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Mathématiques
Lycée Ibn Abi Dhiaf Manouba

Devoir de synthèse 1

4ème M 1 & 2

Mardi 28 - 12 - 2016

3 Heures

Exercice 1 ( 3, 5 pts )
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( O,u, v) .
Soit l’application f : P  P qui a tout point M(z) associe le point M´( z´) tels que: z´= z +2i .
On désigne par A le point d’affixe i .
1)

Monter que f est une isométrie du plan.

2)

Déterminer l’ensemble des points invariants par f.

3)

En déduire que f est une symétrie glissante.

4)

Déterminer f(O) et f(A).

5)

En déduire les éléments caractéristiques de f.

Exercice 2 : ( 6,5 pts )
I / ABCD est un carré de centre O tel que
segments

;

;

et

. I ; J ; K et H les milieux respectifs des

. E est un point du segment

et F est un point du segment

tel que BF = AE .
1) a - Montrer que les droites ( HK ) et ( IJ ) sont parallèles à la droite ( AC ) .
b- Montrer que la droite ( AC ) est la médiatrice du segment  IH .
2) a- Déterminer la droite  tel que

= S(AC) o S .

b- Déterminer la nature et les caractéristiques des applications suivantes :
S = S(AC) o

.

R = S(AC) o S(JH )
T = S(JH ) o S(AB)
II / 1)

Montrer qu’il existe un unique déplacement  qui envoie A sur B et E sur F .

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Page 1

2) a- Montrer que  est la rotation de centre O et d’angle
b- Montrer que les droites ( OE ) et ( OF ) sont perpendiculaires et en déduire que les points E ; B ; F et
O appartiennent à un même cercle .
3) Montrer que  ( D ) = A et en déduire que les droites ( ED ) et ( AF ) sont perpendiculaires .
4) a- Montrer qu’il existe un unique déplacement  qui envoie D sur E et F sur C .
b- Montrer que la droite ( EC ) est globalement invariante par  o  .
III / 1) Montrer qu’il existe un unique antidéplacement g qui envoie A sur B et E sur F .
2) a-

Montrer que g =  o S(AB) .

b- En déduire que g = S(AC) o
3) En remarquant que

=

.
+

. Montrer que g est une symétrie glissante dont-on déterminera l’axe

et le vecteur .
4) Montrer que le milieu du segment  EF  est un point de la droite ( IJ ) .
Exercice 3 : ( 5,5 pts )
On considère la fonction f définie par : f(x) =

x
x²  1

On désigne par (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, i , j ).
1) a- Calculer lim f (x) et
x 

lim f (x) .

x 

b- Montrer que f est dérivable sur chacun des intervalles ]-∞, -1[ et ]1, +∞[ puis calculer f ’(x).
c- Dresser le tableau de variation de f.
d- Tracer (C ) .
2)
abc-

On désigne par g la restriction de f à ]1, +∞[.
Montrer que g réalise une bijection de ]1, +∞[ sur ]1,+[.
Exprimer g -1(x) en fonction de x.
En déduire que la droite ∆ d’équation : y = x est un axe de symétrie de la courbe de g.

3) Soit la fonction φn définie sur ]1, +∞[ par : n (x) 

x
 x n avec nIN*
x²  1

a- Déterminer le sens de variation de φn .
b- En déduire que l’équation φn(x) = 0 admet dans 1 ;  une seule solution n , vérifier quen1; 2
c- Vérifier que φn+1(n) < 0 , En déduire que la suite (n ) est décroissante .
d- En déduire que la suite (n ) est convergente, on note l sa limite .
e- Vérifier que pour tout n  IN * , on a :

n . Montrer alors que

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=1.
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Exercice 4 ( 4,5 pts )

Soit f une fonction définie et continue sur [-1;1]; dérivable sur ]-1;1[et vérifiant f(0) = 0 et
pour tout x ∈ ]-1;1[ , f '(x) 

1
1  x²

1) Montrer que f est impaire.
2) a- En appliquant le théorème des accroissements finis à f sur [-1, x] pour x]-1,1[, montrer que f n’est
pas dérivable à droite en -1.
b- Montrer que f n'est pas dérivable à gauche en 1. Interpréter géométriquement le résultat obtenu.
 
3) On pose g(x) = sin x , pour x ∈ [  , ] .
2 2
 
 
a- Montrer que la fonction fog est continue sur [  , ] et dérivable sur ]  , [ .
2 2
2 2
 
b- Montrer que ∀x∈]  , [ , on a : (fog)(x) = x.
2 2
c- Déterminer alors f(1) et f(-1).
1 n
k
4) Soit la suite (Sn) définie sur IN* par Sn   f ( )
n k 1 n²
1
1
a- Montrer que pour tout nIN*, f ( )  Sn  f ( )

n
b- En déduire lim Sn .
n



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