Equations à coefficients complexes 4ème Sc Expérimentales .pdf



Nom original: Equations-à-coefficients-complexes-4ème-Sc-Expérimentales.pdf
Titre: Equations à coefficients complexes 4ème Sc Expérimentales
Auteur: kooli

Ce document au format PDF 1.4 a été généré par PDFCreator Version 1.7.1 / GPL Ghostscript 9.07, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 08/01/2017 à 15:56, depuis l'adresse IP 197.7.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 530 fois.
Taille du document: 74 Ko (6 pages).
Confidentialité: fichier public


Aperçu du document


Equations à coefficients complexes

4eme Sc Expérimentales

Dans tous les exercices le plan P complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (0 , u , v ) .
Exercice 1
Déterminer les racines carrées des nombres complexes suivants : − 5 − 12i , - 3 + 4i , - 8i , 8 - 6i , 3 + 4i
Exercice 2
Déterminer les racines cubiques des nombres complexes suivants : - 8i , - 1 + i , 27 + 27i ,

3 +i

Exercice 3
Soit a = 4 3 + 4i

1) Déterminer le module et un argument de a
2) Soit u = 1 + 3 + i( 3 − 1)
a) Calculer u 2
b) En déduire alors le module et un argument de u
c) Calculer cos

π
π
et sin
12
12

Exercice 4
Résoudre dans C les équations suivantes : z 2 + 7i = 0 , z 2 + i 3 z + i = 0 , z 2 + (1 + 4i) z − 5 − i = 0

z 2 + z − 1 + 3i = 0 , z 2 + (1 + 4i)z − 4 + 2i = 0 , z 2 - z + 1 = 0 , z 2 − (1 + 5i)z − 12 + 5i = 0
Exercice 5
Répondre par Vrai ou Faux en justifiant la réponse.


2π 

1) Le nombre  cos
+ i sin  est un réel.
5
5 


2) Les solutions dans C de l’équation z 2 − 6z + i = 0 sont 1 + 2i et − 1 + 3i .
3) Soit z et z ′ deux nombres complexes non nuls. Si arg(z) ≡ − arg(z) [2π] alors z ′ = z .
4) L’écriture exponentielle du nombre complexe

(

3 +i

)

8

8

est 2 e

 4π 
i

 3 

.

Exercice 6
1) a) Déterminer le module et un argument du complexe : − 2 3 − 2i
b) Résoudre dans C l’équation : z 2 = −2 3 − 2i on donnera les solutions sous la forme exponentielle
2) Soit u = 2 − 3 − i 2 + 3
a) Calculer u 2
b) En déduire le module et un argument de u
Exercice 7
1) a) Vérifier que

(

3 − 3i

)

2

= −6 − 6 3 i

Kooli Mohamed Hechmi

http://mathematiques.kooli.me/

b) Résoudre dans C l’équation : z 2 − ( 3 + i)z + 2 + 2 3 i = 0
2) Soient les points A et B d’affixes respectives : 2i et

3 -i

a) Ecrire sous forme trigonométrique les complexes 2i et

3 -i

b) Placer dans le plan les points A et B
3) a) Soit le point du plan tel que AC = OB déterminer l’affixe du point C
b) Montrer que le point C appartient au cercle de centre O et passant par A
c) Montrer que le quadrilatère OACB est un losange
Exercice 8
Pour chacune des questions suivantes une seule des trois réponses proposées est exacte.

1) L’équation z 2 = −16 admet dans l’ensemble C exactement
a) une solution

b) deux solutions

c) quatre solutions

2) Un argument du nombre complexe (1 + i) 2009 est
a)

π
2

π
4

b)

3) Les solutions dans ℂ de l’équation

c)


4

+ + 1 = 0 sont :

a) Opposées

b) inverses

c) ni opposées ni inverses

Exercice 9
1) Résoudre dans C, l’équation : z 2 − 2z + 2 = 0
2) Soit θ ∈ ]- π , π[ et soit dans C l »équation (E) : z 2 − 2(1 + cos θ)z + 2(1 + cos θ) = 0
a) Résoudre dans C, l’équation (E)
b) Ecrire ses solutions z′ et z′′ sous forme trigonométrique
2) On désigne par M′ et M′′ les points d’affixes respectives z′ et z′′
En déduire que lorsque θ varie dans ]- π , π[ les deux points M′ et M′′ appartiennent à un même cercle
que l’on précisera.

3) Dans cette question on suppose que θ =

π
2

a) Calculer z′ et z′′ (On désigne par z ′ la solution dont la partie imaginaire est positive)
b) Déterminer et construire les ensembles suivants :
E = { M(z) / z - z ′ = z − z ′′

}

et

F = { M(z) / z - z ′ = 2 z − z ′′

}

Exercice 10
1) Déterminer les racines carrées de 8 - 6i
2) Résoudre dans C, l’équation (E) : iz 2 − (1 + 3i)z + 3 + 4i = 0
3) Soient les points A et B d’affixes respectives 1 − 2i et 2 + i
a) Placer les points A et B
Kooli Mohamed Hechmi

http://mathematiques.kooli.me/

b) Déterminer l’affixe du point I milieu du segment [AB]
c) Montrer que les points O, A et B appartiennent à un même cercle de centre I
d) Montrer que le triangle AOB est rectangle et isocèle
e) Déterminer l’affixe du point C tel que AOBC soit un carré
4) On pose z =

zC − zA
zB − zA

a) Ecrire z sous forme algébrique
b) Ecrire z sous forme trigonométrique
c) En déduire une mesure de (AB , AC)
Exercice 11
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct
respectives

= +



et

=



, ,

. On considère les points

2) Soit

=

a) Placer les points ,

=

et .

.

le point d’affixe

b) Vérifier que

d’affixes

+

1) a) Donner l’écriture exponentielle de chacun des nombres complexes
b) Vérifier que

et

=

+ .

et .




3) On considère dans C l’équation (E ) : z 2 + z − c = 0
a) Vérifier que b est une solution de l’équation (E).
b) On désigne par d la deuxième solution de l’équation (E).
 -11π 

12 

2 + 6 i 
e
Montrer que d =
2

c) Placer alors, le point D d’affixe d.
Exercice 12
Répondre par Vrai ou Faux à chacune des propositions suivantes. Aucune justification n’est demandée.

1) Si u et v sont deux racines cinquième de l’unité, alors u.v est aussi une racine cinquième de l’unité.
2) 1 + i 2009 est une solution dans C de l’équation z 2 − 2z + 2010 = 0 .
3) Un argument du nombre complexe z = −5e


6

est −

π
.
6

4) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O , u , v) , l’ensemble des points M d’affixe
z tels que z = 3e iθ , où θ décrit l’intervalle [0 , π] , est un demi-cercle

Exercice 13
1) a) Vérifier que (9 + 2i ) = 77 + 36 i
2

Kooli Mohamed Hechmi

http://mathematiques.kooli.me/

b) Résoudre dans C, l’équation z 2 + (9 − 2i)z − 18i = 0
2) Déterminer dans C les solutions de l’équation z 4 + (9 − 2i)z 2 − 18i = 0
On donnera les solutions sous forme trigonométrique
3) Soient les points A et B d’affixes respectives 1+ i et 3i
a) Placer les points A et B
b) Soit C le point d’affixe 1 + αi , α ∈ IR ,déterminer α pour que ABC soit un triangle rectangle en C
Exercice 14
Soit θ un réel de l’intervalle ]0 , π[ et soit ( E θ ) : z 2 − (1 + i)(i + e iθ )z + i(i + e iθ ) 2 = 0
1) Résoudre dans C l’équation ( E θ )
2) Soient les points M 1 et M 2 d’affixes respectives z 1 = cos θ + i(1 + sin θ) et z 2 = −1 − sin θ + i cos θ
a) Ecrire z1 sous la forme exponentielle
b) En déduire l’écriture exponentielle de z 2
c) Montrer que le triangle O M 1 M 2 est isocèle en O
d) Déterminer l’affixe du point M pour que le quadrilatère O M 1 M M 2 soit un carré.
3) Soit A le point d’affixe − 1 + i
a) Montrer que :

aff (AM1 )
aff (AM 2 )

= − cot

θ
2

b) En déduire que les points A, M 1 et M 2 sont alignés
4) Déterminer et construire l’ensemble des points M 1 d’affixe z1 lorsque θ décrit ]0 , π[
Exercice 15
1) Résoudre dans C l’équation (E) : z 2 − 3z + 3 − i = 0
2) Soit dans C l’équation (E) : z 3 − 2z 2 − iz + 3 − i = 0
a) Vérifier que -1 est une solution de (E)
b) Trouver les nombres complexes a, b et c tel que : z 3 − 2z 2 − iz + 3 − i = (z + 1)(az 2 + bz + c)
c) Résoudre alors dans C l’équation (E)
3) Soient les points A, B et C d’affixes respectives : − 1 , 1 − i et 2 + i
a) Placer les points A, B et C
b) Montrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle
c) Déterminer l’affixe du point D pour que ABCD soit un carré
Exercice 16
1) Résoudre dans C l’équation (E) : z 2 + z + 1 + i = 0
2) Soit P(z) = z 3 − z 2 − (1 − i)z − 2 − 2i
a) Montrer que P(z) = 0 admet une solution réelle que l’on déterminera
Kooli Mohamed Hechmi

http://mathematiques.kooli.me/

b) Résoudre dans ℂ ; P(z) = 0
Exercice 17
1) Soit l’équation complexe (E) : z 3 + (i − 3 )z 2 + (1 − i 3 )z + i = 0
a) Montrer que l’équation (E) admet une solution imaginaire pure que l’on déterminera
b) Déterminer les nombres complexes a, b et c tel que ∀z ∈ C on a :
z 3 + (i − 3 ) z 2 + (1 − i 3 ) z + i = ( z + i)(az 2 + bz + c)

c) Résoudre dans C l’équation (E)
2) Soit θ ∈ ]0 , π[
a) Résoudre dans C l’équation (E θ ) : z 2 − 2e iθ z + (2i sin θ)e iθ = 0
θ

θ π

θ i
θ  i + 


b) Vérifier que les solutions de (E θ ) s’écrivent sous la forme :  2 cos e 2 et  2sin e  2 2 
2
2


c) Déterminer alors les solutions de l’équation ( E ′θ ) : z 4 − 2e iθ z 2 + ( 2i sin θ)e iθ = 0
Exercice 18
1) a) Déterminer les racines sixièmes de l’unité
6

 z 
b) Calculer (1 + i) 6 puis montrer que : z 6 = −8i si et seulement si 
 =1
1 + i 

c) En déduire les racines sixièmes de − 8i
2) On pose pour tout z ∈ C , f (z) = z 5 + (1 + i)z 4 + 2iz 3 + (−2 + 2i)z 2 − 4z − 4 − 4i
a) Vérifier que pour tout z ∈ C , on a : f (z)(z − 1 − i ) = z 6 + 8i
b) Résoudre alors dans C l’équation f (z) = 0
Exercice 19
1) a) Résoudre dans C l’équation : z 2 − 2 3 z + 4 = 0
b) Ecrire les solutions trouvées sous la forme exponentielle
c) En déduire les solutions de l’équation : Z 4 − 2 3 Z 2 + 4 = 0
2) Soit l’équation (E): z 3 + 2(i − 3 )z 2 + 4(1 − i 3 )z + 8i = 0
a) Vérifier − 2i est une solution de (E)
b) On pose P(z) = z 3 + 2(i − 3 )z 2 + 4(1 − i 3 )z + 8i
Déterminer les complexes a, b et c tel que ∀z ∈ C : P(z) = (z + 2i)(az 2 + bz + c)

c) Résoudre alors l’équation (E)
3) Dans le plan complexe, on considère les points A, B et C d’affixes respectives :
z 0 = −2i : z1 = 3 + i et z 2 = 3 - i

a) Placer les points A, B et C
b) Montrer que le quadrilatère OABC est un losange.
Kooli Mohamed Hechmi

http://mathematiques.kooli.me/

Exercice 20
Soit P(z) = z 3 + (1 − 2i)z 2 − (1 + 6)z − 5 = 0 ; z ∈ C
1) a) Montrer que P(z) = 0 admet une unique solution imaginaire pure que l’on déterminera
b) Déterminer les complexes a, b et c tel que ∀z ∈ C : P(z) = (z − i)(az 2 + bz + c)
c) Résoudre alors l’équation : P(z) = 0
2) On considère les A, B et C d’affixes respectives z A = i ; z B = 1 + 2i et z C = −2 − i
a) Placer les points A, B et C
b) Montrer que les points A, B et C sont alignés
3) a) Montrer que OBC est un triangle isocèle
b) Déterminer l’affixe z D du point D pour que OABC soit un losange
Exercice 21
1) a) Résoudre dans C, l’équation (E) : z 2 − z + 1 = 0
b) Mettre les solutions de (E) sous forme exponentielles.
c) En déduire les solutions de l’équation (E ′) : z 4 − z 2 + 1 = 0
2) Mettre le polynôme p(z) = z 4 − z 2 + 1 sous la forme d’un produit de deux polynômes du second degré à
coefficients réels.
3) Le plan est rapporté à un repère orthogonal (O , u , v) . On désigne par A, B, C et D les images des
solutions de l’équation (E ′) telles que Re(z A ) > 0 ; Im(z A ) > 0 ; Re(z B ) > 0 et Im(z D ) > 0 .

a) Placer les points A, B, C et D.
b) Déterminer la nature du quadrilatère ABCD.
Exercice 22
1) a) Vérifier que (5 + 2i) 2 = 21 + 20i
b) Résoudre dans C l’équation z 2 − (5 − 4i)z − 3 − 15i = 0
Le plan est muni d’un repère orthogonal (O , u , v) . On désigne par A, B, A ′ et B′ les points d’affixes
respectifs − 3i , 5 − i , − 3 et 1+ 5i .

2) a) Placer les points A, B, A ′ et B′ .
b) Montrer que OB A ′ et OB B′ sont des triangles rectangles et isocèles.
3) Soit M un point de la droite (AB) d’affixe z M .
a) Montrer qu’il existe un réel k tel que z M = 5k + (2k − 3)i .
b) Montrer que les droites (OM) et (AB) sont perpendiculaires si et seulement si le point M est le milieu
du segment [AB] .
Vérifier que dans ce cas A′B′ = 2OM .

. Kooli Mohamed Hechmi

http://mathematiques.kooli.me/




Télécharger le fichier (PDF)

Equations-à-coefficients-complexes-4ème-Sc-Expérimentales.pdf (PDF, 74 Ko)

Télécharger
Formats alternatifs: ZIP







Documents similaires


sujet de revision n 3
serie 3 nombre complexe
maths
maths 1
4m serie3 app cmplxes smaali mondher
serie3 1bac sm biof

Sur le même sujet..