

2

Ces deux figures ont le même périmètre.
12 c

m

3

Des amis donnent 14 €
chacun pour offrir un cadeau.
Six amis se joignent au groupe.
Enzo dit alors : « À présent, il nous
suffit de donner 10 € chacun. »
Combien y avait-il d’amis au départ ?

➊ Choix de l’inconnue
Que cherche-t-on ?
Le nombre d’amis au départ.
On note x cette inconnue.

➋ Mise en équation
Exprimer en fonction de x :


le nombre d’amis en tout : x + 6



le prix du cadeau

– si chacun donne 14 € : 14x
– si chacun donne 10 € : 10(x + 6)
Quelle équation traduit la situation ?

14x = 10(x + 6)

➌ Résolution de l’équation
14x = 10x + 60
14x – 10x = 10x – 10x + 60
4x = 60
x = 15

➍ Conclusion
1. Compléter puis calculer la longueur du côté
du carré.
« Trois côtés du carré font 24 cm ».

a. Que représente x ?
b. Résoudre l’équation de Marion et conclure.

a. x représente la longueur du côté du carré
(en cm).
b. 4x – x = x – x + 24
3x = 24
x=8
La longueur du côté du carré est 8 cm.

16

L’unité de longueur est le centimètre.
B
x désigne un nombre positif.
2
Pour quelles valeurs de x
+
x
le périmètre du triangle ABC
est-il supérieur ou égal à 21 cm ? C
x+3

1

2. Marion a écrit l’équation : 4x = x + 12 + 12.

4

x+

24 : 3 = 8 donc le côté du carré mesure 8 cm.

Au départ, il y avait 15 amis.

A

On résout l’inéquation :
x + 3 + x + 2 + x + 1 21
3x + 6 21
3x + 6 – 6 21 – 6
3x 15
x 5
Le périmètre du triangle ABC est supérieur ou égal
à 21 cm pour les valeurs de x supérieures ou égales
à 5.

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

FICHE

CALCUL
MENTAL

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

11 Résoudre des problèmes se ramenant au 1er degré
a, b, c, d désignent des nombres.
Les solutions de l’équation « produit nul » (a x + b)(c x + d ) = 0 sont les nombres x tels que :
ax + b = 0

1

a. Pour quelle valeur de x le produit 4 × x
est-il nul ? Ce produit est nul pour x = 0.

ou

c x + d = 0.

5

On se propose de résoudre l’équation
5x2 + 10x = 0.

b. Pour quelle valeur de x le produit 4 × (x – 3)
est-il nul ? Ce produit est nul pour x – 3 = 0
c’est-à-dire pour x = 3.

a. Factoriser le membre de gauche.

c. Compléter.
Le produit (x + 5) × (x – 3) est nul dans le seul cas
où l’un de ses facteurs est nul, c’est-à-dire :

b. Résoudre l’équation obtenue.

x+5= 0

ou

x–3= 0

x = –5

ou

x=3

5x2 + 10x = 5x × x + 5x × 2 = 5x(x + 2)

5x(x + 2) = 0 donc
5x = 0 ou x + 2 = 0
x = 0 ou
x = –2
0 et – 2 sont les solutions de l’équation.

2

On se propose de résoudre l’équation
(x – 8)(x + 1) = 0.
Compléter : un produit est nul dans le seul cas où
l’un de ses facteurs est nul, c’est-à-dire
:
x–8= 0

ou

x+1= 0

x=8

ou

x = –1

Les solutions de l’équation sont 8 et – 1 .

3

Résoudre chaque équation.

a. (x + 9)(x – 6) = 0

b. 3x(5 – x) = 0

c. (x + 4)2 = 0

Un produit est nul dans le seul cas où l’un de
ses facteurs est nul.
a. (x + 9)(x – 6) = 0
b. 3x(5 – x) = 0
x + 9 = 0 ou x – 6 = 0
3x = 0 ou 5 – x = 0
x = – 9 ou x = 6
x = 0 ou
x =5
– 9 et 6 sont les
0 et 5 sont les
solutions.
solutions.
c. Seul le carré de 0 est égal à 0 donc x + 4 = 0.
Ainsi x = – 4. La solution de l’équation est – 4.

4

Donner mentalement les solutions de chaque
équation.
a. (x + 2)(x – 7) = 0

– 2 et 7

b. 5x(3x – 12) = 0

0 et 4

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

6

Ce programme de
calcul donne le résultat 0
pour deux nombres.
Les déterminer.

• Choisir un nombre.
• L’élever au carré.
• Soustraire 81.

On note n le nombre choisi au départ.
•n
• n2
• n2 – 81
2
On obtient donc n – 81 = 0.
On factorise n2 – 81 à l’aide d’une identité
remarquable.
n2 – 81 = n2 – 92 = (n + 9)(n – 9)
On résout l’équation (n + 9)(n – 9) = 0
n+9=0
ou
n–9=0
n = –9
ou
n=9
Les solutions de l’équation sont – 9 et 9.
Le résultat est 0 si l’on choisit 9 ou – 9.

7

Factoriser le membre de gauche à l’aide
d’une identité remarquable puis résoudre
l’équation (x – 3)2 – 49 = 0.

• (x – 3)2 – 49 = (x – 3)2 – 72
(x – 3 + 7)(x – 3 – 7) = (x + 4)(x – 10)
• On résout l’équation (x + 4)(x – 10) = 0.
x+4=0
ou
x – 10 = 0
x = –4
ou
x = 10
Les solutions de l’équation sont – 4 et 10.

Chapitre 2 ● Utiliser le calcul littéral pour résoudre ou démontrer

17

t
12 Objectif breve
QCM

Sélection de sujets de Brevet

Voici un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).

Bilan ..... / 5

A

Une expression égale à 6x + 9 est…

3(2x + 3)

(x + 3)(x + 2)

(x + 3)2 – x2

B

Une forme factorisée de x2 – 16…

x(x – 16)

(x + 4)(x – 4)

(x – 4)2

C

L’équation 4x + 2 = 6x + 8 a
la même solution que…

2 – x = 2x + 11

2 = 17 + 5x

0,4x + 1,2 = 0

D

La longueur d’un rectangle dont
le périmètre est 34 cm mesure 5 cm
de plus que sa largeur. Alors…

si x désigne la
largeur en cm,
on a 4x + 5 = 34

si x désigne la
largeur en cm,
on a 2x + 5 = 17

si x désigne la
longueur en cm,
on a 4x – 10 = 34

E

La (ou les) solution(s)
de l’inéquation − 2x + 14 16
est (sont)…

tous les nombres
inférieurs ou
égaux à – 1

tous les nombres
supérieurs ou
égaux à – 1

–1

1 Relier géométrie et équations
ABCD est un rectangle tel que AB = 30 cm
et BC = 24 cm.
On colorie aux quatre coins du rectangle quatre
carrés identiques en gris.
On délimite ainsi un rectangle central que l’on
colorie en noir.
A

B

D

C

1. Dans cette question, les quatre carrés gris ont
tous 7 cm de côté.
Dans ce cas :
a. quel est le périmètre d’un carré gris ?
b. quel est le périmètre du rectangle noir ?
2. Dans cette question, la longueur du côté
des quatre carrés gris peut varier.
Par conséquent, les dimensions du rectangle noir
varient aussi.
Est-il possible que le périmètre du rectangle noir
soit égal à la somme des périmètres des quatre
carrés gris ?

1. a. 4 × 7 cm = 28 cm.
Donc le périmètre d’un carré gris est 28 cm.
b. 30 cm – 2 × 7 cm = 16 cm
24 cm – 2 × 7 cm = 10 cm.
Les dimensions du rectangle noir sont 16 cm et
10 cm.
2 × 16 cm + 2 × 10 cm = 52 cm.
Donc le périmètre du rectangle est 52 cm.
2. On note x la longueur, en cm, du côté de chaque
carré gris (0 x 12).
• La somme S des périmètres des quatre carrés
gris est S = 4 × 4x c’est-à-dire S = 16x.
• Les dimensions du rectangle noir sont 30 – 2x
et 24 – 2x.
Le périmètre P du rectangle noir est :
P = 2(30 – 2x + 24 – 2x)
P = 2(54 – 4x)
P = 2 × 54 – 2 × 4x soit P = 108 – 8x
•P=S
On obtient l’équation : 16x = 108 – 8x
16x + 8x = 108 – 8x + 8x
24x = 108
x = 4,5
Le périmètre du rectangle noir est égal à la somme
des périmètres des quatre carrés gris lorsque la
longueur du côté d’un carré gris est 4,5 cm.

D’après DNB

18

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

Objectif brevet

2 Montrer un résultat général

4 Prendre des initiatives

Montrer que le somme de trois nombres entiers
consécutifs est un multiple de 3.

On désigne par n le plus petit des trois nombres.
Le 2e nombre est l’entier qui suit n donc n + 1.
Le 3e est l’entier qui suit n + 1 donc n + 2.
La somme S des trois nombres est
n + n + 1 + n + 2.
On obtient S = 3n + 3. On factorise S.
S = 3 × n + 3 × 1 ainsi S = 3 × (n + 1).
S est le produit d’un nombre entier par 3, donc il
s’agit bien d’un multiple de 3.

La figure ci-dessous est composée d’un carré
ABCD et d’un rectangle DEFG.
Dans cette figure, la longueur AB peut varier
mais on a toujours : AE = 15 cm et CG = 25 cm.
A

B

E

D

F

C

G

Peut-on trouver AB de sorte que le carré ABCD
et le rectangle DEFG aient la même aire ?
Si oui, calculer AB. Si non, expliquer pourquoi.
D’après DNB

3 Utiliser un programme de calcul
On donne le programme de calcul suivant :
• Choisir un nombre.
• Soustraire 5.
• Calculer le carré du résultat obtenu.
a. On choisit 20 comme nombre de départ.
Montrer que le résultat obtenu est 225.
b. Quel(s) nombre(s) de départ faut-il choisir
pour que le résultat du programme soit 36 ?
Toute trace d’initiative, même non fructueuse, sera
prise en compte.
D’après DNB

• 152 = 225

a. • 20
• 20 – 5 = 15
On obtient bien 225.
b. On note x le nombre choisi au départ.
•x
•x–5
• (x – 5)2
On obtient (x – 5)2 comme résultat.
Ce résultat est 36 donc (x – 5)2 = 36.
(x – 5)2 – 36 = 36 – 36 ou (x – 5)2 – 36 = 0
On factorise (x – 5)2 – 36.
(x – 5)2 – 36 = (x – 5)2 – 62
= (x – 5 + 6)(x – 5 – 6)
= (x + 1)(x – 11)
Les nombres cherchés sont les solutions de
l’équation (x + 1)(x – 11) = 0.
Donc x + 1 = 0 ou x – 11 = 0
x = – 1 ou x = 11
Si on choisit – 1 ou 11 comme nombre de départ,
on obtient 36 comme résultat.

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

On note x la longueur AB, en cm (x 0). On a alors :
• ED = x – 15 et DG = x + 25
• L’aire de ABCD est x2.
L’aire de EFGD est (x – 15)(x + 25).
Donc x2 = (x – 15)(x + 25).
x2 = x2 + 25x – 15x – 375
x2 = x2 + 10x – 375
x2 – x2 + 375 = x2 + 10x – 375 – x2 + 375
375 = 10x
x = 37,5
Les deux aires sont égales lorsque AB = 37,5 cm.

5 Justifier une affirmation
« Si n est un entier, (n – 1)(n + 1) + 1 est toujours
égal au carré d’un entier. »
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
Justifier.
D’après DNB

On développe (n + 1)(n – 1) + 1
(n + 1)(n – 1) + 1 = n2 – 12 + 1
= n2 – 1 + 1 = n2.
n est un nombre entier donc n2 est bien le carré
d’un entier. Cette affirmation est vraie.

6 Tester une solution
– 3 est-il une solution de l’inéquation 2x2 8 – 4x ?

• Pour x = – 3 :
2x2 = 2 × (– 3)2 = 2 × 9 = 18
8 – 4x = 8 – 4 × (– 3) = 8 + 12 = 20
• 18 20 donc – 3 est solution de l’inéquation
2x2 8 – 4x.

Chapitre 2 ● Utiliser le calcul littéral pour résoudre ou démontrer

19

FICHE

CALCUL
MENTAL

● ..... . . . . . . . . .

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

13 Perfectionnement
1

3

1. Calculer :

a. 72 – 62

b. 232 – 222

c. 552 – 542

2. Sarah affirme : « La différence des carrés de
deux nombres entiers consécutifs est un nombre
impair. »
Théo ajoute : « Ce nombre impair est aussi la
somme de ces deux nombres entiers. »
Sarah et Théo ont-ils raison ?

1. a. 72 – 62 = 49 –36 = 13
b. 232 – 222 = 529 –484 = 45
c. 552 – 542 = 3 025 –2 916 = 109
2. • On note n le plus petit des deux nombres
entiers. Le 2e nombre est alors n + 1.
• La différence des carrés des deux nombres
s’écrit (n + 1)2 – n2.
On développe cette expression. On obtient :
n2 + 2n + 12 – n2 = n2 + 2n + 1 – n2 = 2n + 1.
• 2n + 1 est le nombre entier qui suit un multiple
de 2 donc 2n + 1 est bien un nombre impair.
Sarah a raison.
• 2n + 1 = n + n + 1 donc Théo a raison.

2

Avec une corde de 80 m,
un géomètre délimite un terrain
qui a la forme d’un triangle ABC
rectangle en A.
Le côté [AB] mesure 16 m.
Quelles sont les longueurs
des deux autres côtés ?

On note x la longueur AC, en m (x 0).
La longueur BC est 80 – 16 – x soit 64 – x.
D’après le théorème de Pythagore :
BC2 = AB2 + AC2
soit :
(64 – x)2 = x2 + 162.
4 096 – 128x + x2 = x2 + 256
4 096 – 128x = 256
4 096 – 128x – 4 096 = 256 – 4 096
– 128x = – 3 840
x = 30.

Formule « Occasionnel »
30 € par match.
Formule « Passfoot »
Achat d’un pass à 50 € puis 22 € par match.
Formule « Abonnement »
390 € pour voir tous les matchs.
Aider Alicia à choisir la formule la plus
avantageuse en fonction du nombre de matchs
auxquels elle pense assister.

• On note x le nombre de matchs.
La somme (en €) à payer est  :
30x avec la formule « Occasionnel » ;
22x + 50 avec la formule « Passfoot » ;
390 avec la formule « Abonnement ».

C

A

Voici les tarifs
proposés par un club
de football pour
les places en tribune
centrale.

B

• Résolution de l’inéquation 30x 22x + 50 :
30x 22x + 50
30x –22x 22x –22x + 50
8x 50
8x 50

8
8
x 6,25
La formule « Occasionnel » est plus avantageuse
que la formule « Passfoot » si on assiste à
6 matchs au plus.
De plus : 6 × 30 = 180 et 180 390.
Donc pour 6 matchs ou moins de 6 matchs, la
formule « Occasionnel » est la plus avantageuse.
• Résolution de l’inéquation 22x + 50 390.
22x + 50 390
22x + 50 – 50 390 – 50
22x 340
22x 340

22
22
170 170
et
≈ 15,4.
x
11
11
Donc de 7 à 15 matchs (inclus), la formule
« Passfoot » est la plus avantageuse.
À partir de 16 matchs, la formule « Abonnement »
est la plus avantageuse.

Le côté [AC] mesure 30 m.
64 – 30 = 34 donc BC = 34 m.

20

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

Découvrir et utiliser
les nombres premiers

CHAPITRE

FICHE

3

CALCUL
MENTAL

● ....... . . . . . . .

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

● ..............

14 Critères de divisibilité


Si le chiffre des unités d’un nombre est :
0, 2, 4, 6 ou 8



Si la somme des chiffres d’un nombre est :

0 ou 5

divisible par 3

alors ce nombre est …

alors ce nombre est …

divisible par 2

divisible par 5

1

divisible par 3

a. Pour savoir si un nombre est divisible
par 4, Samir utilise une propriété :
« Si le nombre formé par le chiffre des dizaines
et celui des unités est divisible par 4, alors
ce nombre est divisible par 4. »
Utiliser cette propriété pour montrer que
ces nombres sont divisibles par 4.

On additionne les chiffres.
b. En déduire si 267 est, ou non, divisible par 3.

2 + 6 + 7 = 15 et 15 = 3 × 5
267 est divisible par 3.

par 3

par 5

par 9

par 10

576

oui

oui

non

oui

non

640

oui

non

oui

non

oui

951

non

oui

non

non

non

120

245

319

405

792

810

a. par 2 ? 50 ; 72 ; 120 ; 792 ; 810

d. à la fois par 2 et par 5 ? 50 ; 120 ; 810 
e. à la fois par 2, par 5 et par 9 ? 810
Marie affirme : « Un nombre divisible par 5 et
par 10 est aussi divisible par 50. »
Qu’en pensez-vous ?

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

92 = 4 × 23

316

548

862

1 040

25 552

a. par 2 et par 3 :

240 ;  246 ; 252  

b. par 5 et par 9 :

aucun

c. par 9 mais pas par 2 :

243 

d. par 4 mais pas par 3 :

244 ; 248 ; 256 

« Je suis un nombre de quatre chiffres,
tous différents, divisible par 5 et par 9.
Mon chiffre des dizaines est le double de mon
chiffre des centaines. Mon chiffre des unités
de mille divise tous les nombres. Qui suis-je ? »

c. par 9 ? 72 ; 405 ; 792 ; 810

et par 10, mais pas par 50.

56 = 4 × 14

7

b. par 5 ? 50 ; 120 ; 245 ; 405 ; 810

C’est faux. 20 est un nombre divisible par 5

24 = 4 × 6

Dans chaque cas, indiquer, si possible,
un (ou plusieurs) nombre(s) entier(s) compris
entre 238 et 257, divisible(s) :

Parmi ces nombres, lesquels sont divisibles :

4

1 392

6

Voici une liste de nombres entiers :
72

956

114

par 2

50

724

b. Entourer les nombres divisibles par 4.

Compléter chaque case par oui ou non.

Est divisible

3

divisible par 9

5

a. Que fait-on pour savoir si le nombre 267
est, ou non, divisible par 3 ?

2

divisible par 9

Il est divisible par 5, donc son chiffre des
unités est 5 ou 0.
Son chiffre des unités de mille est 1.
Son chiffre des dizaines est le double de son
chiffre des centaines, donc voici les possibilités
(4 chiffres tous différents) :
1 240 ; 1 245 ; 1 360 ; 1 365 ; 1 480 ; 1 485.
Le seul divisible par 9 est 1 485. Réponse : 1 485

Chapitre 3 ● Découvrir et utiliser les nombres premiers

21

FICHE

CALCUL
MENTAL

● ..... . . . . . . . . .

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

15 Nombres premiers
Un nombre premier est un nombre entier qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même.



• 5 est un nombre premier : il n’est divisible que par 1 et par 5.
• 6 n’est pas un nombre premier car il est divisible par 1, 2, 3 et 6.
• 1 n’est pas un nombre premier car il admet un seul diviseur, lui-même.

1

7

Entourer les nombres premiers.

1

-

11

-

3

-

7

-

8

-

9

13

-

14

-

15

-

17

2

Appliquer les critères de divisibilité pour
expliquer pourquoi chaque nombre n’est pas
premier.
Nombre
Divisible par

752

465

471

586

850

2

5

3

2

10

On peut obtenir 5 nombres premiers :
3 ; 5 ; 7 ; 11 et 13.
1 + 2 = 3 ; 2 + 3 = 5 ; 1 + 6 = 7 ; 3 + 8 = 11 ;
7 + 6 = 13.

8

3

Expliquer pourquoi chacune de ces
affirmations est fausse.

23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47

a. Un nombre premier peut avoir 0 comme
chiffre des unités.

Écrire tous les nombres premiers compris
entre 20 et 50.

4

b. Deux nombres premiers peuvent être consécutifs.
Quel est le nombre premier compris entre :

a. 50 et 55 ? 53

b. 85 et 90 ? 89

c. 62 et 70 ? 67

d. 94 et 100 ? 97

5

a. Écrire la liste des diviseurs de 18.

b. Quels sont les diviseurs de 18 qui sont des
nombres premiers ?

a. 18 = 1 × 18 = 2 × 9 = 3 × 6
Les diviseurs de 18 sont : 1 ; 2 , 3 ; 6 ; 9 et 18.
b. 2 et 3 sont des nombres premiers.

6

On recherche un nombre premier qui divise
à la fois 15 et 20. Quel est ce nombre premier ?

Les diviseurs de 15 sont 1 ; 3 ; 5 et 15.
3 et 5 sont des nombres premiers, mais 3 ne
divise pas 20, alors que 5 divise 20.
Réponse : 5.

22

On additionne les numéros
marqués sur deux de ces boules.
Parmi les résultats possibles,
quels sont les nombres premiers ?

c. Un nombre impair est premier.
d. La somme de deux nombres premiers est un
nombre premier.

a. Un tel nombre est divisible par 10.
b. Si les deux nombres sont 1 et 2, 1 n’est pas
premier.
Sinon, un des deux nombres est pair donc il n’est
pas premier.
c. 9 est un nombre impair mais il n’est pas premier
(il est divisible par 1 ; 3 ; 9).
d. 5 et 7 sont deux nombres premiers.
5 + 7 = 12 ; 12 n’est pas un nombre premier.

9

Le numéro de la maison
de Benoît est un nombre premier
compris entre 10 et 100. La somme
de ses chiffres est égale à 7.
Quels sont les numéros possibles
pour cette maison ?

7 = 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4.
Donc les numéros possibles sont 61 et 43.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

FICHE

CALCUL
MENTAL

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

16 Décomposition en produit de facteurs premiers


Un nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers.

Cette décomposition est unique, à l’ordre près.
La décomposition de 40 en produit de facteurs premiers est 40 = 2 × 2 × 2 × 5.
On écrit aussi : 40 = 23 × 5.

1

6

Dans chaque cas, entourer la décomposition
en facteurs premiers du nombre.

Décomposer chaque nombre en produit de
facteurs premiers.

a. 28 = 7 × 4 = 7 × 2 × 2

a. 250

b. 36 = 9 × 2 × 2 = 3 × 2 × 3 × 2 = 3 × 3 × 4

a. 250 = 25 × 10 = 52 × 2 × 5 ainsi 250 = 2 × 53.
b. 1 000 = 4 × 250 = 22 × 2 × 53
ainsi 1 000 = 23 × 53.

c. 42 = 1 × 6 × 7 = 2 × 21 = 2 × 3 × 7

2

On se propose de décomposer 56 en produit
de facteurs premiers. Compléter.

• 28 est divisible par 2 : 56 = 2 × 2 × 14
• 14 est divisible par 2 : 56 = 2 × 2 × 2 × 7
Or 7 est un nombre premier , donc la
décomposition de 56 en produit de facteurs
premiers est terminée.

3

Dans chaque cas, donner la décomposition
en facteurs premiers du nombre.
b. 50

c. 100

d. 98

8

On donne : 1 176 = 23 × 3 × 72.
À l’aide de cette décomposition en produit de
facteurs premiers, souligner les diviseurs de
1 176 parmi les nombres ci-dessous.

e. 60

a. 12 = 2 × 6 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
b. 50 = 2 × 25 = 2 × 52
c. 100 = 2 × 50 = 2 × 2 × 25 = 22 × 52
d. 98 = 2 × 49 = 2 × 72
e. 60 = 2 × 30 = 2 × 2 × 15 = 22 × 3 × 5

23 × 3

À l’aide de l’égalité 90 = 15 × 6, décomposer
90 en produit de facteurs premiers.

90 = 15 × 6 = 3 × 5 × 2 × 3 = 2 × 32 × 5

5

On se propose de décomposer le nombre
1 500 en produit de facteurs premiers.
Compléter.
1 500 = 15 × 100 = 3 × 5 × 4 × 25

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

23 × 32

22 × 72

21

49

16

9

42

9

4

1 500 = 3 × 5 × 22 × 52

b. Quel est le seul nombre premier qui divise à la
fois 63 et 49 ?

a. 63 = 7 × 9 = 7 × 32
49 = 72
b. Les nombres 1 et 7 sont des diviseurs communs
à 63 et 49. Le seul nombre premier des deux est 7
(1 n’est pas un nombre premier).

56 = 23 × 7

a. 12

7

a. Décomposer 63 et 49 en produit de
facteurs premiers.

56 = 2 × 28

• 56 est divisible par 2 :

b. 1 000

donc 1 500 = 22 × 3 × 53

La roue A qui a 14 dents
est en contact avec la roue B
de 24 dents.
Au bout de combien de tours
de chacune des roues seront-elles
de nouveau, et pour la première
fois, dans la même position ?

B
A

• 14 = 2 × 7 et 24 = 23 × 3 donc le premier
multiple non nul commun à 14 et 24 est 23 × 3 × 7
c’est-à-dire 168.
• 168 14 = 12 et 168 24 = 7.
Donc les roues occuperont la même position pour
la première fois lorsque A aura fait 12 tours et B,
7 tours.

Chapitre 3 ● Découvrir et utiliser les nombres premiers

23

FICHE

CALCUL
MENTAL

● ..... . . . . . . . . .

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

17 Fraction irréductible
Une fraction est dite irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur n’ont pas de
diviseur commun autre que 1.
84 22 × 3 × 7 2 × 2 × 3 × 7 2 × 7 14
=
=
=
=
Fraction irréductible
30 2 × 3 × 5
2×3×5
5
5



1

À l’aide des critères de divisibilité, simplifier
mentalement chaque fraction.
6
60
21
7
a.
=
b.
=
5
9
50
27
90 18
78 39 13
2
c.
=
=
d.
=
=
3
4
135 27
24 12

2

Avec la calculatrice, donner la fraction
irréductible égale à :
354 59
3 441
1 075
3
5
a.
=
b.
=
c.
=
4
2
21
126
4 588
430

3

Écrire chaque nombre sous forme
d’une fraction irréductible ou d’un entier.
108
B = 3,24
A=
27

A=

4

12
=4
3

B=

324 162 81
=
=
100 50 25

Rendre irréductible la fraction.

C=

24 × 32 × 132
.
22 × 33 × 5 × 13

5

420 = 22 × 3 × 5 × 7
504 = 23 × 32 × 7
À l’aide de ces deux décompositions en produit
de facteurs premiers, rendre irréductible chaque
fraction, puis vérifier à la calculatrice.

420
504

b.

42
504

c.

420
252

420
5
5
2×2×3×5×7
=
=
=
a.
504 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 2 × 3 6
42
1
1
2×3×7
=
=
=
b.
504 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 2 × 2 × 3 12
420
5
2×2×3×5×7
=
=
c.
252
3
2×2×3×3×7

24

a. Sans effectuer de calculs, expliquer

168
n’est pas irréductible.
180
b. Décomposer 168 et 180 en produit de facteurs
168
premiers puis rendre irréductible la fraction
.
180
pourquoi la fraction

a. 168 et 180 sont divisibles par 2 donc la
168
n’est pas irréductible.
fraction
180
b. • 168 = 2 × 84 = 2 × 2 × 42 = 2 × 2 × 6 × 7
Donc 168 = 2 × 2 × 2 × 3 × 7.
• 180 = 2 × 90 = 2 × 2 × 45 = 2 × 2 × 5 × 9
Donc 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
168 2 × 2 × 2 × 3 × 7 2 × 7 14
=
=
=
180 2 × 2 × 3 × 3 × 5 3 × 5 15

7

Lors d’un entraînement,
Allan a réussi 60 paniers
et il en a manqué 36.
Exprimer la proportion des tirs
réussis par Allan sous la forme
d’une fraction irréductible.

• 60 + 36 = 96 donc Allan a tenté 96 tirs.
60
5
5
2×2×3×5
=
=
=

96 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 2 × 2 × 2 8
5
Donc Allan a réussi les de ses tirs.
8

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 13 × 13
2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 13
2 × 2 × 13 52
C=
=
15
3×5
C=

a.

6

8

a. Rendre irréductible la fraction

70
.
196

70
2
+
puis donner la forme
196 21
irréductible de A.

b. Calculer A =

a. 70 = 2 × 5 × 7 et 196 = 2 × 2 × 7 × 7.
70
5
5
2×5×7
=
=
=
.
Donc
196 2 × 2 × 7 × 7 2 × 7 14
70
2
5
2
5
2
+
=
+
=
+
•A=
196 21 14 21 2 × 7 3 × 7
15 4 19
5×3
2×2
+
=
+
=
A=
2 × 7 × 3 3 × 7 × 2 42 42 42
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t
18 Objectif breve
QCM

Voici un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
A

Un nombre premier est...

B
C

D

E

Bilan .... . / 5

9

19

39

La décomposition de 60 en produit
de facteurs premiers est...

22 × 3 × 5

3 × 20

2 × 32 × 5

A = 2 × 32 × 72 et B = 22 × 3 × 5
Un multiple commun à A et B est...

6

22 × 32 × 5 × 7

22 × 32 × 5 × 72

27
72

3
8

1,5
4

16
27

13
39

35
54

La fraction irréductible égale

270
est...
à
720

Une fraction irréductible est...

1 Étudier des affirmations
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou
fausse. Justifier.
a. 18 a exactement 6 diviseurs.
b. La somme d’un multiple de 2 et d’un multiple
de 3 est un multiple de 5.
c. 45 est un diviseur commun à 90 et 135.
d.

Sélection de sujets de Brevet

177
n’est pas une fraction irréductible.
264

e. 111 est un nombre premier.

a. Les diviseurs de 18 sont 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 et 18.
Donc l’affirmation est vraie.
b. 4 est un multiple de 2 et 9 est un multiple de 3
mais 4 + 9 n’est pas un multiple de 5 (4 + 9 = 13).
Donc l’affirmation est fausse.
c. 90 = 2 × 45 et 135 = 3 × 45
Donc 45 est un diviseur commun à 90 et 135.
Donc l’affirmation est vraie.
d. 177 et 264 sont tous les deux divisibles par 3
177
peut être simplifié par 3.
donc
264
Donc l’affirmation est vraie.
e. 111 est divisible par 3.
111 = 3 × 37
Donc 111 est divisible par 1, 3, 37, 111.
Il n'est pas premier.
Donc l'affirmation est fausse.

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2 Comprendre un partage
Un chocolatier vient de fabriquer 2 280 œufs et
840 poissons en chocolat.
Il souhaite vendre des assortiments d’œufs et de
poissons en sachets de façon que :
• tous les sachets aient la même composition ;
• après mise en sachet, il ne reste ni œuf ni
poisson.
a. Le chocolatier peut-il faire 19 sachets ?
Justifier.
b. Quel est le plus grand nombre de sachets
qu’il peut réaliser ? Dans ce cas, quelle sera la
composition de chaque sachet ?

a. 2 280 = 19 × 120 et 840 = 19 × 44 + 4.
840 n’est pas divisible par 19 donc le chocolatier
ne peut pas faire 19 paquets.
b. • D’après a. 2 280 = 120 × 19.
• 840 = 10 × 84 = 2 × 5 × 2 × 2 × 3 × 7
Donc 840 = 23 × 3 × 5 × 7.
Or 23 × 3 × 5 = 8 × 3 × 5 = 120
donc 840 = 120 × 7.
19 n’est pas un multiple de 7, donc 120 est un
diviseur commun à 2 280 et 840 et c’est le plus
grand possible.
• Le chocolatier pourra réaliser 120 sachets
identiques.
2 280 120 = 19 et 840 120 = 7.
Donc chaque sachet contiendra 19 œufs et 7
poissons.

Chapitre 3 ● Découvrir et utiliser les nombres premiers

25

Objectif brevet

3 Démontrer un critère de divisibilité
n désigne un nombre entier à trois chiffres. On
désigne par c son chiffre des centaines, par d
son chiffre des dizaines et par u son chiffre des
unités.
1. Expliquer pourquoi n = 99c + 9d + c + d + u
2. a. Expliquer pourquoi le nombre 99c + 9d est
divisible par 9.
b. En déduire que n est divisible par 9 dans le
seul cas où c + d + u est divisible par 9.
c. Rappeler le critère de divisibilité par 9 et
étudier la cohérence avec la réponse à la
question b.

1. n = 100c + 10d + u = 99c + c + 9d + d + u
donc n est bien égal à 99c + 9d + c + d + u
2. a. 99c + 9d = 9 × 11c + 9 × d = 9(11c + d)
Le nombre 99c + 9d est le produit d’un nombre
entier par 9, donc il est divisible par 9.
b. Le nombre n est la somme d’un nombre divisible
par 9 et de c + d + u. La somme de deux multiples
de 9 est un multiple de 9. Donc n est divisible par
9 dans le seul cas où c + d + u est un multiple de 9.
On aura n = 9k + 9k ’ = 9(k + k ’).
c. Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses
chiffres est divisible par 9.
Or c + d + u est la somme des chiffres du nombre n.
Il y a bien cohérence.

4 Simplifier pour calculer
210

a. Expliquer sans calcul pourquoi la fraction
75
n’est pas une fraction irréductible.
b. Donner l’écriture irréductible de
c. Calculer A =

210
.
75

210 13

en détaillant les calculs.
75 45

a. 210 et 75 sont tous les deux divisibles par 5
210
n’est pas une fraction irréductible.
donc
75
b. 210 = 5 × 42 = 5 × 2 × 3 × 7
et 75 = 5 × 15 = 5 × 3 × 5.
210 5 × 2 × 3 × 7 2 × 7 14
=
=
Donc
=
75
5
5×3×5
5
210 13 14 13

=

c. A =
75 45 5 45
113
14 × 9 13 126 13

=

. Donc A =
.
A=
45
5 × 9 45 45 45

26

5 Utiliser des puissances
a. A = 23 × 3 × 52
Donner la décomposition de A2 en produit de
facteurs premiers.
b. B = 36 × 54 × 112
Prouver que B est le carré d’un nombre entier.
Quel est ce nombre ?

a. A2 = (23 × 3 × 52)2
alors A2 = (23) 2 × 32 × (52)2
A2 = 23 × 2 × 32 × 52 × 2
A2 = 26 × 32 × 54
b. B = 33 × 2 × 52 × 2 × 112
alors B = (33)2 × (52)2 × 112
B = (33 × 52 × 11)2
Donc B est le carré du nombre 33 × 52 × 11, c'est-àdire de 7 425.

6 Prendre des initiatives
Deux voitures électriques sont testées sur un
circuit. La première met 2 min 24 s et la seconde
3 min 18 s pour effectuer un tour.
Les voitures partent ensemble de la ligne de
départ à 17 h.
À quelle heure se retrouveront-elles à nouveau,
pour la première fois, toutes les deux sur la ligne
de départ ?

• 2 min 24 s = 2 × 60 s + 24 s = 144 s.
3 min 18 s = 3 × 60 s +18 s = 198 s.
• Il s’agit ici de déterminer le premier multiple non nul
commun à 144 et 198.
On décompose 144 et 198 en produit de facteurs
premiers.
144 = 2 × 72 = 2 × 8 × 9 = 24 × 32
198 = 2 × 99 = 2 × 9 × 11 = 2 × 32 × 11
Le premier multiple non nul commun à 144 et 198
est donc 24 × 32 × 11 soit 1 584.
• Les deux voitures se retrouveront à nouveau sur la
ligne de départ 1 584 s après leur départ.
• 1 584 s = 26 × 60 s + 24 s = 26 min 24 s.
Les deux voitures se retrouveront à nouveau sur la
ligne de départ à 17 h 26 min 24 s.

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

FICHE

CALCUL
MENTAL

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

19 Perfectionnement
1

On aménage,
dans un aquarium,
une salle dédiée à trois
espèces de poissons, notées
A, B et C.
Voici un tableau donnant
le nombre de poissons
de chaque espèce.
Espèce

A

B

C

Effectif

154

105

126

2

a. Utiliser un tableur pour calculer les valeurs de
ces expressions pour n supérieur ou égal à 1.
b. Pour chacune des expressions A, B et C,
indiquer la plus petite valeur de n pour laquelle
la valeur de l’expression n’est pas un nombre
premier.

a.

a. Déterminer un diviseur commun à 154 et 105
autre que 1.
b. Combien faudrait-il de bassins pour qu’ils
contiennent exactement le même nombre de
poissons de chacune des espèces A, B et C ?
c. Donner, pour chaque espèce, le nombre de
poissons qu’il y aurait alors dans un bassin.

n désigne un nombre entier et on note :
A = 2n + 1 ; B = 4n + 1 et C = 6n + 1.

A

B

C

D

1

n

A = 2n + 1

B = 4n + 1

A = 6n + 1

2

1

3

5

7

3

2

5

9

13

4

3

7

13

19

5

4

9

17

25

b. Pour A, n = 4 ; pour B, n = 2 ; pour C, n = 4.

a. On écrit les décompositions en produit de

facteurs premiers de 154 et 105.
154 = 2 × 77 = 2 × 7 × 11
105 = 5 × 21 = 5 × 3 × 7.
Donc 154 et 105 ont un diviseur commun autre
que 1 ; c’est 7.
b. Le nombre de bassins est un diviseur commun
de 154, 105 et 126.
7 est le seul diviseur commun à 154 et de 105
autre que 1 (d’après a.)
126 = 7 × 18 donc 7 est aussi un diviseur de 126.
Il faudrait donc 7 bassins.
c. 154 : 7 = 22
105 : 7 = 15
126 : 7 = 18
Dans chaque bassin, il y aura :
• 22 poissons de l’espèce A
• 15 de l’espèce B
• 18 de l’espèce C.

3

Cet engrenage est composé de trois roues.

A
24 dents

B
16 dents

C
36 dents

a. Indiquer au-dessus des roues le sens de
rotation de chacune des roues B et C.
b. Au bout de combien de tours (de chacune des
roues) cet engrenage sera-t-il de nouveau, et
pour la première fois, dans la même position ?

• 24 = 23 × 3 ; 16 = 24 ; 36 = 22 × 32.
Le premier multiple non nul commun aux nombres 24,
16 et 36 est 24 × 32 c’est-à-dire 144.
• 144 : 24 = 6 ; 144 : 16 = 9 ; 144 : 36 = 4.
Cet engrenage sera dans la même position quand
la roue A aura fait 6 tours, la roue B, 9 tours et la
roue C, 4 tours.

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

Chapitre 3 ● Découvrir et utiliser les nombres premiers

27

Calculer et interpréter
des caractéristiques

CHAPITRE

FICHE

4

CALCUL
MENTAL

● ..... . . . . . . . . .

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

20 Moyenne, médiane et étendue
1

Le tableau ci-dessous donne le nombre de
passagers d’un vol Nantes-Toulouse pendant
une semaine.
L

Jour
Effectif

Ma

Me

152 143

145

J

V

S

D

164 189 157 163

Total
1 113

a. Calculer le nombre de passagers le jeudi.

1 113 – (152 + 143 + 145 + 189 + 157 + 163) = 164
164 passagers ont pris ce vol le jeudi.
b. Calculer le nombre moyen de passagers par jour.
1 113
= 159 ainsi, il y a eu 159 passagers en moyenne
7

par jour.
c. Calculer l’étendue du nombre de passagers.

189 – 143 = 46
Donc l’étendue du nombre de passagers est 46.

2

Arthur a acheté pour sa console trois jeux
à 13,60 € l’un et deux jeux à 15,30 € l’un.
Quel est le prix moyen d’un de ces jeux vidéo ?
13,60 3+15,30 2 71,4
=
=14,28
5
2+ 3

Le prix moyen d’un de ces jeux est 14,28 €.

3

Calculer
le nombre moyen
de personnes
par foyer.

Nombre de personnes au foyer
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Nombre de foyers

1 × 3 + 2 × 5 + 3 × 6 + 4 × 7 + 5 × 4 = 79
3 + 5 + 6 + 7 + 4 = 25
Il y a 79 personnes dans 25 foyers.
79
= 3,16 donc en moyenne, il y a environ
25
3 personnes par foyer.

28

4

Voici des séries de valeurs rangées par ordre
croissant. Dans chaque cas, indiquer la médiane.
a. 7 ; 8 ; 10 ; 12 ; 15
b. – 3 ; – 1 ; 3 ; 6

Médiane = 10
–1 + 3
Médiane =
=1
2

5

a. Déterminer la médiane de cette série
de températures, en °C.

4 2 1 3 –1 –4 –3 –5 –1 0 –2 –2 –1 2
On range les 14 valeurs dans l’ordre croissant.
–5 –4 –3 –2 –2 –1 –1 –1 0 1 2 2 3 4
7 valeurs
7 valeurs
14 = 2 × 7 donc la médiane est la demi-somme
des 7e et 8e valeurs, toutes les deux égales à – 1.
La température médiane est donc – 1 °C.
b. On supprime les deux températures extrêmes
– 5 et 4. Quelle est la médiane de la nouvelle série ?

La nouvelle série est composée de 12 valeurs :
–4 –3 –2 –2 –1 –1 –1 0 1 2 2 3
La médiane est la demi-somme des 6e et 7e
températures. Elle ne change pas.

6

Ce diagramme
représente les réponses
de 100 personnes
à la question :
« Combien de cafés
buvez-vous par jour ? »
a. Déterminer la médiane
de cette série.

Nombre de personnes
30
25
20
15
10
5
0
0 1 2 3 4 5 6
Nombre de cafés

b. Interpréter le résultat pour cette situation.

a. 100 = 2 × 50. On cumule les effectifs
jusqu’à atteindre ou dépasser 50 pour la 1re fois :
• 10 + 22 = 32
• 32 + 25 = 57
Donc la médiane de la série est 2.
b. Au moins la moitié des personnes interrogées
boivent 2 cafés ou plus par jour.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

FICHE

CALCUL
MENTAL

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

● ..............

21 Interpréter des caractéristiques d’une série
1

Après avoir pesé des bébés à leur naissance,
on a établi les faits suivants.
(1) La différence entre le bébé le plus lourd et le
plus léger est 3,9 kg.
(2) Au moins la moitié des bébés ont un poids
inférieur ou égal à 2,9 kg et au moins la moitié des
bébés ont un poids supérieur ou égal à 2,9 kg.
(3) Le poids total des bébés serait le même si
chaque bébé pesait 3,2 kg.
Associer chaque phrase à une caractéristique
portant sur la série statistique des poids des
bébés.

(1) L’étendue des poids est 3,9 kg.
(2) La médiane des poids est 2,9 kg.
(3) La moyenne des poids est 3,2 kg.

2

Des élèves ont noté la durée, en h, qu’ils ont
passée à faire leurs devoirs, durant une semaine :

3

2

12

3

6

8

7

5

1

Un professeur a noté dans l’ordre croissant
les performances des élèves lors d’une épreuve
de saut en hauteur. Il a oublié deux données.
Hauteur
(en cm)

0,95

Effectif

2

1,1 1,15 1,3 1,35 1,4 1,5
3

7

1

6

4

2

Il a aussi noté que l’étendue des performances
est 0,55 m et que la hauteur médiane est 1,3 m.
Compléter le tableau. Justifier.

• 1,5 m – 0,55 m = 0,95 m.
Donc la hauteur minimale est 0,95 m.
• Un seul élève a sauté la hauteur médiane.
2 + 3 + 7 = 12
Donc 12 hauteurs sont inférieures à la médiane
1,3 m et 12 hauteurs sont supérieures à 1,3 m.
12 – (6 + 4) = 2
Donc 2 élèves ont franchi 1,5 m.

4

4

1. a. Calculer la moyenne de ces durées.
Exprimer cette durée en heures et minutes.

Une entreprise qui
produit du chocolat fabrique
des tablettes de 100 grammes.
Pour vérifier leur masse,
on prélève un échantillon.
En voici les résultats.

b. Déterminer la médiane de ces durées.
c. Déterminer l’étendue de ces durées.
2. Interpréter les résultats pour cette situation.

30

Effectif
23 24

20

1. a. 3 + 2 + … + 1 + 4 = 51 = 5,1
10
10
La moyenne des durées est 5,1 h soit 5 h 6 min.
b. On range les 10 durées dans l’ordre croissant.
12334
5 6 7 8 12

10
0

5 valeurs
5 valeurs
La médiane est la demi-somme des 5e et 6e valeurs.
(4 + 5) : 2 = 4,5 ainsi la médiane est 4,5 h ou 4h30 min.
c. 12 – 1 = 11. L’étendue est 11 h.
2. a. La durée totale de travail de ces élèves serait
la même si chaque élève avait travaillé pendant
5 h 6 min pendant cette semaine.
b. Au moins la moitié des élèves ont travaillé
pendant moins de 4,5 h et au moins la moitié des
élèves ont travaillé pendant plus de 4,5 h.
c. L’élève qui a travaillé le plus longtemps a travaillé
11 h de plus que celui qui a travaillé le moins
longtemps.

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

3

13
5

7

12
6

5

96 97 98 99 100 101 102 103
Masse (en g)

Déterminer la moyenne m, la médiane M et
l’étendue de la série constituée par les masses de
ces tablettes.

• Masse moyenne m
5 + 7 + 13 + 23 + 24 + 12 + 6 + 5 = 95
96 5+…+103 5 9 449
m=
m ≈ 99,5 g
=
95
95
• Masse médiane M
L’effectif total est impair (95 tablettes).
95 = 2 × 47 + 1 ; la médiane est la 48e masse.
5 + 7 + 13 + 23 = 48 donc M = 99 g.
• Étendue : 103 – 96 = 7. L’étendue est 7 g.

Chapitre 4 ● Calculer et interpréter des caractéristiques

29

FICHE

CALCUL
MENTAL

● ..... . . . . . . . . .

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

22 Comparer deux séries statistiques
1

Ces tableaux présentent la répartition des
places dans les stades de deux clubs de rugby
selon leur tarif.
Club n° 1
Tarif
(en €)
Effectif
(en milliers)
Club n° 2
Tarif
(en €)
Effectif
(en milliers)

2

Voici les températures moyennes mensuelles
de deux villes, en degrés Celsius.
J

10

20

30

40

50

70

100

3

18

15

3

4

5

2

15

20

25

35

40

50

100

12

10

5,4 1,6

1

5

1. Pour chaque série, déterminer :
a. le tarif moyen ; b. le tarif médian ; c. l’étendue.
2. Comparer les tarifs des places dans ces deux
stades.

F

M

A

M

J

12,4 14,1 16,2 17,4 18,4 17,7

J

A

S

O

N

16,7 16,8 16,3 15,1 13,9

9,5

J

D
12

Barcelone

°C
J

5

Mexico

°C

F

M

A

M

J

10,3 12,4 14,6 17,7 21,5

A

S

O

N

D

24,3 24,3 21,8 17,6 13,5 10,3

1. Pour chacune de ces deux villes :
a. calculer l’étendue de la série des températures ;
b. estimer la température moyenne annuelle ;

1. a. Club n° 1 :
10 × 3 + 20 × 18 + … + 70 × 5 + 100 × 2
M1 =
3 + 18 + 15 + 3 + 4 + 5 + 2
1 710
M1 =
= 34,2
50
Club n° 2 :
15 × 5 + 20 × 12 + … + 50 × 1 + 100 × 5
M2 =
5 + 12 + 10 + 5,4 + 1,6 + 1 + 5
1 368
M2 =
= 34,2
40
Le tarif moyen d’une place est 34,20 € pour chacun
des deux clubs.
b. Club n° 1 : l’effectif total est 50 et 50 = 2 × 25
donc la médiane est la demi-somme des 25e et
26e tarifs.
• 3 + 18 = 21
• 21 + 15 = 36
e
e
Les 25 et 26 tarifs sont 30 € donc la médiane
des tarifs est 30 €.
Club n° 2 : l’effectif total est 40 et 40 = 2 × 20
donc la médiane est la demi-somme des 20e et
21e tarifs.
• 5 + 12 = 17
• 17 + 10 = 27
e
e
Les 20 et 21 tarifs sont 25 € donc la médiane
des tarifs est 25 €.
c. Club n° 1 : 100 € – 10 € = 90 €
Club n° 2 : 100 € – 15 € = 85 €
2. Les deux clubs pratiquent le même tarif moyen
mais au moins la moitié des spectateurs paient au
moins 25 € au club n° 2, alors qu’au moins la moitié
des spectateurs paient au moins 30 € au club n° 1.
L’étendue des prix des places est presque la même.

30

c. déterminer la médiane de la série.
2. Quelles caractéristiques permettent d’affirmer :
a. « Il fait plus chaud à Barcelone qu’à Mexico » ?
b. « Les écarts de températures sont moindres à
Mexico » ?
c. « Dans ces deux villes, la température est
supérieure à 16 °C la moitié au moins de l’année » ?

1. a. • 18,4 – 12 = 6,4
24,3 – 9,5 = 14,8
L’étendue des températures est 6,4 °C à Mexico
et 14,8 °C à Barcelone.
b. La température moyenne est environ 15,6 °C à
Mexico et environ 16,5 °C à Barcelone.
c. La médiane de chaque série est la demi-somme
des 6e et 7e températures.
On range les températures de chaque série dans
l’ordre croissant.
(16,2 + 16,3) : 2 = 16,25
(14,6 + 17,6) : 2 = 16,1
donc la température médiane est 16,25 °C à
Mexico et 16,1 °C à Barcelone.
2. a. La moyenne est plus élevée à Barcelone qu’à
Mexico.
b. L’étendue est plus petite à Mexico qu’à Barcelone.
c. La médiane est environ 16 °C pour chacune de
ces villes.

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

t
23 Objectif breve
QCM

Sélection de sujets de Brevet

Voici un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
A

L’étendue de la série
1 ; 2 ; 5 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8 ; 9 ; 5 ; 6 est…

B

La médiane de la série
1 ; 2 ; 3 ; 3,5 ; 3,7 ; 3,8 ; 4 ; 5 ; 5,5
est…

Bilan .. ... / 5

5

10

8

3,5

3,7

4,5

7,5

7

4

3

8

5

un Français
sur deux
a 41,1 ans

50 % ou plus
des Français ont
41,1 ans ou plus

au moins 50 %
des Français ont
41,1 ans ou moins

La médiane de cette série est…
C

Masse (en kg)

5

6

7

8

12

Effectif

2

3

4

5

4

D

La moyenne de la série de
la question C est…

E

Dire qu’en 2015, l’âge médian des
Français est 41,1 ans signifie que…

1 Réfléchir avant de répondre

2 Utiliser une moyenne

X et Y sont deux entreprises de 100 personnes
qui ont fait paraître les informations suivantes :
Âge moyen

X

Y

Effectif

X

Y

Hommes

51

54

Hommes

50

20

Femmes

36

39

Femmes

50

80

Hugo dit à son frère : « En moyenne, on est plus
vieux chez Y que chez X. »
Qu’en pensez-vous ?
L’évaluation tiendra compte des observations et
étapes de recherche, même incomplètes ;
les faire apparaître sur la copie.

Voici les scores d’Enzo lors de 6 parties d’un jeu
vidéo.
100 180 140 150 110 90
Quel score Enzo doit-il réaliser à la partie
suivante pour que son score moyen sur les
7 parties soit 140 ?

D’après DNB

Ce n’est pas parce que dans le premier tableau
l’âge moyen des hommes et celui des femmes
de l’entreprise Y sont supérieurs à ceux de
l’entreprise X qu’Hugo a raison. Il faut tenir
compte de la répartition hommes/femmes dans
chaque entreprise.
• Âge moyen dans l’entreprise X :
Il y a autant d’hommes que de femmes
51+ 36 87
=
= 43,5
donc
2
2
• Âge moyen dans l’entreprise Y :
54 20 + 39 80 4 200
=
= 42
100
20 + 80
L’âge moyen chez X est 43,5 ans et seulement
42 ans chez Y.
Hugo a donc tort.

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

• 100 + 180 + 140 + 150 + 110 + 90 = 770
Enzo a obtenu 770 points en 6 parties.
• 7 × 140 = 980
Pour que le score moyen soit de 140, Enzo doit
obtenir 980 points en 7 parties.
• 980 – 770 = 210
Donc le score d’Enzo doit être de 210 à la
7e partie.

3 Vérifier une affirmation
Vrai ou faux ? Justifier.
« Dans une série de données numériques,
la médiane de la série est toujours strictement
supérieure à la moyenne. »
D’après DNB

Cette affirmation est fausse.
Par exemple, pour la série 1 ; 5 ; 33 :
• la médiane est 5 (la valeur du milieu),
1+ 5+ 33 39
• la moyenne est 13
=
= 13 .
3
3
La médiane est ici inférieure à la moyenne.

(

)

Chapitre 4 ● Calculer et interpréter des caractéristiques

31

Objectif brevet

4 Utiliser des informations

5 Étudier une série statistique

Les informations suivantes concernent
les salaires des hommes et des femmes
d’une entreprise.
Salaires des femmes
1 200 €

1 230 €

1 250 € 1 310 €

1 376 €

1 400 €

1 440 €

1 500 € 1 700 €

2 100 €

Salaires des hommes
effectif total : 20
moyenne : 1 769 €
étendue : 2 400 €
médiane : 2 000 €
Ils sont tous différents.

a. Comparer le salaire moyen des hommes
et celui des femmes.
b. Le plus bas salaire de l’entreprise est 1 000 €.
Quel est le plus élevé ?
c. Dans cette entreprise, combien de personnes
gagnent plus de 2 000 € ?

D’après DNB

a. Il y a 10 femmes dans l’entreprise.
La somme de leurs salaires est 14 506 €.
14 506 € 10 = 1 450,60 €
1 450,60 1 769
En moyenne, une femme gagne 1 450,60 €
par mois ; c’est inférieur au salaire moyen des
hommes.
b. 1 000 € n’est pas le salaire d’une femme, donc
c’est le salaire d’un homme.
Comme l’étendue des salaires des hommes est
2 400 €, on effectue :
2 400 € + 1 000 € = 3 400 €.
Le salaire le plus élevé pour les hommes
est 3 400 €, ce qui est supérieur au salaire
le plus élevé pour les femmes (2 100 €).
Donc le salaire le plus élevé est 3 400 €.
c. • Une seule femme gagne plus de 2 000 €.
• Le salaire médian des hommes est 2 000 €.
Tous leurs salaires sont différents et il y a un
nombre pair d’hommes, donc aucun homme ne
gagne 2 000 €.
D’après la définition d’une médiane, plus de la
moitié des hommes gagnent plus de 2 000 €.
Or l’effectif total est pair, donc exactement la
moitié des hommes, soit 10 hommes, gagnent
plus de 2 000 €.
• 10 + 1 = 11
En conclusion, 11 personnes gagnent plus de
2 000 €.

32

Un professeur de SVT
a demandé à des élèves
d’une classe de 6e de faire
germer des graines de blé.
Le diagramme ci-dessous
donne les tailles des
plantules 7 jours après
la mise en germination.
5

Effectif

4
3
2
1
0

2

4

6

8

10 12 14 16 18 20 22
Taille (en cm)

a. Combien de plantules mesurent au plus 12 cm ?
b. Donner l’étendue de la série.
c. Calculer la moyenne de la série, en cm.
En donner une valeur approchée au dixième près.
d. Déterminer la médiane de cette série.
Interpréter le résultat.
e. Le professeur a fait la même expérience.
Prouver que, si on ajoute sa donnée, la médiane
ne changera pas.
D’après DNB

a. 1 + 2 + 2 + 4 + 2 + 2 = 13
13 plantules ont une taille de 12 cm ou moins.
b. 22 – 2 = 20 donc l’étendue est 20 cm.
2 1+ 4 2+…+22 2 384
c. m =
=
29
1+2+…+2
m ≈ 13,2 cm
La moyenne est environ 13,2 cm.
d. 29 = 2 ×14 + 1 ; la médiane est la 15e valeur.
2 ; 4; 4 ; … ; 14
14
14 ; 16 ; … ; 22
14 valeurs
14 valeurs
médiane
La médiane est 14 cm.
Au moins la moitié des plantules mesurent
14 cm ou plus.
e. Quelle que soit la taille de la plantule
du professeur, la répartition des tailles est :
2 ; … ; 14
14 ; … ; 22
15 valeurs
15 valeurs
La nouvelle médiane est la demi-somme
des 15e et 16e tailles, toutes deux égales à 14,
donc la médiane reste égale à 14 cm.

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

FICHE

CALCUL
MENTAL

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

24 Perfectionnement
1

Les élèves de deux classes du collège ont
répondu à la question : « Combien de livres avezvous empruntés durant les 12 derniers mois ? »
Les deux classes ont communiqué leurs
réponses de deux façons différentes.
Classe n° 1
Avec ce diagramme :
8

Ce diagramme donne la répartition des
membres d’un club de voile, selon leur âge, mais
la barre correspondant aux membres de 15 ans a
été oubliée.
Âge
20
19
18
17
16
15
14

Effectif

6
4
2
0

2

0
1 2 3 4 5 6 7
Nombre de livres

Classe n° 2
Effectif total : 25
Étendue : 8

Moyenne : 4
Médiane : 5

b. Un « grand lecteur » est un élève qui a
emprunté 5 livres ou plus.
Quelle classe compte le plus de « grands
lecteurs » ?
c. Dans quelle classe se trouve l’élève ayant
emprunté le plus de livres ? Justifier.

D’après DNB

1 × 1 + 2 × 4 + 3 × 8 + 6 ×5 + 7 × 3 84
=
=4
1+4+8+5+3
21
En moyenne, on a lu 4 livres dans la classe n° 1.
Le nombre moyen de livres lus est le même pour les
deux classes donc cette affirmation est fausse.
b. • 5 + 3 = 8 donc il y a 8 grands lecteurs dans la
classe n° 1.
• La médiane de la classe n° 2 est 5 donc au moins
la moitié des 25 élèves ont emprunté 5 livres ou
plus.
25 = 2 × 12 + 1 donc au moins 13 élèves de la
classe n° 2 ont emprunté 5 livres ou plus.
• 8 < 13 donc il y a plus de « grands lecteurs »
dans la classe n° 2.
c. L’étendue de la classe n° 2 est 8.
Donc l’élève qui a emprunté le plus de livres, dans la
classe n° 2, a emprunté au moins 8 livres.
L’élève qui a emprunté le plus de livres se trouve
donc dans la classe n° 2 (8 >7).

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

4

6

8
Effectif

L’âge moyen des membres de ce club est 18 ans.
Calculer l’âge médian des membres de ce club.

a. Est-il vrai qu’en moyenne les élèves de la
classe n° 1 lisent plus que ceux de la classe n° 2 ?

a.

2

• 1 + 3 + 2 + 2 + 4 + 7 = 19
L’effectif total, sans les membres de 15 ans, est
19.
• 1 × 14 + 3 × 16 + … + 4 × 19 + 7 × 20 = 348
Donc la somme des âges de tous les membres,
sans ceux de 15 ans, est 348 ans.
• On note x le nombre de membres qui ont 15 ans.
L’effectif total est 19 + x.
La somme des âges de tous les membres du club
est 348 + 15x.
On obtient l’équation :
348 + 15x
= 18
19 + x
L’égalité des produits en croix s’écrit :
348 + 15x = 18(19 + x)
348 + 15x = 342 + 18x
348 + 15x – 15x = 342 + 18x – 15x
348 = 342 + 3x
348 – 342 = 342 – 342 + 3x
6 = 3x
6 3x
=
3 3
x =2
Donc le club compte 2 membres qui ont 15 ans.
• 19 + 2 = 21
Il y a 21 membres dans ce club.
21 = 2 × 10 + 1 donc l’âge médian est l’âge du
11e membre.
1 + 2 + 3 + 2 + 2 = 10 et 10 + 4 = 14.
Donc l’âge du 11e membre est 19 ans.
L’âge médian est 19 ans.

Chapitre 4 ● Calculer et interpréter des caractéristiques

33

CHAPITRE

FICHE

5

Calculer des probabilités
CALCUL
MENTAL

● ..... . . . . . . . . .

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

25 Probabilité d’un événement
Un événement est constitué par certaines
issues d’une expérience aléatoire.
On dit que chacune de ces issues réalise
l’événement.



La probabilité d’un événement est
la somme des probabilités des issues
qui réalisent cet événement.
C’est un nombre compris entre 0 et 1.



On tourne la roue de loterie équilibrée ci-contre et on relève le numéro
du secteur qui s’arrête en face du repère.
Les issues de l’expérience sont 1, 2, 3 et 4.
L’événement A : « Le nombre obtenu est pair » est réalisé par les issues 2 et 4.

2
La probabilité de l’événement A, notée P(A), est la somme de la probabilité d’obtenir 2 (ici ) et
6
2
2 2 4 2
de la probabilité d’obtenir 4 (ici ). Ainsi P(A) = + = = .
6
6 6 6 3

1

On tire au hasard
une boule dans ce sac opaque
et on note son numéro.
a. Dessiner l’arbre des issues
pondéré par les probabilités.

2

Lors d’une partie de Scrabble©, on tire
un de ces 10 jetons au hasard.

A 1 C3 E 1 E 1 H4 J 8 M2 M2 Q8 X10
Quelle est la probabilité d’obtenir :
a. une consonne ?

2
8

2
8

2
3
8 4
1 7
8

9

2. Dans chaque cas, indiquer les issues
qui réalisent l’événement :


L : « Obtenir un nombre pair » : 2 et 4



M : « Obtenir un multiple de 3 » : 9



N : « Obtenir un nombre supérieur à 5 » : 7 et 9

3. Donner les probabilités P(L), P(M) et P(N)
en écriture décimale.
2 3 5
+ = = 0,625
8 8 8
2
1 2 3
P (M) = = 0,25 P (N) = + = = 0,375
8
8 8 8
P (L) =

4. Citer un événement dont la probabilité est 0,5.

« Obtenir 2 ou 9 » ou « Obtenir 4 ou 7 ».

34

b. un jeton qui vaut moins de 4 points ?

a. Il y a 7 jetons marqués d’une consonne
7
ou 0,7.
donc la probabilité est
10
b. 6 jetons valent moins de 4 points
6
donc la probabilité est
ou 0,6.
10

3

On a tiré 20 fois un jeton
dans un sac opaque qui contient
des jetons numérotés de 1 à 5.
Ce diagramme représente les
effectifs des jetons tirés.
Quelle est la probabilité d’avoir
tiré un jeton au numéro impair ?

6
4

Nombre de sorties

2
0

1

2

3

4

5

Numéro du jeton

Les jetons aux numéros impairs sont 1, 3, 5.
3 + 4 + 6 = 13 ainsi 13 jetons impairs ont été
tirés.
13
= 0,65 donc la probabilité d’avoir tiré un
20
13
jeton au numéro impair est
ou 0,65.
20
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

FICHE

CALCUL
MENTAL

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

26 Événements particuliers


Un événement est dit impossible s’il ne peut pas se produire. Sa probabilité est égale à 0.



Un événement est dit certain s’il se produit toujours. Sa probabilité est égale à 1.



Deux événements sont incompatibles lorsque aucune issue ne les réalise en même temps.

L’événement contraire d’un événement A est l’événement qui se réalise lorsque A ne se
réalise pas. On le note A .



La somme des probabilités d’un événement et de son événement contraire est égale à 1.

1

Lise choisit au hasard un nombre entre 1 et 12.
Elle étudie les événements suivants :
A : « Le nombre choisi est un multiple de 3 » ;
B : « Le nombre choisi est un multiple de 5 » ;
C : « Le nombre choisi est pair ».

3

En ligue 1 de football, la probabilité que
l’équipe qui reçoit gagne le match est 0,48
et la probabilité qu’il y ait un match nul est 0,31.
Donner la probabilité que l’équipe qui reçoit :
a. ne perde pas le match ;

b. perde le match.

1. a. Compléter.
• Les issues 3, 6, 9, 12 réalisent l’événement A.
• Les issues 5, 10

réalisent l’événement B.

• Combien d’issues réalisent à la fois les
événements A et B ? aucune
Donc ces événements sont

incompatibles

.

b. Dire si les deux événements B et C sont
incompatibles ou non. Justifier.
2. Donner les probabilités des événements A, B
et C à l’aide d’une fraction.

1. b. L’issue « 10 » réalise à la fois les
événements B et C donc ces événements ne sont
pas incompatibles.
4 1
2 1
=
• P(B) =
=
2. • P(A) =
12 3
12 6
6 1
• P(C) =
=
12 2

a. L’événement A « Ne pas perdre le match »
est réalisé par les deux issues :
« Gagner le match » et « Faire match nul ».
P (A) = 0,48 + 0,31 = 0,79
b. Les événements « Perdre le match »
et « Ne pas perdre le match » sont contraires
donc P ( A ) = 1 – P(A) = 1 – 0,79 = 0,21

4

1. Compléter ce tableau qui résume les
langues maîtrisées par les clients d’un hôtel.
Français

Anglais
20

Hommes

18
14

Total

32

Femmes

28
48

2. 30 clients maîtrisent à la fois le français et
l’anglais. On interroge au hasard un client de l’hôtel.
Quelle est la probabilité que le client :
a. soit une femme qui parle anglais ?
b. parle français ?
c. ne parle qu’une seule langue ?

2

Brice lance un dé cubique bien équilibré dont
les six faces sont numérotées de 1 à 6.
On s’intéresse aux événements suivants :
A : « Obtenir un nombre inférieur ou égal à 6 » ;
B : « Obtenir le nombre 0 » ;
C : « Obtenir un nombre strictement inférieur à 3 » ;
D : « Obtenir un nombre supérieur ou égal à 3 ».
Compléter.
L’événement A est

certain

L’événement B est

impossible

Les événements C et D sont
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

. P(A) =

1 .
0 .

. P(B) =

contraires

.

32 – 30 = 2               48 – 30 = 18
Donc 2 clients ne maîtrisent que le français et
18 clients ne maîtrisent que l’anglais.
30 + 2 + 18 = 50 donc il y a 50 clients dans l’hôtel.
20
ou 0,4.
a. La probabilité est
50
32
ou 0,64.
b. La probabilité est
50
20
ou 0,4.
c. 2 + 18 = 20. La probabilité est
50
Chapitre 5 ● Calculer des probabilités

35

FICHE

CALCUL
MENTAL

● ..... . . . . . . . . .

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

27 Expériences à deux épreuves
1

Un sac opaque contient quatre
jetons numérotés de 1 à 4.
Axelle prend au hasard un jeton, note
son numéro et le remet dans le sac,
puis elle prend un deuxième jeton et
note son numéro.

2

Victor tire au hasard une boule du premier
sac et note son numéro. Puis il tire au hasard
un jeton dans le second sac et note sa couleur :
rouge (R), vert (V) ou jaune (J).

1. a. Compléter l’arbre ci-dessous afin d’obtenir
toutes les issues de l’expérience.
b. Quelle est la probabilité de chaque issue ?

a.

1er jeton

2e jeton

1

1
2
3
4

2

1
2
3
4

3

1
2
3
4

4

1
2
3
4

b. 4 × 4 = 16 donc il y a 16 issues possibles.
Chacune de ces issues a la même probabilité
de se réaliser donc la probabilité de chaque issue
1
est
.
16

2. a. Donner les issues qui réalisent
l’événement E : « La somme des deux numéros
est égale à 6 ».

Il y a trois issues : (2 ; 4) (3 ; 3) (4 ; 2)
b. Quelle est la probabilité de cet événement ?

La probabilité est P(E) =

3
.
16

3. Que dire de chaque événement :
F : « La somme des deux numéros est égale
à1»?

Il est impossible.

G : « La somme des deux numéros est comprise
entre 2 (inclus) et 8 (inclus) » ?

36

Il est certain.

1. a. Compléter l’arbre ci-dessous afin d’obtenir
toutes les issues de l’expérience.
b. Combien l’expérience a-t-elle d’issues ?

a.

1re épreuve 2e épreuve
1
2

R
V
J
R
V
J

b. 2 × 3 = 6 donc il y a 6 issues possibles.
2. Donner la probabilité de chacun des
événements :
• A : « Obtenir la couleur jaune » ;
• B : « Ne pas obtenir la couleur jaune ».

• Deux issues réalisent A : (1 ; J) et (2 ; J).
2
1
La probabilité est P(A) = soit P(A) = .
6
3
• B est l’événement contraire de l’événement
« Obtenir la couleur jaune » dont la probabilité
1
est .
3
1
2
Donc la probabilité est P(B) =1 – soit P(B) = .
3
3

3

On lance deux dés non truqués à huit faces,
numérotées de 1 à 8, et on lit les numéros des
faces supérieures.
Quelle est la probabilité d’obtenir le même
nombre sur les deux dés ?

8 × 8 = 64 donc il y a 64 issues possibles.
Il y a 8 issues qui réalisent l’événement :
(1 ; 1) ; (2 ; 2) ……… (8 ; 8)
8
1
La probabilité est donc
soit .
64
8
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

28 Avec une calculatrice, avec un tableur

2 1

1

100
(TI-Collège Plus Solaire)

3 2

(randn ()1

3 4

4 3

(RND) 2

2 3

4 5

5 4

ou

1 2

5 6

6 5

1
100
(Casio fx-92 Spéciale Collège)

1

6 7

7 6

a. Pour cela, saisir :

On joue avec ces dix cartes. On tire au
hasard l’une d’elles, on la remet dans le tas puis
on tire une nouvelle carte.
7 8

8 7

1. On simule cette expérience avec la calculatrice.

2

8 9

9 10

10

9 8

On choisit au hasard un nombre entier
entre 1 et 100 et on considère l’événement
E : « Le nombre obtenu est un multiple de 3 ».

10 9

1

10

FICHE

CALCUL
MENTAL

On calcule ensuite la différence des points
affichés sur les deux cartes obtenues.
On se propose d’estimer avec le tableur
la probabilité de l’événement D :
« La différence des points
est strictement supérieure à 4 ».
1. a. Réaliser cette feuille de calcul.

b. Noter le nombre obtenu s’il est multiple de 3.
c. Appuyer ensuite sur la touche
ou
pour afficher un nouveau nombre. Si le nombre
obtenu est un multiple de 3, le noter ci-dessous.
Recommencer afin d’afficher 50 nombres.
d. Calculer la fréquence des multiples de 3
pour les 50 nombres obtenus.

Exemple
c. 48 ; 3 ; 57 ; 81 ; 66 ; 24 ; 96 ; 36 ; 21 ; 87 ;
72 ; 42 ; 66.
d. Il y a 13 multiples de 3 parmi les 50 nombres.
13
= 0,26 donc la fréquence est 0,26.
50
2. a. Quel est le nombre de multiples de 3 parmi
les nombres entiers de 1 à 100 ?
b. Quelle est alors la probabilité de
l’événement E ?
c. Comparer cette probabilité avec la fréquence
obtenue à la question 1. d. Expliquer.

a. Il y a 33 multiples de 3 entre 1 et 100.
33
b. P(E) =
= 0,33
100
c. 0,26 ≠ 0,33
La fréquence d’une issue varie d’une série
de tirages à une autre. Il faudrait réaliser
un très grand nombre de tirages pour que cette
fréquence se rapproche de plus en plus
de la probabilité « théorique ».
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

b. En cellule A2, saisir
=ALEA.ENTRE.BORNES(1;10)
pour afficher un nombre entier de 1 à 10.
c. Recopier cette formule dans la cellule B2.
d. En cellule C2, saisir
=MAX(A2;B2)-MIN(A2;B2)
pour calculer la différence des points.
e. En cellule D2, saisir = SI(C2>4;1;0) qui
renvoie 1 si le contenu de C2 est strictement
supérieur à 4 et 0 sinon.
f. Sélectionner la plage A2 : D2 puis la recopier
vers le bas jusqu’à la ligne 1 001 pour simuler
1 000 fois l’expérience.
g. En cellule F2, saisir =SOMME(D2:D1001)/1000 .
Que signifie la valeur affichée pour la situation ?
2. a. Taper sur CTRL, MAJ et F9 pour actualiser
la feuille et observer la fréquence affichée.
b. Réactualiser plusieurs fois la page.
En déduire une estimation de la probabilité
de l’événement D.

1. g. Ce résultat correspond à la fréquence
de l’événement D pour les 1 000 simulations.
2. b. La probabilité de l’événement D semble
proche de 0,3.
Chapitre 5 ● Calculer des probabilités

37

t
29 Objectif breve
QCM

Sélection de sujets de Brevet

Voici un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).

Bilan ..... / 5

A

Dans une urne, se trouvent
10 fanions indiscernables au
toucher : 6 rouges et 4 jaunes.
La probabilité de sortir un fanion
rouge est…

6

3
5

0,6

B

Pour cet arbre,
la probabilité
manquante
sous la
tache est…

7
9

5
12

5
9

C

On fait tourner cette roue.
Les événements
2
N : « Obtenir 9 »
6
et R : « Obtenir une
1
case rouge » sont…

incompatibles

contraires

certains

1
9
1
3

1

4
9

4

12

D

Pour la roue de la question C,
la probabilité d’obtenir…

un nombre pair
5
est
8

un nombre pair
situé sur une case
verte est 0,25

un multiple de 3
3
est
8

E

On fait tourner la roue de la
question C deux fois de suite.
La probabilité d’obtenir…

deux fois
un nombre pair
10
est
8

deux fois
une
case verte
est 0,25

au moins une fois
un nombre pair est
55
64

1 Comprendre une situation
Aïssia souhaite
s’équiper pour faire
du roller.
Elle a le choix entre
une paire de rollers gris
à 87 € et une paire
de rollers noirs à 99 €.
Pour le casque elle hésite entre trois modèles
qui coûtent respectivement 45 €, 22 € et 29 €.
1. Si elle choisit son équipement (casque
et paire de rollers) au hasard, quelle est
la probabilité pour que l’ensemble lui coûte
moins de 130 € ?
2. Elle s’aperçoit qu’en achetant la paire de
rollers noirs et le casque à 45 €, elle bénéficie
d’une réduction de 20 % sur l’ensemble.
a. Calculer le prix, en euros, de cet ensemble
après réduction.

1. On peut construire un tableau pour visualiser
les 6 prix possibles de son équipement.
Casque (en €)

45

22

29

132

109

116

Rollers noirs (99 €) 144

121

128

Rollers gris (87 €)

4 ensembles sur 6 coûtent moins de 130 €
(109 € ; 116 € ; 121 € ; 128 €)
4
2
donc la probabilité cherchée est ou .
6
3
20
2. a. •
× 144 € = 28,80 €
100
• 144 € – 28,80 € = 115,20 €
Le prix de cet ensemble après réduction
est 115,20 €.
b. À présent, 5 ensembles coûtent moins
de 130 € ; la probabilité est donc modifiée.
5
Elle est à présent .
6

b. Cela modifie-t-il la probabilité obtenue
à la question 1. ? Justifier la réponse.
D’après DNB

38

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

Objectif brevet

2 Calculer des probabilités

4 Étudier une expérience

Un restaurant propose cinq variétés de pizzas.
Voici la carte :

CLASSIQUE : tomate, jambon, œuf, champignons
MONTAGNARDE : crème, jambon, pomme de terre,
champignons
LAGON : crème, crevettes, fromage
BROUSSARDE : crème, chorizo, champignons
PLAGE : tomate, poivrons, chorizo

a. Je commande une pizza au hasard. Quelle est
la probabilité qu’il y ait des champignons ?

Les faces de deux dés tétraédriques, un jaune et
un vert, sont numérotées de 1 à 4.
On les lance et on calcule la somme des deux
nombres qui figurent sur les faces cachées.
1 000 lancers sont simulés avec le tableur.
Le diagramme ci-dessous représente la
fréquence d’apparition de chaque somme
obtenue.
25
20
15

b. J’ai commandé une pizza à la crème.
Quelle est la probabilité d’avoir du jambon ?

10

c. Il est possible de commander une pizza
composée à moitié d’une variété et à moitié
d’une autre. Quelle est la probabilité d’avoir
des champignons sur toute la pizza ?

0

D’après DNB

a. 3 pizzas sur 5 ont des champignons.
Donc la probabilité qu’il y ait des champignons est
3
ou 0,6.
5
b. Sur les 3 pizzas à la crème, une seule a du
1
jambon, donc la probabilité d’avoir du jambon est .
3
c. On note C pour Classique, M pour Montagnarde,
L pour Lagon, B pour Broussarde, P pour Plage.
Il y a 10 pizzas possibles :
MC – LC – LM – BC – BM – BL – PC – PM – PL – PB
Parmi celles-ci, 3 ont des champignons sur toute
la pizza : MC – BC – BM.
La probabilité d’avoir des champignons sur toute
3
la pizza est donc
ou 0,3.
10

3 Utiliser des informations
Un DJ possède 96 titres de musique rap et
104 titres de musique électro. Lors de ses
concerts, il choisit les titres qu’il mixe au hasard.
Calculer la probabilité que le premier titre soit un
titre de rap.

D’après DNB

96 + 104 = 200
Le DJ a 200 titres en tout.
La probabilité de mettre en premier un titre de rap
96
48
est donc P =
=
soit P = 48 %.
200 100

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

Fréquence en %

5
1

2

3

4

5

6

7

8

Somme des nombres inscrits sur les deux dés

1. Par lecture graphique, donner la fréquence
d’apparition de la somme 3.
2. Lire la fréquence d’apparition de la somme 1.
Justifier cette fréquence.
3. a. Décrire les lancers de dés qui permettent
d’obtenir une somme égale à 3.
b. En déduire la probabilité d’obtenir la
somme 3 en lançant les dés. On exprimera cette
probabilité en pourcentage.
Expliquer pourquoi ce résultat est différent de
celui obtenu à la question 1.

1. On lit sur le diagramme que la fréquence
d’apparition de la somme 3 est 15 %.
2. On lit que la fréquence d’apparition de la somme
1 est 0 %.
En effet, il est impossible d’obtenir cette somme.
La plus petite somme que l’on peut obtenir est 2
(1 pour chaque dé).
3. a. On peut obtenir la somme 3 si l’on obtient :
• 1 avec le dé jaune et 2 avec le dé vert ;
• 2 avec le dé jaune et 1 avec le dé vert.
b. 4 × 4 = 16 donc il y a 16 issues possibles.
La probabilité d’obtenir la somme 3 est donc
2
P=
= 0,125 soit P = 12,5 %.
16
12,5 % ≠ 15 %. Les résultats sont assez proches
mais différents, car on a simulé seulement
1 000 lancers ; il faudrait en simuler davantage
pour obtenir une fréquence proche de 12,5 %.

Chapitre 5 ● Calculer des probabilités

39

FICHE

CALCUL
MENTAL

● ..... . . . . . . . . .

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

30 Perfectionnement
1

Trois usines A, B et C produisent des pièces
d’ordinateurs.
La probabilité qu’une pièce provienne de
l’usine A est 4 et la probabilité qu’elle
15
provienne de l’usine B est 5 .
12
Louise a commandé une de ces pièces.

3

1. On fait tourner ces deux roues et on
s’intéresse à la somme des nombres obtenus.
On gagne un prix si cette somme est un nombre
pair.

a. Quelle est la probabilité que la pièce
provienne soit de l’usine A soit de l’usine B ?
b. Quelle est la probabilité que la pièce
provienne de l’usine C ?

Roue A

Roue B

8

4

7

9

2

1

5

3

a. Compléter ce tableau afin d’obtenir toutes
les sommes possibles.
Roue A

4
5 16 25 41
+
=
+
= .
15 12 60 60 60
La probabilité que la pièce provienne soit de
41
l’usine A soit de l’usine B est .
60
41 60 41 19
=

= .
b. P(C) = 1 –
60 60 60 60
La probabilité que la pièce provienne de l’usine C
19
est .
60

2

Lors d’un voyage scolaire en Italie, un bus
transporte des élèves de trois collèges : 17 élèves
du collège V. Hugo, 19 élèves du collège J. Verne
et des élèves du collège A. Camus.
Lors d’un arrêt, ils sortent du bus en désordre.
Si la probabilité qu’un élève du collège A. Camus
sorte du bus en premier est 1 , déterminer le
4
nombre d’élèves de ce collège présents dans le bus.

On note n le nombre d’élèves du collège A. Camus
présents dans le bus.
17 + 19 + n = 36 + n
La proportion des élèves du collège A. Camus est
n
1
. Elle est aussi de .
36 + n
4
n
1
= d’où 4 × n = 1 × (36 + n)
36 + n 4
4n = 36 + n soit 3n = 36 et n = 12
Il y a 12 élèves du collège A. Camus dans le bus.

40

Roue B

a. P(A) + P(B) =

+

1

2

4

8

3

4

5

7

11

5

6

7

9

13

7

8

9

11

15

9

10

11

13

17

b. Quelle est la probabilité P de gagner un prix ?
4 1
il y a 4 résultats pairs sur les 16 donc P =
= .
16 4
2. a. À l’intérieur des deux roues ci-dessous,
placer les huit mêmes nombres (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;
7 ; 8 ; 9) de façon à augmenter la probabilité de
gagner un prix.
1

4

8

5

2

3

7

9

b. Quelle est, avec ces deux nouvelles roues,
8
1
ou
la probabilité de gagner un prix ?
16
2

4

Une urne contient 12 boules blanches
et 6 boules vertes.
On ajoute des boules rouges et la probabilité
de tirer une boule blanche devient alors 0,3.
Combien de boules rouges a-t-on ajoutées ?

On note x le nombre total de boules.
• La probabilité de tirer une boule blanche
12
12
est x = 0,3. D’où : 0,3x = 12 et x =
= 40.
0,3
• 40 – (12 + 6) = 22.
Donc on a ajouté 22 boules rouges.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

Comprendre et utiliser
la notion de fonction

CHAPITRE

FICHE

6

CALCUL
MENTAL

● ....... . . . . . . .

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

● ..............

31 Vocabulaire des fonctions et notations
À un nombre x, une fonction f associe un nombre et un seul, que l’on note f (x) (lire « f de x »).
On dit que f (x) est l’image de x par la fonction f.
f (a) = b
fonction f
x
f (x)
a est un antécédent de b
b est l’image de a
Image de x par f

1

3

On assimile cette machine à une fonction f.
Machine

Entrer
un
nombre

Multiplier
par 2

Ajouter 3

h désigne une fonction. Compléter ce tableau.
En langage
mathématique

Nombre
obtenu

a. Quel nombre obtient-on si on entre le nombre 5 ?

h (8) = 6

L’image de

h (5) = 9

Un antécédent de

h( 2 ) =

5 × 2 = 10 et 10 + 3 = 13 donc on obtient 13.

En français

3

h ( 7 ) = 10

8 est 6 .
9 est 5 .

3 est l’image de 2.
10 a pour antécédent 7.

b. Compléter.

4



f (5) = 13 .



L’image de 5 par la fonction f est



L’antécédent de 13 par la fonction f est

13

Voici un tableau de valeurs d’une fonction f
réalisé avec le tableur.

.

5 .

c. Le nombre entré dans la machine étant x,
exprimer le nombre obtenu f (x) en fonction de x.
f (x) = 2x + 3

2

On assimile cette machine à une fonction g.

Soustraire
5

Multiplier
par 4



Sur la ligne 1, on peut lire les

antécédents

.



Sur la ligne 2, on peut lire les

images

.

b. Compléter.

Machine
Entrer
un
nombre

a. Compléter avec les mots antécédents
ou images.

Nombre
obtenu

a. Quel nombre obtient-on si on entre le nombre 7 ?

7 – 5 = 2 et 2 × 4 = 8 donc on obtient 8.
b. Compléter.


L’antécédent de 8 par la fonction g est 7



L’image de



g( 7 ) =

7 par la fonction g est 8 .
8 .

.



L’image de 2 est – 2



Un antécédent de 4 est – 1   .

5

.



f (– 4) = 10

.



f (4) = – 6

.

Vitesse (en km/h)

30

50

83

Distance d’arrêt (en m)

15

30

70

110
109

Ce tableau définit une fonction d qui, à la vitesse
(en km/h) d’un véhicule, associe la distance
d’arrêt (en m).


Que signifie d (110) = 109 pour cette situation ?

Si le véhicule roule à 110 km/h, la distance d’arrêt

c. Le nombre entré dans la machine étant x,
exprimer le nombre g(x) en fonction de x.

est 109 m.
Compléter la dernière colonne du tableau à l’aide
de cette information.



g(x) = (x – 5) × 4 ou
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

g(x) = 4 (x – 5)

Chapitre 6 ● Comprendre et utiliser la notion de fonction

41

FICHE

CALCUL
MENTAL

● ..... . . . . . . . . .

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

32 Définir une fonction avec un graphique
f est la fonction définie par le graphique ci-dessous.
Images
f (x)

f(x)

5

1
5

On a représenté
une fonction f.



2 est



f( 2 ) = 1 .

3

5

O

1 2 3 4 5

un antécédent

de 1 ;

b. Compléter à l’aide du tracé en vert :

2   est

l’antécédent de



f(

)=

2

;



l’image de

4

est

4

x

O 1 2

10

5

8

4 ;

2 .

c. Citer un nombre qui n’a pas d’antécédent.

3 n’a pas d’antécédent.

10

Les antécédents de 3 sont 2 et 8.

3

de 2 est 1 ;



1

x

3
2
1

a. Compléter à l’aide
du tracé en rouge :

image

3

L’image de 2 est 3.

1

l’

5

O 1 2

10

Antécédents



5

1

x

O 1

f(x)

On a représenté
une fonction f.

3
2
1

Lire sur le graphique :

O

1 2 3 4 5 6 7 8



l’image de 3 : 2 ;



le (les) antécédent(s) de 3 : 1 ;



f (0) = 2 ;



le nombre qui a pour image 0 : 6 ;



le (les) antécédent(s) de 1 : 5 et 8 .

4

Ce graphique indique des températures
moyennes, en °C, relevées dans une ville,
selon le numéro du mois de l’année.

Température moyenne (en °C)
15

2

Ce graphique 12
donne l’évolution
8
du poids, en kg,
d’un jeune enfant 4
en fonction de
O
9
3
6
12 15
son âge, en mois.
On note P la fonction qui, au mois, associe
le poids.
1. a. Quelle est pour la fonction P :


la variable ? L’âge.



la grandeur mesurée ? Le poids.

P (6) =



b. L’antécédent de 12 est 15   .

42

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

Numéro du mois de l’année



l’image de 7 : 16

;



le (les) antécédent(s) de 14 : 6 et 9

.

c. On note T la fonction qui au numéro du mois
associe sa température. Que signifie T(2) = 3 ?

2. Compléter :


0

b. Lire sur le graphique :

Sur l’axe des abscisses.



5

a. Compléter les légendes sur les axes.

b. Sur quel axe lit-on la variable ?

a. ● P (3) =

10



P (1) = 4

Durant le deuxième mois de l’année, c’est-à-dire en février,
la température moyenne est de 3 °C.
© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

FICHE

CALCUL
MENTAL

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

33 Définir une fonction avec une formule
h est la fonction telle que h(x) = (x + 1)2.
Pour calculer l’image d’un nombre , on effectue le calcul ( + 1)2.
Cette fonction correspond au programme de calcul ci-contre.

1

4

f est la fonction définie par f (x) = x2 + 7.

a. Compléter : « Pour calculer l’image de 5 par f,
on remplace x par 5 dans l’expression x2 + 7   . »
Donc f (5) = 52 + 7 = 25 + 7 = 32
b. Calculer l’image de 8 par f.

donc l’image de 8 est 71.
g est la fonction qui, à un nombre x, associe
la somme de ce nombre et de 8.

1. Quel nombre
obtient-on si l’on choisit
7 comme nombre de
départ ?



g(– 6).

1. • 7 – 5 = 2 • 2 × 4 = 8 • 8 – 3 × 7 = –13.
Si on choisit 7, on obtient – 13.
2. a. • x
•x–5
• (x – 5) × 4
• (x – 5) × 4 – 3x.
donc h(x) = (x – 5) × 4 – 3x = 4x – 20 – 3x
h(x) = x – 20.
b. h(–11) = –11 – 20 = –31.
Donc l’image de –11 est –31.
c. On cherche à déterminer le nombre x
tel que h(x) = 4, c’est-à-dire tel que :
x – 20 = 4 d’où x = 4 + 20 soit x = 24.
L’antécédent de 4 par h est 24.

g(– 6) = – 6 + 8 = 2






b. Calculer l’image de –11 par h.

g(5) = 5 + 8 = 13 donc l’image de 5 est 13.

c. Louise a écrit :

Choisir un nombre.
Soustraire 5.
● Multiplier par 4.
● Soustraire le triple
du nombre de départ.


c. Déterminer l’antécédent de 4 par h.

a. Donner l’expression de g(x) : g(x) = x + 8
l’image de 5 ;

Voici un programme de calcul.

a. Le nombre de départ étant x, donner
l’expression réduite de h(x).

2





2. On note h la fonction
qui, au nombre x choisi, associe le résultat
obtenu avec ce programme de calcul.

f (8) = 82 + 7 = 64 + 7 = 71

b. Calculer :

Choisir un nombre.
Ajouter 1.
● Élever au carré.


g (x) = 15 donc x + 8 = 15

Que veut-elle déterminer ?
Terminer le travail de Louise puis conclure.

Louise veut déterminer l’antécédent de 15 par g.
x + 8 = 15 donc x = 15 – 8 soit x = 7
L’antécédent de 15 est 7.

3

x désigne un nombre positif.
A(x) désigne l’aire de ce rectangle.

5

Voici deux fonctions :
● x x2 + 1
x 10 – x
On donne l’information : f (–2) = 5.
Parmi les deux fonctions, quelle est la fonction f ?
Expliquer.


a. Donner l’expression de A(x).
b. Alexis affirme : « 0,5 est un antécédent de 0,75
par la fonction A. » A-t-il raison ?

a. A(x) = x(x + 1)
b. A(0,5) = 0,5 × (0,5 + 1) = 0,5 × 1,5 = 0,75.
Donc Alexis a raison.

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

On calcule l’image de – 2 par chaque fonction.
• 10 – (– 2) = 12
• (– 2)2 + 1 = 4 + 1 = 5
donc f (x) = x2 + 1.

Chapitre 6 ● Comprendre et utiliser la notion de fonction

43

t
34 Objectif breve
QCM

Sélection de sujets de Brevet

Voici un questionnaire à choix multiples.
Pour chaque question, entourer la (ou les) réponse(s) exacte(s).
A

f est une fonction telle que
f (8) = 6. Alors…

l’image de 8
est 6

l’image de 6
est 8

un antécédent
de 6 est 8

l’image de 7
est 4

un antécédent
de 4 est 2

un antécédent
de 2 est aussi
l’image de 9

l’image de 3 par h
est 1

h(0) = h(2)

l’antécédent
de 0 est – 1

m(10) = 95

un antécédent
de 3 est 18

l’image de – 6
est – 9

n(x) = 2x + 3

l’image de 7
est 17

l’antécédent
de 25 est 11

Voici un tableau de valeurs d’une
fonction g.
B

C

x

2

3

4

5

7

9

g(x) 4 7
On y lit que…

3

2

4

5

Ce graphique
définit une
fonction h.
On y lit que…

3
2
1
–1 O

Bilan ..... / 5

1 2 3

D

m est la fonction définie
par m(x) = x2 – 2x + 15.
On peut affirmer que…

E

n est la fonction qui, à un nombre x,
associe la somme de 3 et du double
de ce nombre. Alors...

1 Utiliser un programme de calcul
On considère le programme de calcul suivant :
Choisir un nombre.
Ajouter 5.
● Prendre le carré
de cette somme.



2 Relier tableur et fonctions
La copie d’écran ci-dessous montre le travail
qu’a effectué Lilou à l’aide du tableur à propos
des fonctions g et f définies par :
g (x) = 5x2 + x − 7 et f (x) = 2x − 7.
Elle a recopié vers la droite les formules qu’elle
avait saisies dans les cellules B2 et B3.

On appelle f la fonction qui, au nombre choisi,
associe le résultat du programme de calcul.
a. Parmi ces fonctions, quelle est la fonction f ?
● x (x + 5)2
x x2 + 25
2
● x x + 5
● x 2(x + 5)

a. Donner un nombre qui a pour image –1 par g.

b. Calculer l’image de 2 par la fonction f.

b. Écrire les calculs montrant que g (–2) = 11.

c. Est-il vrai que –3 est un antécédent de 4 ?

c. Quelle formule Lilou a-t-elle saisie en B3 ?



D’après DNB

a. f (x) = (x + 5)2.
b. f (2) = (2 + 5)2 donc f (2) = 72 = 49.
L’image de 2 est 49.
c. On calcule l’image de –3.
f (–3) = (–3 + 5)2 donc f (–3) = 22 = 4
L’image de –3 est 4
donc –3 est bien un antécédent de 4.

44

d. Citer une valeur de x pour laquelle g (x) = f (x).
D’après DNB

a. 1 a pour image –1 par la fonction g.
b. g( –2) = 5 × (–2)2 + (–2) – 7
g(–2) = 5 × 4 – 2 – 7
g(–2) = 20 – 9 d’où g(–2) = 11
c. Lilou a saisi la formule =2*B1 – 7 .
d. g(x) = f (x) pour x = 0.

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

Objectif brevet

3 Lire une représentation graphique

5 Résoudre les problèmes

On utilise la courbe donnée ci-dessous qui
représente une fonction f.

On considère ce rectangle
ABCD dont le périmètre
est égal à 31 cm.

9

B

D

C

1. a. Si un tel rectangle a pour longueur 10 cm,
quelle est sa largeur ?

8
7
6

b. On appelle x la longueur AB, en cm.
Exprimer la largeur BC en fonction de x.
En déduire l’aire du rectangle ABCD en fonction de x.

S

5
4

2. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté
l’aire du rectangle ABCD en fonction de la valeur
de x.

3
2

Aire de ABCD (en cm2)

1
O

A

1

2

3

4

5

6

7

8

60

9

En réalisant les tracés utiles sur le graphique :

40

a. Donner une valeur approchée de f (2).

20

b. Donner l’(ou les) antécédent(s) de 4 par
la fonction f.

O

c. Placer, sur la courbe de la fonction f, un point S
qui semble avoir la plus petite ordonnée.
d. Par lecture graphique, donner des valeurs
approchées des coordonnées du point S.
D’après DNB

2 3 4

6

8

10 12
14
Valeur de x (en cm)

À l’aide de ce graphique, répondre aux questions
suivantes en donnant des valeurs approchées.
a. Quelle est l’aire du rectangle ABCD lorsque x
vaut 3 ?
b. Pour quelles valeurs de x obtient-on une aire
égale à 40 cm2 ?

a. f (2) ≈ 6,5
b. 4 n’a pas d’antécédent par la fonction f.
d. S(6,5 ; 5,25).

c. Quelle est l’aire maximale de ce rectangle ?
Pour quelle valeur de x est-elle obtenue ?
3. Que peut-on dire du rectangle ABCD lorsque
AB vaut 7,75 ?

4 Justifier des affirmations

D’après DNB

f est la fonction définie par f (x) = – x.
Dans chaque cas, dire si l’affirmation est vraie ou
fausse en justifiant la réponse.
x2

a. f est la fonction qui, au
nombre x choisi, associe
le résultat obtenu avec ce
programme de calcul.

Choisir un nombre.
● Soustraire 1.
● Multiplier par le
nombre de départ.


b. A (– 6 ; 42) est un point de la courbe (C) qui
représente la fonction f.
D’après DNB

a. • x
•x–1
• (x – 1) × x
On obtient le nombre x(x – 1) c’est-à-dire aussi
x2 –x. Donc l’affirmation est vraie.
b. f (– 6) = (– 6)2 – (– 6) = 36 + 6 = 42.
donc A (– 6 ; 42) est un point de (C).
Donc l’affirmation est vraie.

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

1. a. 31 cm : 2 = 15,5 cm
donc AB + BC = 15,5 cm.
D’où 10 + BC = 15,5 et BC = 15,5 – 10 = 5,5.
La largeur du rectangle est 5,5 cm.
b. AB + BC = 15,5 d’où x + BC = 15,5.
Alors BC = 15,5 – x.
L’aire du rectangle ABCD est x(15,5 – x).
2. a. Lorsque x vaut 3, l’aire du rectangle
ABCD est environ 38 cm2.
b. On obtient une aire égale à 40 cm2 pour
x ≈ 3,3 et pour x ≈ 12,2.
c. L’aire maximale de ce rectangle est environ 60 cm2.
Elle est obtenue pour x ≈ 7,7.
3. AB = 7, 75 d’où BC = 15,5 – 7,75 = 7,75.
Donc AB = BC. ABCD est un rectangle qui a
deux côtés consécutifs de même longueur.
ABCD est donc un carré.

Chapitre 6 ● Comprendre et utiliser la notion de fonction

45

FICHE

CALCUL
MENTAL

● ..... . . . . . . . . .

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

35 Perfectionnement
1

Après avoir franchi une rampe,
Mattéo a effectué un saut record
en moto.
Lors de ce saut :
la distance d, en m,
parcourue horizontalement
en fonction de la durée t, en s,
du saut est telle que d (t) = 15,4t.
● la hauteur h, en m, à laquelle Mattéo se trouve
est alors telle que h (t) = 4,2 + 15,4t – 4,9t 2.

2

La promenade d’un cycliste était constituée
d’une montée suivie d’une descente.
Lequel de ces graphiques peut rendre compte
de cette promenade ? Expliquer.
Graphique 1



h

d

sol

Distance

Durée

Mattéo
rampe

Graphique 2

Distance

Graphique 3
Distance

Durée

Durée

Il s’agit du graphique 2. En effet : la distance
parcourue augmente lentement sur la 1re
partie du parcours (montée) puis elle augmente
rapidement sur la 2e partie (descente).

1. a. Calculer h(0) puis interpréter ce résultat.
b. Calculer l’image de 3 par d puis par h.
Interpréter ces résultats pour le saut.
2. Mattéo était au sommet de sa trajectoire
quand il avait parcouru environ 26,95 m
horizontalement.
Traduire cette information pour la fonction d
puis déterminer la hauteur maximale atteinte
par Mattéo.

3

a. Avec GeoGebra, représenter les fonctions
f et g définies par f (x) = 0,5x + 2 et g (x) = 0,5x2 + 1.
Pour cela, taper dans la zone de saisie :
0.5*x+2 puis Entrée pour f,
0.5*x*x+1 puis

Entrée

pour g.

B

+

1. a. h (0) = 4,2 + 15,4 × 0 – 4,9 × 02 = 4,2
Lorsqu’il a quitté la rampe, Mattéo était à 4,2 m
de hauteur.
b. d (3) = 15,4 × 3 = 46,2
h (3) = 4,2 + 15,4 × 3 – 4,9 × 32 = 6,3
Au bout de 3 secondes, Mattéo avait parcouru
horizontalement 46,2 m.
Il se trouvait à 6,3 m de hauteur.
2. Cette information se traduit par d (t) = 26,95.
Soit 15,4t = 26,95
26,95
t=
= 1,75.
15,4
Mattéo a atteint la hauteur maximale au bout
de 1,75 s.
h (1,75) = 4,2 + 15,4 × 1,75 – 4,9 × 1,752
d’où h (1,75) ≈ 16,14.
La hauteur maximale atteinte par Mattéo est
environ 16,14 m.

46

A+

b. Lire les coordonnées des points d’intersection
A et B des deux représentations graphiques.
Vérifier par le calcul que les points A et B
appartiennent à ces deux représentations.

b. On lit A(–1 ; 1,5) et B(2 ; 3).
• f (–1) = 0,5 × (–1) + 2 = –0,5 + 2 = 1,5
f (2) = 0,5 × 2 + 2 = 1 + 2 = 3
Donc A(–1 ; 1,5) et B(2 ; 3) sont deux
points de la représentation graphique de f.
• g(–1) = 0,5 × (–1)2 + 1 = 0,5 × 1 + 1 = 1,5
g(2) = 0,5 × 22 + 1 = 0,5 × 4 + 1 = 3
Donc A(–1 ; 1,5) et B(2 ; 3) appartiennent
aussi à la représentation graphique de g.

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

Relier proportionnalité
et fonction linéaire

CHAPITRE

FICHE

7

CALCUL
MENTAL

● ....... . . . . . . .

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

● ..............

36 Reconnaître une fonction linéaire
a désigne un nombre.
La fonction linéaire de coefficient a est la fonction qui,
à un nombre x, associe le nombre a x.
On la note f : x ax.

1

Chez un boucher, 1 kg de jambon coûte 17 €.

a. Compléter ce tableau.
Masse (en kg)
Prix (en €)

1

0,4

1,4

0,5

17

6,80

23,80

8,50

b. On note p la fonction qui, à x (en kg), associe
le prix à payer (en €).
Donner l’expression de p (x).

p(x) = 17x.
c. La fonction p est-elle linéaire ? Expliquer.

Pour calculer l’image d’un nombre, on multiplie
ce nombre par 17 donc p est la fonction linéaire de
coefficient 17.

3
a.
x
f (x)

x

fonction f

ax

On multiplie par a

Dire si la fonction f peut être linéaire ou non.
2

4

10

3,5

7

17,5

a.

b.
x
f (x)

0

3

5

4

7,2

12

3,5 7 17,5
= =
=1,75 donc f peut être
2 4 10

la fonction linéaire de coefficient 1,75.
b. L’image de 0 n’est pas 0 donc f ne peut pas
être une fonction linéaire.

4

● Choisir un nombre.
Voici un
● Multiplier par 0,2.
programme de
● Ajouter le nombre choisi.
calcul.
On note x le nombre choisi et f (x) le nombre
obtenu. La fonction f est-elle linéaire ? Justifier.

2

Un avion se déplace à la
vitesse constante de 180 m/s.

•x
• 0,2x
• 0,2x + x = 1,2x
f (x) = 1,2x donc f est la fonction linéaire
de coefficient 1,2.

1. Compléter ce tableau.
Durée (en s)

0

3

25

Distance (en m)

0

540

4 500

5

2. a. On note d (t) la distance, en m, parcourue
pendant une durée t, en s.
Exprimer d (t) en fonction de t.

P(x) désigne le périmètre,
en cm, et A(x) l’aire, en cm2,
de ce rectangle (x 0).

b. d est-elle une fonction linéaire ? Expliquer.

a. Compléter ce tableau.

c. Calculer d (45). Interpréter le résultat.

2. a. d (t) = 180t
b. Pour calculer l’image d’un nombre, on multiplie ce
nombre par 180 donc d est la fonction linéaire de
coefficient 180.
c. d (45) = 180 × 45 = 8 100.
L’avion parcourt 8 100 m en 45 s.

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

x
P(x)
A(x)

7

13

24
35

36
65

5 cm

20
50

9
28

100

45

b. Donner les expressions de P(x) et A(x).
Les fonctions P et A sont-elles linéaires ?

P(x) = 2(x + 5) = 2x + 10 et A(x) = 5x.
Seule la fonction A est linéaire.

Chapitre 7 ● Relier proportionnalité et fonction linéaire

47

FICHE

CALCUL
MENTAL

● ..... . . . . . . . . .

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

37 Calculer une image ou un antécédent
1

4

f est la fonction linéaire telle que f (x) = 5x.

Louise a répondu à des questions concernant
la fonction linéaire f telle que f (x) = 3,2x.
Retrouver les questions posées à Louise.

a. On se propose de calculer l’image de 7 par f.
Compléter.

a. 3,2 × 6=19,2

7 dans l’égalité f (x) = 5x.

On remplace x par

f ( 7 ) = 5 × 7 = 35 donc l’image de 7 est 35 .
b. Calculer l’image de – 3 par f.

b. 28 =8,75
3,2

a. Calculer l’image de 6 par f.
b. Déterminer l’antécédent de 28 par f.

f (–3) = 5 × (–3) = –15

5

Compléter ce tableau sachant que f
est la fonction linéaire telle que f (x) = 1,6x.

donc l’image de –3 est –15.

2

g est la fonction linéaire telle que g (x) = – 0,4x.
Calculer :
a. l’image de 9 ;
b. g (– 0,6).

a. g (9) = –0,4 × 9 = –3,6 donc l’image de 9 est –3,6.

a. l’image de 12 ;

a. Compléter : « Déterminer l’antécédent de 20
par f revient à chercher un nombre x tel que :
f (x) = 20 c’est-à-dire un nombre dont le produit
par 8 est égal à 20 . »

a. g (12) =

8x = 20
8x
20
=
8
8
x = 2,5

20

8
L’antécédent de 20 est

2,5

×8
– 0,75

8x = – 6
–6

8

L’antécédent de – 6 est – 0,75.

48

8x –6
=
8 8

x = – 0,75

× 1,6

b. l’antécédent de 63.

7
7 4 3
= 7 4 = 28.
12=
3
3

7

.

c. Déterminer de même l’antécédent de – 6 par f.

12,5 3,5 – 0,25
20
5,6 – 0,4

Donc l’image de 12 par g est 28.
7
b. On cherche le nombre x tel que x = 63.
3
3 7
3
D’où
x=
63 ainsi x = 27.
7 3 7
Donc l’antécédent de 63 par g est 27.

b. Voici deux méthodes pour déterminer
l’antécédent de 20. Compléter puis conclure.

2,5

8

7
g est la fonction linéaire telle que g (x) = x.
3
Déterminer :

f est la fonction linéaire telle que f (x) = 8x.

×8

5

Image

6

b. g (–0,6) = –0,4 × (–0,6) = 0,24.

3

Antécédent

f est la fonction linéaire telle que f (x) = 0,2x.
Diego affirme : « L’image de 40 par f est aussi
l’antécédent de 1,6 par f. » A-t-il raison ?

• f (40) = 0,2 × 40 = 8. L’image de 40 est 8.
• f (8) = 0,2 × 8 = 1,6 donc 8 est l’antécédent
de 1,6. Diego a raison.

8

Compléter ce circuit de nombres
sachant que :
f
● f est la fonction
6
15
linéaire de
g
coefficient 2,5 ;
f
● g est la fonction
–7,5
–3
linéaire telle que
g(x) = – 0,8x.

f
g

37,5
3,75

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

FICHE

CALCUL
MENTAL

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

● ..............

BILAN ..... / .....

38 Représenter graphiquement une fonction linéaire
Dans un repère, la représentation graphique de la fonction linéaire x ax
(d)

est la droite constituée de tous les points de coordonnées (x ; ax).

a
1

● Cette droite passe par l’origine O du repère et par le point A
de coordonnées (1 ; a).


O

Le nombre a est le coefficient directeur de la droite (OA).

1

A

1

4

Dans ce repère,
la droite (d )
représente
une fonction f.

3

(d)

Tracer les représentations graphiques (d )
et (d’ ) des fonctions f et g telles que :
f (x) = 0,5x et g (x) = –x.

2
1

1. Pourquoi f
est-elle une
fonction linéaire ?

O

1

2

3

4

5

(d’ )

6

O

–1

La représentation de f est une droite qui passe par

(d )

1
1

2

l’origine du repère donc f est une fonction linéaire.
2. Compléter.
a. L’image de 2 est 1 . b. L’antécédent de 3 est 6 .

2

On souhaite tracer la droite (d ) qui représente
la fonction linéaire f définie par f (x) = 2x.
a. Compléter :
f (1) = 2 donc (d ) passe

(d)

par le point A(1 ; 2 ).

2

b. Placer le point A
puis tracer la droite (d ).

(d2)
(d3)
(d4)
(d1), (d2),
3
(d3) et (d4)
2
représentent
1
quatre fonctions
O
linéaires f, g, h et i.
–4 –3 –2 –1
1 2 3 4
–1
Indiquer quelle
droite représente (d1)
–2
chaque fonction.
–3

A

1
O

5

1



f (x) = 3x (d3)



h (x) =

1
x (d1)
3



g (x) = –1,5x (d2)



i (x) = –

2
x (d4)
3

6

3

On souhaite tracer la droite (d ) qui représente
la fonction linéaire g définie par g (x) = – 0,4x.
a. Compléter :
g (5) = –2 donc (d ) passe par le point A( 5 ; – 2 ).
b. Placer le point A puis tracer la droite (d ).

(d)

–2

© Nathan 2016 – Photocopie non autorisée.

1

a. Les points M(5 ; 32) et N(7 ; 44,4)
appartiennent-ils à la droite (d ) ? Justifier.
b. Les points C(2,5 ; y) et D(x ; 22,4) sont deux
points de la droite (d ). Déterminer x et y.

a. • 6,4 × 5 = 32 donc M(5 ; 32) appartient à (d ).
• 6,4 × 7 = 44,8 et 44,8 ≠ 44,4 donc N(7 ; 44,4)
n’appartient pas à (d ).

1
O

Une droite (d ) représente la fonction
linéaire f telle que f (x) = 6,4x.

5

b. • y = 6,4 × 2,5 = 16
22,4
• 6,4 × x = 22,4 d’où x =
= 3,5
6,4

A

Chapitre 7 ● Relier proportionnalité et fonction linéaire

49


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