Nombres complexes 4ème Sc Expérimentales (1) .pdf



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4eme Sc Expérimentales

Nombres Complexes

Dans tous les exercices le plan P complexe est rapporté à un repère orthonormé direct

, ,

Exercice 1
1) Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants :
2) Marquer les points ,
3) a) Montrer que

d’affixes respectives : 2 + 3 ; 3 +

et

1+

et

et −1 − .

est un triangle rectangle en .

b) Trouver l’affixe du point
4) a) On pose =

;



tel que

soit un rectangle.

, trouver l’affixe du point .

b) Déterminer les ensembles suivants :
= ! " ∈ $/|" − 2 − 3 | = |" + 1 + |' et

= ! " ∈ $/|2" − 1 + 2 | = 5'

Exercice 2
Soient les points , ,

et d’affixes respectives : ") = −2 ; "* = 1 + ; "+ = 4 + 2 et "- = 2

1) a) placer les points , ,

et

b) Vérifier que est le milieu du segment .
2) Montrer que le triangle

/.

est isocèle.

3) Déterminer l’affixe "0 du point

pour que

soit un losange.

4) a) A tout point ! d’affixe " ≠ 4 + 2 on associe le point !′ d’affixe " 3 =
Montrer que 7! 3 =

456

4 6

)8

+8

b) Montrer que si le point ! décrit la médiatrice du segment .

/ alors le point !′ décrit un cercle que

l’on précisera.
Exercice 3
Une seule des réponses proposées est exacte.
1) Soit " un nombre complexe, le conjugué de 1 + " est :
a) 1 − "

b) 1 − "

2) La forme algébrique de 1 +

2−3

est :

a) 6 − 4

b) 6 + 4
5

3) La forme algébrique de

c) 1 + "

5

c) −6 − 4

est :

a) −2 + 3

b) 2 + 3

c) 2 − 3

Exercice 4
A tout ! d’affixe " ≠ on associe le point !′ d’affixe " 3 =
1) a) Montrer que |"′| =

45
4

et soient les points :

−1 et

)8

*8

b) En déduire l’ensemble ∆ des points ! " tel que , |"′| = 1
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.

2) On pose " = ; + < ; ; et < deux réels
a) Pour " ≠ ; donner la forme algébrique de " 3 .
= ! " ∈ $/"′ ∈ ℝ' et > = ! " ∈ $/ "′soit imaginaire pur'

b) En déduire
Exercice 5

1) Placer dans le plan complexe les points , ,
2) Montrer que

et

; 1 − ; 5 + et 4 + 3

d’affixes respectives :

est un rectangle.

3) A tout point ! du plan d’affixe " ≠ 1 − on associe le point !′ d’affixe "′ =
a) Montrer que |"′| =

4

45

5

)8

*8

b) En déduire que si !′ appartient au cercle trigonométrique alors ! appartiendra à une droite que l’on
précisera.
4) a) Montrer que "′ −

"−1+

= 2+

!′ × ! = √5

et que

b) Montre que si ! appartient à un cercle de centre

et de rayon 1 alors !′ appartient à un cercle que

l’on précisera.
Exercice 6
1) La forme algébrique du nombre complexe √3M


a)

b)

N
O

est

5√

c)

5√

2) Un argument du nombre complexe P1 − √3Q est :
a)

R

b)

S

3) Le module du nombre complexe 1 + M
a) 1

R

UVN
W

c) −
est égale à
c) 2

b) √2

4) L’ensemble des points ! d’affixe " tels que " −
a) un singleton.

π
3

"+

= 1 est

b) une droite.

c) un cercle.

5) La forme exponentielle du nombre complexe −√3 − est :
a) 2M

N
O

b) 2M

XN
O

c) 2M

XN
O

6) Si z est un nombre complexe alors le conjugué de 1 + " est :
a) 1 − "

b) 1 − "

c) −1 − "

7) Soit Y ∈ ℝ. Le module du nombre complexe " = 1 + M
a) 1 + [M Z [

b) √2

Z

est égale à :
c) \2 1 + cos Y

Exercice 7
Une seule des réponses proposées est exacte.
1) Si " = 2 − 2 1 + 3
a) ^M " = 2

alors :
b) " = 2 + 2 1 + 3

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c) _ " = −2

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2) Si z est un nombre complexe dont un argument est
a) – b + 2ab ; a ∈ ℤ

`

+ 2ab ; a ∈ ℤ ; alors un argument de −2 " e st :
`

b) 0 + 2ab ; a ∈ ℤ

c) – + 2ab ; a ∈ ℤ

alors |"| est égale à:

3) Si " = P√3 − Q − 2
a) 0

b) 2√3

c) 2 − 2√3

Exercice 8
Ecrire les complexes suivants sous forme trigonométrique : " = 1 + cos Y + sin Y ; Y ∈ .0 , b..
" = −1 + cos Y + sin Y ; Y ∈ /0 , b. ; " = sin Y + cos Y ; "6 = 3 − √3 ; "g = 2√3 + 2
Exercice 9
Soit le nombre complexe : h = \2 − √3 − \2 + √3
1) Calculer h puis écrire h sous forme trigonométrique
2) En déduire la forme trigonométrique de h et les valeurs exactes de cos

iR

et

sin

iR

Exercice 10
On donne les points

et

5

d’affixes respectives : ") =

5

et "* = −3 + 4

g

1) Ecrire ") et "* sous la forme algébrique.
2) Placer les points

et .

3) Montrer que le triangle 7
4) Déterminer l’affixe du point

est isocèle.
tel que 7

5) Soit ! le point d’affixe " = 1 + 2 + M

soit un carré.
Z

; Y ∈ .0 , 2b.

Déterminer l’ensemble des point !, lorsque Y décrit .0 , 2b..
Exercice 11
Répondre par Vrai ou Faux.
1) Soit " = 2 − 3 donc " = 3 − 2 .
donc |" | = 16

2) Soit " = −1 −

3) Soit " un nombre complexe de module 1 et dont un argument est

`

4) Soit " un nombre complexe de module √2 et dont un argument est
`

donc "

6

S`
6

= −1.

donc " est imaginaire pur.

5) Soit " un nombre complexe dont un argument est − S et ayant une partie réelle égale à 4√3 donc |"| = 8.
6) Soit " un nombre complexe donc |" + 1 − | = |" + 1 + |.

7) Soit " et "′ deux nombres complexes si |"| = |"′| donc " = "′.
8) Soit " et "′ deux nombres complexes on a toujours |" + "′| = |"| + |"′|.
Exercice 12
Soient les points
1) Placer

et

d’affixes respectives : ") = 2 − 2

et "* = 2 + 2

et .

2) Qu’elle est la nature du triangle 7

.

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3) Soit le point

d’affixe "+ = M

N
W

2−2 .

a) Ecrire "+ sous forme algébrique et trigonométrique
b) En déduire cos

`

sin

et

`

kkkkkl
kkkkk .
4) a) Comparer 7 et 7 et donner une mesure de l’angle 7
;7
b) En déduire la nature du triangle 7

.

5) Déterminer et construire l’ensemble ∆ des ! d’affixe " = ; + < (; et < deux réels ) tel que :
| " − 2 − 2 | = |" − 2 − 2 |
6) On pose " = 2 + 2 cos Y ; Y ∈ .0 , b/. Qu’elle est l’ensemble des points M lorsque Y décrit .0 , b/ ?
Exercice 13
On pose m = 1 + √3 et n = 1 + .
1) Ecrire sous la forme algébrique m × n.
2) Ecrire sous la forme exponentielle m et n puis m × n.
3) Ecrire sous forme trigonométrique m × n.
4) En déduire cos

i`

sin

et

i`

Exercice 14
1) Placer dans le plan complexe les points , ,
2) Montrer que

d’affixes respectives : ; 1 − ; 3 + 3 et 4 +

et

est un rectangle.
on associe le point !′ d’affixe " 3 =

3) A tout point ! du plan d’affixe z distinct de 1 −
a) Montrer que |"′| =

4

45

5

)8

*8

b) En déduire que si !′ appartient au cercle trigonométrique alors ! appartiendra à une droite que l’on
précisera.
4) a) Montrer que " 3 −

"−1+

=2+

!3 × ! = √5

et que

b) Montre que si ! appartient à un cercle de centre

et de rayon 1 alors !′ appartient à un cercle que

l’on précisera.
Exercice 15
1) Ecrire sous la forme algébrique
2) a) placer les points

−3 + 4

et 3

5

et

S

/.

c) Soit C le point d’affixe 2 − . Montrer que
et

N
oU

3

b) Trouver l’affixe du point milieu de .
d) En déduire que les points ,

−M

est un triangle rectangle en .

appartiennent à un même cercle ζ dont on précisera le centre et le

rayon.
e) Déterminer l’ensemble

= p! " /|" − 2 | = √13q

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3) Soit M le point d’affixe " = −3 + 4 + M

Z

; Y ∈ .0 , 2b.

Déterminer l’ensemble des point !, lorsque Y décrit .0 , 2b..
Exercice 16
On donne les points

d’affixes respectives : " = 1 + √3 et " = 1 − .

et

1) Ecrire " et " sous la forme trigonométrique.
2) Ecrire " × " sous la forme trigonométrique et en déduire cos

R

et sin

' et d’affixe ", on associe le point !′ d’affixe "′ =

3) A tout point ! ∈ $\

a) Déterminer et construire l’ensemble

R

4 4o
4 4U

des points ! tel que "′ soit imaginaire pur.

b) Déterminer et construire l’ensemble > des points ! tel que "′ soit réel.
c) Déterminer l’ensemble s des points ! tel que |"′| = 1.
4) Soit le point d’affixe 1. Montrer que pour tout point ∈ $\
Que décrit le point !′ lorsque ! décrit le cercle de centre

' , !′ × ! = 1 + √3.

et de rayon 1 ?

Exercice 17
Soient les nombres complexes " = −√2 + √2

" = −√2 − √2

et

1) Mettre " et " sous forme trigonométrique.
2) Placer alors les points ,

et

d’affixes respectives 2, " et "

3) Déterminer sous forme algébrique l’affixe du point t =



kkkk Q.
4) Calculer 7 et une mesure de Pm
k ,7
5) Donner alors "u sous forme trigonométrique et en déduire les valeurs de cos

`

et

sin

`

Exercice 18
1) On donne " = 1 +

, " = 1 − √3 et " = 1 − .

a) Ecrire " , " et " sous la forme exponentielle.
b) En déduire la forme exponentielle de v =

4o U ×4U U
4W W

2) a) Ecrire v sous forme algébrique.
b) En déduire les valeurs exactes de cos

iR

et

sin

iR

3) Résoudre dans .0 , 2b. ; P√2 − √6Q cos ; + P√2 + √6Q sin ; = 2
Exercice 19
Pour chacune des questions suivantes une seule des trois réponses proposées est exacte.
1) Le nombre complexe

5√
5

a)

a pour argument :

R

b)

R
6

c)

R

2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé 7 , m
k , n , on considère les points , ,
d’affixes respectives : −1 ; 1 + 2 ; 3 et −3 . Alors on a :
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et

a) les vecteurs kkkkk et kkkkkk sont orthogonaux.
b) le quadrilatère

est un parallélogramme.

c) les vecteurs kkkkk et kkkkk sont colinéaires.
Exercice 20
k , n est un repère orthonormé
Dans la figure ci-contre 7 , m
direct du plan, ζ est le cercle de centre
cent 7
et de rayon 2 et

est un point d’affixe "* .

1) Déterminer par lecture graphique le module et
un argument de "* . En déduire que "*

1

d’affixe "+

2) a) Placer sur la figure le point
b) Montrer que le quadrilatère 7

n

√3 .
1

m
k

√3 .

est un losange.

3) On se propose de déterminer l’ensemble

des points

! d’affixe " tels que " soit un réel positif ou nul.
a) Vérifier que les points 7,

et

appartient à .

b) Prouver que tout point ! de la demi-droite
demi
.7

appartient à E.

c) Soit " un nombre complexe non nul, de module { et d’argument Y.
Montrer que " est un réel positif si et seulement
seule
si Y
d) En déduire que
Représenter

|`

; a ∈ d.

est la réunion de trois demi-droites
demi
que l’on déterminera.

sur la figure.

Exercice 21
le cercle de centre 7 et de rayon 1 et par

On désigne par
w

√3

et

les points d’affixes respectifs
respe
1 et

i

1) a) Donner la forme exponentielle de w.
b) Construire le point .
2) Soit

le point d’abscisse x

a) Vérifier que xx
b) Montrer que

y
y

1.. En déduire que le point

z

appartient au cercle

est un réel. En déduire que les points ,

y

c) Construire le point

et sont alignés.

dans le repère 7 , m
k ,n .

3) Soit Y un argument du nombre complexe x.
Montrer que cos Y


g √

et sin Y


g

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