Fonctions réciproques 4ème Sc Expérimentales .pdf



Nom original: Fonctions-réciproques-4ème-Sc-Expérimentales.pdfTitre: Fonctions réciproques 4ème Sc EXpérimentalesAuteur: hechmi

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4ème Sc Expérimentales

Fonctions réciproques

Dans tous les exercices le plan est rapporté à un repère orthonormé
Exercice 1
Soit

la fonction définie sur 0 , +∞ par :

et soit

sa courbe représentative.

est dérivable sur 0 , +∞ et que ∀ ∈ 0 , +∞ ;

1) Montrer que

2) Dresser le tableau de variation de

=

sur 0 , +∞ et préciser le nombre dérivé de

réalise une bijection de 0 , +∞ sur −1 , 4 .

3) Montrer que
4) Soit

=

, , .

à droite en 0.

la réciproque de .

a) Donner le tableau de variation de
0 et ′ 0 .

b) Calculer

est dérivable sur −1 , 4 on précisera la dérivabilité de

c) Montrer que
d) Expliciter

pour tout

Exercice 2
Soit

∈ −1 , 4 .

la fonction définie sur ℝ par :

1) Dresser le tableau de variations de
2) Soit

.

= 3−√

la fonction définie sur ℝ par :

a) Montrer que l’équation

b En déduire que l’équation

c Tracer

.

3) Soit ℎ la restriction de

=

%

+ 1 et soit

à gauche en 4

sa courbe représentative.

− .

= 0 admet dans ℝ une unique solution &.
=

admet dans ℝ une unique solution & et que 1 < & < 1,5.

à l’intervalle 0 , +∞ .

a) Montrer que ℎ réalise une bijection de ℝ sur −∞ , 2 .

c) Montrer que la fonction ℎ

sur −∞ , 2 .

4) a) Montrer que ℎ
b) Montrer que ℎ
c) Calculer ℎ

d) Tracer

89:

Exercice 3
Soit

réciproque de ℎ est continue sur −∞ , 2 et préciser son sens de variation

est dérivable sur l’intervalle −∞ , 2 .

n’est pas dérivable en 2.

en fonction de

pour tout

courbe représentative de ℎ .

la fonction définie sur 0 , +∞ par :

=

est continue sur 0 , +∞

1) Montrer que

2) a) Etudier la dérivabilité de
b) Montrer que

%

−1+√

%

+

et soit

sa courbe représentative.

à droite en 0 et interpréter géométriquement le résultat obtenu

est dérivable sur 0 , +∞ et calculer

c) En déduire que ∀ ∈ 0 , +∞ ;

3) a) Dresser le tableau de variation de
b) Montrer que

∈ −∞ , 2 .

> 0.

.

est une bijection de 0 , +∞ sur −1 , +∞ .

Kooli Mohamed Hechmi

http://mathematiques.kooli.me/

= 0 admet dans 0 , +∞ une unique solution & et que & ∈ 0 , 1

4) Montrer que l’équation
5) Soit

la réciproque de .

a) Donner le sens de variation de

est continue et dérivable sur −1 , +∞

b) Montrer que
Exercice 4

Le graphique ci-contre est celui d’une fonction
définie, continue et dérivable sur −2 , 4 .

< est la demi-tangente au point d’abscisse 1.

<% est la tangente au point de coordonnées 2 , −1 .
<= est la tangente au point de coordonnées 4 , −2 .

1) Répondre par VRAI ou FAUX en justifiant
a)



>

−2 = −2 ;



?

4 =2;



2 =0

réalise une bijection de −2 , 4 sur l’intervalle −2 , 3 .

b) La fonction

de

2) Justifier que la fonction réciproque
>

3) Calculer

3 et

?

−2 .

4) Tracer la courbe ′ de la fonction

.

Exercice 5

Soit

n’est pas dérivable au point −1.

=− +

la fonction définie sur par :



%

et soit

sa courbe représentative.

1) Déterminer le domaine de définition de .

2) a) Calculer lim

et limC

→ ∞



b) Dresser le tableau de variation de

3) a) Donner une équation cartésienne de la tangente < à la courbe
et <

b) Tracer

=

4) Montrer que l’équation
5) a) Montrer que
b) Montrer que

admet dans −1 , +∞ une unique solution & et que 1 < & < 1,5

réalise une bijection de −1 , +∞ sur un intervalle D que l’on déterminera.
est dérivable sur D

c) Calculer en fonction de & ;

d) Tracer la courbe ′ de la fonction

Exercice 6

définie sur ℝ par E

Soit la fonction

1) a) Etudier la continuité de
b) Etudier la dérivabilité de

2) Calculer lim

→ ∞

au point d’abscisse 0.

et

lim

en 0.

→ ∞

& .

.

=%

=− +√

%



si

si

≥0

<0

H

en 0. Interpréter le résultat graphiquement.
. Interpréter le résultat graphiquement.

Kooli Mohamed Hechmi

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3) a) Montrer que ∀ > 0 on a :

=

b) Montrer que ∀ < 0 on a :

%

= −1 +

c) Dresser le tableau de variation de .
4) Soit

à l’intervalle −∞ , 0 .

la restriction de

a) Montrer que

%

%√

définie sur un intervalle D que l’on déterminera.

admet une fonction réciproque

b) Expliciter

pour tout

∈ D.

c) Tracer les courbes représentatives de g et

.

Exercice 7
Pour chaque question indiquer la réponse exacte.
=I

1) Soit
a)

la bijection de 2 , +∞ sur 1 , +∞

J =

2) La courbe

a)

%

%K
K

J =

b)

K

c)

définie sur ℝ

ci-dessous représente une fonction

′ 2 = −2

%K

2 = −%

b)

c)

J =K

%K

′ 2 =2

Exercice 8
Soit la fonction

définie sur 0 , 1 par

1) Etudier la dérivabilité de

=

% √

et soit

à gauche en 1 et interpréter le résultat graphiquement.

est dérivable sur 0 , 1 et déterminer

2) Montrer que

3) a) Dresser le tableau de variation de .
b) Tracer

( on prendra ‖M‖ = ‖N‖ = 2 OP ).

4) a) Montrer que
b) Montrer que
c) Expliciter

sa courbe représentative.
∈ 0 ,1 .

définie sur un intervalle D que l’on déterminera.

admet une fonction réciproque
est dérivable sur 0 , 2
pour tout

pour tout

∈ D.

d) Tracer dans le même repère ′ la courbe de

Exercice 9

1) Soit la fonction

définie sur 0 , +∞ par

Kooli Mohamed Hechmi

=I

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a) Calculer limC


lim

et

. Interpréter les résultats graphiquement.

→ ∞

b) Montrer que

est dérivable sur 0 , ∞ et que ∀ ∈ 0 , ∞ on a

c) Montrer que

réalise une bijection de 0 , ∞ sur un intervalle D que l’on précisera.

d) Expliciter

ZC:
Z

I

∈ D.

pour tout

2) Soit la fonction

%

définie sur 0 ,, ∞ par

a) Dresser le tableau de variation de .
admet une unique solution & dans 0 , ∞ et que 1 3 & 3 2.

b) Montrer que l’équation

3) Soit la suite QR définie sur ℕ par Q
a) Montrer que ∀ ∈ 1 , ∞ on a V



b) Montrer que ∀T ∈ ℕ on a : QR G 1

4) a) Montrer que ∀T ∈ ℕ on a : |Q
QR

b) Montrer que ∀T ∈ ℕ on a : |Q
QR

1 et QR

VW

%

&| W % |QR
R

&|.

&| W X Y |1
%

c) En déduire lim QR .

QR .

&|.

→ ∞

Exercice 10
La courbe

représentée ci-dessous
dessous et celle d’une fonction

1) Déterminer graphiquement les limites suivantes : lim
2) Déterminer graphiquement ′? 0 et
3) Dresser le tableau de variation de
4) Soit

la restriction de

a) Montrer que

2 puis

e) La fonction

; lim

→ ∞

; lim

et

→ ∞

limC X Y


′> 0 . Déterminer le domaine de dérivabilité de .

sur ℝ.

à l’intervalle 0 , ∞ .

réalise une bijection de 0 , ∞ sur un intervalle D que l’on déterminera.

b) Construire la courbe
c) Calculer

→ ∞

définie sur ℝ.

?9:

de

puis dresser le tableau de variation de

.

′ 2 .

est-elle
elle dérivable à droite en 1 ? Justifier votre réponse.

Kooli Mohamed Hechmi

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Exercice 11
Soit

\

la fonction définie sur [0 , [ par

=

%

1) Etudier les variations de

et construire

]^_

et soit

sa courbe représentative.

.
\

réalise une bijection de [0 , % [ sur 1 , +∞ .

2) Montrer que

3) On désigne par ℎ la fonction réciproque de .
a) Etudier la dérivabilité de ℎ à droite en 1.

b) Montrer que ℎ est dérivable sur 1 , +∞ .
c) Expliciter ℎ′

pour tout

4) a) Calculer ℎ 1 , ℎ √2 et ℎ 2

∈ 1 , +∞ .

Exercice 12

Soit

\

la fonction définie sur `0 , % ` par :

1) Etudier la dérivabilité de

en 0 et interpréter le résultat graphiquement.
\

est une bijection de `0 , % ` sur 0 , +∞ .

2) Montrer que
3) Soit

= √tan .

la fonction réciproque de .

Montrer que

est dérivable sur 0 , +∞ et que ∀ ∈ 0 , +∞ on a :

4) Soit ℎ la fonction définie sur 0 , +∞ par ℎ

=

+

a) Montrer que ℎ est dérivable sur 0 , +∞ et calculer ℎ
b) En déduire que ∀ ∈ 0 , +∞ on a :

c) Montrer alors que ∀ ∈ ℝ on a : b√

Exercice 13

Soit la fonction ∶

↦ 1 + sin f

1) a) Montrer que
b) Soit

2) Soit la fonction
a) Montrer que

∈ 0 , +∞ .

pour tout
\
%

+ 1 − c + b√

%

+ 1 + c est une constante.

∈ `− % , %[.

est dérivable sur 0 , 2 .

la fonction réciproque de . Montrer que

c) Vérifier que : ∀ ∈ 0 , 2

c) Calculer

X Y=

X Y

%

réalise une bijection de `− % , %[ sur 0 , 2 .

c) Etudier la dérivabilité de

b) Calculer

%

+

=

en 0.

=

définie sur 0 , 2 par :

est dérivable sur 0 , 2 .
pour tout

\√%

2−

=

de 0 , 2 .

1 . En déduire que : ∀ ∈ 0 , 2 on a :

R

1
3 Soit la suite réelle Q déiinie sur jk par : QR = o
T


Kooli Mohamed Hechmi

st

+
2−
p1 +

.

=−

.

1
r
T+q

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a) Montrer que ∀T ∈ jk ∗ ; ∀q ∈ u0, 1, 2,H… , Tw on a :
X1 +

b) En déduire que : ∀T ∈ jk ∗ on a :

%R

Y≤

X1 +

R

X

R

%R

R s

%R

Y≤

Y ≤ QR ≤

R

X1 + Y.
R

R

c) En déduire que la suite Q est convergente et déterminer sa limite.

X

R

R

Y

Exercice 14
Soit la fonction

définie sur 0 , 1 par :

1) a) Montrer que

est dérivable sur 0 , 1 .

b) Vérifier que ∀ ∈ 0 , 1 on a :

= X1 + sin X
\

= Oxy X

\

%

\

%

YY.

Y.

c) Dresser le tableau de variation de .
2) a) Montrer que

%

réalise une bijection de 0 , 1 sur `\ , \[.

b) Montrer que la fonction
c) Etudier la dérivabilité de
=

X Y et

d) Calculer

%\

3) Soit la fonction

en
=

\

et

′ X%\Y

définie sur 0 , 1 par

a) Montrer que ∀ ∈ 0 , 1 on a : 0 <

b) Montrer que l’équation
c) En déduire le signe de

%

est dérivable sur [\ , \`.

réciproque de
%

\

=



<1

= 0 admet dans 0 , 1 une unique solution &

sur 0 , 1 .

4) Soit la suite réelle QR définie par : z

Q = %&

∀T ∈ ℕ ; QR

a) Montrer que ∀T ∈ ℕ on a : 0 ≤ QR ≤ &

=

QR

H

b) Montrer que la suite QR est croissante.

c) En déduire que la suite QR est convergente et déterminer sa limite.

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